初中数学一轮复习资料(教师用)
第 1 课时 实数的有关概念
【知识梳理】
1. 实数的分类:整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限
环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.
2. 数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上的点一一对应.
3. 绝对值:在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作∣a∣,正数的绝对值是它
本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
4. 相反数:符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数.a的相反数是-a,0的相反数是
0.
5. 有效数字:一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这
个近似数的有效数字.
6. 科学记数法:把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.
如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10-5.
7. 大小比较:正数大于 0,负数小于 0,两个负数,绝对值大的反而小.
8. 数的乘方:求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂.
9. 平方根:一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a 那么这个数 x 就叫做 a 的平方根(也叫
做二次方根).一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0 只有一个平方根,它是 0 本身;
负数没有平方根.
10. 开平方:求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方.
11. 算术平方根:一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个正数 x 就叫做 a 的算
术平方根,0 的算术平方根是 0.
12. 立方根:一般地,如果一个数 x 的立方等于 a,即 x3=a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(也
叫做三次方根),正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0 的立方根是 0.
13. 开立方:求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方.
【思想方法】
数形结合,分类讨论
【例题精讲】
例 1.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
例 2. 的相反数是( )
A. B. C. D.
例 3.2 的平方根是( )
A.4 B. C. D.
例 4.《广东省 2009 年重点建设项目计划(草案)》显示,港珠澳大桥工程估算总投资 726 亿元,
用科学记数法表示正确的是( )
A. 元 B. 元
3 3− − = 3)3
1( 1 −=− 9 3= ± 3 27 3− = −
2
2− 2 2
2
− 2
2
2 2− 2±
107.26 10× 972.6 10×
C. 元 D. 元
例 5.实数 在数轴上对应点的位置如图所示,
则必有( )
A. B. C. D.
例 6.(改编题)有一个运算程序,可以使:
⊕ = ( 为常数)时,得
( +1)⊕ = +2, ⊕( +1)= -3
现在已知 1⊕1 = 4,那么 2009⊕2009 = .
【当堂检测】
1.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
2. 的倒数是( )
A. B. C. D.
3.下列各式中,正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知实数 在数轴上的位置如图所示,则化简 的结果为( )
A.1 B. C. D.
5. 的相反数是( )
A. B. C. D.
6.-5 的相反数是____,- 的绝对值是____, =_____.
7.写出一个有理数和一个无理数,使它们都是小于-1 的数 .
8.如果 ,则“ ”内应填的实数是( )
A. B. C. D.
第 2 课时 实数的运算
【知识梳理】
1.有理数加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,绝对值
相等时和为 0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对
值;一个数同 0 相加,仍得这个数.
2.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.
3.有理数乘法法则:两个有理数相乘,同号得正,异号得负,再把绝对值相乘;
任何数与 0 相乘,积仍为 0.
110.726 10× 117.26 10×
a b,
0a b+ > 0a b− < 0ab > 0a
b
<
a b n n
a b n a b n
31
2
−
1
6
1
6
− 1
8
1
8
−
2−
1
2
− 1
2 2 2−
3152 << 4153 << 5154 << 161514 <<
a 2|1 |a a− +
1− 1 2a− 2 1a −
2−
2 2− 1
2
1
2
−
1
2
( )24−
2( ) 13
× − =
3
2
2
3
2
3
− 3
2
−
1− 10
a
第 4 题图
0 a 11−
0
b
例 5 图
4.有理数除法法则:两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;
0 除以任何非 0 的数都得 0;除以一个数等于乘以这个数的倒数.
5.有理数的混合运算法则:先算乘方,再算乘除,最后算加减;
如果有括号,先算括号里面的.
6.有理数的运算律:
加法交换律: 为任意有理数)
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)
【思想方法】
数形结合,分类讨论
【例题精讲】
例 1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”,校园生活丰富多彩.星期二下午 4 点至 5 点,
初二年级 240 名同学分别参加了美术、音乐和体育活动,其中参加体育活动人数是参加美术活动
人数的 3 倍,参加音乐活动人数是参加美术活动人数的 2 倍,那么参加美术活动的同学其有
____________名.
例 2.下表是 5 个城市的国际标准时间(单位:时)那么北京时间 2006 年 6 月 17 日上午 9 时应是
( )
A.伦敦时间 2006 年 6 月 17 日凌晨 1 时.
B.纽约时间 2006 年 6 月 17 日晚上 22 时.
C.多伦多时间 2006 年 6 月 16 日晚上 20 时 .
D.汉城时间 2006 年 6 月 17 日上午 8 时.
例 3.如图,由等圆组成的一组图中,第 1 个图由 1 个圆组成,第 2 个图由 7 个圆组成,第 3 个图
由 19 个圆组成,……,按照这样的规律排列下去,则第 9 个图形由__________个圆组成.
例 4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
例 5.计算:
(1) (2) º
523 =+ 623 =×
13)13( 2 −=− 3535 22 −=−
a+b=b+a(a b、
9
11)1(83 02 +−+−−+− π 03 ( 2) tan 45π− − − +
北京 汉城
8 90
伦敦
-4
多伦多纽约
国际标准时间(时)-5
例 2 图
……
例 3 图
(3) ; (4) .
【当堂检测】
1.下列运算正确的是( )
A.a4×a2=a6 B.
C. D.
2.某市 2008 年第一季度财政收入为 亿元,用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为
( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3.估计 68 的立方根的大小在( )
A.2 与 3 之间 B.3 与 4 之间 C.4 与 5 之间 D.5 与 6 之间
4.如图,数轴上点 表示的数可能是( )
A. B.
C. D.
5.计算:
(1) (2)
第 3 课时 整式与分解因式
【知识梳理】
1.幂的运算性质:①同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即
(m、n 为正整数);②同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
(a≠0,m、n 为正整数,m>n);③幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数
相乘,即 (n 为正整数);④零指数: (a≠0);⑤负整数指数:
(a≠0,n 为正整数);
2.整式的乘除法:
(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.
(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.
(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.
(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.
(5)平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方,
即 ;
(6)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)
它们的积的 2 倍,即
3.分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式分解因式.
4.分解因式的方法:
⑴提公团式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将
多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
102 )2
1()13(2 −+−− 2008 0 1 31( 1) ( ) 83
π −− + − +
2 25 3 2a b a b− =
3 2 5( )a a− = 2 3 3 6(3 ) 9ab a b=
76.41
81041× 9101.4 × 9102.4 × 8107.41 ×
P
7 7−
3.2− 10−
022009 60cos16)2
1()1( −+−− − ( ) 10 13 1 42
− − − +
nmnm aaa +=⋅
nmnm aaa −=÷
nnn baab =)( 10 =a n
n
aa 1=−
22))(( bababa −=−+
222 2)( bababa +±=±
3− 2− 1− O 1 2 3
P
第 4 题图
⑵运用公式法:公式 ;
5.分解因式的步骤:分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公团式,
然后再考虑是否能用公式法分解.
6.分解因式时常见的思维误区:
⑴ 提公因式时,其公团式应找字母指数最低的,而不是以首项为准.
⑵ 提取公因式时,若有一项被全部提出,括号内的项“ 1”易漏掉.
(3) 分解不彻底,如保留中括号形式,还能继续分解等
【例题精讲】
【例 1】下列计算正确的是( )
A. a+2a=3a B. 3a-2a=a
C. a a =a D.6a ÷2a =3a
【例 2】(2008 年茂名)任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的
结果是( )
平方 - ÷ +2 结果
A. B. C. +1 D. -1
【例 3】若 ,则 .
【例 4】下列因式分解错误的是( )
A. B.
C. D.
【例 5】如图 7-①,图 7-②,图 7-③,图 7-④,…,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”
字,按照这种规律,第 5 个“广”字中的棋子个数是________,第 个“广”字中的棋子个数是________
【例 6】给出三个多项式: , , .请选择你最喜欢的两个多
项式进行加法运算,并把结果因式分解.
【当堂检测】
1.分解因式: ,
2.对于任意两个实数对(a,b)和(c,d),规定:当且仅当 a=c 且 b=d 时,
(a,b)=(c,d).定义运算“ ”:(a,b) (c,d)=(ac-bd,ad+bc).若(1,2)
(p,q)=(5,0),则 p= ,q= .
3. 已知 a=1.6×109,b=4×103,则 a2÷2b=( )
A. 2×107 B. 4×1014 C.3.2×105 D. 3.2×1014 .
4.先化简,再求值: ,其中 .
5.先化简,再求值: ,其中 .
第 4 课时 分式与分式方程
【知识梳理】
⊗ ⊗ ⊗
2 2 ( )( )a b a b a b− = + − 2 2 22 ( )a ab b a b± + = ±
2
2 • 3 6 2 2 2
m m m
m m 2 m m
23 2 0a a− − = 25 2 6a a+ − =
2 2 ( )( )x y x y x y− = + − 2 26 9 ( 3)x x x+ + = +
2 ( )x xy x x y+ = + 2 2 2( )x y x y+ = +
n
21 2 12 x x+ − 21 4 12 x x+ + 21 22 x x−
39a a− = _____________2 23 =−−− xxx
2 2( ) ( )(2 ) 3a b a b a b a+ + − + − 2 3 3 2a b= − − = −,
2 2( )( ) ( ) 2a b a b a b a+ − + + − 13 3a b= = −,
1. 分式概念:若 A、B 表示两个整式,且 B 中含有字母,则代数式 叫做分式.
2.分式的基本性质:(1)基本性质:(2)约分:(3)通分:
3.分式运算
4.分式方程的意义,会把分式方程转化为一元一次方程.
5.了解分式方程产生增根的原因,会判断所求得的根是否是分式方程的增根.
【思想方法】
1.类比(分式类比分数)、转化(分式化为整式)
2.检验
【例题精讲】
1.化简:
2.先化简,再求值: ,其中 .
3.先化简 ,然后请你给 选取一个合适值,再求此时原式的值.
4.解下列方程(1) (2)
5.一列列车自 2004 年全国铁路第 5 次大提速后,速度提高了 26 千米/时,现在该列车从甲站到
乙站所用的时间比原来减少了 1 小时,已知甲、乙两站的路程是 312 千米,若设列车提速前的速
度是 x 千米,则根据题意所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【当堂检测】
1.当 时,分式 的值是 .
2.当 时,分式 有意义;当 时,该式的值为 0.
3.计算 的结果为 .
B
A
2
2 2
2 1 1
1
x x x
x x x
− + −÷− +
2
2
2 2 424 2
x x xxx x
− − ÷ − − − + 2 2x = +
11
11 2 −÷−+
x
x
x
)( x
01
3
5
22
=−−+ xxxx 4
16
2
2
2
2
2 −=−
+−+
−
xx
x
x
x
99a =
2 1
1
a
a
−
−
x
1
12
−
−
x
x x
2
2
( )ab
ab
4. .若分式方程 有增根,则 k 为( )
A. 2 B.1 C. 3 D.-2
5.若分式 有意义,则 满足的条件是:( )
A. B. C. D.
6.已知 x=2008,y=2009,求 的值
7.先化简,再求值: ,其中
8.解分式方程.
(1) (2) ;
(3) (4)
第 5 课时 二次根式
【知识梳理】
1.二次根式:
(1)定义:____________________________________叫做二次根式.
2.二次根式的化简:
3.最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.
(2)根号内不含分母 (3)分母上没有根号
4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式
就叫做同类二次根式.
5.二次根式的乘法、除法公式:
(1) (2)
6..二次根式运算注意事项:(1)二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根式,再合并同类
二次根式,防止:①该化简的没化简;②不该合并的合并;③化简不正确;④合并出
错.(2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算,运算结果一定写成最简
二次根式或整式.
【思想方法】 非负性的应用
【例题精讲】
x
xk
x −
−=+− 232
1
3
2
−x x
0≠x 3≥x 3≠x 3≤x
x
yx
4y5x
yx
4xy5x
y2xyx 2
2
22 −+−
+÷
−
++
4xx
16x)44xx
1x
2xx
2x( 2
2
22 +
−÷+−
−−−
+
22 +=x
2
2 01 1
x
x x
− =+ − x
2)3(x22x
x −=−−
1 1 32 2
x
x x
−= −− − 11-x
1x
1x
2
2
=+−−
a b= ab a 0 b 0⋅ ≥ ≥( , ) a a= a 0 b 0bb
≥ ( , )
【例 1】要使式子 有意义, 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例 2】估计 的运算结果应在( ).
A.6 到 7 之间 B.7 到 8 之间C.8 到 9 之间 D.9 到 10 之间
【例 3】 若实数 满足 ,则 的值是 .
【例 4】如图,A,B,C,D 四张卡片上分别写有 四个实数,从中任取两张卡片.
A B C D
(1)请列举出所有可能的结果(用字母 A,B,C,D 表示);
(2)求取到的两个数都是无理数的概率.
【例 5】计算:
(1)
(2) .
【例 6】先化简,再求值: ,其中 .
【当堂检测】
1.计算:(1) .
(2)cos45°·(- )-2-(2 - )0+|- |+
(3)
.
2.如图,实数 、 在数轴上的位置,化简
第 6 课时 一元一次方程及二元一次方程(组)
【知识梳理】
1.方程、一元一次方程、二元一次方程(组)和方程(组)的解、解方程(组)的概念及解法,
132 202
× +
0 263 12 ( ) cos 30 4sin 60
2 2
− + + −
+
1x
x
+
x
1x ≠ 0x ≠ 1 0x x> − ≠且 1 0x x ≠≥- 且
x y, 22 ( 3) 0x y+ + − = xy
52 3 π7
− , ,,
10
3
130tan3)14.3(27 −+°−−− )(π
1
0 1( 1) 5 27 2 32
− π − + − + − −
)1()1
1
1
2( 2 −×+−− aaa
33 −=a
012 3 2tan 60 ( 1 2)+ − − + − +
2
1 2 3 32
12
1
−
a b 2 2 2( )a b a b− − −
利用方程解决生活中的实际问题.
