2020年中考数学试题分项版解析汇编（第01期）专题5 23页

专题5.3 锐角三角形 一、单选题 ‎1．如图，在中，，，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题 ‎【答案】A 点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．‎ ‎2．的值等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【来源】天津市2018年中考数学试题 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．‎ 详解：cos30°=．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．‎ ‎3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）‎ 23‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题 ‎【答案】A 点睛：本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．‎ ‎4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题 ‎【答案】B ‎【解析】分析：在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；‎ 详解：在Rt△ABC中，AB=，‎ 在Rt△ACD中，AD=，‎ ‎∴AB：AD=：=，‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数 23‎ 等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． ‎ ‎5．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 ‎【答案】D ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.‎ ‎6．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（ ）‎ ‎（参考数据：，，）‎ A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 23‎ ‎【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE， 易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58°=，求得AH长即可得.‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，从图中提取相关信息是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎7．如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行____________‎ 23‎ 小时即可到达 (结果保留根号)‎ ‎【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题 ‎【答案】.‎ 详解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，‎ 在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），‎ 所以 BQ=PQ-90．‎ 在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），‎ 所以 PQ-90=PQ，‎ 所以 PQ=45（3+）（海里）‎ 所以 MN=PQ=45（3+）（海里）‎ 在直角△BMN中，∠MBN=30°，‎ 所以 BM=2MN=90（3+）（海里）‎ 所以（小时）‎ 故答案是：．‎ 点睛：本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．‎ ‎8．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．‎ 23‎ ‎【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题 ‎【答案】 ‎ 点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．‎ ‎9．如图。在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．‎ ‎【来源】山东省德州市2018年中考数学试题 ‎【答案】‎ 点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． ‎ 23‎ 三、解答题 ‎10．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长.‎ ‎（参考数据：‎ ‎，，，，，）‎ ‎【来源】四川省成都市2018年中考数学试题 ‎【答案】还需要航行的距离的长为20.4海里.‎ 点睛：此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键．‎ ‎11．某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（结果保留根号）‎ 23‎ ‎【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 ‎【答案】立柱CD的高为（15﹣）米．‎ ‎【解析】分析：作CH⊥AB于H，得到 BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义分别用x表示出HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．‎ 详解：作CH⊥AB于H，‎ 则四边形HBDC为矩形，‎ ‎∴BD=CH，‎ 由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，‎ 23‎ 点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．‎ ‎12．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).‎ ‎ (1)若,求的长；‎ ‎ (2)当点从点向右运动60时，求点在此过程中运动的路径长.‎ ‎ （参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14）‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题 ‎【答案】（1）43.2cm. （2）62.8cm.‎ ‎【解析】【分析】（1）如图，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中， 由cos∠OBC= ，求得BH的长，再根据AC=AB－2BH即可求得AC的长；‎ ‎（2）由题意可知△OBC是等边三角形，由此即可求出弧OC的长，即点O在此过程中运动的路径长.‎ ‎【详解】（1）如图，作OH⊥AB于H，‎ 23‎ ‎（2）∵AC=60，∴BC=60 ，‎ ‎∵OC=OB=60，‎ ‎∴OC=OB=BC=60 ，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴的长==2 =62.8，‎ ‎∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.‎ ‎13．问题呈现 如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点、和、，与相交于点，求的值.‎ 方法归纳 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点、，可得，则，连接，那么就变换到中.‎ 23‎ 问题解决 ‎（1）直接写出图1中的值为_________；‎ ‎（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，求的值；‎ 思维拓展 ‎（3）如图3，，，点在上，且，延长到，使，连接交的延长线于点，用上述方法构造网格求的度数.‎ ‎【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3） ‎ 详解：‎ ‎（1）如图进行构造 由勾股定理得：DM=，MN=,DN=‎ ‎∵()2+()2=()2‎ ‎∴DM2+MN2=DN2‎ ‎∴△DMN是直角三角形.‎ ‎∵MN∥EC ‎∴∠CPN=∠DNM,‎ 23‎ ‎∵tan∠DNM=,‎ ‎∴=2.‎ 点睛：本题考查了非直角三角形中锐角三角函数值的求法. 