天水市2013年中考数学卷 21页

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天水市2013年中考数学卷

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甘肃省天水市2013年中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来。)‎ ‎1.(4分)(2013•天水)下列四个数中,小于0的数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1‎ B.‎ ‎0‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ π 考点:‎ 有理数大小比较.‎ 分析:‎ 在数轴上表示出各数,再根据数轴的特点进行解答即可.‎ 解答:‎ 解:如图所示:‎ ‎∵﹣1在0的左边,‎ ‎∴﹣1<0.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查的是有理数的大小比较,熟知数轴的特点是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)(2013•天水)下列计算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a3+a2=2a5‎ B.‎ ‎(﹣2a3)2=4a6‎ C.‎ ‎(a+b)2=a2+b2‎ D.‎ a6÷a2=a3‎ 考点:‎ 同底数幂的除法;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式.‎ 分析:‎ 根据合并同类项法则;积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;完全平方公式,同底数幂相除,底数不变指数相减,对各选项分析判断后利用排除法求解.‎ 解答:‎ 解:A、a3和a2不是同类项不能合并,故本选项错误;‎ B、(﹣2a3)2=4a6,正确;‎ C、应为(a+b)2=a2+b2+2ab,故本选项错误;‎ D、应为a6÷a2=a4,故本选项错误.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题主要考查了同底数幂的除法,积的乘方,合并同类项,以及完全平方公式,是中学阶段的基础题目.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)(2013•天水)下列图形中,中心对称图形有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1个 B.‎ ‎2个 C.‎ ‎3个 D.‎ ‎4个 考点:‎ 中心对称图形 分析:‎ 根据中心对称图形的概念求解.‎ 解答:‎ 解:第一个图形是中心对称图形;‎ 第二个图形是中心对称图形;‎ 第三个图形是中心对称图形;‎ 第四个图形不是中心对称图形.‎ 故共3个中心对称图形.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 掌握好中心对称图形的概念.中心对称图形关键是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)(2013•天水)函数y1=x和y2=的图象如图所示,则y1>y2的x取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ x<﹣1或x>1‎ B.‎ x<﹣1或0<x<1‎ C.‎ ‎﹣1<x<0或x>1‎ D.‎ ‎﹣1<x<0或0<x<1‎ 考点:‎ 反比例函数与一次函数的交点问题.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由两函数的交点横坐标,利用图象即可求出所求不等式的解集.‎ 解答:‎ 解:由图象得:y1>y2的x取值范围是﹣1<x<0或x>1.‎ 故选C 点评:‎ 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用了数形结合的思想,熟练掌握数形结合思想是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)(2013•天水)如图,直线l1∥l2,则∠α为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎150°‎ B.‎ ‎140°‎ C.‎ ‎130°‎ D.‎ ‎120°‎ 考点:‎ 平行线的性质;对顶角、邻补角;同位角、内错角、同旁内角.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 本题主要利用两直线平行,同旁内角互补以及对顶角相等进行做题.‎ 解答:‎ 解:∵l1∥l2,‎ ‎∴130°所对应的同旁内角为∠1=180°﹣130°=50°,‎ 又∵α与(70°+50°)的角是对顶角,‎ ‎∴∠α=70°+50°=120°.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题重点考查了平行线的性质及对顶角相等,是一道较为简单的题目.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)(2013•天水)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的边长是方程(x﹣2)(x﹣4)=0的根,则这个三角形的周长是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎11‎ B.