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  • 2021-05-10 发布

全国各地中考数学分类解析159套专题47 圆的有关性质

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‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)‎ 专题47:圆的有关性质 一、选择题 ‎1. (2012重庆市4分)已知:如图,OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为【 】‎ ‎  A.45°  B.35°  C.25°  D.20°‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°。∴∠ACB=45°。故选A。‎ ‎2. (2012海南省3分)如图,点A、B、O是正方形网格上的三个格点,⊙O的半径为OA,点P是优弧上的一点,则的值是【 】‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】如图,连接AO并延长交⊙O于点P1,连接AB,BP1。设网格的边长为a。‎ ‎ 则由直径所对圆周角是直角的性质,得∠ABP1=900。‎ 根据勾股定理,得AB=BP1=。‎ 根据正切函数定义,得。‎ 根据同弧所对圆周角相等的性质,得∠ABP=∠ABP。∴。故选A。‎ ‎3. (2012陕西省3分)如图,在半径为5的圆O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为【 】‎ A.3 B.‎4 C. D.‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】垂径定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理。‎ ‎【分析】作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OP,OB,OD,‎ ‎∵AB=CD=8,‎ ‎∴由垂径定理和全等三角形的性质得,AM=BM=CN=DN=4,OM=ON。‎ 又∵OB=5,∴由勾股定理得:‎ ‎∵弦AB、CD互相垂直,∴∠DPB=90°。‎ ‎∵OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,∴∠OMP=∠ONP=90°。‎ ‎∴四边形MONP是正方形。∴PM=PN=OM=ON=3。‎ ‎∴由勾股定理得:。故选C。‎ ‎4. (2012广东深圳3分)如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内上一点,∠BM0=120o,则⊙C的半径长为【 】‎ A.6 B.‎5 C.3 D。‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】坐标与图形性质,圆内接四边形的性质,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,∴∠BAO=60°。‎ ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠AOB=90°,∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°,‎ ‎∵点A的坐标为(0,3),∴OA=3。∴AB=2OA=6,∴⊙C的半径长= =3。故选C。‎ ‎5. (2012浙江湖州3分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC是⊙O的直径,∠C=50°,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,则∠BAD的度数是【 】‎ A.45° B.85° C.90° D.95° ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系圆心角、弧、弦的关系。‎ ‎【分析】∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°。‎ ‎∵∠C=50°,∴∠BAC=40°。‎ ‎∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,∴∠ABD=∠DBC=45°。∴∠CAD=∠DBC=45°。‎ ‎∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°。故选B。‎ ‎6. (2012浙江衢州3分)如图,点A、B、C在⊙O上,∠ACB=30°,则sin∠AOB的值是【 】‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】由点A、B、C在⊙O上,∠ACB=30°,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠AOB=2∠ACB=60°,然后由特殊角的三角函数值得:‎ ‎ sin∠AOB=sin60°=。故选C。‎ ‎7. (2012浙江台州4分)如图,点A、B、C是⊙O上三点,∠AOC=130°,则∠ABC等于【 】‎ ‎  A. 50° B.60° C.65° D.70°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠ABC=∠AOC=65°。故选C。‎ ‎8. (2012江苏淮安3分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠A=400,则∠B的度数为【 】‎ A、800 B、‎600 C、500 D、400‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质,由AB是⊙O的直径,点C在⊙O上得∠C=900;根据三角形内角和定理,由∠A=400,得∠B=1800-900-400=500。故选C。‎ ‎9. (2012江苏苏州3分)如图,已知BD是⊙O直径,点A、C在⊙O上,,∠AOB=60°,则∠BDC 的度数是【 】‎ A.20° B.25° C.30° D. 40°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系。‎ ‎【分析】利用在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠BDC的度数:‎ ‎∵ ,∠AOB=60°,∴∠BDC=∠AOB=30°。故选C。‎ ‎10. (2012江苏泰州3分)如图,△ABC内接于⊙O,OD⊥BC于D,∠A=50°,则∠OCD的度数是【 】‎ A.40° B.45° C.50° D.60°‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理,垂径定理,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】连接OB,‎ ‎ ∵∠A和∠BOC是弧所对的圆周角和圆心角,且∠A=50°,‎ ‎∴∠BOC=2∠A=100°。‎ 又∵OD⊥BC,∴根据垂径定理,∠DOC=∠BOC=50°。‎ ‎∴∠OCD=1800-900-500=400。故选A。‎ ‎11. (2012江苏徐州3分)如图,A、B、C是⊙O上的点,若∠AOB=700,则∠ACB的度数为【 】‎ A.700 B.‎500 C.400 D.350‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据同(等)弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果:‎ ‎∠ACB=∠AOB=×700=350。故选D。‎ ‎12. (2012湖北恩施3分)如图,两个同心圆的半径分别为‎4cm和‎5cm,大圆的一条弦AB与小圆相切,则弦AB的长为【 】‎ A.‎3cm B.‎4cm C.‎6cm D.‎‎8cm ‎【答案】C。