2.等式的基本性质及用等式的性质解方程:
等式的基本性质是解方程的依据,在使用时要注意使性质成立的条件 .
3.灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.
4.用方程解决实际问题:关键是找到“等量关系”,在寻找等量关系时有时可以借助图表等,在得
到方程的解后,要检验它是否符合实际意义.
【思想方法】
方程思想和转化思想
【例题精讲】
例 1. (1)解方程
(2)解二元一次方程组
解:
例 2.已知 是关于 的方程 的解,求 的值.
方法 1 方法 2
例 3.下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
例 4.在 中,用 x 的代数式表示 y,则 y=______________.
例 5.已知 a、b、c 满足 ,则 a:b:c= .
例 6 .某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度,那么这个月这户只
需交 10 元用电费,如果超过 A 度,则这个月除了仍要交 10 元用电费外,超过部分还要按每
度 0.5 元交费.
①该厂某户居民 2 月份用电 90 度,超过了规定的 A
度,则超过部分应该交电费多少元(用 A 表
示)? .
②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况:
根据右表数据,求电厂规定 A 度为 .
【当堂检测】
1.方程 的解是___ ___.
2.一种书包经两次降价 10%,现在售价 元,则原售价为_______元.
3.若关于 的方程 的解是 ,则 _________.
4.若 , , 都是方程 ax+by+2=0 的解,则 c=____.
5.解下列方程(组):
.x x+ −− =2 11 5 2 15 6
x = −2 x ( )x m x m− = −2 8 4 m
x − =5 2
a
x x k= −1 53 x = −3 k =
月份 用电量 交电费总数
3 月 80 度 25 元
4 月 45 度 10 元
=+
=+
2727
1523
yx
yx
=+−
=−+
02
052
cba
cba
−=
=
1
1
y
x
=
=
2
2
y
x
=
=
cy
x 3
=+
=+
6
511
5
yx
yx
−=+
=+
2
102
yx
yx
=
=+
15
8
xy
yx
=+
=
3
1
yx
x
032 =−+ yx
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
6.当 时,代数式 的值是 12,求当 时,这个代数式的值.
7.应用方程解下列问题:初一(4)班课外乒乓球组买了两副乒乓球板,若每人付 9 元,则多了
5 元,后来组长收了每人 8 元,自己多付了 2 元,问两副乒乓球板价值多少?
8.甲、乙两人同时解方程组 由于甲看错了方程①中的 ,得到的解是
,乙看错了方程中②的 ,得到的解是 ,试求正确 的值.
第 7 课时 一元二次方程
【知识梳理】
1. 一元二次方程的概念及一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0)
2. 一元二次方程的解法:①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法
3.求根公式:当 b2-4ac≥0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为
4.根的判别式: 当 b2-4ac>0 时,方程有 实数根.
当 b2-4ac=0 时, 方程有 实数根.
当 b2-4ac<0 时,方程 实数根.
【思想方法】
1. 常用解题方法——换元法
2. 常用思想方法——转化思想,从特殊到一般的思想,分类讨论的思想
【例题精讲】
例 1.选用合适的方法解下列方程:
(1) (x-15)2-225=0; (2) 3x2-4x-1=0(用公式法);
(3) 4x2-8x+1=0(用配方法); (4)x2+ x=0
例2 .已知一元二次方程 有一个根为零,求 的值.
( )x x− = − −3 2 5 2 . . . .x x+ = −0 7 1 37 1 5 0 23
x x− += −2 1 1 4 13 5
x = −2 x bx+ −2 2 x = 2
=+
=+
83
2152
yx
yx
8(1)
5 (2)
mx ny
mx ny
+ = −
− = m
4
2
x
y
=
= n
2
5
x
y
=
= ,m n
22
04371 22 =−+++− mmmxxm )( m
a
acbbx 2
42 −±−=
例 3.用 22cm 长的铁丝,折成一个面积是 30㎝2 的矩形,求这个矩形的长和宽.又问:能否折成
面积是 32㎝2 的矩形呢?为什么?
例 4.已知关于 x 的方程 x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0
(1) 求证:不论 k 取什么实数值,这个方程总有实数根;
(2) 若等腰三角形 ABC 的一边长为 a=4,另两边的长 b.c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC
的周长.
【当堂检测】
一、填空
1.下列是关于 x 的一元二次方程的有_______ ① ②
③ ④ ⑤ ⑥
2.一元二次方程 3x2=2x 的解是 .
3.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0 有一解为 0,则 m 的值是 .
4.已知 m 是方程 x2-x-2=0 的一个根,那么代数式 m2-m = .
5.一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一根-2,则 的值为 .
6 . 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 kx2+2x - 1=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 则 k 的 取 值 范 围 是
__________.
7 . 如 果 关 于 的 一 元 二 次 方 程 的 两 根 分 别 为 3 和 4 , 那 么 这 个 一 元 二 次 方 程 可 以
是 .
二、选择题:
8.对于任意的实数 x,代数式 x2-5x+10 的值是一个( )
A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数
9.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则 m2+n2 的值是( )
A.3 B.3 或-2 C.2 或-3 D. 2
10.下列关于 x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )
(A)x2+4=0 (B)4x2-4x+1=0(C)x2+x+3=0(D)x2+2x-1=0
11.下面是李刚同学在测验中解答的填空题,其中答对的是( )
A.若 x2=4,则 x=2 B.方程 x(2x-1)=2x-1 的解为 x=1
C.方程 x2+2x+2=0 实数根为 0 个 D.方程 x2-2x-1=0 有两个相等的实数根
12.若等腰三角形底边长为 8,腰长是方程 x2-9x+20=0 的一个根,则这个三角形的周长是( )
A.16 B.18 C.16 或 18 D.21
三、解下方程:
(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x2-4x-4=0
(4)x2+x-1=0 (6)(2y-1)2 -2(2y-1)-3=0
02x3x
1 2 =−+ 01x2 =+
)3x4)(1x()1x2( 2 −−=− 06x5xk 22 =++ 02
1xx2 4
32 =−− 0x22x3 2 =−+
b
ca4 +
第 8 课时 方程的应用(一)
【知识梳理】
1. 方程(组)的应用;
2. 列方程(组)解应用题的一般步骤;
3. 实际问题中对根的检验非常重要.
【注意点】
分式方程的检验,实际意义的检验.
【例题精讲】
例 1. 足球比赛的计分规则为:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分.某队打了 14 场,
负 5 场,共得 19 分,那么这个队胜了( )
A.4 场 B.5 场 C.6 场 D.13 场
例 2. 某班共有学生 49 人.一天,该班某男生因事请假,当天的男生人数恰为女生人数的一半.若
设该班男生人数为 x,女生人数为 y,则下列方程组中,能正确计算出 x、y 的是( )
A.{x–y = 49
y = 2(x + 1) B.{x + y = 49
y = 2(x + 1) C.{x–y = 49
y = 2(x–1) D.{x + y = 49
y = 2(x–1)
例 3. 张老师和李老师同时从学校出发,步行 15 千米去县城购买书籍,张老师比李老师每小时多
走 1 千米,结果比李老师早到半小时,两位老师每小时各走多少千米?设李老师每小时走 x 千米,
依题意得到的方程是( )
例 4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺,总务处每发一封信都只用一张信笺,教
务处每发出一封信都用 3 张信笺,结果,总务处用掉了所有的信封,但余下 50 张信笺,而教务
处用掉所有的信笺但余下 50 个信封,则两处各领的信笺数为 x 张,信封个数分别为 y 个,则可
列方程组 .
例 5. 团体购买公园门票票价如下:
购票人数 1~50 51~100 100 人以上
每人门票(元) 13 元 11 元 9 元
今有甲、乙两个旅行团,已知甲团人数少于 50 人,乙团人数不超过 100 人.若分别购票,两团
共计应付门票费 1392 元,若合在一起作为一个团体购票,总计应付门票费 1080 元.
(1)请你判断乙团的人数是否也少于 50 人.
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人?
【当堂检测】
1. 某市处理污水,需要铺设一条长为 1000m 的管道,为了尽量减少施工对交通所造成的影响,
实际施工时,每天比原计划多铺设 10 米,结果提前 5 天完成任务.设原计划每天铺设管道 xm,
则可得方程 .
2. “鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题,“鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露,看来
脚有 100 只,几多鸡儿几多兔?”解决此问题,设鸡为 x 只,兔为 y 只,所列方程组正确的是( )
3.为满足用水量不断增长的需求,某市最近新建甲、乙、丙三个水厂,这三个水厂的日供水量
1 5 1 5 1 1 5 1 5 1. .1 2 1 2
1 5 1 5 1 1 5 1 5 1. .1 2 1 2
A Bx x x x
C Dx x x x
− = − =+ +
− = − =− −
=+
=+
1002
36. yx
yxA 36 36. .2 4 100 2 2 100
x y x yB Cx y x y
+ = + =
+ = + =
=+
=+
10024
36.. yx
yxD
共计 11.8 万 m3,其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的 3 倍,丙水厂的日供水量比甲水厂
日供水量的一半还多 1 万 m3.
(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?
(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走 600t 土石,运输公司派出 A 型,B型两种载重
汽车,A 型汽车 6 辆,B 型汽车 4 辆,分别运 5 次,可把土石运完;或者 A 型汽车 3 辆,B 型汽
车 6 辆,分别运 5 次,也可把土石运完,那么每辆 A 型汽车,每辆 B 型汽车每次运土石各多少吨?
(每辆汽车运土石都以准载重量满载)
4. 2009 年初我国南方发生雪灾,某地电线被雪压断,供电局的维修队要到 30km 远的郊区进行抢
修.维修工骑摩托车先走,15min 后,抢修车装载所需材料出发,结果两车同时到达抢修点.已
知抢修车的速度是摩托车速度的 1.5 倍,求这两种车的速度.
5. 某体育彩票经售商计划用 45000元从省体彩中心购进彩票 20 扎,每扎 1000 张,已知体彩中
心有 A、B、C 三种不同价格的彩费,进价分别是 A种彩票每张 1.5 元,B 种彩票每张 2 元,C
种彩票每张 2.5 元.
(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票 20 扎,用去 45000 元,请你设计进票方案;
(2)若销售 A 型彩票一张获手续费 0.2 元,B 型彩票一张获手续费 0.3 元,C 型彩票一张获手续
费 0.5 元.在购进两种彩票的方案中,为使销售完时获得手续费最多,你选择哪种进票方案?
(3)若经销商准备用 45000 元同时购进 A、B、C 三种彩票 20 扎,请你设计进票方案.
第 9 课时 方程的应用(二)
【知识梳理】
1.一元二次方程的应用;
2. 列方程解应用题的一般步骤;
3. 问题中方程的解要符合实际情况.
【例题精讲】
例 1. 一个两位数的十位数字与个位数字和是 7,把这个两位数加上 45 后,结果恰好成为数字
对调后组成的两位数,则这个两位数是( )
A.16 B.25 C.34 D.61
例 2. 如图,在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修
建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积
需要 551 米 2,则修建的路宽应为( )
A.1 米 B.1.5 米 C.2 米 D.2.5 米
例 3. 为执行“两免一补”政策,某地区 2006 年投入教育经费 2500 万元,预计 2008 年投入 3600 万
元.设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 ,则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
例 4. 某地出租车的收费标准是:起步价为 7 元,超过 3 千米以后,每增加 1 千米,加收 2.4
元.某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费 19 元,设此人从甲地到乙地经过的路程为 x 千米,
那么 x 的最大值是( )
A.11 B.8 C.7 D.5
例 5. 已知某工厂计划经过两年的时间,把某种产品从现在的年产量 100 万台提高到 121 万台,
那么每年平均增长的百分数约是________.按此年平均增长率,预计第 4 年该工厂的年产量应为
_____万台.
例 6. 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出,平均每月能售出 600 个.调查表明:这种台
灯的售价每上涨 1 元,其销售量就将减少 10 个.为了实现平均每月 10000元的销售利润,这种
x
22500 3600x = 22500(1 ) 3600x+ =
22500(1 %) 3600x+ = 22500(1 ) 2500(1 ) 3600x x+ + + =
台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个?
例 7. 幼儿园有玩具若干份分给小朋友,如果每人分 3 件,那么还余 59 件.如果每人分 5 件,
那么最后一个人不少于 3 件但不足 5 件,试求这个幼儿园有多少件玩具,有多少个小朋友.
【当堂检测】
1. 某印刷厂 1月份印刷了书籍 60万册,第一季度共印刷了 200 万册,问 2、3 月份平均每月
的增长率是多少?
2. 为了营造人与自然和谐共处的生态环境,某市近年加快实施城乡绿化一体化工程,创建国家城
市绿化一体化城市.某校甲,乙两班师生前往郊区参加植树活动.已知甲班每天比乙班少种 10
棵树,甲班种 150 棵树所用的天数比乙班种 120 棵树所用的天数多 2 天,求甲,乙两班每天各植
树多少棵?
3. A、B、C、D 为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发,
点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动,一直到达 B 为止,点 Q 以 2 cm/s 的速度向 D 移动.
⑴ P、Q 两点从出发开始到几秒时四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2?
⑵ P、Q 两点从出发开始到几秒时,点 P 和点 Q 的距离是 10 cm?
4. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果,苹果的价格如下表所示.甲班分两次共购买苹果 70kg(第
二次多于第一次),共付出 189 元,而乙班则一次购买苹果 70kg.
(1)乙班比甲班少付出多少元?
(2)甲班第一次,第二次分别购买苹果多少千克?
第 10 课时 一元一次不等式(组)
【知识梳理】
1.一元一次不等式(组)的概念;
2.不等式的基本性质;
3.不等式(组)的解集和解法.
【思想方法】
1.不等式的解和解集是两个不同的概念;
2.解集在数轴上的表示方法.