‎ ‎11或13‎ ‎ ‎ C.‎ ‎13‎ D.‎ 以上选项都不正确 考点:‎ 解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由两数相乘积为0,两数中至少有一个为0求出方程的解得到第三边长,即可求出周长.‎ 解答:‎ 解:方程(x﹣2)(x﹣4)=0,‎ 可得x﹣2=0或x﹣4=0,‎ 解得:x=2或x=4,‎ 当x=2时,2,3,6不能构成三角形,舍去;‎ 则x=4,此时周长为3+4+6=13.‎ 故选C 点评:‎ 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,以及三角形的三边关系,求出x的值是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)(2013•天水)一组数据:3,2,1,2,2的众数,中位数,方差分别是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2,1,0.4‎ B.‎ ‎2,2,0.4‎ C.‎ ‎3,1,2‎ D.‎ ‎2,1,0.2‎ 考点:‎ 方差;中位数;众数.‎ 分析:‎ 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均)数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不只一个.利用方差公式计算方差.‎ 解答:‎ 解:从小到大排列此数据为:3,2,1,2,2;数据2出现了三次最多为众数,2处在第5位为中位数.平均数为(3+2+1+2+2)÷5=2,方差为[(3﹣2)2+3×(2﹣2)2+(1﹣2)2]=0.4,即中位数是2,众数是2,方差为0.4.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数、方差和众数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平均数.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)(2013•天水)从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎100m2‎ B.‎ ‎64m2‎ C.‎ ‎121m2‎ D.‎ ‎144m2‎ 考点:‎ 一元二次方程的应用.‎ 专题:‎ 几何图形问题.‎ 分析:‎ 从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的仍然是一个长方形,此时这个长方形的长等于原来正方形木板的边长,宽等于正方形木板的边长减去2m,根据剩下的长方形的面积是48m2,列出方程,求出解,进而求出原来正方形木板的面积.‎ 解答:‎ 解:设原来正方形木板的边长为xm.‎ 由题意,可知x(x﹣2)=48,‎ 解得x1=8,x2=﹣6(不合题意,舍去).‎ 所以8×8=64.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了一元二次方程的应用,理解从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的仍然是一个长方形,是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)(2013•天水)如图,已知⊙O的半径为1,锐角△ABC内接于⊙O,BD⊥AC于点D,OM⊥AB于点M,则sin∠CBD的值等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ OM的长 B.‎ ‎2OM的长 C.‎ CD的长 D.‎ ‎2CD的长 考点:‎ 圆周角定理;锐角三角函数的定义.‎ 分析:‎ 作直径AE,连接BE.得直角三角形ABE.根据圆周角定理可证∠CBD=∠MAO,运用三角函数定义求解.‎ 解答:‎ 解:连接AO并延长交圆于点E,连接BE.则∠C=∠E,‎ 由AE为直径,且BD⊥AC,得到∠BDC=∠ABE=90°,‎ 所以△ABE和△BCD都是直角三角形,‎ 所以∠CBD=∠EAB.‎ 又△OAM是直角三角形,∵AO=1,‎ ‎∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM,即sin∠CBD的值等于OM的长.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 考查了圆周角定理和三角函数定义.此题首先要观察题目涉及的线段,然后根据已知条件结合定理进行角的转换.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)(2013•天水)如图,已知等边三角形ABC的边长为2,E、F、G分别是边AB、BC、CA的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y与x的函数图象大致是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 动点问题的函数图象.‎ 专题:‎ 探究型.‎ 分析:‎ 根据题意可知△AEG≌△BEF≌△CFG三个三角形全等,且在△AEG中,AE=x,AG=2﹣x;可得△AEG的面积y与x的关系;进而可判断得则y关于x的函数的图象的大致形状.