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  • 2021-05-10 发布

中考数学试题分类汇编圆解答题

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三、解答题 ‎1.(2010甘肃兰州)(本题满分6分)小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A、B、C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.‎ ‎(1)(本小题满分4分)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).‎ ‎(2)(本小题满分2分))若△ABC中AB=8米,AC=6米,∠BAC=,试求小明家圆形花坛的面积.‎ ‎【答案】(1)(本小题满分4分)‎ 用尺规作出两边的垂直平分线 ‎ 作出圆 ⊙O即为所求做的花园的位置.(图略) ‎ ‎(2)(本小题满分2分)‎ ‎ 解:∵∠BAC=,AB=8米,AC=6米, ∴BC=10米 ‎ ∴ △ABC外接圆的半径为5米 ∴小明家圆形花坛的面积为2平方米 . ‎ ‎2.(2010江苏南通)(本小题满分8分) ‎ 如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足P是OB的中点,‎ CD=6 cm,求直径AB的长.‎ O B A D C ‎·‎ P ‎(第20题)‎ ‎【答案】方法一:连结OC,BC,则OC=OB ‎∵PC垂直平分OB,∴OC=BC.∴OC=OB=BC.∴△BOC为等边三角形.‎ ‎∴∠BOC=60° 由垂径定理,CP=CD=3cm 在Rt△BOC中,=tan∠COP= ∴OP=cm.‎ ‎∴AB=2OB=4OP=4cm.‎ 方法二:‎ 解:连OC,设OP为,则OC为2,直径AB为4,‎ 在Rt△COP中,‎ 即,解得 所以直径AB为cm.‎ ‎3.(2010山东济宁)如图,为外接圆的直径,,垂足为点,的平分线交于点,连接,.‎ ‎(1) 求证:; ‎ ‎(2) 请判断,,三点是否在以为圆心,以为半径的圆上?并说明理由.‎ ‎(第20题)‎ ‎【答案】‎ ‎(1)证明:∵为直径,,‎ ‎∴.∴. 3分 ‎(2)答:,,三点在以为圆心,以为半径的圆上. 4分 理由:由(1)知:,∴.‎ ‎∵,,,‎ ‎∴.∴. 6分 由(1)知:.∴.‎ ‎∴,,三点在以为圆心,以为半径的圆上. 7分 ‎4.(2010浙江嘉兴)如图,已知⊙O的半径为1,PQ是⊙O的直径,n个相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都关于PQ对称,其中第一个的顶点与点P重合,第二个的顶点是与PQ的交点,…,最后一个 的顶点、在圆上.‎ ‎(第23题)‎ ‎(第23题 图1)‎ ‎(第23题 图2)‎ ‎(1)如图1,当时,求正三角形的边长;‎ ‎(2)如图2,当时,求正三角形的边长;‎ ‎(3)如题图,求正三角形的边长(用含n的代数式表示).‎ ‎【答案】‎ ‎(1)设与交于点D,连结,‎ ‎(第23题 图1)‎ 则,‎ 在中,,‎ 即,‎ 解得. …4分 ‎(第23题 图2)‎ ‎(2)设与交于点E,连结,‎ 则,‎ 在中,‎ 即,‎ 解得. …4分 ‎(第23题)‎ ‎(3)设与交于点F,连结,‎ 则,‎ 在中,‎ 即,‎ 解得. …4分 ‎5.(2010 嵊州市)(10分)‎ ‎(1)请在图①的正方形ABCD内,画出使∠APB=90°的一个点P,并说明理由。‎ ‎(2)请在图②的正方形ABCD内(含边),画出使∠APB=60°的所有的点P,并说明理由。‎ ‎(3)如图③,现在一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3,工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CPD钢板,且∠APB=∠CPD=60°,请你在图③中画出符合要求的点P和P。‎ ‎ 图① 图② 图③‎ ‎【答案】(1)如图①,点P为所求 ‎(2)如图②,圆上实线部分弧EF为所求②③‎ ‎(3)如图③,点、为所求 ‎6.(2010浙江金华)A C B D E F O 如图,AB是⊙O的直径,C是的中点,CE⊥AB于 E,BD交CE于点F.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎(1)求证:CF﹦BF;‎ ‎(2)若CD ﹦6, AC ﹦8,则⊙O的半径为 ▲ , ‎ CE的长是 ▲ .‎ ‎【答案】解:(1) 证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB﹦90°‎ ‎ 又∵CE⊥AB, ∴∠CEB﹦90°‎ ‎ ∴∠2﹦90°-∠A﹦∠1‎ ‎ 又∵C是弧BD的中点,∴∠1﹦∠A ‎ ∴∠1﹦∠2,‎ ‎ ∴ CF﹦BF﹒ ‎ A C B D E F O ‎1‎ ‎2‎ ‎(2) ⊙O的半径为5 , CE的长是 ‎7.