【例题精讲】
例 1.如图所示,O 是原点,实数 a、b、c 在数轴上对应的点分别为 A、B、C,则下列结论错误的
是( )
A. B. C. D. 0ba >− 0ab < 0ba <+
购苹果数 不超过 30kg 30kg 以下但
不超过 50kg
50kg
以上
每千克价格 3 元 2.5 元 2 元
B A O C
0)ca(b >−
例 2. 不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
例 3. 把不等式组 的解集表示在数轴上,下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
例 4. 不等式组 的整数解共有( )
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
例 5. 小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板,三人的体重一共为 150kg,爸爸坐在跷跷板的一端,小明体
重只有妈妈一半,小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸那端仍然着地,那么小明的体
重应小于( )
A. 49kg B. 50kg
C. 24kg D. 25kg
例6.若关于x的不等式x-m≥-1的解集如图所示,则m等于( )
A.0 B.1
C.2 D.3
例 7.解不等式组:(1) (2)
【当堂检测】
1.苹果的进价是每千克 3.8 元,销售中估计有 5%的苹果正常损耗.为避免亏本,商家把售价应该
至少定为每千克 元.
2. 解不等式 ,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解.
3. 解不等式组 ,并把它的解集在数轴上表示出来.
4. 我市某镇组织 20 辆汽车装运完 A、B、C 三种脐橙共 100 吨到外地销售.按计划,20 辆汽车
都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题:
(1)设装运 A 种脐橙的车辆数为 ,装运 B 种脐橙的车辆数为 ,求 与 之间的函数关系式;
脐 橙 品 种 A B C
每辆汽车运载量(吨) 6 5 4
每吨脐橙获得(百元) 12 16 10
1 12 x− >
1
2x > − 2x > − 2x < − 1
2x < −
2 1 1
2 3
x
x
+ > −
+ ≤
2
2 1
x
x
−
− <
≤
2 1
1 13
x x
x
+ < − ≥
+<+
−>+
)6(3)4(4
,5
3
5
1
xx
xx
723 <−x
−<+−−
+≥+
22
4
3
1
3322
xx
xx
x y y x
101− 101− 101− 101−
(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 4 辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排
方案;
(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.
第 11 课时 平面直角坐标系、函数及其图像
【知识梳理】
一、平面直角坐标系
1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应;
2. 各象限点的坐标的符号;
3. 坐标轴上的点的坐标特征.
4. 点 P(a,b)关于 对称点的坐标
5.两点之间的距离
6.线段 AB 的中点 C,若 则
二、函数的概念
1.概念:在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,
那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数.
2.自变量的取值范围: (1)使解析式有意义 (2)实际问题具有实际意义
3.函数的表示方法; (1)解析法 (2)列表法 (3)图象法
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例 1.函数 中自变量 的取值范围是 ;
函数 中自变量 的取值范围是 .
例 2.已知点 与点 关于 轴对称,则 , .
例 3.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(10,0),点 B 的坐标为
(8,0),点 C、D 在以 OA 为直径的半圆 M 上,且四边形 OCDB 是平行四边形.
求点 C 的坐标.
例 4.阅读以下材料:对于三个数 a,b,c 用 M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用 min{a,b,c}表示这三
个数中最小的数.例如: ;
( 13)A m − , (2 1)B n +, x m = n =
原点
轴
轴
y
x
−−
−
−
),(
),(
),(
ba
ba
ba
),(),,(),,( 002211 yxCyxByxA
2,2
21
0
21
0
yyyxxx
+=+=
2
2y x
= − x
2 3y x= − x
{ } 1 2 3 41 2 3 3 3M
− + +− = =,,
21212211 PP)0()0()2( yyyPyP −=, ,,,
21212211 PP)0()0()1( xxxPxP −=, , ,,
例 3 图
min{-1,2,3}=-1; 解决下列问题:
(1)填空:min{sin30o,sin45o,tan30o}= ;
(2)①如果 M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求 x;②根据①,你发现了结论“如果 M{a,b,c}=
min{a,b,c},那么 (填 a,b,c 的大小关系)”.
③运用②的结论,填空:M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}若,
则 x + y= .
(3)在同一直角坐标系中作出函数 y=x+1,y=(x-1)2,y=2-x 的图象(不需
列表描点).通过观察图象,填空:
min{x+1, (x-1)2,2-x}的最大值为 .
【当堂检测】
1.点 在第二象限内, 到 轴的距离是 4,到 轴的距离是 3,那么点 的坐标为( )
A.(-4,3) B.(-3,-4) C.(-3,4) D.(3,-4)
2.已知点 P(x,y)位于第二象限,并且 y≤x+4 , x,y 为整数,写出一个符合上述条件的点 的坐标:
.
3.点 P(2m-1,3)在第二象限,则 的取值范围是( )
A.m>0.5 B.m≥0.5 C.m<0.5 D.m≤0.5
4.如图,在平面直角坐标系中,直线 l 是第一、三象限的角平分线.
⑴由图观察易知 A(0,2)关于直线 l 的对称点 的坐标为(2,0),请在图中分别标明 B(5,3) 、
C(-2,5) 关于直线 l 的对称点 、 的位置,并写出他们的坐标: 、 ;
⑵结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点 P(a,b)关于第一、三象限的角
平分线 l 的对称点 的坐标为 (不必证明);
⑶已知两点 D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线 l 上确定一点 Q,使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小,
并求出 Q 点坐标.
第 12 课时 一次函数图象和性质
{ } ( 1)min 1 2 1 ( 1).
a aa a
−− = − > −
≤ ;,,
P P x y P
P
m
A′
B′ C′ B′ C′
P′
x
y
O
例 4 图
1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 -1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
O x
y
l
A B
A '
D '
E '
C
(第22题图)第 4 题图
【知识梳理】
1.正比例函数的一般形式是 y=kx(k≠0),一次函数的一般形式是 y=kx+b(k≠0).
2. 一次函数 的图象是经过( ,0)和(0,b)两点的一条直线.
3. 一次函数 的图象与性质
【思想方法】数形结合
【例题精讲】
例 1. 已知一次函数物图象经过 A(-2,-3),B(1,3)两点.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)试判断点 P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上;
(3)求此函数与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积.
例 2. 已知一次函数 y=(3a+2)x-(4-b),求字母 a、b 为何值时:
(1)y 随 x 的增大而增大; (2)图象不经过第一象限;
(3)图象经过原点; (4)图象平行于直线 y=-4x+3;
(5)图象与 y 轴交点在 x 轴下方.
例 3. 如图,直线 l1 、l2 相交于点 A,l1 与 x 轴的交点坐标为(-1,0),l2 与 y 轴的交点坐标为
(0,-2),结合图象解答下列问题:
(1)求出直线 l2 表示的一次函数表达式;
(2)当 x 为何值时,l1 、l2 表示的两个一次函数的函数值都大于 0?
例 4.如图,反比例函数 的图像与一次函数 的图像交于点 A(m,2),点 B(-2,
n ),一次函数图像与 y 轴的交点为 C.
(1)求一次函数解析式;
(2)求 C 点的坐标;
(3)求△AOC 的面积.
xy 2= bkxy +=
k、b 的符号 k>0,b>0 k>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b<0
图像的大致
位置
经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限
性质
y 随 x 的增大
而
y 随 x 的增大而
而
y 随 x 的增大
而
y 随 x 的增大
而
y kx b= +
k
b−
y kx b= +
x
y
O 3
2y x a= +
1y kx b= +
y
xO
B
A
【当堂检测】
1.直线 y=2x+8 与 x 轴和 y 轴的交点的坐标分别是_______、_______;
2.一次函数 与 的图象如图,则下列
结论:① ;② ;③当 时, 中,
正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.一次函数 , 值随 增大而减小,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.一次函数 的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.已知函数 的图象如图,则 的图象可能是( )
6.已知整数 x 满足-5≤x≤5,y1=x+1,y2=-2x+4 对任意一个 x,m 都取 y1,y2 中的较小值,则 m 的
最大值是( )
A.1 B.2 C.24 D.-9
7.如图,点 A 的坐标为(-1,0),点 B 在直线 y=x 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标为 ( )
A.(0,0) B.( , )
C.(- ,- ) D.(- ,- )
第 13 课时 一次函数的应用
【例题精讲】
例题 1.某地区的电力资源丰富,并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电,
采用分段计费的方法来计算电费.月用电量 x(度)与相应电费 y(元)之间的函数图像如图所示.
⑴月用电量为 100 度时,应交电费 元;
⑵ 当 x≥100 时,求 y 与 x 之间的函数关系式;
⑶ 月用电量为 260 度时,应交电费多少元?
1y kx b= + 2y x a= +
0k < 0a > 3x < 1 2y y<
( 1) 5y m x= + + y x m
1m > − 1m < − 1m = − 1m <
2 3y x= −
y kx b= + 2y kx b= +
2
2
2
2−
2
1
2
1
2
2
2
2
第 2 题图
第 5 题图
第 7 题图
图(1)
2O 5 xA B
C
P
D
图(2)
第 1 题图
例题 2. 在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回,第
二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回,两组同时出发,设步行的时间为 t(h),
两组离乙地的距离分别为 S1(km)和 S 2(km),图中的折线分别表示 S1、S2 与 t 之间的函数关
系.
(1)甲、乙两地之间的距离为 km,乙、丙两地之间的
距离为 km;
(2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地
所用的时间分别是多少?
(3)求图中线段 AB 所表示的 S2 与 t 间的函数关系式,并
写出 t 的取值范围.
例题 3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润 (万元)与销售量 (万升)之间函数关系的
图象如图中折线所示,该加油站截止到 13 日调价时的销售利润为 4 万元,截止至 15 日进油时的
销售利润为 5.5 万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量)
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列问题:
(1)求销售量 为多少时,销售利润为 4 万元;
(2)分别求出线段 AB 与 BC 所对应的函数关系式;
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在 OA、AB、BC 三段所表示的销售信
息中,哪一段的利润率最大?(直接写出答案)
例题 4.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工 1000 只同一型号的奥运会吉祥物,每名工人每天
加工的吉祥物个数相等且保持不变,由于生产需要,其中一个车间推迟两天开始加工.开始时,
甲车间有 10 名工人,乙车间有 12 名工人,图中线段 OB 和折线段 ACB 分别表示两车间的加工情
况.依据图中提供信息,完成下列各题:(1)图中线段 OB 反映的是________车间加工情况;
(2)甲车间加工多少天后,两车间加工
的吉祥物数相同?
(3)根据折线段 ACB 反映的加工情况,
请你提出一个问题,并给出解答.
【当堂检测】
1.如图(1),在直角梯形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC,CD
运动至点 D 停止.设点 P 运动的路程为 ,△ABP 的面积为 y,如果
y 关于 x 的函数图象如图(2)所示,则△BCD 的面积是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
y x
x
x
2
B
x(天)
A
C
18 20O
9601000
y(只)
2·
4·
6·
8·
S(km)
20 t(h)A
B
1 日:有库存 6 万升,成本
价 4 元/升,售价 5 元/升.
13 日:售价调整为 5.5 元/
升.
15 日:进油 4 万升,成本
价 4.5 元/升.
31 日:本月共销售 10 万升.
2.如图,在中学生耐力测试比赛中,甲、乙两学生测试的路程 s(米)与时间 t(秒)之间的函数
关系的图象分别为折线 OABC 和线段 OD,下列说法正确的
是( )
A.乙比甲先到终点
B.乙测试的速度随时间增加而增大
C.比赛到 29.4 秒时,两人出发后第一次相遇
D.比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快
3.小高从家门口骑车去单位上班,先走平路到达点 A,再走
上坡路到达点 B,最后走下坡路到达工作单位,所用的时间
与路程的关系如图所示.下班后,如果他沿原路返回,且走平
路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致,那么他从
单位到家门口需要的时间是( )
A.12 分钟 B.15 分钟
C.25 分钟 D.27 分钟
4.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到
达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发 x(h)时,汽车与甲地的距离
为 y(km),y 与 x 的函数关系如图所示.根据图像信息,解答下列
问题:
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由;
(2)求返程中 y 与 x 之间的函数表达式;
(3)求这辆汽车从甲地出发 4h 时与甲地的距离.
第 14 课时 反比例函数图象和性质
【知识梳理】
1.反比例函数:一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y=
或 (k 为常数,k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数.
2. 反比例函数的图象和性质
3. 的几何含义:反比例函数 y= (k≠0)中比例系数 k 的几何意义,
即过双曲线 y= (k≠0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线,设垂足分别
为 A、B,则所得矩形 OAPB 的面积为 .
【思想方法】
k 的符号 k>0 k<0
图像的大致位置
经过象限 第 象限 第 象限
性质 在每一象限内,y 随 x 的
增大而
在每一象限内,y 随 x 的
增大而
k k
x
k
x
第 2 题图
第 3 题图
第 4 题图
o
y
x
y
xo
数形结合
【例题精讲】
例 1 某汽车的功率 P 为一定值,汽车行驶时的速度 v(米/秒)与它所受的牵引力 F(牛)之间
的函数关系如右图所示:
(1)这辆汽车的功率是多少?请写出这一函数的表达式;
(2)当它所受牵引力为 1200 牛时,汽车的速度为多少千米/时?
(3)如果限定汽车的速度不超过 30 米/秒,则 F 在什么范围内?
例 2 如图,一次函数 的图象与反比例函数 的
图象交于 两点.
(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求 的面积;
(3)x 为何值时,一次函数值大于反比例函数值.
【当堂检测】
1. (2008 年河南)已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3),则 m 的值为 .
2.(2008 年宜宾)若正方形 AOBC 的边 OA、OB 在坐标轴上,顶点 C 在第一象限且在反比例函
数 y= 的图像上,则点 C 的坐标是 .