‎ 解答:‎ 解:∵AE=BF=CG,且等边△ABC的边长为2,‎ ‎∴BE=CF=AG=2﹣x;‎ ‎∴△AEG≌△BEF≌△CFG.‎ 在△AEG中,AE=x,AG=2﹣x,‎ ‎∵S△AEG=AE×AG×sinA=x(2﹣x);‎ ‎∴y=S△ABC﹣3S△AEG=﹣3×x(2﹣x)=(x2﹣x+1).‎ ‎∴其图象为二次函数,且开口向上.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查动点问题的函数图象,解答本题的关键是求出y与x的函数关系式,另外要求能根据函数解析式判断函数图象的形状.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分。只要求填写最后结果)‎ ‎11.(4分)(2013•天水)已知点M(3,﹣2),将它先向左平移4个单位,再向上平移3个单位后得到点N,则点N的坐标是 (﹣1,1) .‎ 考点:‎ 坐标与图形变化-平移.‎ 分析:‎ 直接利用平移中点的变化规律求解即可.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.‎ 解答:‎ 解:原来点的横坐标是3,纵坐标是﹣2,向左平移4个单位,再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1,纵坐标为﹣2+3=1.‎ 则点N的坐标是(﹣1,1).‎ 故答案填:(﹣1,1).‎ 点评:‎ 解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变,而上下平移时点的横坐标不变,平移变换是中考的常考点,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2013•天水)从1至9这9个自然数中任取一个数,使它既是2的倍数又是3的倍数的概率是  .‎ 考点:‎ 概率公式.‎ 分析:‎ 从1到9这9个自然数中,既是2的倍数,又是3的倍数只有6一个,所以既是2的倍数,又是3的倍数的概率是九分之一.‎ 解答:‎ 解:∵既是2的倍数,又是3的倍数只有6一个,‎ ‎∴P(既是2的倍数,又是3的倍数)=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查了统计与概率中概率的求法.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2013•天水)已知分式的值为零,那么x的值是 1 .‎ 考点:‎ 分式的值为零的条件.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 分式的值是0的条件是,分子为0,分母不为0.‎ 解答:‎ 解:根据题意,得 x2﹣1=0且x+1≠0,‎ 解得x=1.‎ 故答案为1.‎ 点评:‎ 本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2013•天水)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=12,BD=5,则这个梯形中位线的长等于 6.5 .‎ 考点:‎ 梯形中位线定理.‎ 分析:‎ 作DE∥AC,交BC的延长线于E,则四边形ACED为平行四边形,根据已知及平行四边形的性质得梯形的中位线等于BE的一半,根据勾股定理可求得BE的长,从而不难求得其中位线的长.‎ 解答:‎ 解:作DE∥AC,交BC的延长线于E,则四边形ACED为平行四边形 ‎∴AD=CE ‎∵AC⊥BD ‎∴∠BDE=90°‎ ‎∴梯形的中位线长=(AD+BC)=(CE+BC)=BE ‎∵BE===13‎ ‎∴梯形的中位线长=×13=6.5.‎ 故答案为:6.5.‎ 点评:‎ 本题考查了梯形的中位线定理,解答此题的关键是作出辅助线,构造出平行四边形和直角三角形,将求梯形中位线转化为求直角三角形斜边的问题来解答.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2013•天水)有两块面积相同的小麦试验田,分别收获小麦9000kg和15000kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg,若设第一块试验田每公顷的产量为xkg,根据题意,可得方程  .‎ 考点:‎ 由实际问题抽象出分式方程 分析:‎ 关键描述语是:“两块面积相同的小麦试验田”;等量关系为:第一块试验田的面积=第二块试验田的面积.‎ 解答:‎ 解:第一块试验田的面积为:,第二块试验田的面积为:.方程应该为:.‎ 点评:‎ 列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系,找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2013•天水)已知⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为r,⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线,且O1O2=5,则⊙O2的半径为r的取值范围是 2<r<8 .‎ 考点:‎ 圆与圆的位置关系.