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形是解题的关键.‎ ‎14．如图，为了测量建筑物的高度，在处树立标杆，标杆的高是.在上选取观测点、，从测得标杆和建筑物的顶部、的仰角分别为、，从测得、的仰角分别为、.求建筑物的高度（精确到） .‎ ‎（参考数据：，，.）‎ ‎【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 ‎【答案】建筑物的高度约为.‎ ‎【解析】分析：在中,用三角函数表示DE的长度, 在中，用三角函数表示出DF的长度,从而得到,同理得,建立等量关系,求出即可.‎ 详解：‎ 在中，，‎ 23‎ 点睛：此题主要考查了仰角与俯角问题，根构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力.‎ ‎15．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.‎ ‎（参考数据：，）‎ ‎【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题 ‎【答案】该建筑物需要拆除.‎ ‎【解析】分析：根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可．‎ 详解：由题意得，米，米，‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ 在中，，‎ 23‎ ‎∴，‎ ‎∴ （米），‎ ‎∵米米，‎ ‎∴该建筑物需要拆除.‎ 点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． ‎ ‎16．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：，）‎ ‎【来源】2018年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题 ‎【答案】隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里． ‎ 答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．‎ 23‎ ‎【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.‎ ‎17．如图,两座建筑物的水平距离为.从点测得点的仰角为53° ,从点测得点的俯角为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:‎ ‎【来源】山东省德州市2018年中考数学试题 ‎【答案】建筑物的高度为.建筑物的高度为.‎ ‎【解析】分析：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m．在Rt△ABC中，求出AB．在Rt△ADE中求出AE即可解决问题．‎ 23‎ 点睛：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎18．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为，为中点，，，，.当点位于初始位置时，点与重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳.‎ ‎（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为（图3），为使遮阳效果最佳，点需从上调多少距离？（结果精确到）‎ ‎（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到）‎ ‎（参考数据：，，，，）‎ ‎【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题 ‎【答案】（1）点需从上调；（2）点在（1）的基础上还需上调.‎ ‎【解答】（1）如图2，当点位于初始位置时，.‎ 如图3，10:00时，太阳光线与地面的夹角为，点上调至处，‎ ‎，，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ 23‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴为等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴，‎ 即点需从上调.‎ ‎ ‎ ‎【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形结合.‎ 23‎ ‎19．为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)‎ ‎【来源】安徽省2018年中考数学试题 ‎【答案】旗杆AB高约18米.‎ 答：旗杆AB高约18米.‎ 23‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到是解题的关键.‎ ‎20．“五•一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示，根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处（精确到1米）（备用数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】小明还需沿绿道继续直走73米才能到达桥头D处．‎ ‎【解析】分析：根据题意表示出AD，DC的长，进而得出等式求出答案．‎ 详解：如图所示：‎ 答：小明还需沿绿道继续直走73米才能到达桥头D处．‎ 23‎ 点睛：本题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=DC是解题的关键． ‎ ‎21．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.‎ ‎【来源】天津市2018年中考数学试题 ‎【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.‎ ‎【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．‎ 详解：如图，过点作，垂足为.‎ 在中，，‎ ‎∴.‎ 23‎ ‎∴ .‎ ‎∴.‎ 答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.‎ 点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．‎ ‎22．如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨安装在窗框上，托悬臂安装在窗扇上，交点处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点，，始终在一直线上，延长交于点.已知，，.‎ ‎（1）窗扇完全打开，张角，求此时窗扇与窗框的夹角的度数.‎ ‎（2）窗扇部分打开，张角，求此时点，之间的距离（精确到）.‎ ‎（参考数据：，）‎ ‎【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解答】（1）∵，，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）如图，过点作于点，‎ ‎∵，‎ 23‎ ‎【点评】考查平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，解直角三角形等，注意辅助线的作法.‎ ‎23．如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼高达，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼高，为了测量高楼上发射塔的高度，在楼底端点测得的仰角为α，，在顶端E测得A的仰角为，求发射塔的高度.‎ ‎【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 ‎【答案】AB的高度为28米 ‎【解析】【分析】设AB的高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，继而可得BF＝112米，从而可得AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，根据等腰直角三角形的性质可得EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，由sinａ= ，可得tanａ= ，再由tanａ＝得到关于x的方程，解方程即可求得AB的长.‎ 23‎ 答：发射塔AB的高度是28米..‎ ‎【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解． ‎ 23‎