2012中考数学操作型问题选 11页

操作型问题选 操作型问题能让学生经历观察，操作，实验，猜想，验证的探究过程．不仅能考查学生的空间观念，对图形的认识，图形的变换，图形的设计，图形的直觉判断能力，而且还能考查学生的分析综合，抽象概括逻辑推理的能力，是学生展示个体思维发散创新的好平台．操作型问题一般包括作图问题，分割组合图形问题，图形的折叠问题和图形移动等问题．‎ 解决这类问题，要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换. 注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题．在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力.‎ N B C A M 图9-1‎ 典型例题 例１如图9-1，在正方形网络上有一个△ABC. ‎ ‎（１）作△ABC关于直线MN的对称图形 ‎（不写作法）；‎ ‎（２）若网络上的最小正方形的边长为1，‎ 求△ABC的面积.‎ ‎（2003年浙江绍兴市中考试题）‎ 分析：(1)观察图形,先作出点A、B、C关 于直线MN的对称点A1、B1、C1，连结A1B1、、‎ B1C1、C1A1得△A1B1C1． ‎ ‎ (2)Ｓ△ABC等于点Ａ、Ｂ、Ｃ所在边的矩形面积与三个直角三角形面积和的差.‎ 解：（1）作图（略）.‎ ‎ （2）此三角形面积为：Ｓ△ABC＝2×3－2×（×1×2）－×1×3=6－2－=‎ 说明：本题利用轴对称性质来作图. 常见的作图题依据着轴对称、中心对称及点的轨迹的性质来作图.‎ ‎ 例2某地板厂要制作正六边形形状的地板砖，为了适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，请你帮助他们设计等分图案（至少设计两种）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析：由题意得：本例属于等分分割图形问题，正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形.设计图案的关键：以正六边形的6个顶点和正六边形的中心为顶点分割设计成6等分图案.‎ ‎ 解：（答案不惟一，在下图9-2中任选两种）.‎ ‎ ‎ 图9-2‎ ‎ 说明：本例属于等分分割图形问题，与此例类似的如将平行四边形、矩形、正方形分割成4等分等.这类问题解决，只有抓住被分割图形的中心及图形的顶点后，发挥个人的想象力，才能创造性地设计出图案.‎ ‎ 例3如图9-3，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A′BCD（见示意图a）.‎ ‎ (以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.)‎ 探究一：‎ ‎（1）想一想——判断四边形A′BCD是平行四边形的依据是 ；‎ ‎(c)‎ C A B ‎(b)‎ D C A B 图9-3‎ ‎（2）做一做——按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b）中画出示意图.‎ ‎(a)‎ D C B A A′‎ 探究二：‎ 在直角三角形ABC中，请你找出其他的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形.‎ ‎（1）试一试——你能拼得不同类型的特殊四边形有 ，它们的裁剪线分别是 ；‎ ‎（2）画一画——请在图（c）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图.‎ ‎ （2003年浙江省丽水市中考试题）‎ D C A B D ‎(1)‎ ‎ 分析：探究二：本例属于分割图形后，再重新组合图形问题.由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩.重新组拼图形的关键是找出不同类型的特殊四边形：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形再用实验和类比的方法来寻找答案.‎ A′‎ D C A B ‎(2)‎ 图9-4‎ ‎ 解：探究一：‎ ‎// ‎ ‎= ‎ ‎// ‎ ‎= ‎ ‎（1）CD A′B（或A′D BC等）.‎ ‎ (2)(只要画出图9-4（1），（2）之一的 示意图).‎ 探究二：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形. ‎ 三角形ABC的中位线（或一条三角形的中位线）（注：若写出直角梯形，并指出这条裁剪线是“把一条直角边分成：1的两段，且平行于另一条直角边（或斜边）的线段”，才算正确.） ‎ D C A B D ‎(3)‎ A A B C D D ‎(2)‎ A A B C D ‎(1)‎ C k Dk B A C ‎(6) ‎ k ‎ k C B A D A ‎(5)‎ 图9-5‎ C A B D D ‎(4)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)只要画出图9-5中（1）~（6）之一的示意图.