‎ 分析:‎ 首先根据两圆的公切线的条数确定两圆的位置关系,然后根据一圆的半径和圆心距确定另一个半径的取值范围;‎ 解答:‎ 解:∵⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线,‎ ‎∴两圆的位置关系为相交,‎ ‎∵⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为r,O1O2=5,‎ ‎∴r﹣3<5<r+3‎ 解得:2<r<8.‎ 故答案为:2<r<8.‎ 点评:‎ 本题考查了圆与圆的位置关系,本题的关键是判断两圆的位置关系.‎ ‎ ‎ ‎17.(4分)(2013•天水)如图所示,在△ABC中,BC=4,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,且∠EAF=80°,则图中阴影部分的面积是 4﹣π .‎ 考点:‎ 切线的性质;扇形面积的计算.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 连结AD,根据切线的性质得AD⊥BC,则S△ABC=AD•BC,然后利用S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF和扇形的面积公式计算即可.‎ 解答:‎ 解:连结AD,如图,‎ ‎∵⊙A与BC相切于点D,‎ ‎∴AD⊥BC,‎ ‎∴S△ABC=AD•BC,‎ ‎∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF ‎=×2×4﹣‎ ‎=4﹣π.‎ 故答案为4﹣π.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了扇形的面积公式.‎ ‎ ‎ ‎18.(4分)(2013•天水)观察下列运算过程:S=1+3+32+33+…+32012+32013 ①,‎ ‎ ①×3得3S=3+32+33+…+32013+32014 ②,‎ ‎ ②﹣①得2S=32014﹣1,S=.‎ 运用上面计算方法计算:1+5+52+53+…+52013=  .‎ 考点:‎ 整式的混合运算.3718684‎ 专题:‎ 整体思想.‎ 分析:‎ 首先根据已知设S=1+5+52+53+…+524+525 ①,再将其两边同乘5得到关系式②,②﹣①即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:设S=1+5+52+53+…+52013 ①,‎ 则5S=5+52+53+54…+52014②,‎ ‎②﹣①得:4S=52014﹣1,‎ 所以S=.‎ 故答案为.‎ 点评:‎ 此题考查了有理数的乘方运算,考查了学生的观察与归纳能力.题目难度不大,解题时需细心.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共3小题,共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程)‎ ‎19.(10分)(2013•天水)Ⅰ.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.‎ Ⅱ.计算:(π﹣3)0+﹣2sin45°﹣()﹣1.‎ 考点:‎ 解一元一次不等式组;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;在数轴上表示不等式的解集;特殊角的三角函数值 分析:‎ I、求出每个不等式的解集,找出不等式组的解集即可;‎ II、求出每一部分的值,代入后求出即可.‎ 解答:‎ 解:I、,‎ ‎∵解不等式①得:x>1,‎ 解不等式②得:x>5,‎ ‎∴不等式组的解集为x>5,‎ 在数轴上表示不等式组的解集为:‎ ‎.‎ II、原式=1+3﹣2×﹣8‎ ‎=1+3﹣﹣8‎ ‎=﹣7+2.‎ 点评:‎ 本题考查了解一元一次不等式(组),在数轴上表示不等式组的解集,零指数幂,负整数指数幂,二次根式的化简,特殊角的三角函数值的应用,主要考查学生的计算能力.‎ ‎ ‎ ‎20.(9分)(2013•天水)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=,BE=2.求CD的长和四边形ABCD的面积.‎ 考点:‎ 勾股定理;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.‎ 分析:‎ 利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1,进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长,求出AC,AB的长即可得出四边形ABCD的面积.‎ 解答:‎ 解:过点D作DH⊥AC,‎ ‎∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE=,‎ ‎∴EH=DH,‎ ‎∵EH2+DH2=ED2,‎ ‎∴EH2=1,‎ ‎∴EH=DH=1,‎ 又∵∠DCE=30°,‎ ‎∴DC=2,HC=,‎ ‎∵∠AEB=45°,∠BAC=90°,‎ BE=2,‎ ‎∴AB=AE=2,‎ ‎∴AC=2+1+=3+,‎ ‎∴S四边形ABCD=×2×(3+)+×1×(3+)=.‎ 点评:‎ 此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法,根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(9分)(2013•天水)某班同学分三组进行数学活动,对七年级400名同学最喜欢喝的饮料情况,八年级300名同学零花钱的最主要用途情况,九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查,并分别用扇形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据.