‎ ‎【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理。‎ ‎【分析】如图,连接OC,AO,‎ ‎∵大圆的一条弦AB与小圆相切,∴OC⊥AB。∴AC=BC=AB ‎∵OA=‎5cm,OC=‎4cm,‎ ‎∴在Rt△AOC中,。‎ ‎∴AB=‎2AC=6(cm)。故选C。‎ ‎13. (2012湖北黄冈3分)如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于E,已知CD=12,则⊙O 的直径为【 】‎ A. 8 B. ‎10 C.16 D.20‎ ‎【答案】D.‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】连接OC,根据题意,CE=CD=6,BE=2.‎ 在Rt△OEC中,设OC=x,则OE=x-2,∴(x-2)2+62=x2,解得:x=10。‎ ‎∴直径AB=20。故选D.‎ ‎14. (2012湖北随州4分)如图,AB是⊙O的直径,若∠BAC=350,则么∠ADC=【 】‎ ‎ A.350 B‎.550 C.700 D.1100‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)。‎ ‎∵∠BAC=35°,∴∠B=90°-∠BAC=90°-35°=55°(直角三角形两锐角互余)‎ ‎∵∠B与∠ADC是所对的圆周角,‎ ‎∴∠ADC=∠B=55°(同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等)。故选B。‎ ‎15. (2012湖北襄阳3分)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是【 】‎ A.80° B.160° C.100° D.80°或100°‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆周角定理。1028458‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边四边形性质,即可求得∠AB′C的度数:‎ 如图,∵∠AOC=160°,∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°。‎ ‎∵∠ABC+∠AB′C=180°,∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。‎ ‎∴∠ABC的度数是:80°或100°。故选D。 ‎ ‎16. 10. (2012湖北鄂州3分)如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°,则∠AOB的大小是【 】‎ A.40° B.50° C.60° D.70°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵OA=OB=OC,∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。‎ ‎ 作⊙O。‎ ‎ ∵ ∠ACB和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角,且∠ACB=30°,‎ ‎ ∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质,得∠AOB=60°。故选C。 ‎ ‎17. (2012湖南湘潭3分)如图,在⊙O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°,则∠BOD=【 】‎ A.20° B.40° C.50° D.80°‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆周角定理,平行线的性质。‎ ‎【分析】∵弦AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等)‎ 又∵∠ABC=40°,∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°(同圆所对圆周角是圆心角的一半)。故选D。‎ ‎18. (2012四川内江3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥A,∠CDB=300,CD=,则阴影部分图形的面积为【 】‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,扇形面积公式。‎ ‎【分析】连接OD。‎ ‎∵CD⊥AB,CD=,∴CE=DE=(垂径定理)。‎ ‎∴。∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积。‎ 又∵∠CDB=30°,∠COB=∠BOD,∴∠BOD=60°(圆周角定理)。‎ ‎∴OC=2。‎ ‎∴,即阴影部分的面积为。故选D。‎ ‎19. (2012四川达州3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,连结OB、OC,若OB=BC,则∠BAC等于【 】‎ A、60° B、45° C、30° D、20°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理,等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵OB=BC=OC,∴△OBC是等边三角形。∴∠BOC=60°。‎ ‎∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠BAC=∠BOC=30°。故选C。‎ ‎20. (2012四川德阳3分)已知AB、CD是⊙O的两条直径,∠ABC=30°,那么∠BAD=【 】‎ A.45° B. 60° C.90° D. 30°‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】∵∠ADC与∠ABC所对的弧相同,∴∠ADC=∠ABC=30°。‎ ‎∵OA=OD,∴∠BAD =∠ADC 30°,故选D。‎ ‎21. (2012四川泸州2分)如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B = 60°,∠BOD = 100°,则∠C的 度数为【 】‎ A、50° B、60° C、70° D、80°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理,三角形的内角和定理。‎ ‎【分析】∵∠BOD=100°,∴∠A=∠BOD=50°。‎ ‎∵∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=70°。故选C。‎ ‎22. (2012贵州黔东南4分)如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=55°,则∠BCD的度数为【 】‎ A.35° B.45° C.55° D.75°‎ ‎【答案】 A。 ‎ ‎【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角关系。‎ ‎【分析】连接AD,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.‎ ‎∵∠ABD=55°,∴∠A=90°﹣∠ABD=35°。‎ ‎∴∠BCD=∠A=35°。故选A。‎ ‎23. (2012贵州黔南4分)如图,在⊙O中,∠ABC=500,则∠CAO等于【 】‎ A.300 B.‎400 C.500 D.600‎ ‎【答案】B。 ‎ ‎【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵∠ABC和∠AOC是弧所对的圆周角和圆心角,‎ ‎ ∴∠AOC=2∠ABC=1000(同圆或等圆中同弧所对圆周角是圆心角的一半)。‎ ‎ ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA(等边对等角)。