3.在反比例函数 图象的每一支曲线上,y 都随 x 的增大而减小,则 k 的取值范围是
( )
A.k>3 B.k>0 C.k<3 D. k<0
4. (2008 年广东)如图,反比例函数图象过点 P,则它的解析式为( )
A.y= (x>0) B.y=- (x>0)
C.y= (x<0) D.y=- (x<0)
5.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V
( m3 ) 的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的气压大于 120 kPa 时,气球将爆炸.为了安
全起见,气球的体积应( )
A.不小于 m3 B.小于 m3
C.不小于 m3 D.小于 m3
6 .(2008 巴中)如图,若点 在反比例函数 的图象
上 , 轴 于 点 , 的 面 积 为 3 , 则
.
y kx b= + my x
=
( 21) (1 )A B n− ,, ,
AOB△
x
1
3ky x
−=
1
x
1
x
1
x
1
x
5
4
5
4
4
5
4
5
A ( 0)ky kx
= ≠
AM x⊥ M AMO△
k =
第 5 题图
O
y
x
B
A
1
-1
y
O x
P
第 4 题图
第 6 题图
y
xO
7.对于反比例函数 ,下列说法不正确的是( )
A.点 在它图象上 B.图象在第一、三象限
C.当 时, 随 的增大而增大 D.当 时, 随 的增大而减小
8.(2008 年乌鲁木齐)反比例函数 的图象位于( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二、三象限 D.第一、二象限
9.某空调厂装配车间原计划用 2 个月时间(每月以 30 天计算),每天组装 150 台空调.
(1)从组装空调开始,每天组装的台数 m(单位:台/天)与生产的时间 t(单位:天)之间有
怎样的函数关系?
(2)由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市,那么装配车间每天至少要组装多
少空调?
第 15 课时 二次函数图象和性质
【知识梳理】
1. 二次函数 的图像和性质
>0 <0
图 象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值 当 x= 时,y 有最 值 当 x = 时 , y 有 最
值
在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 增
减
性 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而
2. 二次函数 用配方法可化成 的形式,其中
= , = .
3. 二次函数 的图像和 图像的关系.
4. 二次函数 中 的符号的确定.
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例 1.已知二次函数 ,
(1) 用配方法把该函数化为
2y x
=
( 2 1)− −,
0x > y x 0x < y x
6y x
= −
2( )y a x h k= − +
a a
cbxaxy ++= 2 ( ) khxay +−= 2
h k
2( )y a x h k= − + 2axy =
cbxaxy ++= 2 cba ,,
2 4y x x= +
2( )y a x h k= − +
(其中 a、h、k 都是常数且 a≠0)形式,并画
出这个函数的图像,根据图象指出函数的对称
轴和顶点坐标.
(2) 求函数的图象与 x 轴的交点坐标.
例 2. (2008 年大连)如图,直线 和抛物线
都经过点 A(1,0),B(3,2).
⑴ 求 m 的值和抛物线的解析式;
⑵ 求不等式 的解集.(直接写出答案)
【当堂检测】
1. 抛物线 的顶点坐标是 .
2.将抛物线 向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是 .
3. 如图所示的抛物线是二次函数
的图象,那么 的值是 .
4.二次函数 的最小值是( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
5. 请写出一个开口向上,对称轴为直线 x=2,且与 y 轴的
交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 .
6.已知二次函数 的部分图象如右图所示,
则关于 的一元二次方程 的解
为 .
7.已知函数 y=x2-2x-2 的图象如图所示,根据其中提供的信
息,可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是( )
A.-1≤x≤3 B.-3≤x≤1 C.x≥-3 D.x≤-1 或 x≥3
8. 二次函数 ( )的图象如图所示,则下列结论:
① >0; ② >0; ③ b2-4 >0,其中正确的个数是( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
第 7 题图 第 8 题图
9. 已知二次函数 的图象经过点(-1,8).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)根据(1)填写下表.在直角坐标系中描点,并画出函数的图象;
mxy +=
cbxxy ++= 2
mxcbxx +>++2
( )22−= xy
23y x= −
2 23 1y ax x a= − + −
a
2( 1) 2y x= − +
2 2y x x m= − + +
x 2 2 0x x m− + + =
cbxaxy ++= 2 0≠a
a c a c
2 4 3y ax x= − +
第 3 题图
第 6 题图
x 0 1 2 3 4
y
(3)根据图象回答:当函数值 y<0 时,x 的取值范围是什么?
第 16 课时 二次函数应用
【知识梳理】
1. 二次函数的解析式:(1)一般式: ;(2)顶点式:
2. 顶点式的几种特殊形式.
⑴ , ⑵ , ⑶ ,(4) .
3.二次函数 通过配方可得 ,其抛物线关于直线
对称,顶点坐标为( , ).
⑴ 当 时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当
时, 有最 (“大”或“小”)值是 ;
⑵ 当 时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当
时, 有最 (“大”或“小”)值是 .
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例 1. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子 OP,柱子顶端 P 处装
上喷头,由 P 处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示).若
已知 OP=3 米,喷出的水流的最高点 A 距水平面的高度是 4 米,离柱子 OP 的距离为 1 米.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,
才能使喷出的水流不至于落在池外?
例 2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资
种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润 与投资量 成正比例关系,如图(1)
所示;种植花卉的利润 与投资量 成二次函数关系,如图(2)所示(注:利润与投资量的单
位:万元)
⑴ 分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式;
⑵ 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大
利润是多少?
cbxaxy ++= 2
2
2 4( )2 4
b ac by a x a a
−= + + x =
0a >
x = y
0a <
x = y
1y x
2y x
1y 2y x
(1) (2)
【当堂检测】
1. 有一个抛物线形桥拱,其最大高度为 16 米,跨度为 40 米,现在它
的示意图放在平面直角坐标系中如图,则此抛物线的解析式
为 .
2. 某公司的生产利润原来是 a 元,经过连续两年的增长达到了 y 万元,如果每年增长的百分数都
是 x,那么 y 与 x 的函数关系是( )
A.y=x2+a B.y= a(x-1)2 C.y=a(1-x)2 D.y=a(l+x)2
3.如图,用长为 18 m 的篱笆(虚线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃.
⑴ 设矩形的一边为 面积为 (m2),求 关于 的函数关系式,并写出自变量 的取值范
围;
⑵ 当 为何值时,所围苗圃的面积最大,最大面积是多少?
4.体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线
的一部分,根据关系式回答:
⑴ 该同学的出手最大高度是多少?
⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少?
⑶ 该同学的成绩是多少?
5.某企业信息部进行市场调研发现:
信息一:如果单独投资 A 种产品,则所获利润 (万元)与投资金额 (万元)之间存在正比例函数
关系: ,并且当投资 5 万元时,可获利润 2 万元;
信息二:如果单独投资 B 种产品,则所获利润 (万元)与投资金额 (万元)之间存在二次函数关
系: ,并且当投资 2 万元时,可获利润 2.4 万元;当投资 4 万元,可获利润 3.2 万
元.
(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;
(2) 如果企业同时对 A、B 两种产品共投资 10 万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,
并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
第 17 课时 数据的描述、分析(一)
【知识梳理】
1.掌握总体、个体、样本、样本容量四个基本概念;
2.理解样本平均数、极差、方差、 标准差、中位数、众数.
【思想方法】
1. 会运用样本估计总体的思想
y x x
x
( )mx y
3
5
3
2
12
1 2 ++−= xxy
Ay x
Ay kx=
By x
2
By ax bx= +
第 1 题图
【例题精讲】
例 1.某校高一新生参加军训,一学生进行五次实弹射击的成绩(单位:环)如下:8,6,10,7,
9,则这五次射击的平均成绩是 环,中位数 环,极差是 环,方差是
环 .
例 2.已知样本 x1、x2、x3、x4 的平均数是 2,则 x1+3、x2+3、x3+3、x4+3 的平均数为 ; .
已知样本 x1,x2,x3,…,xn 的方差是 1,那么样本 2x1+3,2x2+3,2x3+3,…,2xn+3 的方差是 ,
标准差是 .
例 3.小明上学期六门科目的期末考试成绩(单位:分)分别是:120,115,x,60,85,80.若平均
分 是 93 分 , 则 x=_________ , 一 组 数 据 2 , 4 , x , 2 , 3 , 4 的 众 数 是 2 , 则 x
= .
例 4.为了了解我市九年级学生中考数学成绩,从所有考生的试卷中抽取 1000 份试卷进行统计分
析,在这个问题中,样本是被抽取的 1000 名学生,则总体是 ,
个体是 ,样本是 ,样本容量是 .
例 5.某校九年级(1)班积极响应校团委的号召, 每位同学都向“希望工程”捐献图书,全班 40 名同学
共捐图书 320 册.特别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母的支持下各捐献了 50 册图书. 班
长统计了全班捐书情况如下表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分):
⑴ 分别求出该班级捐献 7 册图书和 8 册图书的人数;
⑵ 请算出捐书册数的平均数、中位数和众数, 并判断其中哪些统计量不能
反映该班同学捐书册数的一般状况,说明理由.
【当堂检测】
1.下列调查方式,合适的是( )
A.要了解一批灯泡的使用寿命,采用普查方式.
B.要了解淮安电视台“有事报道”栏目的收视率,采用普查方式.
C.要保证“神舟六号”载人飞船成功发射,对重要零部件的检查采用抽查
方式.
D.要了解外地游客对“淮扬菜美食文化节”的满意度,采用抽查方式.
2.刘翔为了备战 2008 年奥运会,刻苦进行 110 米跨栏训练,为判断他的成绩是否稳定,教练对他
10 次训练的成绩进行统计分析,则教练需了解刘翔这 10 次成绩的( )
A.众数 B.方差 C.平均数 D.频数
3.人民商场对上周女装的销售情况进行了统计,如下表所示:
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色
数量(件) 100 180 220 80 550
经理决定本周进女装时多进一些红色的,来解释这一现象的统计知识是( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
册
数 4 5 6 7 8 5
0
人
数 6 8 1
5 2
2
4.下列调查方式中.不合适的是( )
A.了解 2008 年 5 月 18 日晚中央也视台“爱的奉献”抗震救灾文艺晚会的收视率,采用抽查的方
式.
B.了解某渔场中青鱼的平均重量,采用抽查的方式.
C.了解某型号联想电脑的使用寿命,采用普查的方式.
D.了解一批汽车的刹车性能,采用普查的方式.
5.某校参加“姑苏晚报·可口可乐杯”中学生足球赛的队员的年龄如下(单位:岁):13,14,16,15,
14,15,15,15,16,14,则这些队员年龄的众数是____.
6.在校园歌手大赛中,七位评委对某位歌手的打分如下:9.8,9.5,9.7,
9.6,9.5,9.5,9.6,则这组数据的平均数是 ,极差是 .
7.数据 , , , 的方差 .
8.江苏省《居住区供配电设施建设标准》规定,住房面积在 120m2 及以下的居民住宅,用电的基
本配置容量(电表的最大功率)应为 8 千瓦.为了了解某区该类住户家用电器总功率情况,有
关部门从中随机调查了 50 户居民,所得数据(均取整数)如下:
家用电器总功率
(单位:千瓦) 2 3 4 5 6 7
户数 2 4 8 12 16 8
(1)这 50 户居民的家用电器总功率的众数是 千瓦,中位数是 千瓦;
(2)若该区这类居民约有 2 万户,请你估算这 2 万户居民家用电器总功率的平均值;
(3)若这 2 万户居民原来用电的基本配置容量都为 5 千瓦,现市供电部门拟对家用电器总功率
已超过 5 千瓦用户的电表首批增容,改造为 8 千瓦,请计算该区首批增容的用户约有多少户?
第 18 课时 数据的描述、分析(二)
【知识梳理】
1. 明确扇形图、条形图、折线统计图的区别与联系.
【思想方法】
1. 基本图形的识别.
【例题精讲】
例 1.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图,下列对两户教
育支出占全年总支出的百分比作出的判断中,正确的是( )
A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大
C.甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大
例 2.在“不闯红灯,珍惜生命”活动中,文明中学的关欣和李好两位同学某天
来到城区中心的十字路口,观察、统计上午 7:00~12:00 中闯红灯的人
次.制作了如下的两个数据统计图.
(1)求图(一)提供的五个数据(各时段闯红灯人次)的众数和平均数.
(2)估计一个月(按 30 天计算)上午 7:00~12:00 在该十字路口闯红灯
1 3− 4 2− 2S =
例 1 图
的未成年人约有________人次.
(3)请你根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议.
例 3.数学课上,年轻的刘老师在讲授“轴对称”时,设计了如下四种教学方法:
①教师讲,学生听;
②教师让学生自己做;
③教师引导学生画图,发现规律;
④教师让学生对折纸,观察发现规律,然后画图.
数学教研组长将上述教学方法作为调研内容发到全年级 8 个班 420 名同学手中,
要求每位同学选出自己最喜欢的一种,他随机抽取了 60 名学生的调查问卷,统计如图:
(1)请将条形统计图补充完整,并计算扇形统计图中方法③的圆心角.
(2)年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种?选择这种教学方法的约有多少人?
(3)假如抽取的 60 名学生集中在某两个班,这个调查结果还合理吗?为什么?
(4)请你对老师的教学方法提出一条合理化的建议.
【当堂检测】
1.国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于 1 小时”.为此,某市就“你每天在校体育活
动时间是多少”的问题随机调查了辖区内 300 名初中 生.根据调查结果绘制成的统计图(部
分)如图所示,其中分组情况是:
A 组: ; B 组:0.5h≤t<1h
C 组: D 组:
请根据上述信息解答下列问题:
(1)C 组的人数是 ;
(2)本次调查数据的中位数落在 组内;
(3)若该辖区约有 24 000 名初中学生,请你估计
其中达国家规定体育活动时间的人约有多少?
0.5ht <
1h 1.5ht <≤ 1.5ht ≥
例 2 图
第 1 题图
2.(2009 年吉林省)某校七年级有 13 名同学参加百米竞赛,预赛成绩各不相同,要取前 6 名参
加决赛,小梅已经知道了自己的成绩,她想知道自己能否进入决赛,还需要知道这 13 名同学成
绩的( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.极差
3.(2009 年鄂州)有一组数据如下:3、a、4、6、7,它们的平均数是 5,那么这组数据的方差是( )
A.10 B. C.2 D.
第 19 课时 概率问题及其简单应用(一)
【知识梳理】
1.了解频数、频率、必然事件和不可能事件、确定事件、随机事件、频率的稳定性等概念,
并能进行有效的解答或计算.