‎ ‎ 说明：本例探究二中，由于裁剪线的不定性，给重新组合图形留下较大的创新空间.解答此类问题，常用的方法有实验法、分析法、类比法、联想法和验证法.想一想：探究一中，能否拼成菱形？请说明理由.‎ ‎ 例4阅读下面短文：如图9-6（1）所示，△ABC是直角三角形，∠C=900，现在△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两端点，第三个顶点落在矩形这一边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图9-6（2）所示）.‎ F 图9-6（2）‎ D A C A B 图9-6（1）‎ ‎ ‎ E B C ‎ 解答问题：‎ ‎ （1）设图9-6（2）所示矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1 S2（填“＞”、“=”、“＜”）‎ ‎ （2）如图9-6（3）所示， △ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个 ，利用图9-6（3）把画出来.‎ 图9-6（4）‎ A B C C A B ‎9-6（3）‎ ‎ （3）如图9-6（4）所示，△ABC是锐角三角形三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图9-6（4）把它出来.‎ ‎ （4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？‎ ‎（2002年陕西省中考试题）‎ ‎ 分析：（2）只能以AB为一边，作一个矩形；（3）可以锐角△ABC的三边作三个矩形；‎ ‎（4）由（1）类推（3）中的三个矩形的面积相等，设其面积为S，用S与a、b、c 三边分别表示三个矩形的周长L1、L2、L3，用作差法类比三个矩形的周长的大小.‎ 解：（1）S1=S2；（2）一个（如图9-6（5））；（3）三个（如图9-6（6））； ‎ 图9-6（6）‎ H A B C D E F G Q 图9-6（5）‎ C A B ‎(4)以AB为边的矩形周长最小. 设矩形BCED、ACHQ、ABGF的周长分别为L1、L2、L3，BC=a,AC=b,AB=c.易知这三个矩形的面积相等.令其面积为S，则有，L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c.∵L1－ L2=+2a－(+2b)=2(a－b)·. 而ab＞S，a＞b，∴L1－ L2＞0，即L1＞ L2，同理L2＞ L3. ∴以AB为边的矩形周长最小.‎ ‎ 说明：本例要求在熟悉按要求补图、组合图形的基础上，分析、归纳、类比一此量的变化.另外通过解答可以发现本例有三个规律：一是所画矩形个数的规律（一个、二个、三个）.二是符合要求的矩形的面积的规律（各图中矩形面积均为原三角形面积的2倍等）. 三是矩形周长的规律（以短边为矩形一边的矩形周长最短）.‎ ‎ 例5已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交A、B两点，⊙O1经过O2，点C是AO2B上任一点（不与A、O2、B重合），连结BC并延长交⊙O2于D，连结AC、AD. ‎ (1) 图9-7（1）供操作测量用，（测量时使用刻度尺和圆规）将图9-7（1）按题中叙述补充完整，并观察或度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察和度量，说出三条线段的长度之间存在怎样关系？‎ (2) 猜想结论（求证部分），并证明你的猜想，在补充完整图9-7（1）中进行证明.‎ (3) 如图9-7（2），若C点是BO2的中点，AC与O1O2相交于点E. 连接O1C、O2C，‎ 求证CE2= O1O2·E O2.‎ A B E O1·‎ ‎· O2‎ C ‎(2)‎ O1·‎ ‎· O2‎ A B C D ‎(1)‎ ‎ 图9-7‎ ‎ （2002四川眉山市中考试题）‎ O1·‎ ‎· O2‎ A B C D 图9-7（3）‎ 分析：（1）画图测量，易得AC=CD=AD. （2）欲证△‎ ACD为正三角形，可利用圆周角定理及其推论证明△ACD每一个内角都等于600即可.（3）欲证CE2= O1O2·E O2.只需证：△O1O2C∽△CO2E.‎ ‎ 解：（1）补充完整图形如图9-7（3），三条 线段AC、CD、AD相等.‎ ‎（2）结论：△ACD是正三角形.‎ 证明：连结AO1、AO2、BO2、O1O2.‎ ‎∵⊙O1、⊙O2是等圆，且⊙O1过O2点，‎ ‎∴A O2= O1O2=A O1. ∴ ∠AO2 O1=600, ∴∠AO2B=1200.‎ ‎∴ ∠D=∠AO2B=×1200=600. ∵∠ACB=∠AO2B=1200,‎ ‎∴∠ACD=600. ∴△ACD是正三角形.‎ ‎（3）（如图9-7（2））∵C是BO2的中点, ∴∠C O1O2=300. ∵∠ACO2=300.‎ ‎ ∴ ∠C O1O2=∠ACO2∵∠O1O2C=∠CO2E ∴ △O1O2C∽△CO2E. ∴=. ‎ ‎ ∵O1O2=O1C， ∴∠O1O2 C =∠O1CO2=∠CEO2 ∴CO2=CE. ∴CE2= O1O2·E O2.