‎ ‎ ∴根据三角形内角和定理,得 ∠CAO=。故选B。‎ ‎24. (2012贵州黔西南4分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ABO=40°,则∠ACB的大小为【 】‎ ‎(A)40° (B)30° (C)50° (D)60°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质,圆周角定理;三角形内角和定理.‎ ‎【分析】∵OA=OB,∠ABO=40°,∴∠BAO=∠ABO=40°(等边对等角)。‎ ‎∴∠AOB=100°(三角形内角和定理)。‎ ‎∴∠ACB=50°(同弧所对圆周角是圆心角的一半)。故选C。‎ ‎25. (2012山东泰安3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是【 】‎ ‎  A.CM=DM  B.  C.∠ACD=∠ADC  D.OM=MD ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理,弦、弧和圆心角的关系,全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,‎ ‎∴M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立;‎ ‎∵B为的中点,即,选项B成立;‎ 在△ACM和△ADM中,∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°,CM=DM,‎ ‎∴△ACM≌△ADM(SAS),∴∠ACD=∠ADC,选项C成立。‎ 而OM与MD不一定相等,选项D不成立。‎ 故选D。‎ ‎26. (2012山东枣庄3分)如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则cos∠OBC 的值为【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系,等边三角形的性质,300角的三角函数值。‎ ‎【分析】连接AO,CO,由已知⊙A的直径为10,点C(0,5),‎ 知道△OAC是等边三角形,所以∠CAO=600,根据同弧所对圆周角是圆心角的一半知∠OBC =300,因此∠OBC的余弦值为。故选B。‎ ‎27. (2012山东淄博4分)如图,⊙O的半径为2,弦AB=,点C在弦AB上,,则OC的长为【 】‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,过点O作OD⊥AB于点D,则 AD=BD。‎ ‎ ∵AB=,,∴AD=BD=,CD=。‎ ‎ 又∵⊙O的半径为2,即OB=2,∴。‎ ‎ ∴。故选D。‎ ‎28. (2012广西河池3分)如图,已知AB为⊙O的直径,∠CAB=300,则∠D的度数为【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。‎ ‎∵∠CAB=30°,∴∠B=90°-∠CAB=60°。∴∠D=∠B=60°。故选C。‎ ‎29. (2012云南省3分)如图,AB、CD是⊙O的两条弦,连接AD、BC.若∠BAD=600,则∠BCD的度数为【 】‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵∠BAD和∠BCD都是⊙O的所对的圆周角,‎ ‎ ∴根据同弧或等弧所对的圆周角相等的性质,得∠BCD=∠BAD=600。故选C。‎ ‎30. (2012河北省2分)如图,CD是⊙O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,则下列结论正确的是【 】‎ A.AE>BE B. C.∠D=∠AEC D.△ADE∽△CBE ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理,圆周角定理,三角形外角性质,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵CD是⊙O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,‎ ‎∴根据垂径定理,得AE=BE。故选项A错误。‎ 如图,连接AC,则根据同弧所对的圆周角相等的性质,得∠D=∠B,‎ ‎∴BC=AC。‎ 根据垂径定理,只有在AB是直径时才有AC=AD,而AB不是直径,∴AD≠AC。∴。‎ ‎∴。故选项B错误。‎ 如图,连接AO,则根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质,得∠D=∠AOC。‎ ‎∵∠AEC是△AOE的外角,∴∠AEC>∠AOC。∴∠D<∠AEC。故选项C错误。‎ ‎∵根据同弧所对的圆周角相等的性质,得∠D=∠B,∠DAE=∠BCE,‎ ‎∴△ADE∽△CBE。故选项D正确。‎ 故选D。‎ ‎31. (2012黑龙江大庆3分)如图所示,已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆,则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【 】‎ ‎ A.90° B.180° C.270°   D.360°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵∠ADC,∠AEB,∠BAC所对圆弧正好是一个圆周,‎ ‎∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°。故选B。‎ ‎32. (2012黑龙江哈尔滨3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=600,0P⊥AC于点P,OP=2,则⊙O的半径为【 】.‎ ‎(A)4 (B)6 (C)8 (D)12‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理,含30度角的直角三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为 ,且∠B=60°,‎ ‎∴∠AOC=2∠B=120°(在同圆或等圆中,同弧所对圆周角是圆心角的一半)。‎ 又OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°(等边对等角和三角形内角和定理)。‎ ‎∵OP⊥AC,∴∠AOP=90°(垂直定义)。‎ 在Rt△AOP中,OP=2 ,∠OAC=30°,‎ ‎∴OA=2OP=4(直角三角形中,30度角所对的边是斜边的一半)。‎ ‎∴⊙O的半径4。故选A。‎ 二、填空题 ‎1. (2012天津市3分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D为⊙O上一点,若∠CAB=550,则∠ADC的大小为 ▲ (度).‎ ‎【答案】35。‎ ‎【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,‎ ‎∵∠CAB=55°,∴∠B=90°-∠CAB=35°。∴∠ADC=∠B=35°。‎ ‎2. (2012安徽省5分)如图,点A、B、C、D在⊙O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD= ▲ °.‎ ‎【答案】60。‎ ‎【考点】圆周角定理,平行四边形的性质,圆内接四边形的性质。‎ ‎【分析】∵∠AOC和∠D分别是弧所对的圆心角和圆周角,‎ ‎∴根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半,得∠AOC=2∠D。‎ 又∵四边形OABC是平行四边形,∴∠B=∠AOC。‎ 又∵圆内接四边形对角互补,即∠B+∠D=180°,∴∠D=60°。‎ 连接OD,‎ 则OA=OD,OD=OC,∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,‎ ‎∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D= 60°。