2.在具体情境中了解概率的意义;能够运用列举法(包括列表、画树状图)求简单事件发
生的概率.能够准确区分确定事件与不确定事件.
3. 必然事件发生的概率是 1,记作 P(A)=1 不可能事件发生的概率为 0,记作 P(A)=0 随
机事件发生的概率是 0 和 1 之间的一个数,即 0<P(A)<1
【思想方法】
概率主要是研究现实生活中和客观世界中的随机现象,它通过对事件发生可能性的刻画,来
帮助人们做出合理的决策.随着社会的不断发展 概率的思想方法也越来越重要.因此, 概率知
识是各地中考重点考查内容之一.
加强统计与概率的联系,这方面的题型以综合题为主,将逐渐成为新课标下中考的热点问
题.
【例题精讲】
例 1.(2008 年张家界)下列事件中是必然事件的是( )
A.明天我市天气晴朗 B.两个负数相乘,结果是正数
C.抛一枚硬币,正面朝下 D.在同一个圆中,任画两个圆周角,度数相等
例 2.在一次抽奖游戏中,主持人说,这次中奖的可能性有 10%,就是说 100 个人中有 10 个人
可以获奖.旁边的一个人就想,我在这儿等着,等前面的 90 个人抽完,看看他们抽到奖没有,如
果他们没有抽到奖,那我就可以抽到奖了.因为中奖的可能性是 10%.你说这个人的想法对吗?
例 3. (2008 年湘潭)某中学为促进课堂教学,提高教学质量,对七年级学生进行了一次“你最
喜欢的课堂教学方式”的问卷调查.根据收回的问卷,学校绘制了“频率分布表”和“频数分布条形
图”(如图 2).请你根据图表中提供的信息,解答下列问题.
频率分布表:
代号 教学方式 最喜欢的频数 频率
1 老师讲,学生听 20 0.10
2 老师提出问题,学生探索思考 100
3 学生自行阅读教材,独立思考 30 0.15
4 分组讨论,解决问题 0.25
(1)补全“频率分布表”;
(2)在“频数分布条形图”中,将代号为“4”的部分补充完整;
(3)你最喜欢以上哪一种教学方式或另外的教学方式,请提出你的建议,并简要说明理由.(字
数在 20 字以内)
10 2
【当堂检测】
1.下列事件你认为是必然事件的是( )
A.中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮; B.明天是晴天
C.打开电视机,正在播广告; D.太阳总是从东方升起
2.将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放,将
有图形的一面朝下,从中任意翻开一张卡片,图形一定是中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
3.在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球,这 a 个球中红球只有 3 个.每次将球搅
拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球实验后发现,摸到红球的频
率稳定在 25%,那么可以推算出 a 大约是( )
A.12 B.9 C.4 D.3
4.在中考体育达标跳绳项目测试中,1min 跳 160 次为达标,小敏记录了他预测时,1min 跳的
次数分别为 145,155,140,162,164,则他在该次预测中达标的概率是_________.
5.有一道四选一的选择题,某同学完全靠猜测获得结果,则这个同学答对的概率是________.
6.在一所 4000 人的学校随机调查了 100 人,其中有 76 人上学之前吃早饭,在这所学校里随便
问一个人,上学之前吃过早餐的概率是________.
7. 书架上有数学书 3 本,英语书 2 本,语文书 5 本,从中任意抽取一本是数学书的概率是( )
A. B. C. D.
8.小华与小丽设计了 两种游戏:
游戏 的规则:用 3 张数字分别是 2,3,4 的扑克牌,将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上,
第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回,洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字.若抽
出的两张牌上的数字之和为偶数,则小华获胜;若两数字之和为奇数,则小丽获胜.
游戏 的规则:用 4 张数字分别是 5,6,8,8 的扑克牌,将牌洗匀后背面朝上放置在桌面
上,小华先随机抽出一张牌,抽出的牌不放回,小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌.若小华抽
出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大,则小华获胜;否则小丽获胜.
请你帮小丽选择其中一种游戏,使她获胜的可能性较大,并说明理由.
第 20 课时 概率问题及其简单应用(二)
【知识梳理】
1.频数、频率、概率:对一个随机事件做大量实验时会发现,随机事件发生的次数(也称为频
数)与试验次数的比(也就是频率)总是在一个固定数值附近摆动,这个固定数值就叫随机
事件发生的概率,概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小.
2.概率的性质:P(必然事件)= 1,P(不可能事件)= 0,
0
cosθ>sinθ B.sinθ>cosθ>tanθ
C.tanθ>sinθ>cosθ D.sinθ>tanθ> cosθ
例题 3.(1)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,∠CAB=60°,CD= ,BD=2
,求 AC,AB 的长.
例题 4.“曙光中学”有一块三角形状的花园 ABC,有人已经测出∠A=30°,AC=40 米,BC=25 米,
你能求出这块花园的面积吗?
例题 5.某片绿地形状如图所示,其中 AB⊥BC,CD⊥AD,∠A=60°,AB=200m,CD=100m,求
AD、BC 的长.
【当堂检测】
1.若∠A 是锐角,且 cosA=sinA,则∠A 的度数是( )
A.300 B.450 C.600 D.不能确定
2.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=450,∠C=1200,AB=8,则 CD
的长为( )
A. B. C. D.
3.在 Rt△ABC 中,∠C=900,AB=2AC,在 BC 上取一点 D,使 AC=CD,则 CD:BD=( )
A. B. C. D.不能确定
4.在 Rt△ABC 中,∠C=900,∠A=300,b= ,则 a= ,c= ;
5.已知在直角梯形 ABCD 中,上底 CD=4,下底 AB=10,非直角腰 BC= ,
则底角∠B= ;
6.若∠A 是锐角,且 cosA= ,则 cos(900-A)= ;
7.在 Rt△ABC 中,∠C=900,AC=1,sinA= ,求 tanA,BC.
2
3
3
3
63
8 64 3
28 24
2
13 +
13 −
2
3
310
34
5
3
2
3
B
A D
C
第 2 题图
8.在△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,AB= ,AC=BC= ,求 AD 的长.
9. 去年某省将地处 A、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学,为了方便两地师生交往,学校
准备在相距 2km 的 A、B 两地之间修一条笔直的公路,经测量在 A 地北偏东 600 方向,B 地北偏
西 450 方向的 C 处有一个半径为 0.7km 的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什
么?
第 28 课时 锐角三角函数的简单应用
【知识梳理】
1. 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 i(或坡比),即坡度等
于坡角的正切值.
2. 仰角:仰视时,视线与水平线的夹角.
俯角:俯视时,视线与水平线的夹角.
【思想方法】
1. 常用解题方法——设 k 法
2. 常用基本图形——双直角
【例题精讲】
例题 1.如图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为 ,关于 的三角函数值与梯子的倾斜程
度之间,叙述正确的是( )
A. 的值越大,梯子越陡 B. 的值越大,梯子越陡
C. 的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与 的函数值无关
例题 1 图
例题 2.如图,一束光线照在坡度为 的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线,
22 52
A A∠
sin A cos A
tan A A∠
1 3:
A
B CD
C
A B
第 8 题图
第 9 题图
则这束与坡面的夹角 是 度.
例题 2 图 例题 3 图
例题 3.如图,张聪同学在学校某建筑物的 C 点处测得旗杆顶部 A 点的仰角为 30°,旗杆底部 B
点的俯角为 45°.若旗杆底部 B 点到该建筑的水平距离 BE=6 米,旗杆台阶高 1 米,求旗杆顶
部 A 离地面的高度(结果保留根号)
【当堂检测】
1.一个钢球沿坡角 的斜坡向上滚动了 米,则钢球距地面的高度是(单位:米)( )
A. B.
C. D .
第 1 题图
2.某渔船上的渔民在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60o 方向处,这艘渔船以每小时 28 海里的速度
向正东方向航行,半小时后到达 B 处,在 B 处观测到灯塔 M 在北偏东 30o 方向处.问 B 处与灯
塔 M 的距离是多少海里?
第 2 题图
3.如图所示,小明家住在 32 米高的 楼里,小丽家住在 楼里, 楼坐落在 楼的正北面,已
知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 .
(1)如果 两楼相距 米,那么 楼落在 楼上的影子有多长?
(2)如果 楼的影子刚好不落在 楼上,那么两楼的距离应是多少米?
(结果保留根号)
α
1 3:i =
A
╭
α
╭
C
E B
A
31 5
5cos31 5sin31
5cot31 5tan31
A B B A
30
A B, 20 3 A B
A B
A B
M
东
北
60
30
第 3 题图
第 29 课时 多边形及其内角和、梯形
【知识梳理】
1. 多边形内角和,外角和,对角线
2. 正多边形的内切圆和外接圆
3.利用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌设计
【思想方法】
解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、探究等活动过程,注重知识的理解和运用.
【例题精讲】
例题 1.一个多边形,它的每个内角都等于相邻外角的 5 倍,则这个多边形是( )
A. 正五边形 B. 正十边形 C.正十二边形 D.不存在.
例题 2.只用一种正多边形进行镶嵌,在下列的正多边形中,不能镶嵌成一个平面的是( ).
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
例题 3.(1)n 边形的内角和等于 ,多边形的外角和都等于 .
(2)一个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边形是 边形.
(3)一个多边形的每个外角都是 300, 则这个多边形是 边形.
(4)一个十边形所有内角都相等,它的每一个外角等于 度.
(5)一个五边形五个外角的比是 2:3:4:5:6,则这个五边形五个外角的度数分别
是 .
(6)多边形边数增加一条,则它的内角和增加 度,外角和
例题 4.半径为 2 的圆的内接正六边形边长为_______,外切正三角形的边长为__________.
例题 5.如图,四边形 中, , , ,
,则该四边形的面积是 .
例题 6.一个多边形的外角和是内角和的 ,它是几边形?
例题 7.一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角,这种多边形是几边形?
例题 8.五角星图案中间部分的五边形 ABCDE 是一个正五边形,则图中∠ABC 的度数是多少?
【当堂检测】
ABDC 120ABD∠ = ° AB AC⊥ BD CD⊥
4 5 3AB CD= =,
1
5
A
楼
B
楼C
E
G F H
D30°
A
B
C
D
E
A
B
DC
1.填空:
(1)n 边形的内角和为 720°,则 n=______.
(2)五边形的内角和与外角和的比值是______.
(3)过六边形的每一个顶点都有______条对角线.
(4)过七边形的一个顶点的所有对角线把七边形分成______个三角形.
(5)将正六边形绕其对称中心 O 旋转后,恰好能与原来的正六边形重合,那么旋转的角度至少
是 度.
2.一个多边形的内角和是外角和的 2 倍,则这个多边形的边数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.只用下列正多边形地砖中的一种,能够铺满地面的是( )
A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形
4.一个五边形有三个内角是直角,另两个内角都等于 n,则 n 的值是
A.30° B.120° C.135° D.108°
5.n 边形与 m 边形内角和度数差为 720°,则 n 与 m 的差为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.下列角度中,不是多边形内角和的只有( )
A.540° B.720° C.960° D.1080°
7.一个多边形的每一个顶点处取一个外角,这些外角中最多有钝角( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
8.一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为 1700°,求多边形的边数.
9.一个零件的形状如图中阴影部分.按规定∠A 应等于 90º,∠B、∠C 应
分别是 29º 和 21º,检验人员度量得∠BDC=141º,就断定这个零件不合格.
你能说明理由吗?
10.一个多边形,它的外角最多有几个是钝角?说说你的理由.
11.在四边形 ABCD 中,∠D=60°,∠B 比∠A 大 20°,∠C 是∠A 的 2 倍,
求∠A,∠B,∠C 的大小.
12. 一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗?画出所有可能的图形,并分别说出内角和和外
角和变化情况.
第 30 课时 平行四边形
【知识梳理】
1、掌握平行四边形的概念和性质
2、四边形的不稳定性.
3、掌握平行四边形有关性质和四边形是平行四边形的条件.
4、能用平行四边形的相关性质和判定进行简单的逻辑推理证明.
【例题精讲】
例题 1.(2009 年 常 德 市 )下列命题中错误的是( )
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形
E
BA F
CD
D.一组对边平行的四边形是梯形
例题 2. (2008 年 泰州市)在平面上,四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O,且满足
AB=CD.有下列四个条件:(1)OB=OC;(2)AD∥BC;(3) ;(4)
∠OAD=∠OBC.若只增加其中的一个条件,就一定能使∠BAC=∠CDB 成立,这样的条件可以是( )
A.(2)、(4) B.(2) C.(3)、(4) D.(4)
例题 3.(2009 年 威海)如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点,连结 DE 并延长,交 AB
的延长线于 F 点, .添加一个条件,使四边形 ABCD 是平行四边形.你认为下面四个
条件中可选择的是( )
A. B. C. D.
例题 4.如图,在 ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线
于点 F,BG⊥AE,垂足为 G,BG= ,则 ΔCEF 的周长为( )
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
例 题 5 .( 2009 年 新 疆 ) 如 图 , 是 四 边 形 的 对 角 线 上 两 点 ,
.
求证:(1) .
(2)四边形 是平行四边形.
【当堂检测】
1.(2008 年 永州市).下列命题是假命题的是( )
A.两点之间,线段最短; B.过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.
C.一组对应边相等的两个等边三角形全等; D.对角线相等的四边形是矩形.
