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- 2021-05-10 发布
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2017年湖北省宜昌市中考数学试卷
满分:120分 版本:人教版
一、选择题:本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2017湖北宜昌)有理数的倒数为( )
A.5 B. C. D.-5
答案:D,解析:根据“乘积为1的两个数互为倒数”,得的倒数为-5.
2.(2017湖北宜昌)如下字体的四个汉字中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
答案:A,解析:根据轴对称图形的概念逐一进行判断,即轴对称图形就是把一个图形沿着某条直线进行折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,选项A既是轴对称图形,其余都不是轴对称图形,故选择A .
3.(2017湖北宜昌)如图是一个小正方体的展开图,把展开图折叠成小正方体后,有“爱”字一面的相对面上的字是( )
A.美 B.丽 C.宜 D.昌
答案:C,解析:根据正方体展开图的相对面求解,如果以“爱”为底,则“我”和“美”分别为前侧面和后侧面,“丽”为右面,“宜”在上面,“昌在左面,故选择C .
4.(2017湖北宜昌)谜语:干活两腿脚,一腿勤,一腿懒,一脚站,一脚转.打一数学学习用具,谜底为( )
A.量角器 B.直尺 C.三角板 D.圆规
答案:D,解析:根据选项实物形象与谜语相对照,只有选项D符合.
5.(2017湖北宜昌)5月18 日,新平社电讯:我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”,在南海实观了可燃冰(即天然气水合物)的安全可控开采.据介绍,“蓝鲸1号”拥有27354台设备,约40000根管路,约50 000个MCC报验点,电缆拉放长度估计1200千米.其中准确数是( )
A.27354 B.40000 C.50000 D.1200
答案:A,解析:根据准确数与近似数的概念分别进行排除,符合准确数的只有选项A.
6.(2017湖北宜昌)九一(1)班在参加学校接力赛时,安排了甲,乙,丙,丁四位选手,他们的顺序由抽签随机决定,则甲跑第一棒的概率为( )
A.1 B. C. D.
答案:D,解析:根据概率公式法:P(A)=,其中n为所有事件的总数,m为事件A发生的总次数;甲跑第一棒的概率为.
7.(2017湖北宜昌)下列计算正确的是( )
A.a2+a3 =a5 B.a3·a2=a5 C.(a2)3=a5 D.a6÷a2=a3
答案:B,解析:根据幂的有关运算性质和整式的有关运算法则.分别从“同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项的法则、同底数幂的除法法则”逐个验证各选项的正确性.选项A中 a2、a3不是同类项,不能进行计算,选项B中a2·a3=a2+3=a5;选项C中(a2) 3=a2×3=a6;选项D中a6÷a2=a6-2=a4.故选择B .
8.(2017湖北宜昌)如图,在△AEF中,尺规作图如下:分别以点E,点F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧相交于G、H两点,作直线GH,交EF于点O,连接AO,则下列结论正确的是( )
A.AO平分∠EAF B.AO垂直平分EF
C.GH垂直平分EF D. GH平分AF
答案:C,解析:根据尺规作图方法和痕迹可知GH是线段EF的垂直平分线,故选C.
9.(2017湖北宜昌)如图,要测定被池塘隔开的A、B两点的距离.可以在AB外选一点C,连接AC,BC,并分别找出它们的中点D、E, 连接DE.现测得AC=30 m,BC=40 m,DE=24 m,则( )
A.50m B.48m C.45m D.35m
答案:B,解析:由题意可知线段DE是△ABC的中位线,根据三角形中位线定理得AB=2 DE=48 m.
10.(2017湖北宜昌)如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是( )
A.①② B.①③ C. ②④ D.③④
答案:B,解析:根据剪开所得图形的内角和进行识别与判断,都是四边形,符合要求,第2个剪开所得两个图形分别是五边形和三角形,不符合,第3个剪开所得两个图形分别是三角形,符合要求,第4个剪开所得两个图形分别是三角形和四边形,不符合.