‎ ‎ 说明：本例是一道以相交两圆为背景，集操作、测量、猜想、证明于一体探究性问题,着重考查动手操作变换图形和推理论证的能力.本例以留空回填命题的思路，解答时应顺向逐层进行.‎ ‎ 例6取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：‎ 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图9-8（1）；‎ 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，‎ 得Rt△A B′E，如图9-8（2）；‎ 第三步：沿E B′线折叠得折痕EF，如图9-8（3）.‎ 利用展开图9-8（4）探究：‎ （1） ‎△AEF是什么三角形？证明你的结论.‎ （2） 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.‎ B′‎ F E M A B C D N ‎（4）‎ C A D ‎（2）‎ 图9-8‎ F A E ‎（3）‎ F A B C M D N ‎（1）‎ E N C ‎ ‎ N D B′‎ B′‎ ‎（2003年山西省中考试题）‎ ‎ 分析：（1）经过操作测量易判定△AEF是正三角形.再运用平行线等分线段定理、直角三角形的性质来证明△AEF是正三角形；‎ ‎ (2) 不一定.运用由特殊到一般的思路来解答：若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长a与宽b的关系，再按b≤a、a＜b＜a的情形分类讨论. ‎ F E M A B B′‎ C D N ‎ 3‎ ‎1 ‎ ‎2‎ P ‎ 解：（1）△AEF是正三角形.‎ 证法一：（如图右图）由平行线等分线段定理知：PE=PA，‎ ‎∴B′P是Rt△A B′E斜边上的中线， ∴PA=P B′，∠1=∠3. 又∵PN//AD，‎ ‎∴∠2=∠3.而∠BAF=2∠1+∠2=900， ∴∠1=∠2=300. ∴在Rt△A B′E，∠1+∠AEF=900，‎ ‎∴∠AEF=600，∠EAF=∠1+∠2=600，∴△AEF是正三角形.‎ 证法二：∵△ABE与△A B′E完全重合， ∴△ABE≌△A B′E，∠BAE=∠1.‎ 由平行线等分线段定理知 ∴EB′=B′F. 又∠A B′E=900，∴△AB′E≌△A B′F，‎ AE=AF. ∴∠1=∠2=∠BAD=300.∴△AEF是正三角形.‎ ‎（2）不一定.‎ 由上推证可知当矩形的长恰好等于△AEF的边AF时，即 矩形的宽：长AB：AF=sin600=：2时正好能折出. 如果设矩形的长为a，宽为b ,可知当b≤a时，按此法一定能折出等边三角形；当a＜b＜a时，按此法无法折出完整的等边三角形. ‎ 说明：折叠图形问题，着重考察动手操作和分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等. 折叠图形的常见类型：对角线折叠问题；角平分线折叠问题；轴对称折叠问题；两点重合折叠问题等. 想一想本例属于哪种折叠问题？‎ 例7 OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6.‎ ‎（1）如图9-9（1），在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式.‎ ‎(2)如图9-9（2），在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为 E′. ①求折痕AD所在直线的解析式.‎ ②再作E′F//AB，交AD于点F，若抛物线y=－x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数. ‎ F x E′‎ D ‎ O y C B A 图9-9（2）‎ x O y C B A G E 图9-9（1）‎ ‎（3）如图9-9（3），一般地，在OC、OA上选取适当的点D′、G′，使纸片沿D′G′翻折后，点O落在BC边上，记为E〞. 请你猜想：折痕D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想.‎ B G′ ‎ x E〞‎ D′‎ O y C A 图9-9（3）‎ ‎ （2003年江苏省苏州市中考试题）‎ ‎ 分析：（1）由折法易知：G（6，0）、C（0，6）. ‎ 求得折痕CG的解析式为y=－x+6；‎ ‎（2）①由勾股定理易求得D E′=，则折痕AD的 解析式为：y=－x+；‎ ②由题意设F（2，yF），点F在AD上，∴F的坐标为（2，），求出抛物线为y=－x2+3. 再联立方程组，判定直线AD与抛物线只有一个交点. ‎ ‎ 解：（1）由折法知，四边形OCEG是正方形，∴OG=OC=6，∴G（6，0）、C（0，6）.设直线CG的解析式为：y=kx+b，则0=6k+b, 6=0+b. ∴k=－1,b=6 ‎ ‎∴直线CG的解析式为：y=－x+6.‎ ‎(2) ①在Rt△ABE′中，BE′==8，∴CE′=2. 设OD=s，则DE′=s， ‎ CD=6－s，∴在Rt△DCE′中，s2=(6－s)2+22, s=.