莱芜市2013年中考数学卷 10页

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莱芜市2013年中考数学卷

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‎2013年山东莱芜市中考试题 数 学 ‎(满分120分,考试时间120分钟)‎ 第一部分(选择题 共36分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确选项的代码涂写在答题卡上,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分,共36分).‎ ‎1.(2013山东莱芜,1,3分)如在,,﹣2,﹣1这四个数中,最大的数是( )‎ A. B. C. ﹣2 D.﹣1 ‎ ‎【答案】B ‎2. (2013山东莱芜,2,3分)在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”,能搜索到与之相关的结果个数约为45100000,这个数用科学记数法表示为( )‎ A. 451×105 B. 45.1×‎106 C. 4.51×107 D. 0.451×10‎ ‎【答案】C ‎3. (2013山东莱芜,3,3分)下面四个几何体中,左视图是四边形的几何体共有( )‎ ‎ ‎ ‎ 球体 圆锥 正方体 圆柱 A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 ‎【答案】B ‎4. (2013山东莱芜,4,3分)方程=0的解为( )‎ A. ﹣2 B. ‎2 C. ±2 D. ‎ ‎【答案】A ‎5. (2013山东莱芜,5,3分)一组数据:10、5、15、5、20,则这组数据的平均数和中位数分别是( )‎ A. 10,10 B. 10, ‎12.5 C. 11,12.5 D. 11,10‎ ‎【答案】D ‎6. (2013山东莱芜,6,3分)如图所示,将含有30°‎ 角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上,若∠1=35°,则∠2的度数为( )‎ A. 10° B. 20° C. 25° D.30°‎ ‎【答案】C ‎7. (2013山东莱芜,7,3分)将半径为‎3cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆柱的高为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎8. (2013山东莱芜,8,3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的个数是( )‎ ‎①等边三角形;②矩形;③等腰梯形;④菱形;⑤正八边形;⑥圆 A. ‎2 B. ‎3 C. 4 D.5 ‎ ‎【答案】C ‎9. (2013山东莱芜,9,3分)如图,在⊙O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为( )‎ A. 135° B. 122.5° C. 115.5° D.112.5°‎ ‎【答案】D ‎10. (2013山东莱芜,10,3分)下列说法错误的是( )‎ A.若两圆相交,则它们公共弦的垂直平分吧必过两圆的圆心 B.2+与2-互为倒数 C.若a>,则a>b ‎ D.梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半 ‎【答案】D ‎11. (2013山东莱芜,11,3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(1),M为坐标轴上一点,且使得△MOA为等腰三角形,则满足条件的点M的个数为( )‎ A.4 B. ‎5 C. 6 D.8‎ ‎【答案】C ‎12. (2013山东莱芜,12,3分)如图,等边三角形ABC的边长为3,N为AC的三等分点,三角形边上的动点M从点A出发,沿A→B→C的方向运动,到达点C时停止.设点M运动的路程为x,MN2=y,则y关于x的函数图象大致为( )‎ ‎【答案】B 二、填空题(本大题共5小题,只要求填写最后结果,每小题填对得4分,共20分).‎ ‎13. (2013山东莱芜,13,4分)分解因式:‎2m3‎-‎8m= .‎ ‎【答案】‎2m(m+2)(m-2)‎ ‎14. (2013山东莱芜,14,4分)正十二边形每个内角的度数为 .‎ ‎【答案】150°‎ ‎15. (2013山东莱芜,15,4分)M(1,a)是一次函数y=3x+2与反比例函数图象的公共点,若将一次函数y=3x+2的图象向下平移4个单位,则它与反比例函数图象的交点坐标为 .‎ ‎【答案】(-1,-5),()‎ ‎16. (2013山东莱芜,16,4分)如图,矩形ABCD中,AB=1,E、F分别为AD、CD的中点,沿BE将△ABE折叠,若点A恰好落在BF上,则AD= .‎ ‎【答案】‎ ‎17. (2013山东莱芜,17,4分)已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数,在该数种从左往右数第2013位上的数字为 .‎ ‎【答案】7‎ 三、解答题(本大题共7小题,共64分,解得要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)‎ ‎18. (2013山东莱芜,18,9分)先化简,再求值:,其中a=+2.‎ 解:‎ ‎.‎ 当a=时,原式 ‎19.(2013山东莱芜,19,8分)在学校开展的“学习交通安全知识,争做文明中学生”主题活动月中,学校德工处随机选取了该校部分学生,对闯红灯情况进行了一次调查,调查结果有三种情况:A.从不闯红灯;B.偶尔闯红灯;C经常闯红灯.德工处将调查的数据进行了整理,并绘制了尚不完整 的统计图如下,请根据相关信息,解答下列问题.‎ ‎(1)求本次活动共调查了多少名学生;‎ ‎(2)请补全(图二),并求(图一)种B区域的圆心角的度数;‎ ‎(3)若该校有240名学生,请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数.‎ 解:(1)‎ 本次活动共调查了200名学生.‎ ‎(2)补全图二 ‎200-120-20=60.‎ B区域的圆心角的度数是108°.‎ ‎(3)‎ 估计该校不严格遵守信号等指示的人数为960人.