11.(2017湖北宜昌)如图,四边形ABCD内接⊙O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是( )
A.AB=AD B.BC=CD C. = D.∠BCA=∠ACD
答案:B,解析:根据圆心距、弦、弧、圆周角之间的关系,由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等,可知选项B正确.
12.(2017湖北宜昌)今年5月21日是全国第27个助残日,某地开展“心手相连,共浴阳光”为主题的手工制品义卖销售活动.长江特殊教育学校将同学们手工制作的手串、中国结、手提包、木雕笔筒的相关销售信息汇总如下表,其中销售率最高的是( )
手式制品
手串
中国结
手提包
木雕笔筒
总数量(个)
200
100
80
70
销售数量(个)
190
100
76
68
A.手串 B.中国结 C.手提包 D.木雕笔筒
答案:B,解析:根据销售率=销售数量除以总数量,可知中国结的销售率最高是100%.
13.(2017湖北宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方体边长为1),AD⊥BC于D,下列选项中,错误的是( )
A.sin=cos B.tanC=2 C.sin=cos D.tan=1
答案:C,解析:先构建直角三角形再根据三角函数的定义, sin=cos=,tanC= =2,sin=cos(90-),故选C.
14.(2017湖北宜昌)计算的结果为( )
A.1 B. C. D.0
答案:A,解析:根据整式的运算法则及分式的基本性质化简,原式==1.
15.(2017湖北宜昌)某学校要种植一块面积为100的长方形草坪,要求两边长均不小于5 m,则草坪的一边长为y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是( )
A. B. C. D.
答案:C,解析:由题意得y=,因两边长均不小于5,可得y≥20,符合题意的选项只有C.
二、解答题 (本大题共9小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(2017湖北宜昌)(本小题满分6分)计算:
思路分析:根据有理数运算顺序及法则计算,先括号,再乘方,最后乘法.
解:原式=8=3.
17.(2017湖北宜昌)(本小题满分6分)解不等式组
思路分析:根据不等式基本性质.先解两个一元一次不等式,再求两个解集的公共部分.
,
解:由①得 x≥-2;由②得x<2,所以,不等式组的解集为-2≤x<2.
18.(2017湖北宜昌)(本小题满分7分)YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行,由于投入数量不够, 导致出现需要租用却未租到车的现象,现随机抽取的某五天在同一时段的调查数据汇成如下表格.
请回答下列问题:
时间
第一天
7:00-8:00
第二天
7:00-8:00
第三天
7:00-8:00
第四天
7:00-8:00
第五天
7:00-8:00
需要租车却未租到车的人数
1500
1200
1300
1300
1200
(1)表格中的五个数据(人数)的中位数是多少?
(2)由随机抽样估计,平均每天在7:00-8:00 :需要租用公共自行车的人数是多少?
思路分析:(1)把一组数据从小到大排列后,处在最中间的数据(数据有奇数个)或中间两个数据(有偶数个数据)的平均数就是这组数据的中位数;(2)把一组数据先求和,再除以数据的总个数就可以得到该组数据的平均数;,
解:(1)由表可知,中位数是1300.
(2)平均每天需要租车却未租到车的人数:(1500+1200+1300+1300+1200)5=1300
平均每天在7:00-8:00 :需要租用公共自行车的人数:1300+700=2000
19.(2017湖北宜昌)(本小题满分7分)“和谐号”火车从车站出发,在行驶过程中速度 (单位: m/s)与时间x (单位:s)的关系如图所示,其中线段BC∥ x轴.
(1)当0≤x≤10,求y关于x的函数解析式;
(2)求C点的坐标.
思路分析:(1)根据函数图象用待定系数法求解
;(2)先求直线BC的解析式,借助横坐标求解点B的纵坐标,最后结合BC∥x轴求解点C的坐标.
解:(1)当0≤x≤10, y关于x的图象呈直线且过原点,故设函数解析式为y=kx,将(10,50)代入上式,得k=5,故解析式为y=5x.