‎ ‎3. (2012广东省4分)如图,A、B、C是⊙O上的三个点,∠ABC=25°,则∠AOC的度数是  ▲  .‎ ‎【答案】50°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧,‎ ‎∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠AOC=2∠ABC,‎ 又∵∠ABC=25°,∴∠AOC=50°。‎ ‎4. (2012广东汕头4分)如图,A、B、C是⊙O上的三个点,∠ABC=25°,则∠AOC的度数是  ▲  .‎ ‎【答案】50°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧,‎ ‎∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠AOC=2∠ABC,‎ 又∵∠ABC=25°,∴∠AOC=50°。‎ ‎5. (2012广东湛江4分)如图,在半径为13的⊙O中,OC垂直弦AB于点B,交⊙O于点C,AB=24,则CD的长是  ▲ .‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】连接OA,‎ ‎∵OC⊥AB,AB=24,∴AD=AB=12,‎ 在Rt△AOD中,∵OA=13,AD=12,‎ ‎∴。‎ ‎∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8。‎ ‎6. (2012广东珠海4分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=26,CD=24,那么sin∠OCE=  ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理,锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】如图,设AB与CD相交于点E,则根据直径AB=26,得出半径OC=13;由CD=24,CD⊥AB,根据垂径定理得出CE=12;在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OE=5;再根据正弦函数的定义,求出sin∠OCE的度数:‎ ‎。‎ ‎7. (2012浙江嘉兴、舟山5分)如图,在⊙O中,直径AB丄弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为  ▲  .‎ ‎【答案】24。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】连接OC,∵AM=18,BM=8,∴AB=26,OC=OB=13。∴OM=13﹣8=5。‎ 在Rt△OCM中,。‎ ‎∵直径AB丄弦CD,∴CD=‎2CM=2×12=24。‎ ‎8. (2012浙江衢州4分)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是‎10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为‎8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为  ▲  mm.‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】垂径定理的应用,勾股定理。‎ ‎【分析】连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD,‎ ‎∵钢珠的直径是‎10mm,∴钢珠的半径是‎5mm。‎ ‎∵钢珠顶端离零件表面的距离为‎8mm,∴OD=‎3mm。‎ 在Rt△AOD中,∵mm,‎ ‎∴AB=2AD=2×4=‎8mm。‎ ‎9. (2012浙江台州5分)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=16厘米,则球的半径为 ▲ 厘米.‎ ‎【答案】10。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理,矩形的性质,解方程组。‎ ‎【分析】如图,过球心O作IG⊥BC,分别交BC、AD、劣弧于点G、H、I,连接OF。设OH=x,HI=y,则依题意,根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质,得,解得。∴球的半径为x+y=10(厘米)。‎ ‎10. (2012江苏南通3分)如图,在⊙O中,∠AOB=46º,则∠ACB= ▲ º.‎ ‎【答案】23°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质,‎ ‎∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧所对的圆周角和圆心角,且∠AOB=46º,∴‎ ‎∠ACB=∠AOB=×46°=23°。‎ ‎11. (2012江苏徐州2分)如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,且CD⊥AB,AC=8,BC=6,则sin∠ABD=‎ ‎ ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,勾股定理,锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=900。‎ ‎ 又∵CD⊥AB,∠ACD=∠ABC。‎ ‎ 又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角,∴∠ABD=∠ACD。∴∠ABD=∠ABC。‎ ‎ 又∵AC=8,BC=6,∴由勾股定理得AB=10。∴sin∠ABD=sin∠ABC=。‎ ‎12. (2012福建南平3分)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上,∠ADC=68°,则∠BAC= ▲ ‎ ‎【答案】22°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠B的度数,又由直径所对的圆周角是直角,即可求得∠ACB=90°,继而求得答案:‎ ‎∵∠ABC与∠ADC是 AC 对的圆周角,∴∠ABC=∠ADC=68°。‎ ‎∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-68°=22°。‎ ‎13. (2012湖北荆门3分) 如图,在直角坐标系中,四边形OABC是直角梯形,BC∥OA,⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B,与AB交于点F.已知A(2,0),B(1,2),则tan∠FDE=  ▲  .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】切线的性质,锐角三角函数的定义,圆周角定理。 ‎ ‎【分析】连接PB、PE.‎ ‎∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B,∴PB⊥BC,PE⊥OA。‎ ‎∵BC∥OA,∴B、P、E在一条直线上。‎ ‎∵A(2,0),B(1,2),∴AE=1,BE=2。∴。‎ ‎∵∠EDF=∠ABE,∴tan∠FDE=。‎ ‎14. (2012湖北咸宁3分)如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度 线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转,CP与量角器的半 圆弧交于点E,第35秒时,点E在量角器上对应的读数是 ▲ 度.‎ ‎【答案】140。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】连接OE,‎ ‎∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上,即点C在⊙O上。