‎ ‎20. (2013山东莱芜,20,9分)如图,有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障,急需抢修,调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测,从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处,B岛在南偏东66°方向,从B岛测得渔船在正西方向,已知两个小岛间的距离是72海里,A岛上维修船的速度为每小时20海里,B岛上维修船的速度为每小时28.8海里,为及时赶到维修,问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船?‎ ‎(参考数据:cos37°≈0.8,sin37°≈0.6,sin66°≈0.9,cos66°≈0.4)‎ 解:作AD⊥BC的延长线于点D,在Rt△ADB中,‎ AD=AB·cos∠BAD=72×cos66°=72×0.4=28.8(海里)‎ BD=AB·sin∠BAD=72×sin66°=72×0.9=64.8(海里).‎ 在Rt△ADC中,(海里).‎ CD=AC·sin∠CAD=36×sin37°=36×0.6=21.6(海里).‎ BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2(海里).‎ A岛上维修船需要时间(小时).‎ B岛上维修船需要时间(小时).‎ ‎∵<,∴调度中心应该派遣B岛上的维修船.‎ ‎21. (2013山东莱芜,21,9分)在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为一边向外作等边三角形ACD,点E为AB的中点,连结DE.‎ ‎(1)证明DE∥CB;‎ ‎(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时,四边形DCBE是平行四边形.‎ 解:(1)证明:连结CE.‎ ‎∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点,‎ ‎∴CE=AB=AE.‎ ‎∵△ACD是等边三角形,∴AD=CD.‎ 在△ADE与△CDE中,‎ AD=CD,DE=DE,AE=CE,‎ ‎∴△ADE≌△CDE.‎ ‎∴∠ADE=∠CDE=30°.‎ ‎∵∠DCB=150°,‎ ‎∴∠EDC+∠DCB=180°.‎ ‎∴DE∥CB.‎ ‎(2)∵∠DCB=150°,若四边形DCBE是平行四边形,则DC∥BE, ∠DCB+∠B=180°.‎ ‎∴∠B=30°.‎ 在Rt△ACB中,sinB=,sin30°=,AC=或AB=‎2AC.‎ ‎∴当AC=或AB=‎2AC时,四边形DCBE是平行四边形.‎ ‎22. (2013山东莱芜,22,10分)某学校将周三“阳光体育”‎ 项目定为跳绳活动,为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元,且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同.‎ ‎(1)两种跳绳的单价各是多少元?‎ ‎(2)若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,问学校有几种购买方案可供选择?‎ 解:(1)设长跳绳的单价是x元,短跳绳的单价为y元.‎ 由题意得:.‎ 解得:.所以长跳绳单价是20元,短跳绳的单价是8元.‎ ‎(2)设学校购买a条长跳绳,由题意得:.‎ 解得:.‎ ‎∵a为正整数,∴a的整数值为29,,3,31,32,33.‎ 所以学校共有5种购买方案可供选择.‎ ‎23. (2013山东莱芜,23,10分)如图,⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N,点P是直线CD上另一点,且PM=PN.‎ ‎(1)当点M在⊙O内部,如图一,试判断PN与⊙O的关系,并写出证明过程;‎ ‎(2)当点M在⊙O外部,如图二,其它条件不变时,(1)的结论是否还成立?请说明理由;‎ ‎(3)当点M在⊙O外部,如图三,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.‎ 解:(1)PN与⊙O相切.‎ 证明:连结ON,则∠ONA=∠OAN,∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.‎ ‎∵∠AMO=∠PMN,∴∠PNM=∠AMO.‎ ‎∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°.‎ 即PN与⊙O相切.‎ ‎(2)成立.‎ 证明:连结ON,则∠ONA=∠OAN,∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.‎ 在Rt△AOM中,‎ ‎∴∠OMA+∠OAM=90°, ∴∠PNM+∠ONA=90°.‎ ‎∴∠PNO=180°-90°=90°.‎ 即PN与⊙O相切.‎ ‎(3)连结ON,由(2)可知∠ONP=90°.‎ ‎∵∠AMO=15°,PM=PN,∴∠PNM=15°, ∠OPN=30°,‎ ‎∵∠PON=60°,∠AON=30°.‎ 作NE⊥OD,垂足为点E,则NE=ON·sin60°=1×=.‎ ‎=OC·OA+CO·NE ‎=.‎ ‎24. (2013山东莱芜,24,12分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-3,0)、B(1,0)、C(-2,1),交y轴于点M.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;‎ ‎(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:由题意可知.解得.‎ ‎∴抛物线的表达式为y=.‎ ‎(2)将x=0代入抛物线表达式,得y=1.∴点M的坐标为(0,1).‎ 设直线MA的表达式为y=kx+b,则 ‎.解得k=,b=1.∴直线MA的表达式为y=x+1.‎ 设点D的坐标为(),则点F的坐标为().‎ DF=‎ ‎=.‎ 当时,DF的最大值为.‎ 此时,即点D的坐标为().‎ ‎(3)存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似.‎ 在Rt△MAO中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P不可能在第一象限.‎ ① 设点P在第二象限时,∵点P不可能在直线MN上,∴只能PN=3NM,‎ ‎∴,即.‎ 解得m=-3(舍去)或m=-8.又-3