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- 2021-05-10 发布
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2017 年最新中考“最值”问题专题训练
“最值”问题是初中数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始
终,是中考的热点问题,它主要考察学生对平时所学的内容综合运用,无论是代数问题还是几
何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间
线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)。利用一次函数
和二次函数的性质求最值。“最值”问题大都归于两类基本模型:
Ⅰ、归于函数模型:即利用一次函数的增减性,反比例函数的增减性,二次函数的对称性及增
减性,确定某范围内函数的最大或最小值。
Ⅱ、归于几何模型,这类模型又分为三种情况:
(1)归于“两点之间,线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应
用这一模型。
(2)归于“垂线段最短”。 凡属于求“点到线的距离的最小值”时,大都应用这一模型。
(3)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大
都应用这一模型。
1.下列各数中,最小的数是( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 2
2.已知 n20 是整数,则满足条件的最小正整数 n 为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.设 x、y 为实数,代数式 5x2+4y2-8xy+2x+4 的最小值为_______.
4.函数 y=x2-2x-2(0≤x≤3)的最大值为 ;最小值为 .
5. 函数 y=-2x-2(0≤x≤3)的最大值为 ;最小值为 .
6. 函数 6y x
(-2<x<3)的最大值为 ;最小值为 .
7.已知 x,y,z 为三个非负有理数,且满足 3x+2y+z=5,x+y-z=2,若 S=2x+y-z,则 S 的最大值
为 .;最小值分别为 .
8.如图,长方体的长为 15,宽为 10,高为 20,点 B 离点C 的距离为 5,一只蚂蚁如果要沿着长
方体的表面从点 A 爬到点 B ,需要爬行的最短距离是( )
A.5 21 B.25 C.10 5 5 D.35
9.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是
2 ,高为 2,若一只小虫从 A 点出发沿着圆柱体的侧面
爬行到 C 点,则小虫爬行的最短路程是_________(结果保留根号)
10.如图,是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径 EF 长为 10cm.母线 OE(OF)
长为 10cm.在母线 OF 上的点 A 处有一块爆米花残渣,且 FA=2cm,一只蚂蚁从杯口的点 E 处
沿圆锥表面爬行到 A 点.则此蚂蚁爬行的最短距离为 .
11.如图,将两张长为 8,宽为 2 的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸
条垂直时,菱形的周长有最小值 8,那么菱形周长的最大值是 .
12.如图, AD 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周, P 为 AD 上任意一点,若
AC=5,则四边形 ACBP 周长的最大值是 .
13.在矩形纸片 ABCD 中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的 A’处,折痕
为 PQ,当点 A’在 BC 边上移动时,折痕的端点 P、Q 也随之移动.若限定点 P、Q 分别在 AB、
AD 边上移动,则点 A’在 BC 边上可移动的最大距离为 .
14.如图,AC⊥MN 于点 C,BD⊥MN 于点 D,若 AC=1,BD=2,CD=4,请在直线上作一点 P,
使 PA+PB 最小(保留作图痕迹),且 PA+PB 的最小值为 .
15.菱形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 的长分别为 8、6,点 P 是对角线上 AC 的一个动点,点 M、
N 分别是的 AB、CB 中点,则 PM+PN 的最小值是 .
16.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 8,点 M 在 DC 上,且 DM=2,N 是 AC 上一动点,则 ND+NM
的最小值为 .
17.如图,点 A 是半圆上一个三等分点,点 B 是 AN 的中点,点 P 是直径 AB 上的一个动点,⊙O
的半径为 1,那么 PA+PB 的最小值为 .
18.在平面直角坐标系中,有 A(3,-2),B(4,2)两点,现另取一点 C(1,n),当 n = 时,
AC + BC 的值最小.
19.如图, 45AOB °,P 是 AOB 内一点, 10PO ,Q R、 分别是OA OB、 上的动点,求 PQR△
周长的最小值.
20.如图,在锐角 ABC△ 中, 4 2 45AB BAC , °, BAC 的平分线交 BC 于点 D M N, 、 分
别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM MN 的最小值是___________ .
21.如图,点 A 的坐标为(1,0),点 B 在直线 y=x 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标
为 .
22.如图,在 ABC△ 中, 10 8 6AB AC BC , , ,经过点C 且与边 AB 相切的动圆与CB CA, 分
别相交于点 E F, ,则线段 EF 长度的最小值是 .
23.如图, O 的半径 OA=5cm,弦 AB=8cm 点 P 为弦 AB 上一动点,则点 P 到圆心O 的最短距
离是 cm.