‎ ‎∴∠EOA=2∠ECA。‎ ‎∵∠ECA=2×35°=70°,‎ ‎∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°,即点E在量角器上对应的读数是140°。‎ ‎15. (2012湖南益阳4分)如图,点A、B、C在圆O上,∠A=60°,则∠BOC=  ▲  度.‎ ‎【答案】120。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角,‎ ‎ ∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°。‎ ‎17. (2012湖南株洲3分)已知:如图,在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,则∠AOB=  ▲  .‎ ‎【答案】90°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】由在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠AOB的度数:‎ ‎∵在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°。‎ ‎18. (2012四川成都4分)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C.若AB= ,‎0C=1,则半径OB的长为 ▲ .‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C,AB=,∴BC=AB=。‎ ‎∵OC=1,∴在Rt△OBC中,。‎ ‎19. (2012四川广元3分)在同一平面上,⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为‎6cm,最短为‎2cm,‎ 则⊙O的半径为 ▲ cm ‎【答案】2。‎ ‎【考点】点与圆的位置关系。‎ ‎【分析】当点P在圆外时,直径=‎6 cm-‎2 cm =‎4cm,因而半径是‎2cm。‎ ‎20. (2012辽宁鞍山3分)如图,△ABC内接于⊙O,AB、CD为⊙O直径,DE⊥AB于点E,sinA=,则∠D的度数是 ▲ .‎ ‎【答案】30°。‎ ‎【考点】圆周角定理,特殊角的三角函数值,直角三角形两锐角的关系,等边三角形的判定和性质,对顶角的性质。1367104‎ ‎【分析】∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)。‎ 又∵sinA=,∴∠CAB=30°。∴∠ABC=60°(直角三角形的两个锐角互余)。‎ 又∵点O是AB的中点,∴OC=OB。∴△OCB是等边三角形。∴∠COB=60°。‎ ‎∴∠EOD=∠COB=60°(对顶角相等)。‎ 又∵DE⊥AB,∴∠D=90°﹣60°=30°。 ‎ ‎21. (2012辽宁朝阳3分)如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB,垂足为E,已知CD=6,AE=1,则⊙O的半径为 ▲ 。‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】连接OD,‎ ‎∵AB⊥CD,AB是直径,∴由垂径定理得:DE=CE=3。‎ 设⊙O的半径是R,‎ 在Rt△ODE中,由勾股定理得:‎ 解得:R=5。‎ ‎22. (2012辽宁大连3分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,若∠BCA=60°,则∠ABO= ▲ °。‎ ‎【答案】30。‎ ‎【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】由△ABC是⊙O的内接三角形,∠BCA=60°,根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠BCA=120°。‎ ‎ ∵OA=OB,∴根据等腰三角形等边对等角的性质,得∠BAO=∠ABO。‎ ‎ ∴根据三角形内角和定理,得∠ABO=30°。‎ ‎23. (2012辽宁阜新3分)如图,在△ABC中,BC=‎3cm,∠BAC=60°,那么△ABC能被半径至少为 ‎ ▲ cm的圆形纸片所覆盖.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】作圆O的直径CD,连接BD,‎ ‎∵圆周角∠A、∠D所对弧都是,∴∠D=∠A=60°。‎ ‎∵CD是直径,∴∠DBC=90°。∴sin∠D=。‎ 又∵BC=‎3cm,∴sin60°=,解得:CD=。‎ ‎∴圆O的半径是(cm)。‎ ‎∴△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖。‎ ‎24. (2012辽宁锦州3分)如图,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3㎝,DB=10㎝,以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点,则线段EF的长是 ▲ ㎝.‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,过点O作OH⊥AP于点H,OE。‎ ‎ ∵AD=3㎝,DB=10㎝,∴EO=DO=5㎝,AO=8㎝。‎ ‎ 又∵∠PAC=30°,‎ ‎∴在Rt△AOH中,HO=AOsin∠PAC=8×=4(㎝),‎ 在Rt△EOH中,(㎝)。‎ ‎∴EF=2EH=6㎝。‎ ‎25. (2012贵州六盘水4分)如图,已知∠OCB=20°,则∠A= ▲ 度.‎ ‎【答案】70°。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理,圆周角定理。‎ ‎【分析】由OB=OC与∠OCB=20°,根据等边对等角的性质,即可求得∠OBC=20°。‎ 由三角形内角和定理,得∠BOC=180°﹣∠OCB﹣∠OBC=180°﹣20°﹣20°=140°。‎ 由同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质,即可求得∠A=∠BOC=70°。‎ ‎26. (2012贵州六盘水4分)当宽为‎3cm的刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位:cm),那么该圆的半径为 ▲ cm.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,‎ ‎∵OD⊥AB,∴AD=AB=(9﹣1)=4。‎ 设OA=r,则OD=r﹣3,‎ 在Rt△OAD中,‎ OA2﹣OD2=AD2,即r2﹣(r﹣3)2=42,解得r=(cm)。‎ ‎27. (2012贵州遵义4分)如图,AB是⊙O的弦,AB长为8,P是⊙O上一个动点(不与A、B重合),过点O作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长为  ▲  .‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】垂径定理,三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵OC⊥AP,OD⊥PB,∴由垂径定理得:AC=PC,PD=BD,‎ ‎∴CD是△APB的中位线,∴CD=AB=×8=4。‎ ‎28. (2012山东东营4分)某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图1),若不计木条的厚 度,其俯视图如图2所示,已知AD垂直平分BC,AD=BC=‎48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值 是  ▲ cm. ‎ ‎【答案】30。‎ ‎【考点】垂径定理的应用,勾股定理。