‎ 时间 ‎1小时左右 ‎1.5小时左右 ‎2小时左右 ‎2.5小时左右 人数 ‎50‎ ‎80‎ ‎120‎ ‎50‎ 根据以上信息,请回答下列问题:‎ ‎(1)七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少;‎ ‎(2)补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图;‎ ‎(3)九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时?(结果保留一位小数)‎ 考点:‎ 加权平均数;用样本估计总体;频数(率)分布直方图;扇形统计图.‎ 专题:‎ 图表型.‎ 分析:‎ ‎(1)先求出喝红茶的百分比,再乘总数.‎ ‎(2)先让总数减其它三种人数,再根据数值画直方图.‎ ‎(3)用加权平均公式求即可.‎ 解答:‎ 解:(1)冰红茶的百分比为1﹣25%﹣25%﹣10%=40%,冰红茶的人数为400×40%=160(人),‎ 即七年级同学最喜欢喝“冰红茶”的人数是160人;‎ ‎(2)补全频数分布直方图如右图所示.‎ ‎(3)(小时).‎ 答:九年级300名同学完成家庭作业的平均时间约为1.8小时.‎ 点评:‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键;条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎ ‎ 四、解答题(本大题共50分,解答时写出必要的演算步骤及推理过程)‎ ‎22.(8分)(2013•天水)如图所示,在天水至宝鸡(天宝)高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度,已知在离地面2700米高度C处的飞机上,测量人员测得正前方AB两点处的俯角分别是60°和30°,求隧道AB的长.(结果保留根号)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ 分析:‎ 易得∠CAO=60°,∠CBO=30°,利用相应的正切值可得AO,BO的长,相减即可得到AB的长.‎ 解答:‎ 解:由题意得∠CAO=60°,∠CBO=30°,‎ ‎∵OA=2700×tan30°=2700×=900m,OB=2700×tan60°=2700m,‎ ‎∴AB=2700﹣900=1800(m).‎ 答:隧道AB的长为1800m.‎ 点评:‎ 考查解直角三角形的应用;利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)(2013•天水)如图在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A(m,2).‎ ‎(1)求一次函数的解析式;‎ ‎(2)设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B,若点P是x轴上一点,且满足△PAB的面积是4,直接写出P点的坐标.‎ 考点:‎ 反比例函数与一次函数的交点问题.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)将A点坐标代入y=(x>0),求出m的值为2,再将(2,2)代入y=kx﹣k,求出k的值,即可得到一次函数的解析式;‎ ‎(2)将三角形以x轴为分界线,分为两个三角形计算,再把它们相加.‎ 解答:‎ 解:(1)将A(m,2)代入y=(x>0)得,‎ m=2,‎ 则A点坐标为A(2,2),‎ 将A(2,2)代入y=kx﹣k得,2k﹣k=2,‎ 解得k=2,则一次函数解析式为y=2x﹣2;‎ ‎(2)∵一次函数y=2x﹣2与x轴的交点为C(1,0),与y轴的交点为(0,﹣2),S△ABP=S△ACP+S△BPC,‎ ‎∴×2CP+×2CP=4,解得CP=2,‎ 则P点坐标为(3,0),(﹣1,0).‎ 点评:‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)(2013•天水)某工程机械厂根据市场需求,计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台,该厂所筹生产资金不少于22 400万元,但不超过22 500万元,且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机,所生产的此两型挖掘机可全部售出,此两型挖掘机的生产成本和售价如下表:‎ 型号 A B 成本(万元/台)‎ ‎200‎ ‎240‎ 售价(万元/台)‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎(1)该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案?‎ ‎(2)该厂如何生产能获得最大利润?‎ ‎(3)根据市场调查,每台B型挖掘机的售价不会改变,每台A型挖掘机的售价将会提高m万元(m>0),该厂应该如何生产获得最大利润?(注:利润=售价﹣成本)‎ 考点:‎ 一元一次不等式的应用.‎ 专题:‎ 应用题;方案型.