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- 2021-05-10 发布
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中考数学总复习 专题基础知识回顾二 代数式
一、单元知识网络:
二、考试目标要求:
1.代数式
①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义;
②能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示;
③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义;
④会求代数式的值;能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值进行计算.
2.整式与分式
①了解整数指数幂的意义和基本性质;
②了解整式的概念,会进行简单的整式加、减运算;会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅
指一次式相乘);
③会推导乘法公式:,了解公式的几何背景,并能
进行简单计算;
④会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数);
⑤了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、乘、除运算.
3.二次根式
了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化).
三、知识考点梳理
1.代数式
(1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子,我们把它们称为代数式.单个的数字或字母也可
以看作代数式.
(2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来.
(3)用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫做代数式的值.
2.整式
(1)单项式:
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式.单项式是代数式的一种特殊形式,它的特点是对字母来说只含有乘法的运算,不含有加减运算.在含有除法运算时,除数(分母)只能是一个具体的数,可以看成分数因数.单独一个数或一个字母也是单项式.
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数;一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
(2)多项式:
几个单项式的代数和叫做多项式.也就是说,多项式是由单项式相加或相减组成的.其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项;多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
(3)整式: 单项式和多项式统称整式.
(4)同类项: 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项.
(5)整式的加减: 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用.
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
(6)整式的乘除:①幂的运算性质:
②单项式相乘:两个单项式相乘,把系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则
连同它的指数作为积的一个因式.
③
单项式与多项式相乘:单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用
式子表达:
④多项式与多项式相乘:一般地,多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式
的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:
平方差公式:
完全平方公式:
在运用乘法公式计算时,有时要在式子中添括号,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各
项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
⑤单项式相除:两个单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的
字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
⑥多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
(7)因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.
因式分解的两种基本方法:
①提公因式法:
②运用公式法:
平方差公式: 完全平方公式:
3.分式
(1)分式的意义: 一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.其中
分式无意义;分式有意义.
分式的值为0A=0且这两个条件缺一不可.
(2)最简分式:
如果一个分式的分子、分母没有公因式,那么这样的分式叫做最简分式(也叫既约分式).如果一个分式的分子、分母有公因式,那么可根据分式的基本性质,用分子、分母的公因式去除分子和分母,将分式化成最简分式,或者化成整式,这就是约分.
(3)分式的基本性质:
(4)分式的运算:
①分式的加减: ,.
②分式的乘除:,.
③分式的乘方:.
4.二次根式:
(1)二次根式的概念:
式子叫做二次根式.是一个非负数.
(2)二次根式的性质:
(3)最简二次根式:
①被开方数不含分母;
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.
(4)二次根式的运算:
①二次根式的乘除:
②二次根式的加减:
二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
四、规律方法指导
对于整式、分式、二次根式等内容,中考重点考查对基础知识的理解运用能力.热点是化简、求值与分情况讨论的数学思想方法的考查,旨在让我们探索灵活、简捷的解法,提高分析问题的能力.因此,在复习中我们要掌握分类讨论与数形结合思想,提高运算能力、观察能力、解决实际问题的能力和探索知识、发现规律的能力.
经典例题透析
类型一、整式的有关概念及运算
1.同类项
1.(1)(2010湖南衡阳)若3sm+5y2与x3yn的和是单项式,则nm______________.
(2)若单项式是同类项,则的值是( )
A、-3 B、-1 C、 D、3
2.整式的运算及整式乘法公式的运用
2.(1) (2010湖北咸宁)下列运算正确的是 ( )
A. B. C. D.
(2)下列各式中正确的是( )
A. B.a2·a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8
3.计算:(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)
4.利用乘法公式计算:
(1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)
举一反三
【变式1】如果a2+ma+9是一个完全平方式,那么m=______.
【变式2】设,则
=__________.
【变式3】用相同的方法可以求, 等的值.
【变式4】若a2+3a+1=0,求的值.
类型二、因式分解
5.因式分解:
(1)(2010四川眉山)把代数式分解因式,下列结果中正确的是( )
A. B. C. D.
(2)①3a3-6a2+12a; ②(a+b)2-1; ③x2-12x+36; ④(a2+b2)2-4a2b2
举一反三
【变式1】因式分解:
(1);(2);(3).
类型三、分式的意义及运算
1.分式的意义及分式值为零
6.(1)(2010湖北荆州)分式 的值为0,则( )
A.x=-1 B.x=1 C.x=±1 D.x=0
(2)(2010山东聊城)使分式无意义的x的值是( )
A.x= B.x= C. D.
(3)当x取何值时,分式 有意义?分式的值等于零?
举一反三
【变式1】已知x=-2时,分式无意义;当x=4时,分式值为0,则a+b=______________.
2.分式的运算
7.(1)(2010 重庆)先化简,再求值: , 其中.
(2)计算.
举一反三
【变式1】先化简,再求值:
,其中满足.
【变式2】先化简,再求值:()÷,其中x=2005
【变式3】有这样一道题:“计算:的值,其中.”甲同学把“”错抄成“”,但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事?
【变式4】已知x、y是方程组的解,求代数式的值.
类型四、二次根式的有关概念及运算
8.(1)(2010湖北襄樊)下列说法错误的是( )
A.的平方根是±2 B.是无理数
C.是有理数 D.是分数
(2)下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
9.化简:(1); (2); (3).