‎ ‎【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时,圆外接于△ABC;连接外心与B点,可通过勾股定理即可求出圆的半径:‎ 如图,连接OB, ‎ 当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。‎ ‎∵AD垂直平分BC,AD=BC=‎48cm,∴O点在AD上,BD=‎24cm。‎ 在Rt△0BD中,设半径为r,则OB=r,OD=48-r。‎ ‎∴r2=(48-r)2+242,解得r=30。‎ ‎∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为‎30cm。‎ ‎29. (2012山东青岛3分)如图,点A、B、C在⊙O上,∠AOC=60º,则∠ABC= ▲ º.‎ ‎【答案】150。‎ ‎【考点】圆周角定理,圆的内接四边形的性质。‎ ‎【分析】如图,在优弧 ADC 上取点D,连接AD,CD,‎ ‎∵∠AOC=60°,∴∠ADC=∠AOC=30°。‎ ‎∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°。‎ ‎30. (2012山东泰安3分)如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧上一点(不与A,B重合),则cosC的值为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】连接AO并延长到圆上一点D,连接BD,‎ 可得AD为⊙O直径,故∠ABD=90°。‎ ‎∵半径为5的⊙O中,弦AB=6,则AD=10‎ ‎∴BD=。‎ ‎∵∠D=∠C,∴cosC=cosD=。‎ ‎31. (2012山东淄博4分)如图,AB,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,BE是⊙O的直径.若AC=3,则DE=‎ ‎ ▲ . ‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,平行的判定,等腰梯形的判定。‎ ‎【分析】∵BE是⊙O的直径.∴∠BDE=900。∴∠BED+∠DBE=900。‎ ‎ ∵AB⊥CD,∴∠BCD+∠ABC=900。‎ ‎ 又∵∠BED和∠BCD是同弧所对的圆周角,∴∠BED=∠BCD。‎ ‎∴∠DBE=∠ABC。∴∠DBE+∠ABE =∠ABC+∠ABE,即∠ABD=∠CBE。‎ 又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角,∠CBE和∠CDE是同弧所对的圆周角,‎ ‎∴∠ABD=∠ACD,∠CBE=∠CDE。∴∠ACD= CDE。‎ 连接AE,设BE与CD交于点F,‎ ‎∵BE是⊙O的直径.∴∠AEB+∠ABE=900。‎ ‎∵AB⊥CD,∴∠ABE+∠BFC=900。∴∠AEB=∠BFC。∴AE∥CD。‎ ‎∴四边形ACDE是等腰梯形。∴DE=AC。‎ ‎∵AC=3,∴DE=3。‎ ‎32. (2012广西河池3分)如图,AB、AC是⊙O的弦,OE⊥AB、OF⊥AC,垂足分别为E、F.如果EF=3.5,‎ 那么BC= ▲ . ‎ ‎【答案】7。‎ ‎【考点】垂径定理,三角形中位线定理。‎ ‎【分析】由OE垂直于AB,利用垂径定理得到E为AB的中点,同理得到F为AC的中点,可得出EF为三角形ABC的中位线,利用三角形的中位线定理得到BC=2EF,即可求出BC的长:‎ ‎∵OE⊥AB,OF⊥AC,∴E为AB的中点,F为AC的中点,即EF为△ABC的中位线。∴EF=BC。‎ 又∵EF=3.5,∴BC=2EF=7。‎ ‎33. (2012广西南宁3分)如图,点B,A,C,D在⊙O上,OA⊥BC,∠AOB=50°,则∠ADC= ▲ 0.‎ ‎【答案】25。‎ ‎【考点】圆周角定理,垂径定理。‎ ‎【分析】∵OA⊥BC,∴,∴∠ADC=∠AOB= ×50°=250。‎ ‎34. (2012吉林省3分)如图,A,B,C是⊙O上的三点,∠CAO=25°,∠BCO=35°,则∠AOB=‎ ‎_ ▲____度.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质,圆周角定理。‎ ‎【分析】∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO=25°(等边对等角)。∴∠ACB=∠ACO+∠BOC=25°+35°=60°。‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°(圆内同弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半)。‎ ‎35. (2012青海西宁2分)如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为‎2m,净高CD为‎5m,则圆拱 形门所在圆的半径为 ▲ m.‎ ‎【答案】2.6。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】连接OA;‎ 在Rt△OAD中,AD=AB=‎1 m。‎ 设⊙O的半径为R,则OA=OC=R,OD=5-R,‎ 由勾股定理,得:OA2=AD2+OD2,即:R2=(5-R)2+12,解得R=2.6(m)。‎ ‎36. (2012青海省2分)如图,已知点E是圆O上的点,B、C分别是劣弧AD的三等分点,∠BOC=46°,则∠AED的度数为 ▲ 度.‎ ‎【答案】69。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵B、C分别是劣弧AD的三等分点,∠BOC=46°,∴∠AOD=138°(等弧所对圆心角相等)。‎ ‎∴∠AED=138°÷2=69°(同弧所对圆周角是圆心角的一半)。 ‎ ‎37. (2012内蒙古包头3分)如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=600,⊙O的半径为2 ,则BC 的长为 ‎ ▲ (保留根号)。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆周角定理,垂径定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图,过点O作OD⊥BC于点D,‎ ‎ ∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角,且∠BAC=600,‎ ‎ ∴∠BOC=2∠BAC=1200。‎ ‎ 又∵OD⊥BC,∴∠BOD=600,BD=DC。‎ ‎ 又∵OB=2,∴BD=ODcos∠BOD=2×。∴BC=2BD=。‎ ‎38. (2012黑龙江绥化3分)⊙O为△ABC的外接圆,∠BOC=100°,则∠A= ▲ ‎ ‎【答案】50°或130°。‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心,圆周角定理,圆内接四边形的性质。‎ ‎【分析】分为两种情况:当O在△ABC内部时,‎ 根据圆周角定理得:∠A=∠BOC=×100°=50°;‎ 当O在△ABC外部时,如图在A′时,‎ ‎∵A、B、A′、C四点共圆,∴∠A+∠A′=180°。‎ ‎∴∠A′=180°-50°=130°。‎ 故答案为:50°或130°。‎ ‎39. (2012黑龙江牡丹江3分)⊙O的半径为‎5cm,弦AB∥CD,且AB=‎8 cm,CD=‎6cm,则AB与CD的距离为 ▲ ‎ ‎【答案】‎1 cm或‎7 cm。‎ ‎【考点】平等线间的距离,垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,分AB和CD在圆心的同侧和异侧。‎ ‎ 当AB和CD在圆心的同侧时,连接OB,OD,过点O作AB和CD的垂线,分别交于点E,F。‎ ‎ 由AB∥CD,AB=‎8 cm,CD=‎6cm,根据垂径定理,得BE=‎4cm,DF=‎3cm。‎ ‎ ∵⊙O的半径为‎5cm,∴OB=OD=‎5cm。‎ ‎ ∴根据勾股定理,得OE=‎3 cm,OF=‎4 cm。∴EF=OF-OE=‎1 cm。‎ ‎ 同理,当AB和CD在圆心的异侧时,EF=OF+OE=‎7 cm。