(2)当10≤x≤30, y关于x的图象呈直线,故设函数解析式为y=kx+b,将(10,50)(25,80)代入上式,得,解得k=5,b=30,故解析式为y=2x+30.
将x=30代入y=2x+30,得y=90,所以C点的坐标为(60,90).
20.(2017湖北宜昌)(本小题满分8分)阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为:
其中m>n>0,m,n是互质的奇数.
应用,当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
思路分析:当n=1时,将三边用含有m,n的代数式表示勾股数,进而分类考虑其中一边为5时分别求解三边是否符合题意分析与判断,
解:当n=1时,a= (m2-1) ①,b=m②,c=(m2+1) ③
因为直角三角形有一边长为5,分情况如下:
情况1:当a=5时,即(m2-1)=5,解得m=(舍去);
情况2:当b=5时,即m=5,再将它分别代入①③得
a=×(52-1)=12,c=×(52-1)=13;
情况3:当c=5时,即(m2+1)=5,m=±3,因m>0,所以m=3,把m=3分别代入①②得a=×(32-1)=4,b=3.
综上所述,直角三角形的另两边长为12,13或3,4.
21.(2017湖北宜昌)(本小题满分8分)已知,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,ED=EC,以AE为直径的⊙O与边CD相切于D, B点在⊙O上,连接OB.
(1)求证:DE=OE;
(2)若AB∥CD,求证:四边形ABCD是菱形.
思路分析:(1)利用切线的性质构建直角三角形,进而运用等角的余角相等求证相等的边;
(2)先证一组对边相等,借助平行得到平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形求证.
解:(1)证明:连接OD,
∵CD是⊙O的切线,∴OD⊥CD
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°
又∵DE=EC,∴∠2=∠1,
∴∠3=∠COD,∴DE=EO
(2)∵OD=OE,
∴OD=ED=OE,
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°
∴∠2=∠1=30°,
∵OA=OB=OE,而OE=DE=EC,
∴OA=OB=DE=EC,
又∵AB∥CD,
∴∠4=∠1
∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°
∴△ABO≌△CDE
∴AB=CD
四边形ABCD是平行四边形.
∴∠DAE= ∠DOE=30°
∴∠1=∠DAE
∴CD=AD
∴四边形ABCD是菱形.
22.(2017湖北宜昌)(本小题满分10分)某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始,市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.
2015年年初,对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年,线路敷设投资每年都增加亿元,预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工;搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减,依此规律,在 2017年年初只需投资5亿元,即可顺利如期完工;辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍,2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元,若这样,辅助配套工程也可以如期完工.经测算,这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2.
(1)这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元?
(2)市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元?
(3)求搬迁安置投资逐年递减的百分数.
思路分析:(1)根据三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2求解;
(2)根据辅助配套投资、线路敷设投资每年都增加亿元列方程组求解;
(3)根据搬迁安置投资逐年递减列方程求解.
解:(1)三年用于辅助配套的投资为54×=36(亿元)
(2)设2015年年初,对辅助配套投资为x亿元,则线路敷设、搬迁安置投资分别是2x亿元、4x亿元,由题意得,解得
所以市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元.
(3)由x=5得2015年初搬迁安置的投资为20亿元,设从2016年初开始,搬迁安置投资逐年递减的百分数为y,由题意得20(1-y)2=5
解得y1=0.5,y2=1.5(舍去)
所以搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%.
23.(2017湖北宜昌)(本小题满分11分)正方形ABCD的边长为1,点O是BC边上的一个动点(与B,C不重合),以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°.
(1)当MO经过点A时,
①请直接填空:ON (可能,不可能)过D点;(图1仅供分析)
②如图2,在ON上截取OE=OA,过E点作EF垂直于直线BC,垂足为点F,EH⊥CD于H,求证:四边形EFCH为正方形.