2.如图,一个四边形花坛 ,被两条线段 分成四个部分,分别种上红、黄、紫、
白四种花卉,种植面积依次是 ,若 , ,则有
( )
A. B. C. D.都不对
3.(2009 襄樊)如图,在平行四边形 中, 于 E 且 是一元
二次方程 的根,则平行四边形 的周长为( )
A. B. C. D.
4.(2009 年南宁市)如图(1),在边长为 5 的正方形 中,点 、 分别是 、 边
AE BC⊥ AE EB EC a= = = , a
2 2 3 0x x+ − =
4 2 2+ 12 6 2+ 2 2 2+ 2 2 12 6 2+ +或
BO
DO
CO
AO =
AB BF=
AD BC= CD BF= A C∠ = ∠ F CDE∠ = ∠
24
E F, ABCD AC
AF CE DF BE DF BE= =, , ∥
AFD CEB△ ≌△
ABCD
ABCD MN EF,
1 2 3 4S S S S, , , MN AB DC∥ ∥ EF DA CB∥ ∥
1 4S S= 1 4 2 3S S S S+ = + 1 4 2 3S S S S=
ABCD
ABCD
ABCD E F BC DC
红 紫
白黄
D
M
A
F
E C
N
B
A B
D
E
F
C
A D
CE
C
B
图 5
第 3 题图 第 4 题图
第 2 题图 第 3 题图
上的点,且 , .
(1)求 ∶ 的值;
(2)延长 交正方形外角平分线 ,如图 2 试判断 的大小关系,并说明理
由;
(3)在图(2)的 边上是否存在一点 ,使得四边形 是平行四边形?若存在,请给
予证明;若不存在,请说明理由.
第 31 课时 矩形、菱形、正方形(一)
【知识梳理】
1.矩形的性质:(1)矩形的四个角都是直角;(2)矩形的对角线相等.
2. 矩形的判定:(1)有一个角是 90°的平行四边形;(2)三个角是直角的四边形;(3)对角
线相等的平行四边形.
3. 菱形的性质:(1)四边相等;(2)对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
4.菱形的判定:(1)一组邻边相等的平行四边形;(2)四边相等的四边形;(3)对角线互相垂
直的平行四边形.
5.正方形的性质:正方形具有矩形和菱形的性质.
6.正方形的判定:(1)一组邻边相等的矩形;(2)有一个角是直角的菱形.
【例题精讲】
例题 1. 将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠,使点 C 与 A 重合,点 D 落到 D′ 处,折痕为
EF.(1)求证:△ABE≌△AD′F;
(2)连接 CF,判断四边形 AECF 是什么特殊四边形?证明你的结论.
例题 2.如图,正方形 ABCD 和正方形 A′OB′C′是全等图形,则当正方形 A′OB′C′绕正方形 ABCD
的中心 O 顺时针旋转的过程中.
(1)证明:CF=BE;
(2)若正方形 ABCD 的面积是 4,求四边形 OECF 的面积.
AE EF⊥ 2BE =
EC CF
EF CP P于点 AE EP与
AB M DMEP
A
B C
D
E
F
D'
′
A D
CB E B CE
DA
F P
F
图(1) 图(2)
例题 3.如图,将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠,使点 B 落到点 B′的位置,AB′与 CD 交于点
E.
(1)试找出一个与△AED 全等的三角形,并证明.
(2)若 AB=8,DE=3,P 为线段 AC 上的任意一点,PG⊥AE 于 G,PH⊥EC 于 H,试求 PG+PH
的值,并说明理由.
例题 4. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=12,AC=20,两条对角线相交于点 O.以 OB、OC 为邻边作
第 1 个平行四边形 OBB1C,对角线相交于点 A1,再以 A1B1、A1C 为邻边作第 2 个平行四边形
A1B1C1C,对角线相交于点 O1;再以 O1B1、O1C1 为邻边作第 3 个平行四边形 O1B1B2C1……依次
类推.
(1)求矩形 ABCD 的面积;
(2)求第 1 个平行四边形 OBB1C、第 2 个平行四边形 A1B1C1C
和第 6 个平行四边形的面积.
【当堂检测】
1. 如果菱形的边长是 a,一个内角是 60°,那么菱形较短的对角线长等于( ) A. a
B. a C.a D. a
2.在菱形 ABCD 中,AB = 5,∠BCD =120°,则对角线 AC 等于( )
A.20 B.15 C.10 D.5
3. 如图,菱形 ABCD 的周长为 20cm,DE⊥AB,垂足为 E,
, 则 下 列 结 论 ①DE=3cm ;②EB=1cm ; ③
中正确的个数为( )A.3 个 B.2 个
C.1 个 D.0 个
4. 如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使 AD 边与对角线
BD 重合,折痕为 DG,则 AG 的长为( )
A.1 B. C. D.2
6. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A=110°,E,F 分别是边 AB 和 BC 的中点,
EP⊥CD 于点 P,求∠FPC 的度数.
1
2
3
2 3
5
4Acos =
2
ABCD 15S cm=菱形
3
4
2
3 A′
G
D
B
C
A
A
B
C
D
E
A
D
E P
C
B F
第 3 题图
第 4 题图
第 5 题图
第 32 课时 矩形、菱形、正方形(二)
【例题精讲】
例题 1.如图所示,在 中, 将 绕点 顺时针方向旋转 得
到 点 在 上,再将 沿着 所在直线翻转 得到 连接
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)连接 并延长交 于 连接 请问:四边形 是什么特殊平行四边形?为什
么?
例题 2.如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把△ACD 沿 CA 方向平移得到 .
(1)证明 ;
(2)若 ,试问当点 在线段 AC 上的什么位置时,四边形 是菱形,并请说
明理由.
例题 3. 如图:平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,BD=12cm,AC=6cm,点 E 在
线段 BO 上从点 B 以 1cm/s 的速度运动,点 F 在线段 OD 上从点 O 以 2cm/s
的速度运动.
(1)若点 E、F 同时运动,设运动时间为 t 秒,当 t 为何值时,四边形 AECF 是平行四边形;
(2)在(1)的条件下,①当 AB 为何值时,四边形 AECF 是菱形;
②四边形 AECF 可以是矩形吗?为什么?
例题 4. 已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F,连接 DF,
G 为 DF 中点,连接 EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的
Rt ABC△ 90ABC = °∠ . Rt ABC△ C 60°
DEC△ , E AC Rt ABC△ AB 180° ABF△ . AD.
AFCD
BE AD G, CG, ABCG
A D
F C
E
G
B
A C D′ ′ ′△
A AD CC B′ ′ ′△ ≌△
30ACB∠ = ° C′ ABC D′ ′
C
B
A
D
A′
C′
D′
D
F
B
A D
C
E
G
第 24 题图②
F
B
A
C
E
第 24 题图③
FB
A D
C
E
G
第 24 题图①
结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
【当堂检测】
1.已知菱形的周长为 20,两对角线之和为 14,则菱形的面积为 .
2. 如图所示,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D,C 分别落在 D′,C′的位置.若∠EFB=65°,
则∠AED′等于 ( )
A.70° B. 65° C. 50° D. 25°
3.菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示,
,则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
4.将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠,AE、EF 为折痕,∠BAE=
30°,AB= ,折叠后,点 C 落在 AD 边上的 C1 处,并且点 B 落在 EC1
边上的 B1 处.则 BC 的长为( )
A. B.2 C.3 D.
5.已知四边形 ABCD,AD//BC,连接 BD.
(1)小明说:“若添加条件 BD2=BC2+CD2,则四边形 ABCD 是矩形”.你认为小明的说法是否正确,
若正确请说明理由,若不正确,请举出一个反例.
(2)若 BD 平分∠ABC,∠DBC=∠BDC,tan∠DBC=1,求证:四边形 ABCD 是正
方形.
第 33 课时 四边形综合
【例题精讲】
例题 1.如图,在矩形 ABCD 中,AE 平分∠DAB 交 DC 于点 E,连接 BE,过 E 作 EF⊥BE 交 AD
于 F.
(1)求证:∠DEF=∠CBE;
(2)请找出图中与 EB 相等的线段(不另添加辅助线和字母),并说明理由.
OABC
45 2AOC OC∠ = =°, B
( 21), (1 2), ( 2 11)+ , (1 2 1)+,
3
3 32
E
D
B
C′ F C
D′
A
x
y
O
C B
A
D
CB
A
第 2 题图
第 3 题图
第 4 题图
第 5 题图
A B
CD E
F
例题 2.如图,矩形 ABCD 中,AB=3cm,AD=6cm,点 E 为 AB 边上的任意一点,四边形 EFGB
也是矩形,且 EF=2BE,则 S△AFC .
例题 3.如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端 F 在 AB 边上时,如图(1).求△EFG 的面积.
(2)当折痕的另一端 F 在 AD 边上时,如图(2).证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折痕 GF 的长.
例题 4.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,BD=2,
E、F 分别是边 AD,CD 上的两个动点,且满足 AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF 的形状,并说明理由;
(3)设△BEF 的面积为 S,求 S 的取值范围.
例题 5.在边长为 6 的菱形 ABCD 中,动点 M 从点 A 出发,沿 A→B→C 向终点 C 运动,连接 DM
交 AC 于点 N.
(1)如图(1),当点 M 在 AB 边上时,连接 BN.
①求证: ;
②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN = ,求点 M 到 AD 的距离及 tan 的值;
(2)如图(2),若∠ABC = 90°,记点 M 运动所经过的路程为 x(6≤x≤12).
试问:x 为何值时,△ADN 为等腰三角形.
【当堂检测】
1.正方形 ABCD 中,E、F 是对角线 AC 上两点,连接 BE、BF、DE、DF,则添加下列哪一个条
件可以判定四边形 BEDF 是菱形( )
A、∠1=∠2 B、BE=DF C、∠EDF=60° D、AB=AF
2. 如图,直线 上有三个正方形 ,若 的面
2cm
ABN ADN△ ≌△
α α
l a b c, , a c,
HA
B C
DE
F
G
A
B C
DE
F
G
图(1)
图(2)
A
B C
DEF
G
H (A)
(B)
A D
C
EF
G B
C B
M
A
N
D
图 1
C M B
N
AD
图 2
a
b
c
l
CB
A
积分别为 5 和 11,则 的面积为( )
A.4 B.6 C.16 D.55
3. 如图,矩形 ABCD 的周长是 20cm,以 AB、CD 为边向外作正方形
ABEF 和正方形 ADGH ,若正方形 ABEF 和 ADGH 的面积之和
68cm2,那么矩形 ABCD 的面积是( )
A.21cm2 B.16cm2
C.24cm2 D.9cm2
4.如图,已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,且 BP = BC,则∠ACP 度数
是 .
5.如图,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、BC 的中点,点 G、H
在 DC 边上,且 GH= DC.若 AB=10,BC=12,则图中阴影部分面积是
多少?
第 34 课时 相似形
【知识梳理】
1、比例的基本性质,线段的比、成比例线段,黄金分割.
2、认识图形的相似,相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积比等于对应边比的平方.
3、相似三角形的概念、性质
4、两个三角形相似的条件.
【思想方法】
1. 常用解题方法——设 k 法
2. 常用基本图形——A 形、X 形……
【例题精讲】
例题 1.△ABC 的三条边的长分别为 3、4、5,与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为 15.求△ A′B′C′
最短边的长.
变化:△ABC 的三条边的长分别为 3、4、5,与△ABC 相似的△A′B′C′的一边长为 15.求△ A′B′C′
的周长.
例题 2.如图,小正方形的边长均为 l,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC
相似的是( )
例题 3.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AD 边上的一点,EC∥AB,EB ∥DC.
b
2
1
G
D
E
A
C
F
GH
B C
DA
P
第 2 题图
第 3 题图
第 4 题图
第 5 题图
A
B
C D
E
(1)△ABE 与△ECD 相似吗?为什么?
(2)若△ABE 的面积为 3,△CDE 的面积为 1,求△BCE 的面积.
例题 4 .在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,现将它折叠,使 B 点与 C 点重合,如图,则折痕 DE
的长是多少?
【当堂检测】
1.若 ,则 .
2.已知三个数 1,2, ,请你再添上一个数,使它们能构成一个比例式,则这个数是________.
3.已知数 3、6,请再写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项,则这个数
是 .
4. 如图,D 是△ABC 的边 AB 上的点,请你添加
一个条件,使△ACD 与△ABC 相似.你添加
的条件是_____ .
5.在比例尺为 1:8000 的南京市城区地图上,太平南路的长度约为 25 cm,它的实际长度约为( )
A.320cm B.320m C.2000cm D.2000m
6.下列命题中,正确的是( )
A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的直角三角形都相似
C.所有的等边三角形都相似 D.所有的矩形都相似
7. 如图,在□ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,连结 DE,交 AC 于点 G,交 BC 于点 F,那么
图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( )
A. 6 对 B. 5 对 C. 4 对 D. 3 对
8. 如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点 P 应在( )
A.P1 处 B.P2 处 C.P3 处 D.P4 处
9.在△ABC 中,AB=12,AC=10,BC=9,AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠,
使点 A 与点 D 重合,折痕为 EF,则△DEF 的周长为( )
A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5
3
12 =−
n
nm =
n
m
3
B C
A
D
第 4 题
G
F
A D
B C
E 第 7
题
P4
P3
P2
P1C
A B
D
第 8 题 第 9 题
第 35 课时 相似形的应用
【知识梳理】
1. 相似三角形的性质:对应边(高)的比、周长比等于相似比;面积比
等于相似比的平方.
【思想方法】
1. 常用解题方法——设 k 法
2. 常用基本图形——A 形、X 形……
【例题精讲】
例题 1.如图,王华晚上由路灯 A 下 B 处走到 C 处时,测得
影子 CD长为 1 米,继续往前走 2 米到达 E 处,测得影子
EF 长为 2 米,王华身高是 1.5 米,则路灯 A 高度等于( )
A.4.5 米 B.6 米 C.7.2 米 D.8 米
例题 2.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边 BC=120mm,高 AD=80mm,要把它加工成
正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB、AC 上,这个正方形零件的
边长是多少?
例题 3.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:3.5cm×3.5cm,放映的荧屏的规格为
2m×2m,若放映机的光源距胶片 20cm 时,问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图象刚好布
满整个荧屏?
例题 4. 如图,已知:AD=AE,DF=EF;求证:△ADC≌△AEB
A
B
D E
F
C
例题 5. 如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,E 为 DC 中点,直线 BE 交 AC 于 F,交 AD 的延长线于
G;请说明:EF·BG=BF·EG
【当堂检测】
1.如图 1,铁道口栏杆的短臂长为 1.2m,长臂长为 8m,当短臂端点下降 0.6m 时,长臂端点升
高________m(杆的粗细忽略不计).