‎ ‎ 综上所述,AB与CD的距离为‎1 cm或‎7 cm。‎ ‎40. (2012黑龙江龙东地区3分)如图,点A、B、C、D分别是⊙O上四点,∠ABD=20°,BD是直径,‎ 则∠ACB= ▲ 。‎ ‎【答案】70°‎ ‎【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】连接AD,‎ ‎ ∵BD是直径,∴∠BAD=90°。‎ ‎∵∠ABD=20°,∴∠D=90°-∠DBD=70°。‎ ‎∴∠ACB=∠D=70°。‎ 三、解答题 ‎1. (2012宁夏区6分)在⊙O中,直径AB⊥CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.‎ 求∠D的度数.‎ ‎【答案】解:连接BD 。‎ ‎∵AB⊙O是直径,∴BD ⊥AD。‎ 又∵CF⊥AD,∴BD∥CF。∴∠BDC=∠C。‎ 又∵∠BDC=∠BOC,∴∠C=∠BOC。‎ ‎∵AB⊥CD,∴∠C=30°。∴∠ADC=60°。‎ ‎【考点】圆周角定理,平行线的判定和性质,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】连接BD,根据平行线的判定和性质可得:BD∥CF,则∠BDC=∠C,根据圆周角定理可得 ‎∠BDC= ∠BOC,则∠C=∠BOC,根据直角三角形的两个锐角互余即可求解。‎ ‎2. (2012江苏南通8分)如图,⊙O的半径为‎17cm,弦AB∥CD,AB=‎30cm,CD=‎16cm,圆心O位于AB、CD的上方,求AB和CD间的距离.‎ ‎【答案】解:分别作弦AB、CD的弦心距,设垂足为E、F,连接OA,OC。‎ ‎∵AB=30,CD=16,∴AE=AB=15,CF=CD=8。‎ 又∵⊙O的半径为17,即OA=OC=17。‎ ‎∴在Rt△AOE中,。‎ 在Rt△OCF中,。‎ ‎∴EF=OF-OE=15-8=7。‎ 答:AB和CD的距离为‎7cm。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】分别作弦AB、CD的弦心距,设垂足为E、F;由于AB∥CD,则E、O、F三点共线,EF即为AB、CD间的距离;由垂径定理,易求得AE、CF的长,可连接OA、ODC在构建的直角三角形中,根据勾股定理即可求出OE、OF的长,也就求出了EF的长,即弦AB、CD间的距离。‎ ‎3. (2012湖南岳阳6分)如图所示,在⊙O中,,弦AB与弦AC交于点A,弦CD与AB交于点F,连接BC.‎ ‎(1)求证:AC2=AB•AF;‎ ‎(2)若⊙O的半径长为‎2cm,∠B=60°,求图中阴影部分面积.‎ ‎【答案】(1)证明:∵,∴∠ACD=∠ABC。‎ 又∵∠BAC=∠CAF,∴△ACF∽△ABC。‎ ‎∴,即AC2=AB•AF。‎ ‎(2)解:如图,连接OA,OC,过O作OE⊥AC,垂足为点E,‎ ‎∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°。‎ 又∵OA=OC,∴∠AOE=∠COE=×120°=60°。‎ 在Rt△AOE中,OA=2, OE=OAcos60°=1‎ ‎∴。∴AC=2AE=2。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,扇形面积的计算。‎ ‎【分析】(1)由,利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC,根据相似得比例可得证。‎ ‎(2)连接OA,OC,过O作OE垂直于AC,垂足为点E,由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积,利用等腰三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义求出各线段长即可。‎ ‎4. (2012辽宁沈阳10分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD.21世纪教育网 ‎(1)求证:BD平分∠ABC;‎ ‎(2) 当∠ODB=30°时,求证:BC=OD.‎ ‎【答案】证明:(1)∵OD⊥AC OD为半径,∴。‎ ‎∴∠CBD=∠ABD。 ∴BD平分∠ABC。‎ ‎(2)∵OB=OD,∠ODB=30°,∴∠OBD=∠ODB=30°。‎ ‎∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°。‎ 又∵OD⊥AC于E,∴∠OEA=90°。‎ ‎∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°。‎ 又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。‎ ‎∴在Rt△ACB中,BC=AB 。‎ ‎∵OD=AB,∴BC=OD。‎ ‎【考点】圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,三角形内角定理和外角性质,含300角直角三角形的性质。‎ ‎【分析】(1)由OD⊥AC OD为半径,根据垂径定理,即可得 ‎ ,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得BD平分∠ABC。‎ ‎(2)由OB=OD,根据等腰三角形等边对等角的性质,求得∠AOD的度数;由OD⊥AC于E,可求得∠A的度数,然后由AB是⊙O的直径,根据圆周角定理,可得∠ACB=90°,从而根据含300角直角三角形中300角所对直角边是斜边一半的性质,可证得BC=OD。‎ ‎5. (2012贵州安顺12分)如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°.‎ ‎(1)求∠B的大小;‎ ‎(2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离.‎ ‎【答案】解:(1)∵∠APD=∠C+∠CAB,∠CAB=40°,∠APD=65°,‎ ‎∴∠C=65°﹣40°=25°。‎ ‎∴∠B=∠C=25°。‎ ‎(2)过点O作OE⊥BD于E,则DE=BE,‎ 又∵AO=BO,∴OE=AD=×6=3。‎ ‎∴圆心O到BD的距离为3。‎ ‎【考点】圆周角定理,三角形外角性质,垂径定理,三角形中位线定理。‎ ‎【分析】(1)根据圆周定理以及三角形外角求出即可。‎ ‎(2)利用三角形中位线定理得出OE= AD,即可得出答案。‎ ‎6. (2012山东潍坊9分)如图,三角形ABC的两个顶点B、C在圆上,顶点A在圆外,AB、AC分别交圆于E、D两点,连结EC、BD.‎ ‎ (1)求证:ΔABD∽ΔACE;‎ ‎ (2)若ΔBEC与ΔBDC的面积相等,试判定三角形ABC的形状.‎ ‎【答案】(1)证明:∵弧ED所对的圆周角相等,∴∠EBD=∠ECD,‎ 又∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE。 (2)解:△ABC为等腰三角形。理由如下:‎ ‎∵S△BEC=S△BCD,S△ACE=S△ABC-S△BEC,S△ABD=S△ABC-S△BCD,‎ ‎∴S△ACE=S△ABD。‎ 又由(1)知△ABD∽△ACE,∴对应边之比等于1。‎ ‎∴AB=AC,即△ABC为等腰三角形。‎ ‎【考点】圆周角定理,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)利用圆周角定理得出∠EBD=∠ECD,再利用∠A=∠A,得出△ABD∽△ACE。‎ ‎(2)根据△BEC与△BDC的面积相等,得出S△ACE=S△ABD,进而求出AB=AC,得出答案。‎ ‎7. (2012广西柳州10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦.‎ ‎(1)请你按下面步骤画图(画图或作辅助线时先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑);‎ 第一步,过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D;‎ 第二步,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点E.