‎ 分析:‎ ‎(1)在题目中,每种型号的成本及总成本的上限和下限都已知,所以设生产A型挖掘机x台,则B型挖掘机(100﹣x)台的情况下,可列不等式22400≤200x+240(100﹣x)≤22500,解不等式,取其整数值即可求解;‎ ‎(2)在知道生产方案以及每种利润情况下可列函数解析式W=50x+60(100﹣x)=6000﹣10x,利用函数的自变量取值范围和其单调性即可求得函数的最值;‎ ‎(3)结合(2)得W=(50+m)x+60(100﹣x)=6000+(m﹣10)x,在此,必须把(m﹣10)正负性考虑清楚,即m>10,m=10,m<10三种情况,最终才能得出结论.即怎样安排,完全取决于m的大小.‎ 解答:‎ 解:(1)设生产A型挖掘机x台,则B型挖掘机(100﹣x)台,‎ 由题意得22400≤200x+240(100﹣x)≤22500,‎ 解得37.5≤x≤40.‎ ‎∵x取非负整数,‎ ‎∴x为38,39,40.‎ ‎∴有三种生产方案 ‎①A型38台,B型62台;‎ ‎②A型39台,B型61台;‎ ‎③A型40台,B型60台.‎ ‎(2)设获得利润W(万元),由题意得W=50x+60(100﹣x)=6000﹣10x ‎∴当x=38时,W最大=5620(万元),‎ 即生产A型38台,B型62台时,获得最大利润.‎ ‎(3)由题意得W=(50+m)x+60(100﹣x)=6000+(m﹣10)x 总之,当0<m<10,则x=38时,W最大,即生产A型38台,B型62台;‎ 当m=10时,m﹣10=0则三种生产方案获得利润相等;‎ 当m>10,则x=40时,W最大,即生产A型40台,B型60台.‎ 点评:‎ 考查学生解决实际问题的能力,试题的特色是在要求学生能读懂题意,并且会用函数知识去解题,以及会讨论函数的最大值.要结合自变量的范围求函数的最大值,并要把(m﹣10)正负性考虑清楚,分情况讨论问题.‎ ‎ ‎ ‎25.(12分)(2013•天水)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;‎ ‎(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).‎ 考点:‎ 二次函数综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可;‎ ‎(2)根据已知条件可求出OB的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m.由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标;‎ ‎(3)综合利用几何变换和相似关系求解.‎ 方法一:翻折变换,将△NOB沿x轴翻折;‎ 方法二:旋转变换,将△NOB绕原点顺时针旋转90°.‎ 特别注意求出P点坐标之后,该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意,即满足题意的P点有两个,避免漏解.‎ 解答:‎ 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)‎ ‎∴将A与B两点坐标代入得:,解得:,‎ ‎∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x.‎ ‎(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),‎ 得:4=4k1,解得:k1=1‎ ‎∴直线OB的解析式为y=x,‎ ‎∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m,‎ ‎∵点D在抛物线y=x2﹣3x上,‎ ‎∴可设D(x,x2﹣3x),‎ 又∵点D在直线y=x﹣m上,‎ ‎∴x2﹣3x=x﹣m,即x2﹣4x+m=0,‎ ‎∵抛物线与直线只有一个公共点,‎ ‎∴△=16﹣4m=0,‎ 解得:m=4,‎ 此时x1=x2=2,y=x2﹣3x=﹣2,‎ ‎∴D点的坐标为(2,﹣2).‎ ‎(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),‎ ‎∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是(0,3),‎ 根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO,‎ 设直线A′B的解析式为y=k2x+3,过点(4,4),‎ ‎∴4k2+3=4,解得:k2=,‎ ‎∴直线A′B的解析式是y=,‎ ‎∵∠NBO=∠ABO,∠A′BO=∠ABO,‎ ‎∴BA′和BN重合,‎ 即点N在直线A′B上,‎ ‎∴设点N(n,),又点N在抛物线y=x2﹣3x上,‎ ‎∴=n2﹣3n,‎ 解得:n1=﹣,n2=4(不合题意,舍去)‎ ‎∴N点的坐标为(﹣,).‎ 方法一:‎ 如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,‎ 则N1(,),B1(4,﹣4),‎ ‎∴O、D、B1都在直线y=﹣x上.‎ ‎∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N1OB1,‎ ‎∴△P1OD∽△N1OB1,‎ ‎∴,‎ ‎∴点P1的坐标为(,).‎ 将△OP1D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,),‎ 综上所述,点P的坐标是(,)或(,).‎ 方法二:‎ 如图2,将△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,‎ 则N2(,),B2(4,﹣4),‎ ‎∴O、D、B1都在直线y=﹣x上.