思路点拨:二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简,要注意使二次根式有意义的条件,在允许的取值范围内进行化简.
(2)
举一反三
【变式1】化简:,其中.
类型五、代数式的综合应用
10.(1)(2010 四川自贡)已知n是一个正整数,是整数,则n的最小值是( )。
A.3 B.5 C.15 D.25
(2)若代数式2x2+3x+7的值为8,则代数式4x2+6x-9的值是( )
A.2 B.-17 C.-7
D.7
11.已知:a,b为实数,下列各式中一定为正值的是( )
A.a2-2a+2 B. C.a2+b2 D.(a-1)2+|b+2|
12.现规定一种运算:,其中、为实数,则等于( )
A. B. C. D.
探索规律
13.观察下列顺序排列的等式:
9×0+1=1
9×1+2=11
9×2+3=21
9×3+4=31
9×4+5=41
……
猜想第n个等式(n为正整数)应为_______.
分析:此题观察规律并不难,但要注意n的取值,n为正整数,为了便于观察,我们可以象以下写法:
第1行 9×0+1=1
第2行9×1+2=11
第3行 9×2+3=21
第4行9×3+4=31
第5行9×4+5=41
……
第n行 9×(n-1)+n=10(n-1)+1=10n-9.
综合应用
14.已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a,b,c,d,且a2+ab-ac-bc=0, b2+bc-bd-cd=0,那么四边形ABCD是( ).
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
举一反三
【变式1】用4块相同的地砖可拼成上图,每块地砖的长、宽分别为a、b,则图中阴影部分的面积为___.
15.(扬州)为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》,某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会,其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下:首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低,由1到n排序,第1所民办学校得奖金元,然后再将余额除以n发给第2所民办学校,按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.
(1)请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金;
(2)设第k所民办学校所得到的奖金为元(1),试用k、n和b表示(不必证明);
(3)比较和的大小(k=1,2 ,……,),并解释此结果.
中 考 题 萃
考点一:幂的运算、整式运算
1. (2010山西).下列运算正确的是( )
A.(a-b)2=a2-b2 B.(-a2)3=-a6 C.x2+x2=x4 D.3a3·2a2=6a6
2. (2010黄冈)下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.(成都市)下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.(湖北咸宁)化简的结果为( )
A. B. C. D.
5.(东莞市)下列式子中是完全平方式的是( )
A. B. C. D.
6.(河北省)计算:=_________.
7.(河北省)(3分)若,则的值为__________.
8.(北京)(5分)已知,求代数式的值.
9.(南昌市)先化简,再求值:
, 其中.
考点二:因式分解
1. (2010四川眉山)把代数式分解因式,下列结果中正确的是
A. B. C. D.
2.(北京)把代数式分解因式,下列结果中正确的是( )
A. B. C. D.
3.(龙岩市)分解因式:______________.
4.(贵阳市)分解因式:_______________.
5.(福州)因式分解:_____________.
6.(上海市)分解因式:___________.
7.(2010广东广州)因式分解:3ab2+a2b=_______.
考点三:分式的意义及运算
1.(宜宾市)若分式的值为0,则x的值为( )
A. 1 B. -1 C. ±1 D.2
2. (2010 黄冈)化简:的结果是( )
A.2 B. C. D.
3.(巴中市)当__________时,分式无意义.
4.(上海市)化简:__________.
5.(北京)计算:.
6.(2010四川凉山)若,则__________。
考点四:二次根式
1.(湖北省荆州市)下列根式中属最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. (2010广东茂名)若代数式有意义,则的取值范围是
A. B.
C. D.
3.(芜湖市)估计的运算结果应在( )
A.6到7之间 B.7到8之间 C.8到9之间 D.9到10之间
4. (2010 四川成都)若为实数,且,则
的值为___________.
5.(安徽省)化简=_________.
6.(宁夏回族自治区)计算:=________.
考点五:代数式的综合运用
1.(茂名)任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的结果是( )
A. B. C. D.
2.(北京)(4分)若,则m+2n的值为( )
A.-4 B.-1 C.0 D.4
3.(山东淮坊)代数式的值为9,则的值为( )
A.7 B.18 C.12 D.9
4.(宁夏)某市对一段全长1500米的道路进行改造.原计划每天修米,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修路比原计划的2倍还多35米,那么修这条路实际用了___
天.
5.(成都市)(3分)已知,那么的值为__________.
6.(南宁市)计算:
7.(沈阳市)计算:.
8.(泰州市)先化简,再求值:,其中.
9.(山东烟台)有意道题:“先化简,再求值:,其中“”.小亮同学做题时把“”错抄成了“”,但他的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事.
10.(2010四川达州)如图2,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的恒等式为(
)
A. B.
C. D.
考点六:探究归纳
1.(安徽省)探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:
当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与,所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;
当n=3时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1,,2,,2五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.
(1)观察图形,填写下表:
钉子数(n×n)
S值
2×2
2
3×3
2+3
4×4
2+3+( )
5×5
( )
(2)写出(n-1)×(n-1)和n×
n的两个钉子板上,不同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可)
(3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.
2. (2010广东茂名)用棋子摆出下列一组“口”字,按照这种方法摆下去,则摆第n个“口”字需用棋子 ( )
A.4n枚 B.(4n-4)枚 C.(4n+4)枚 D. n2枚