则D（0，）.‎ 设AD：y=k′x+.由于它过A（10，0），∴k′=－. ∴AD：y=－x+.‎ ②∵E′F//AB, ∴E′(2,6) ,∴设F（2，yF），∵F在AD上，∴yF=－×2+=，‎ ‎∴F（2，）.又F在抛物线上，∴=－×22+h. ∴抛物线的解析式为：y=－x2+3.‎ 将y=－x+代入y=－x2+3. 得－x2+x－=0. ∵△=()2－4×(－)×(－)=0. ∴直线AD与抛物线只一个交点.‎ （1） 例如可以猜想：折痕所在直线与抛物线y=－x2+3只有一个交点；验证：在图1 中折痕为CG. 将y=－x+6 代入y=－x2+3.得－x2+x－3=0. ‎ ‎∵△=1－4 (－3)×(－)=0, ∴折痕CG所在直线的确与抛物线y=－x2+3只有一个交点.‎ ‎ 说明：本例在直角坐标系中，以轴对称折叠为变化情境，探究折痕的动态变化，引其函数变化，并用特殊的（1）中的情形加以验证.若不用（1）中的情形验证，请猜想：D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么位置关系？‎ ‎【习题9】‎ 1． 只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：‎ ‎（1）在图9-10（1）中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：‎ ①量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D； ‎ ②画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴. ‎ ‎（2）在图9-10（2） 中画出∠AOB的对称轴，并写出画图和方法.‎ 图9-10（2）‎ A C B 图9-10（1）‎ B O A ‎（2003年江苏省南京市中考试题）‎ ‎107国道 B A O C · ‎ ‎· D ‎320国道 图9-11‎ ‎2．如图9-11，107国道OA和国道OB在我市相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相等且PC=PD，用尺规作货站P的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）.‎ C A B 图9-12‎ ‎3.一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图9-12），现找出其中的一种，测得∠C=900，AB=BC=4.今要从这种三角形中剪出一种扇形， 做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4. 如图9-13，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草.下面左边的两个图案是设计示例，请你在右面的两个正方形中设计两个不同的图案.‎ ‎ 示例： 请你设计：‎ ‎ ‎ 图9-13 （2003年江苏省苏州市中考试题）‎ 5. 已知，如图9-14，△ABC中，AB=AC，∠A=360.‎ 仿照图（a），请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形. (图（b）、图(c)‎ 供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数). （2003年江苏省镇江市中考试题）‎ ‎360‎ C B A ‎360‎ C B A ‎360‎ ‎360 1080 ‎ ‎360‎ ‎360‎ ‎ 720 720‎ ‎360‎ C B A ‎ (a) (b) (c)‎ ‎ 图9-14‎ ‎ 如图9-15，把一个边长为2cm的的正方形剪成四个全等的直角三角形. 请用这四个直角‎1 1‎ 图9-15‎ 三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不 重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照右图按实际大 小画在方格纸内（方格为1cm×1cm）.‎ ‎(1)不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）. ‎ ‎(3)梯形（一个）. (4)不是矩形和菱形的平行四边形（一个）‎ ‎(5)不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）. ‎ ‎7.已知，AB为⊙O的直径，P为AB延长上的一个动点，过点P作⊙O的切线,设切点为C.‎ （1） 当点P在AB延长线上，如图9-16（1）时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于D，请你测量∠CDP的度数.‎ （2） 当点P在AB延长线上，如图9-16（2）和（3）所示时，连结AC，请你分别在这两个圆中用尺规作∠APC的平分线（不写作法，保留痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数. ‎ 猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上位置的变化而变化？