当OM不过点A时,设OM交边AB于G,且OG=1.在NO上存在点P,过P点作PK垂直于直线BC,垂足为点K,使得S△POK=4S△OGB,连接GP,求四边形PKBG的最大面积.
图1 图2
思路分析:(1) ②根据三角为直角证矩形,再证邻边相等可证出正方形;
(2)将四边形的面积转化为三个三角形面积的计算.
解:(1)①不可能
②∵∠MON=90°,
∴∠EOF=90°-∠AOB,
在正方形ABCD中,∠BAO=90°-∠AOB
∴∠EOF = ∠BAO
又∵EH⊥CD, EF⊥CB,
,∴∠EHC=∠EFC=90°,而∠HCF=90°
∴四边形EFCH为矩形
又∠EOF = ∠BAO,∠EFO =∠B,OE=OA,
∴△EOF≌△BAO
∴EF=BO,OF=AB
有OF=OC+CF=AB=BC=BO+CO=FE+CO
∴CF=EF,
∴四边形EFCH为正方形
(2) 由∠POK=∠OGB, ∠PKO=∠OBG,
得△POK∽△OGB,
∵S△POK=4S△OGB
有S△POK:S△OGB ==4,
∴OP=2,可得OG=1,
方法一:因为OG=1为定值,如图,Rt△OGB内接于⊙Q(设OB=a,BG=b),
过B作BT⊥OG,垂足为T,则ab=BT·OG,
当BT为半径时,ab最大,即为,这时△OGB最大面积为.
方法二:由完全平方公式,(a-b)2=a2-2ab+b2≥0,
此题中ab≤(a2+b2)
又因a2+b2=1,
所以ab≤,
所以ab的最大值为
所以△OGB最大面积为.
方法三:△OGB的面积为ab=a==
这时当a2=时,△OGB的最大面积为,
所以四边形PKBG的最大面积为1++1=
24.(2017湖北宜昌)(本小题满分12分)已知抛物线y=ax2+bx+c,其中2a=b>0>c,且a+b+c=0.
(1)直接写出关于的一元二次方程ax2+bx+c =0的一个根;
(2)证明:抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限;
(3)直线y= x+m与轴轴分别相交于B,C两点,与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与轴相交于E,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得△ADF与△OCB相似.并且,求此时抛物线的表达式.
思路分析:(1)利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根;(2)确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合,二可借助顶点坐标的正负性;(3)借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标,将坐标转化为相应的线段长,进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.
解:(1)ax2+bx+c =0的一个根为1(或者-3)
(2)证明:∵ b =2a,∴对称轴x==-1,将b=2a代入a+b+c=0.得c=-3a.
方法一:∵a=b>0>c,∴b2-4ac>0,
∴<0,
所以顶点A(-1,)在第三象限.
方法二:∵b =2a, c=-3a ,
∴==-4a <0,
所以顶点A(-1,)在第三象限.
(3)∵b =2a, c=-3a
∴x==
∴x1=-3,x2=1,
所以函数表达式为y=ax2+2ax-3a,
∵直线y= x+m与x轴、y轴分别相交于B,C,两点,则OB=OC=
所以△BOC是以∠BOC为直角的等腰三角形,这时直线y=x+m与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.
又因点F在对称轴左侧的抛物线上,则∠BAE>45°,这时△BOC与△ADF相似,顶点A只可能对应△BOC中的直角顶点O,即△ADF是以A为直角顶点的等腰三角形,且对称轴是x=-1,设对称轴x=-1与OF交于点G.
∵直线y=x+m过顶点A,所以m=1-4a,
∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组,解得,,
这里的(-1,4a)即为顶点A,点(-1,-4a)即为顶点D的坐标(-1,-4a)
D点到对称轴x=-1的距离为-1-(-1)=,AE==4a,
S△ADE=××4a=2,即它的面积为定值.
这时等腰直角△ADF的面积为1,所以底边DF =2,而x=-1是它的对称轴,这时D,C重合且在y轴上,由-1=0,∴a=1,此时抛物线的解析式y=x2+2x-3