‎ 第三步,连接BD.‎ ‎(2)求证:AD2=AE•AB;‎ ‎(3)连接EO,交AD于点F,若‎5AC=3AB,求的值.‎ ‎【答案】解:(1)如图;‎ ‎(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°。‎ ‎ 又∵DE⊥AC,∴∠AED=90°。‎ ‎∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB。∴Rt△ADE∽Rt△ABD。‎ ‎∴AD:AB=AE:AD,∴AD2=AE•AB。‎ ‎(3)如图,连接OD、BC,它们交于点G, ‎ ‎∵‎5AC=3AB,即AC:AB=3:5,∴不妨设AC=3x,AB=5x,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。∴∠ECG=90°。‎ 又∵∠CAD=∠DAB,∴。∴OD垂直平分BC。‎ ‎∴OD∥AE,OG=AC=x。∴四边形ECGD为矩形。‎ ‎∴CE=DG=OD-OG=x-x =x。∴AE=AC+CE=3x+x=4x。‎ ‎∵AE∥OD,∴△AEF∽△DOF。∴AE:OD=EF:OF,∴EF:OF=4x:x=8:5。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】圆的综合题,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D;点D作AC的垂线,垂足为点E。‎ ‎(2)根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°,DE⊥AC,则∠AED=90°,又由AD平分∠CAB 得到∠CAD=∠DAB,根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD,根据相似的性质得到AD:AB=AE:AD,利用比例的性质即可得到AD2=AE•AB。‎ ‎(3)连接OD、BC,它们交于点G,由‎5AC=3AB,则不妨设AC=3x,AB=5x,根据直径所对的 圆周角为直角得到∠ACB=90°,由∠CAD=∠DAB得到,根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC,则有OD∥AE,OG=AC=x,并且得到四边形ECGD为矩形,则可求出CE,从而计算出AE,利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF,则AE:OD=EF:OF,即EF:OF=4x:x=8:5,然后根据比例的性质即可得到 的值。‎ ‎8. (2012新疆区8分)如图,圆内接四边形ABCD,AB是⊙O的直径,OD⊥BC于E.‎ ‎(1)请你写出四个不同类型的正确结论;‎ ‎(2)若BE=4,AC=6,求DE.‎ ‎【答案】解:(1)四个不同类型的正确结论分别为:∠ACB=90°;BE=CE;;OD∥AC。‎ ‎(2)∵OD⊥BC,BE=4,∴BE=CE=4,即BC=2BE=8。‎ ‎∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=90°。‎ 在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,根据勾股定理得:AB=10。∴OB=5。‎ 在Rt△OBE中,OB=5,BE=4,根据勾股定理得:OE=3。‎ ‎∴ED=OD﹣OE=5﹣3=2。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理。‎ ‎【分析】(1)由AB为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角;由OD垂直于BC,利用垂径定理得到E为BC的中点,即BE=CE,,由OD垂直于BC,AC也垂直于BC,利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD与AC平行。‎ ‎(2)由OD垂直于BC,利用垂径定理得到E为BC的中点,由BE的长求出BC的长,由AB为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角,在Rt△ABC中,由BC与AC的长,利用勾股定理求出AB的长,从而求出半径OB与OD的长,在Rt△BOE中,由OB与BE的长,利用勾股定理求出OE的长,由OD﹣OE即可求出DE的长。 ‎ ‎9. (2012吉林长春5分)如图,在同一平面内,有一组平行线l1、l2、l3,相邻两条平行线之间的距离均为4,点O在直线l1上,⊙O与直线l3‎ 的交点为A、B,AB=12,求⊙O的半径.‎ ‎【答案】解:过点O作OD⊥AB,垂足为点D,连接OA。‎ ‎∵AB=12,∴AD=AB=×12=6。‎ ‎∵相邻两条平行线之间的距离均为4,∴OD=8。‎ 在Rt△AOD中,∵AD=6,OD=8,‎ ‎∴。‎ 答:⊙O的半径为10。‎ ‎【考点】垂径定理,平行线之间的距离,勾股定理。‎ ‎【分析】过点O作OD⊥AB,由垂径定理可知AD=AB,再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=8,在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长。‎ ‎10. (2012青海省7分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点N,点M在⊙O上,∠1=∠C ‎(1)求证:CB∥MD;‎ ‎(2)若BC=4,sinM=,求⊙O的直径.‎ ‎【答案】解:(1)证明:∵∠C与∠M是所对的圆周角,∴∠C=∠M。‎ 又∵∠1=∠C,∴∠1=∠M。∴CB∥MD。‎ ‎(2)连接AC,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。‎ 又∵CD⊥AB,∴。∴∠A=∠M。∴sinA=sinM。在Rt△ACB中,sinA=,∵sinM=,BC=4,∴‎ ‎。∴AB=6,即⊙O的直径为6。【考点】圆周角定理,平行的判定,垂径定理;锐角三角函数定义。190187‎ ‎【分析】(1)由∠C与∠M是所对的圆周角,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得∠C=∠M,又由∠1=∠C,易得∠1=∠M,即可判定CB∥MD。‎ ‎(2)连接AC,AB为⊙O的直径,可得∠ACB=90°,又由弦CD⊥AB,根据垂径定理的即可求得,从而可得∠A=∠M,又由BC=4,sinM=,即可求得⊙O的直径。‎ ‎11. (2012黑龙江大庆6分) 如图△ABC中,BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°.‎ ‎ (1)求∠ACB的大小;‎ ‎ (2)求点A到直线BC的距离.‎ ‎【答案】解:(1)连接BD,‎ ‎∵以BC为直径的⊙O交AC于点D,∴∠BDC=90°。‎ ‎∵D是AC中点,∴BD是AC的垂直平分线。‎ ‎∴AB=BC。∴∠A=∠C。‎ ‎∵∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°。即∠ACB=30°。‎ ‎(2)过点A作AE⊥BC于点E,‎ ‎∵BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,‎ ‎∴cos30°=。∴CD=。‎ ‎∵AD=CD,∴AC=。‎ ‎∵在Rt△AEC中,∠ACE=30°,∴。‎ ‎∴点A到直线BC的距离为。‎ ‎【考点】圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,匀角三角函数定义,特殊角的三角函数值。11928‎ ‎【分析】(1)根据垂直平分线的性质得出AB=BC,从而得出∠A=∠C=30°即可。‎ ‎(2)根据BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,得出CD的长,从而求出AE的长度即可。‎