请对你加以证明.‎ D P ‎ ·‎ O C B A ‎(3)‎ C P B A ‎(2)‎ 图9-16‎ D C A B P ‎(1)‎ ‎ ·‎ O D ‎ ·‎ O ‎ ‎ ‎ （2002年北京市要城区中考试题）‎ B 图9-17‎ D C A ‎ 8. 操作：如图9-17，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E.探究：（1）观察操作结果，哪一个三角 形与△BPC相似？并证明你的结论；‎ ‎（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与 ‎△BPC的周长比是多少？ （2003年云南省昆明市中考试题）‎ ‎【习题9】参考答案 ‎1．（1）略；（2）画图略.画图方法：①利用有刻度的直尺，在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC、OD，使OC=OD. ②连结CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E. ③画直线OE.直线OE即为∠AOB的对称轴.‎ 1． 画图略.提示：作∠AOB的平分线OP，再作CD的垂直平分线PQ与OP相交于点P. ‎ ‎∴点P就是货站的位置.‎ C A B ‎ O r3=4－4‎ O C A B 图9-18‎ r2=4‎ r4=2‎ C A B 2． 通过观察、分析，符合题目要求的方案可以设计出如图9-19所示的四种方案.‎ r1=2‎ D D A B C ‎ ‎ ‎4．（任选图9-19中两个图案，答案不惟一.）‎ 图9-19‎ ‎ ‎ ‎1080‎ ‎720‎ ‎720‎ ‎1080‎ ‎360‎ C B A ‎ 720‎ ‎1080‎ ‎360‎ ‎360 ‎ ‎ 720‎ ‎360‎ ‎720‎ ‎ 720‎ ‎360‎ C B A 图9-20‎ ‎360‎ ‎360 ‎ ‎360‎ ‎720‎ ‎720‎ ‎ ‎ ‎ 720‎ ‎360‎ C B A ‎1080 ‎ ‎720 ‎ ‎5．本题答案有多种，这里图9-20提供了3种参考答案.如果学生画出的两个图形是同一类型的对称图形视为正确，若学生画出（1）的对称图形也视为正确.‎ ‎360‎ ‎360 ‎ ‎360‎ ‎360‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎6．(1) (2)‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ (3)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (两个图形任画一个)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（4）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎(四个图形任画一个)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（5）‎ ‎ ‎ ‎ (两个图形任画一个)‎ ‎7. （1）测量结果：∠CDP=450.（2）作图略，题图中测量结果均为∠CDP=450.猜想：∠CDP=450为确定值，∠CDP的度数不随点P在AB的延长线上位置的变化而变化.‎ ‎(3)证明 如图9-16（3），连结CB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900，∴∠A+∠ABC=900又PC为⊙O的切线，∴∠A=∠PCB.又∵PD平分∠APC，∴∠BPD=∠CPD.又∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∴2∠A+2∠BPD=900. ∠CDP=∠A+∠BPD=450.‎ ‎8. 解：（1）如图9-21（1），另一条直角边与AD交于点，则△PDE∽△BCP.‎ B A D C E P 图9-21（4）‎ B A D C E P 图9-21（3）‎ E B A D C P 图9-21（2）‎ B A D C E P ‎1‎ 图9-21（1）‎ ‎2‎ ‎3‎ 证明：在△PCE和△BCP中，∵∠1+∠3=900 ∠2+∠3=900 ∴∠1=∠2‎ 又∠PDE=∠BCP=900∴△PCE∽△BCP.或如图9-21（2），若一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证△BPE∽△BCP.‎ ‎（2）如图9-21（3），当点P位于CD的中点时，若另一条直角边与AD交于点E，则= 又∵△PDE∽△BCP∴△PDE和△BCP的周长比是1：2. 或：如图9-21（4），若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证△PCE与△BCP的周长是1：2，或若另一条直角边与BC的延长线交于点E∵=，又△BPE∽△BCP，‎ ‎∴△PCE与△BCP的周长比是：2.‎