‎ ‎∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N2OB2,‎ ‎∴△P1OD∽△N2OB2,‎ ‎∴,‎ ‎∴点P1的坐标为(,).‎ 将△OP1D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,),‎ 综上所述,点P的坐标是(,)或(,).‎ 点评:‎ 本题是基于二次函数的代数几何综合题,综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点.本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉,难度很大,对学生能力要求极高,具有良好的区分度,是一道非常好的中考压轴题.‎ ‎ ‎ ‎26.(12分)(2013•天水)如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.‎ ‎(1)求直线AB的解析式;‎ ‎(2)当点P运动到点(,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;‎ ‎(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 考点:‎ 一次函数综合题.‎ 专题:‎ 压轴题.‎ 分析:‎ ‎(1)过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b,把已知坐标代入可求解.‎ ‎(2)由△ABD由△AOP旋转得到,证明△ABD≌△AOP.AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等边三角形.利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函数求出BG=BD•cos60°,DG=BD•sin60°.然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.‎ ‎(3)本题分三种情况进行讨论,设点P的坐标为(t,0):‎ ‎①当P在x轴正半轴上时,即t>0时,关键是求出D点的纵坐标,方法同(2),在直角三角形DBG中,可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式,即可求出DH的长,根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程,即可求出t的值.‎ ‎②当P在x轴负半轴,但D在x轴上方时.即<t≤0时,方法同①类似,也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG,进而求出GF的长,然后同①.‎ ‎③当P在x轴负半轴,D在x轴下方时,即t≤时,方法同②.‎ 综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.‎ 解答:‎ 解:(1)如图1,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.由已知得:‎ BF=OE=2,OF==,‎ ‎∴点B的坐标是(,2)‎ 设直线AB的解析式是y=kx+b(k≠0),则有.‎ 解得.‎ ‎∴直线AB的解析式是y=x+4;‎ ‎(2)如图2,∵△ABD由△AOP旋转得到,‎ ‎∴△ABD≌△AOP,‎ ‎∴AP=AD,∠DAB=∠PAO,‎ ‎∴∠DAP=∠BAO=60°,‎ ‎∴△ADP是等边三角形,‎ ‎∴DP=AP=.‎ 如图2,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.‎ 方法(一)‎ 在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.‎ ‎∴BG=BD•cos60°=×=.‎ DG=BD•sin60°=×=.‎ ‎∴OH=EG=,DH=‎ ‎∴点D的坐标为(,)‎ 方法(二)‎ 易得∠AEB=∠BGD=90°,∠ABE=∠BDG,∴△ABE∽△BDG,‎ ‎∴;而AE=2,BD=OP=,BE=2,AB=4,‎ 则有,解得BG=,DG=;‎ ‎∴OH=,DH=;‎ ‎∴点D的坐标为(,).‎ ‎(3)假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于.‎ 设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:‎ ‎①当t>0时,如图,BD=OP=t,DG=t,‎ ‎∴DH=2+t.‎ ‎∵△OPD的面积等于,‎ ‎∴,‎ 解得,(舍去)‎ ‎∴点P1的坐标为(,0).‎ ‎②∵当D在x轴上时,根据勾股定理求出BD==OP,‎ ‎∴当<t≤0时,如图,BD=OP=﹣t,DG=﹣t,‎ ‎∴GH=BF=2﹣(﹣t)=2+t.‎ ‎∵△OPD的面积等于,‎ ‎∴,‎ 解得,,‎ ‎∴点P2的坐标为(,0),点P3的坐标为(,0).‎ ‎③当t≤时,如图3,BD=OP=﹣t,DG=﹣t,‎ ‎∴DH=﹣t﹣2.‎ ‎∵△OPD的面积等于,‎ ‎∴(﹣t)【﹣(2+t)】=,‎ 解得(舍去),‎ ‎∴点P4的坐标为(,0),‎ 综上所述,点P的坐标分别为P1(,0)、P2(,0)、P3(,0)、‎ P4(,0).‎ 点评:‎ 本题综合考查的是一次函数的应用,难度较大.‎