2.如图 2 所示,在△ABC 中,DE∥BC,若 ,DE=2,则 BC 的长为________.
3.如图 3 所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,D 为 BC 上一点,过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于 E,
若 ED=1,BD=2,则 DC 的长为________.
4.如图 4,有两个形状相同的星星图案,则 x 的值为( )
A.15 B.12 C.10 D.8
5.如图 5,△ABC 中,DE∥BC,DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E,若 AD=4,DB=2,则
DE:BC 的值为( )
A. B. C. D.
6.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚 B 距墙脚 60cm,梯上点 D 距离墙角 50cm,BD 长
55cm,求出梯子的长.
第 36 课时 圆的基本性质
【知识梳理】
1.圆的有关概念:(1)圆:(2)圆心角: (3)圆周角: (4)弧: (5)弦:
1
3
AD
AB
=
2
3
1
2
3
4
3
5
A B
CD E
F
G
A
E
CB
D ┌
┌第 4 题 第 5 题
第 1
题
第 2
题
第 3
题
第 6 题图
2.圆的有关性质:
(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形,对称中心为
圆心.(2)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
(3)弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组
量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;900 的圆
周角所对的弦是直径.
3.三角形的内心和外心:
(1)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.
(2)三角形的外心: (3)三角形的内心:
4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数.圆周角的度数等于它所对弧的度数一半.
同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
【例题精讲】
例题 1.如图,公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为 24 米,拱的半径为 13 米,则拱高
为 ( ) A.5 米 B.8 米 C.7 米 D.5 米
例题 2.如图⊙O 的半径为 5,弦 AB=8,M 是弦 AB 上的动点,则 OM 不可能为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
例题 1 图 例题 2 图 例题 3 图 例题 4 图
例题 3.如图⊙O 弦 AB=6,M 是 AB 上任意一点,且 OM 最小值为 4,则⊙O 半径为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
例题 4.如图,⊙O 的半径为 1,AB 是⊙O 的一条弦,且 AB= ,则弦 AB 所对圆周角的度数为
( )A.30°B.60°C.30°或 150°D.60°或 120°
例题 5. AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,∠CDB=30°,⊙O 的半径为 ,则弦 CD 的
长为( )A. B. C. D.
例 题 6. 如 图 , 是 以 线 段 为 直 径 的 的 切 线 , 交 于 点 , 过 点 作 弦
垂足为点 ,连接 .(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论:①___
___,②___ _____ ,③_____ _,④________(不添加其它字母和辅助线)(2) =
, = ,求 的半径
例题 6 图
【当堂检测】
1.如图,⊙P 内含于⊙O,⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C,且 AB∥OP.若阴影部分的面积为 ,则
弦 AB 的长为( ) A.3 B.4 C.6 D.9
2.如图,△ABC 内接于⊙O,若∠OAB=28°,则∠C 的大小为( )
A.28° B.56° C.60° D.62°
π9
3
3
cm3
3 cm2 3cm 2 3cm 9cm
BC AB O⊙ AC O⊙ D D
DE AB⊥ , F BD BE、 .
A∠
30° CD 2 3
3 O⊙ r.
第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图
3.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,∠CDB=30°, ⊙O 的半径为 ,则弦 CD 的长
为( ) A. B. C. D.
4.⊙O 的半径为 10cm,弦 AB=12cm,则圆心到 AB 的距离为( )
A. 2cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
5.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,连结 OC,若 OC=5,CD=8,
则 tan∠COE=( ) A. B. C. D.
6.如图,弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB,垂足为 H,且 CD= ,BD= ,则 AB 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如
果它们外缘边上的公共点 在小量角器上对应的度数为 ,那么在大量角器上对应的度数为
__________ (只需写出 ~ 的角度).
第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图
8.如图,⊙O 的半径为 5,P 为圆内一点,P 点到圆心 O 的距离为 4,则过 P 点的弦长的最小值是
_______.
9.如图,AB 是⊙0 的直径,弦 CD∥AB.若∠ABD=65°,则∠ADC=______.
10.如图,半圆的直径 ,点 C 在半圆上, .
(1)求弦 的长;(2)若 P 为 AB 的中点, 交 于点 E,求 长.
第 37 课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识梳理】
1. 直线与圆的位置关系:
2. 切线的定义和性质:
3.三角形与圆的特殊位置关系:
4. 圆与圆的位置关系:(两圆圆心距为 d,半径分别为 )
相交 ; 外切 ;
内切 ; 外离 ; 内含
cm3
3 cm2 3cm 2 3cm 9cm
3
5
4
5
3
4
4
3
2 2 3
P 65°
° 0° 90°
10AB = 6BC =
AC PE AB⊥ AC PE
21,rr
⇔ 2121 rrdrr +<<− ⇔ 21 rrd +=
⇔ 21 rrd −= ⇔ 21 rrd +> ⇔ 210 rrd −<<
P B
C
E
A
第 10 题图
【注意点】
与圆的切线长有关的计算.
【例题精讲】
例 1.⊙O 的半径是 6,点 O 到直线 a 的距离为 5,则直线 a 与⊙O 的
位置关系为( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.内含
例 2. 如图 1,⊙O 内切于 ,切点分别为 . , ,连结
,
则 等于( )
A. B. C. D.
例 3. 如图,已知直线 L 和直线 L 外两定点 A、B,且 A、B 到直线 L 的距离相等,则经过 A、B
两点且圆心在 L 上的圆有( )
A.0 个 B.1 个 C.无数个 D.0 个或 1 个或无数个
例 4.已知⊙O1 半径为 3cm,⊙O2 半径为 4cm,并且⊙O1 与⊙O2 相切,则这两个圆的圆心距为
( ) A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或 7cm
例 5.两圆内切,圆心距为 3,一个圆的半径为 5,另一个圆的半径为
例 6.两圆半径 R=5,r=3,则当两圆的圆心距 d 满足___ ___时,两圆相交;
当 d满足___ ___时,两圆不外离.
例 7.⊙O 半径为 6.5cm,点 P 为直线 L 上一点,且 OP=6.5cm,则直线与⊙O的位置关系是____
例 8.如图,PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B,⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F,
切点 C 在弧 AB 上,若 PA 长为 2,则△PEF 的周长是 _.
例 9. 如图,⊙M 与 轴相交于点 , ,与 轴切于点 ,则圆心 的坐标是
例 10. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙A,AC 为⊙O 的直径,弦 DB⊥AC,垂足为 M,过点 D 作⊙O
的切线交 BA 的延长线于点 E,若 AC=10,tan∠DAE= ,求 DB 的长.
【当堂检测】
1.如果两圆半径分别为 3 和 4,圆心距为 7,那么两圆位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.内切 D.相交
2.⊙A 和⊙B 相切,半径分别为 8cm 和 2cm,则圆心距 AB 为( )
A.10cm B.6cm C.10cm 或 6cm D.以上答案均不对
ABC△ D E F, , 50B∠ = ° 60C∠ = °
OE OF DE DF, , ,
EDF∠
40° 55° 65° 70°
x (2 0)A , (8 0)B , y C M
4
3
D
O
A
F
CB
E
x
y
M
BAO
Cl
B
A
例题 3 图
例题 2 图
例题 8 图 例题 9 图
•
A
B
P C
E
F
•O
例 题 10
图
第 5 题图 第 6 题图
40%
5=R
(图 1) (图 2)
60%
3.如图,在 10×6 的网格图中(每个小正方形的边长均为 1 个单位长).⊙A 半径为 2,⊙B 半径为
1,需使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示的位置向左平移
个单位长.
4、⊙O 的半径为 6,⊙O 的一条弦 AB 长 6 ,以 3 为半径⊙O 的同心圆与直线 AB 的位置关系
是( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定
5、如图,在 中, , 与 相切于点 ,且交
于 两点,则图中阴影部分的面积是 (保留 ).
6、如图,B 是线段 AC 上的一点,且 AB:AC=2:5,分别以 AB、AC 为直径画圆,则小圆的面
积与大圆的面积之比为_______.
第 38 课时 圆的有关计算
【知识梳理】
1. 圆周长公式:
2. n°的圆心角所对的弧长公式:
3. 圆心角为n°的扇形面积公式: 、 .
4. 圆锥的侧面展开图是 ;底面半径为 ,母线长为 的圆锥的侧面积公式为:
;圆锥的表面积的计算方法是:
5.圆柱的侧面展开图是: ;底面半径为 ,高为 的圆柱的侧面积公式是: ;
圆柱的表面积的计算方法是:
【注意点】
【例题精讲】
【例 1】如图,正方形网格中,△ABC 为格点三角形(顶点都是格点),将 绕点 按逆时
针方向旋转 90°,得到△AB1C1. (1)在正方形网格中,作出△AB1C1;
(2)设网格小正方形的边长为 1,求旋转过程中动点 所经过的路径长.
【例2】如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB于点E,交⊙O于点D,OF⊥AC于点F.
(1)请写出三条与BC有关的正确结论;
(2)当∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.
【例 3】如图,小明从半径为 5 的圆形纸片中剪下 40%圆
周的 一个扇形,然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具
纸帽(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为( )
A.3 B.4 C. D.
【例 4】(庆阳)如图,线段 AB 与⊙O 相切于点 C,连结 OA、OB,OB 交⊙O
3
ABC△ 120 2 3AB AC A BC= ∠ = =, °, A⊙ BC D
AB AC、 M N、 π
r l
r h
ABC△ A
B
cm
cm cm 21 cm 62 cm
C
BA O
F
D
E
第 3 题图
C
BA C′
A′
于点 D,已知 OA=OB=6㎝,AB= ㎝.
求:(1)⊙O 的半径;(2)图中阴影部分的面积.
【当堂检测】
1.圆锥的底面半径为 3cm,母线为 9 ,则圆锥的侧面积为( )
A.6 B.9 C.12 D.27
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥,则该
圆锥的侧面积是( )
A.25π B.65π C.90π D.130π
3.圆锥的侧面展开图形是半径为8cm,圆心角为120°的扇形,则此圆锥的底面半径为( )
A. cm B. cm C.3cm D. cm
4.圆锥侧面积为 8πcm2,侧面展开图圆心角为 450,则圆锥母线长为( ) A.64cm B.8cm
C. ㎝ D. ㎝
5.一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为 ,则这个圆锥底面圆的半径为( )
A. B. C. D.
6.如图,有一圆心角为120 o、半径长为6cm的扇形,若将OA、OB重合后围成一
圆锥侧面,那么圆锥的高是( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
7.已知圆锥的底面半径是2㎝,母线长是4㎝,则圆锥的侧面积是 ㎝2.
8.如图,两个同心圆的半径分别为 2 和 1,∠AOB=120°,则阴影部分的面积为
9.如图,Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,∠C=90°,分别以 AB、BC、AC 为直径作三个半圆,那么
阴影部分的面积为 (平方单位)
10.王小刚制作了一个高12cm,底面直径为10cm的圆锥,则这个圆锥的侧面积
是 cm2.
11.如图,梯形 中, , , , ,以 为圆心在
梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分)的面积是 .
13.如图, 是由 绕 点顺时针旋转而得,且点 在同一条
直线上,在 中,若 , , ,则斜边 旋转到 所扫过的
扇形面积为 .
14.翔宇中学的铅球场如图所示,已知扇形 AOB 的面积是 36 米 2,弧 AB 的长
为 9 米,那么半径 OA=______米.
36
cm
π 2cm π 2cm π 2cm π 2cm
3
8
3
16
3
4
22 4
2
12π
6 12 24 2 3
24 35 62 32
ABCD AD BC∥ 90C∠ = 4AB AD= = 6BC = A
Rt A BC′ ′△ Rt ABC△ B A B C′, ,
Rt ABC△ 90C = ∠ 2BC = 4AB = AB A B′
A
O
B
120o
第 6 题图 第 8 题图 第 9 题图
O
A C B
D
第 13 题图 第 14 题图
A
BC
D
第 11 题图
O
P
M
y
A x
N
15.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,半径OD⊥BC,垂足为E,若BC= ,DE=3.
求:(1) ⊙O的半径; (2)弦AC的长;(3)阴影部分的面积.
第 39 课时 圆的综合
【例题精讲】
1.如图,已知圆心角 ,则圆周角 的度数是( )
A. B. C. D.
2.如图 2 所示,圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC.则四边形 OACB( )
A.是正方形 B. 是长方形 C. 是菱形 D.以上答案都不对
3.圆锥的底面半径为 3cm,母线为 9 ,则圆锥的侧面积为( )
A.6 B.9 C.12 D.27
4.⊙O 半径 OA=10cm,弦 AB=16cm,P 为 AB 上一动点,则点 P 到圆心 O 的最短距离为
cm.
5. 如图,一个扇形铁皮 OAB. 已知 OA=60cm,∠AOB=120°,小华将 OA、OB 合拢制成了一个圆
锥形烟囱帽(接缝忽略不计),则烟囱帽的底面圆的半径为( )
A. 10cm B. 20cm C. 24cm D. 30cm
6.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为 16cm2,则该半圆的半径为( )
A. cm B.9 cm C. cm D. cm
7.如图,⊙O 的半径为 3cm,B 为⊙O 外一点,OB 交⊙O 于点 A,AB=OA,动点 P 从点 A 出
发,以 cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止.当点 P 运动的时间为
s 时,BP 与⊙O 相切.
8.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是
9.如图,边长为 1 的小正方形构成的网格中,半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点上,则∠AED 的
正切值等于 .
10.如图,AB为⊙O直径,AC为弦,OD∥BC交AC于点D,
AB=20cm,∠A=30°,则AD= cm
11.半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0,-4),N(0,-10),
函数 的图像过点 P,则 = .
12.如图,已知圆 O 的半径为 6cm,射线 经过点 , ,射线
与圆 O 相切于点 . 两点同时从
点 出发,点 以 5cm/s 的速度沿射线 方向运动,点 以
4cm/s 的速度沿射线 方向运动.设运动时间为 s.