24.如图,已知 A、B 两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C 的圆心坐标为(-1,0),半径为 1.若
D 是⊙C 上的一个动点,线段 DA 与 y 轴交于点 E,则△ABE 面积的最小值为 .
25.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=90°,AD=4,连接 BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若 P 是 BC
边上一动点,则 DP 长的最小值为 .
26.如图,海边有两座灯塔 A、B,暗礁分布在经过 A、B 两点的弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)
区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船 P 与 A、B 的张角∠APB 的最大值为___ ___°.
27.如图,⊙O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切⊙O
于点 Q,则 PQ 的最小值为 .
28.正方形 ABCD 的边长为 4,M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点,且始终保持 AM⊥MN.当
BM= 时,四边形 ABCN 的面积最大.
29.如图,在平面直角坐标系中,A(-3,-2),⊙A 的半径为 1,P 为 X 轴上一点,PQ 切⊙A 于 Q,
则当 PQ 最小时,P 点坐标为________.
30.已知 A(1,5),B(3,﹣1)两点,在 x 轴上取一点 M,使 AM﹣BM 取得最大值时,则 M
的坐标为 .
31.如图,圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm,在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,
此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离
为 cm.
A D
E
P
B C
32.如图,∠MON=90°,矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM,ON 上,当 B 在边 ON 上运
动时,A 随之在边 OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中 AB=2,BC=1,运动过程中,
点 D 到点 O 的最大距离为( )
A. 2 1 B. 5 C. 145
5 D. 5
2
33.如图所示,正方形 ABCD 的面积为 12, ABE△ 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在
对角线 AC 上有一点 P ,使 PD PE 的和最小,则这个最小值为( )
A. 2 3 B. 2 6 C.3 D. 6
34.△ABC 中,∠C = 90°,AB = 1,tan A = 4
3 ,过 AB 边上一点 P 作 PE⊥AC 于 E,PF⊥BC 于
F,E、F 是垂足,则 EF 的最小值等于 .
35.已知: 0173 2 xxy ,求 yx 的最小值为 .
36.如图,点 C 是线段 AB 上的任意一点(不与点 A、B 重合),分别以 AC 、BC 为边在直线 AB
的同侧作等边△ACD 三角形和等边三角形△BCE,AE 与 CD 交于点 M,BD 与 CE 相交与点 N.
若 AB=10cm,当点 C 在线段 AB 上移动时,则线段 MN 的长度最大值为 .
37. 我市某工艺厂设计了一款成本为 10 元/件的工艺品投放市场进行试销,经过调查,销售单价
为 20 元时,每天的销售量为 500 件,当销售单价每涨 1 元时销售量就要较少 10 件,但市物价
部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过 35 元/件,那么销售单价定为 时,工
艺厂试销工艺品每天获得的最大利润为 元。
38..如图,一次函数 1 22y x 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点,
抛物线 2y x bx c 过 A、B 两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直 x 轴的直线 x=t,在第一象限交直线 AB 于 M,
交这个抛物线于 N。求当 t 取何值时,MN 有最大值?
最大值是多少?
.
2017 年最新中考“最值”问题专题训练
参考答案
1.A 2.A 3.3 4. 1,-3
5. -2,-8 6. 3,-2 7. S 的最大值 3,最小值 2. 8. B
9. 2 2 10.2 41 11.17 12. 15 5 2
13..2 14. 5 15. 5 16.10
17. 2 18.-0.4 19.10 2 20..4
21. 1 1,2 2
22..4.8 23.3 24. 22 2
25.4 26.40 27. 5 28.2
29.(-3,0) 30.( ,0) 31.15 32.A
33. A 34. 12
25 35.-2
36.
. 37.解:设定价为 x 元,总利润为 W 元,则
W=-10(x-40)2+9000,
当 x≤35 时,W 的值随着 x 值的增大而增大,
故销售单价定为 35 元∕件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大为 9000 元。
38.. 解:(1)∵ 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点,
∴A、B 点的坐标为:A(0,2),B(4,0)。
将 x=0,y=2 代入 y=﹣x2+bx+c 得 c=2;
将 x=4,y=0 代入 y=﹣x2+bx+c 得 0=﹣16+4b+2,解得 b= 。
∴抛物线解析式为:y=﹣x2+ x+2。
(2)如图 1,
设 MN 交 x 轴于点 E,则 E(t,0),BE=4﹣t。
∵ ,
∴ME=BE•tan∠ABO=(4﹣t)× =2﹣ t。
又∵N 点在抛物线上,且 xN=t,∴yN=﹣t2+ t+2。
∴ 。
∴当 t=2 时,MN 有最大值 4。