(1)求 的长;
(2)当 为何值时,直线 与圆 O 相切?
(4 5)+ 4 5 6 2
36
78BOC∠ = BAC∠
156 78 39 12
cm
π 2cm π 2cm π 2cm π 2cm
π
( 0)ky xx
= < k
PM O 10cmOP = PN
Q A B,
P A PM B
PN t
PQ
t AB
第 15 题图
120°
O
A B
第 1 题图
BAO
P
2
3
E
O
DC
BA
A
B
Q
OP
N
M
第 2 题图 第 5 题图 第 6 题图
第 7 题图
第 9 题图第 8 题图 第 10 题图
第 11 题图
第 12 题图
【当堂检测】
1.下列命题中,真命题的个数为( )
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
②如果四边形的两条对角线互相垂直,那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆
中,如果弦相等,那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为 5,3,圆心距为 2,那么两圆内
切 A.1 B.2 C.3 D.4
2.圆 O 是等边三角形 的外接圆,圆 O 的半径为 2,则等边三角形 的边长为( )
A. B. C. D.
3.如图,圆 O 的半径为 1, 与圆 O 相切于点 , 与圆 O 交于点 , ,垂足
为 ,则 的值等于( )
A. B. C. D.
4.如图, 是圆 O 的弦,半径 , ,则弦 的长为( )
A. B. C.4 D.
5.如图,⊙O 的半径为 2,点 A 的坐标为(2, ),直线 AB 为⊙O 的切线,B 为切点.则 B 点
的坐标为( )
A. B. C. D.
6.如图 4,⊙O 的半径为 5,弦 AB=6,M 是 AB 上任意一点,则线段 OM 的长可能是( )
A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.5.5
7.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分,
路面 =10 米,净高 =7 米,则此圆的半径 为( )
A.5 B.7 C. D.
8.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12,BC=5,将△ABC 绕边 AC 所在直线旋转一周得到圆锥,则
该圆锥的侧面积是( )
A.25π B.65π C.90π D.130π
9.如图, 为圆 O 的直径, 于点 ,交圆 O
于点 , 于点 .
(1)请写出三条与 有关的正确结论;
(2)当 , 时,求圆中阴影部分的面积.
10.如图, 是圆 O 的一条弦, ,垂足为 ,
交圆 O 于点 ,点 在圆 0 上.
(1)若 ,求 的度数;
(2)若 , ,求 的长.
ABC ABC
3 5 2 3 2 5
AB A OB C OD OA⊥
D cos AOB∠
OD OA CD AB
AB 2OA = 2sin 3A = AB
2 5
3
2 13
3
4 5
3
32
−
5
8
2
3 , ( )13,−
−
5
9
5
4 , ( )31,−
AB CD OA
37
5
37
7
AB CD AB⊥ E
D OF AC⊥ F
BC
30D∠ = 1BC =
AB OD AB⊥ C
D E
52AOD∠ = DEB∠
3OC = 5OA = AB
第 3 题图
A
B
C
O D x
y
O 1
1B
A
C
BA O
F
D
E
O
DA B
C
E
B
D
CA
O
O
A B A B
O
M
第 10 题图
第 7 题图第 6 题图第 5 题图
第 9 题图
第 4 题图
第 40 课时 图形的变换(一)
【知识梳理】
1、轴对称及轴对称图形的联系:轴对称及轴对称图形可以相互转化. 区别:轴对称是指两个图形
之间的位置关系,而轴对称图形一个图形自身的性质;轴对称只有一条对称轴,轴对称图形可能
有几条对称轴.
2、通过具体实例认识轴对称,探索它的基本性质,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的
性质.
3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;探索简单图形之间的轴对称
关系,并能指出对称轴.
4、探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相关
性质.
5、欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称,能利
用轴对称进行图案设计.
【思想方法】抓住变与不变的量
【例题精讲】
1、观察下列一组图形,根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状?
2、如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠BAD=60°,E 是 AB 的中点, P
是对角线 AC 上的一个动点,则 PE+PB 的最小值是 .
3、如图,P 在∠AOB 内,点 M、N 分别是点 P 关于
AO、BO 的对称点,MN 分别交 OA、OB 于 E、F. ⑴ 若
△ PEF 的周长是 20cm,求 MN 的长. ⑵若∠AOB=30°试判断
△MNO 的形状,并说明理由
4、将一张矩形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线).继续
对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到 7 条折痕,那么对
折四次可得到 条折痕.如果对折 n 次,可以得到 条折痕.
5、做一做:用四块如图 1 的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图 2、图 3、
图 4 中各画出一种拼法(要求三种拼法各不相同,所画图案中的阴影部分用斜线表示).
6、已知如图,在直角梯形 ABCD 中 ,
AD∥BC,BC=5cm,CD=6cm,∠DCB=60º,∠ ABC=90º,等边三角形 MNP(N 为不动点)的边
长为 a cm,边 MN 和直角梯形 ABCD 的底边 BC 都在直线 l 上,NC=8 cm ,将直角梯形 ABCD
向左翻折 180º,翻折一次得图形①,翻折二次得图形②,如此翻折下去.(1)、将直角梯形 ABCD
向左翻折二次,如果此时等边三角形 MNP 的边长 a≥2cm,这时两图形重叠部分的面积是多少?
(2)、将直角梯形 ABCD 向左翻折三次,如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部
F
E
N
M
A
O B
P
C′
A
B CD
分的面积就等于直角梯形 ABCD 的面积,这时等边三角形 MNP 的边长 a 至少应为多少?(3)、
将直角梯形 ABCD 向左翻折三次,如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面
积等于直角梯形 ABCD 的面积的一半,这时等边三角形 MNP 的边长 a 应为多少?
【当堂检测】
1.下列图形是否是轴对称图形,找出轴对称图形的有几条对称轴.
2.小明的运动衣号在镜子中的像是 ,则小明的运动衣号码是 ( )
A. B. C. D
3.在角、线段、等边三角形、平行四边形形中,轴对称图形有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.下面四个图形中,从几何图形的性质考虑,哪一个与其它三个不同?请指出这个图形,并简
述你的理由.答:图形 ;理由是 :
5.如图,ΔABC 中,DE 是边 AC 的垂直平分线 AC=6cm,
ΔABD 的周长为 13cm,则 ΔABC 的周长为______cm.
6.如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=45°,把△ADC 沿 AD 对折,点 C 落在点 的位置,则
与 BC 之间的数量关系是 .
第 41 课时 图形的变换(二)
【知识梳理】
一、图形的平移
1、平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,
平移不改变图形的形状和大小.
注:(1)平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形在同一平面内
的变换.
(2)图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图
C′
CB ′
A
B
P
M N ② ①
D
C
第 1 题图
第 5 题图
第 6 题图
图 3 图 4
A
G(O)
E
C B
F
①
形平移 的依据.
(3)图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,
而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.
2.平移的基本性质:由平移的基本概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动
相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下列性质:经过平移,对应点所
连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
注:(1)要注意正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征.(2)“对应点
所连的线段平行且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之间的性质,又可作为平移作图的
依据.
二、图形的旋转
1.图形旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的距离相等、对应点
与旋转中心连线所成的角彼此相等;
2.中心对称图形:____________________________________
3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形(边数是偶数)、圆是中心对称图形;
【思想方法】 数形结合
【例题精讲】
1.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=2cm,把这个三角形在平面内
绕点 C 顺时针旋转 90°,那么点 A 移动所走过的路线长是 cm.
2.将两块含 30°角且大小相同的直角三角板如图 1 摆放.(1) 将图 2 中△ 绕点 C 顺时针旋转
45°得图 2,点 与 AB 的交点,求证: ;(2)将图 2 中△ 绕点 C 顺时针旋
转 30°到△ (如图 3),点 与 AB 的交点.线段 之间存在一个确定的等量关
系,请你写出这个关系式并说明理由;(3)
将 图 3 中 线 段 绕 点 C
顺时针旋转 60°到 (图 4),连结 ,
求证: ⊥AB.
3.把两个全等的等腰直角三角板 ABC 和 EFG(其直角边长均为 4)叠放在一起(如图①),且
使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合.现将三角板 EFG 绕 O 点顺时针
方向旋转(旋转角 α 满足条件:0°<α<90°),四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分
(如图②).(1)在上述旋转过程中,BH 与 CK 有怎样的数量关系?四边形 CHGK 的面积有何变
化?证明你发现的结论;(2)连接 HK,在上述旋转过程中,设 BH= ,△GKH 的面积为 ,求
与 之间的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使
△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的 ?若存在,求出此时 的值;若不存在,说明理由.
x y y
x x
1 1A B C
1 1P A C是 1 1
2CP AP2
= 1 1A B C
2 2A B C 2 2P A C是 1 1 2CP P P与
1CP
3CP
3 2P P
3 2P P
5
16 x
图 1 图 2
4.如图 1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图 2),量得他们的斜
边长为 10cm,较小锐角为 30°,再将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状,但点 B、C、F、D
在同一条直线上,且点 C 与点 F 重合(在图 3 至图 6 中统一用 F 表示)
(图 1) (图 2) (图 3)
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.
(1)将图 3 中的△ABF 沿 BD 向右平移到图 4 的位置,使点 B 与点 F 重合,请你求出平移的距
离;
(2)将图 3 中的△ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30°到图 5 的位置,A1F 交 DE 于点 G,请你求出
线段 FG 的长度;
(3)将图 3 中的△ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置,AB1 交 DE 于点 H,请证明:AH﹦DH
(图 4) (图 5) (图 6)
【当堂检测】
1.下列说法正确的是( )
A.旋转后的图形的位置一定改变 B.旋转后的图形的位置一定不变
C.旋转后的图形的位置可能不变 D.旋转后的图形的位置和形状都发生变化
2.下列关于旋转和平移的说法错误的是( )
A.旋转需旋转中心和旋转角,而平移需平移方向和平移距离
B.旋转和平移都只能改变图形的位置
C.旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化
D.旋转和平移的定义是相同的
3.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中,旋转 180o 后不变的字是_____,
在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过 180 后能与原图形重合的是____.
4.△ABC 是等腰直角三角形,如图,A B=A C,∠BA C=90°,D 是 BC
上一点,△ACD 经过旋转到达△ABE 的位置,则其旋转角的度数为( )
A.90° B.120° C.60° D.45°
5.以下图形:平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、
菱形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.3 个
第 4 题图
A
B CD
E
6.如图的图案中,可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是( )
7.有以下现象:①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;
④传送带上瓶装饮料的移动,其中属于平移的是( )
A.①③ B.①② C.②③ D.②④
8.如图,若将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°后得到△ ,则 A 点的对应点 A′的坐标是( )
A.(-3,-2)B.(2,2) C.(3,0)D.(2,1)
第 42 课时 视图与投影
【知识梳理】
1、 主视图、左视图、俯视图
2、 主俯长相等,主左高平齐,俯左宽相等
【思想方法】
转化:立体与平面互化
【例题精讲】
1. 下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是( )
A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形
2. 用一张正多边形的纸片,在某一点处镶嵌(即无缝隙的围成一周),可实施的方案有哪 6 种?
每一种方案中需要的纸片各是几张?
3.如图,用灰白两色正方形瓷砖铺设地面,第 6 个图案中灰色瓷砖块数为____.
4. 用含 角的两块同样大小的直角三角板拼图形,下列四种图形:①平行四边形,②菱形,③
矩形,④直角梯形.其中可以被拼成的图形是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①②③
5. 为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案.图案
要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的图弧构成的图案,既是轴对称图形又是
中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计
图案.
注:两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于一种,例如:图①、图②只算一种.
A B C′ ′ ′
30
第 6 题图
第 8 题图
① ② ③ ④ ⑤
第 1 个图案 第 2 个图案 第 3 个图案
6.下图是某几何体的展开图.
(1)这个几何体的名称是 ;
(2)画出这个几何体的三视图;
(3)求这个几何体的体积.( 取 3.14)
7.东东和爸爸到广场散步,爸爸的身高是 176cm,东东的
身高是 156cm,在同一时刻爸爸的影长是 88cm,那
么东东的影长是 cm.
8.如图(1)是一个小正方体的侧面展开图,小正方
体从图(2)所示的位置依次翻到第 1 格、第 2 格、
第 3 格,这时小正方体朝上一面的字是( )
A.奥 B.运 C.圣 D.火
【当堂检测】
1.如图所示的阴影部分图案是由方格纸上 3 个小方格组成,我们称这样的图
案为 L 形.那么在由 4×5 个小方格组成的方格纸上最多可以画出不同位置
的 L 形图案的个数是 ( )
A.16 个 B.32 个
C.48 个 D.64 个
2.在下面的四个几何体中,它们各自的左视图与主视图不相同的是( )
3.如图甲,正方形被划分成 16 个全等的三角形,
将其中若干个三角形涂黑,且满足下列条件:
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半;
(2)涂黑部分成轴对称图形.
如图乙是一种涂法,请在图 1~3 中分别设计另
外三种涂法.(在所设计的图案中,若涂黑部分全
等,则认为是同一种涂法,如图乙与图丙)
4.现将三张形状、大小完全相同的平行
四边形透明纸片,分别放在方格纸中, 方格纸中的
每个小正方形的边长均为 1,并且平行 四边形纸片
的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图 1、图 2、图
3).分别在图 1、图 2、图 3 中,经过平 行四边形纸
片的任意一个顶点画一条裁剪线,沿此 裁剪线将平
行四边形纸片裁成两部分,并把这两部 分重新拼成
符合下列要求的几何图形.要求:
(1)在左边的平行四边形纸片中画一条 裁剪线,然
π
20
10
迎
接 奥 运 圣
火
图 1
迎
接 奥
1
2 3
图 2
图 1 矩形(非正方形)
图 2 正方形
图 3 有一个角是 135°的三角形
正方体 长方体 圆柱 圆锥
A B C D
第 1 题图
后在右边相对应的方格纸中,按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形;
(2)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙;
(3)所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合.