(2010 四川南充)如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC, OE=BC. (1)求∠BAC的度数. (2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.求证:四边形AFHG是正方形. (3)若BD=6,CD=4,求AD的长.‎ A F C D E G H B O ‎   ‎A F C D E G H B O ‎【答案】(1)解:连结OB和OC. ‎A F C D E G H B O ‎∵ OE⊥BC,∴ BE=CE. ∵ OE=BC,∴ ∠BOC=90°,∴ ∠BAC=45°.       ‎ ‎(2)证明:∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADC=90°. 由折叠可知,AG=AF=AD,∠AGH=∠AFH=90°,       ∠BAG=∠BAD,∠CAF=∠CAD,          ∴ ∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°. ∴ ∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°. ∴ 四边形AFHG是正方形.                   (3)解:由(2)得,∠BHC=90°,GH=HF=AD,GB=BD=6,CF=CD=4. 设AD的长为x,则 BH=GH-GB=x-6,CH=HF-CF=x-4.   在Rt△BCH中,BH2+CH2=BC2,∴ (x-6)2+(x-4)2=102. 解得,x1=12,x2=-2(不合题意,舍去). ∴ AD=12.                        ‎ ‎8.(2010福建福州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,∠1=∠C.‎ ‎(1)求证:CB∥PD;‎ ‎(2)若BC=3,sinP=,求⊙O的直径.‎ ‎(第19题)‎ ‎【答案】解:(1)证明:∵ , ∴ ∠C=∠P.‎ 第19题图 ‎ 又∵ ∠1=∠C, ∴ ∠1=∠P.‎ ‎ ∴ CB∥PD.‎ ‎ (2)连接AC.‎ ‎ ∵ AB为0D的直径, ∴ ∠ACB=90°.‎ ‎ 又∵ CD⊥AB, ∴ ‎ ‎∴ ∠A=∠P, ∴ sinA=sinP.‎ 在Rt△ABC中, sinA=,‎ ‎∵ sinP=, ∴ =.‎ 又∵ BC=3, ∴ AB=5.‎ 即⊙O的直径为5.‎ ‎9.(2010邵阳)阅读下列材料,然后解答问题。‎ 经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心,这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。‎ 如图(十三),已知正四边形ABCD的外接圆⊙O,⊙O的面积为S,正四边形ABCD的面积为S,以圆心O为顶点作∠MON,使∠MON=90°,将∠MON绕点O旋转,OM、ON分别与⊙O相交于点E、F,分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形(图中阴影部分)的面积为S ‎(1)当OM经过点A时(如图①),则S、S、S之间的关系为:S= (用含S、S的代数式表示);‎ ‎(2)当OM⊥AB时(如图②),点G为垂足,则(1)中的结论仍然成立吗?请说明理由。‎ ‎(3)当∠MON旋转到任意位置时(如图③,)则(1)中的结论仍然成立吗?请说明理由.‎ ‎ 图(十三)‎ ‎【答案】解:(1)‎ ‎(2)成立。理由:连OB,可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①‎ 的阴影部分的面积 ‎(3)成立。过点O分别作AB、BC的垂线交AB、BC于点P、Q,交圆于点X、Y,可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH,可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积.‎ ‎10.(2010年上海)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图5所示,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上.(1)求弦BC的长;(2)求圆O的半径长.‎ ‎(本题参考数据:sin 67.4° = ,cos 67.4° = ,tan 67.4° = )‎ 图5‎ ‎【答案】(1)过A作AH垂直NS于点H,∴∠AHO=90°, sin 67.4° = =,‎ ‎∵OA=13米,∴AH=12米,∵AB∥OS,记BC与OS交于点D,‎ ‎∴AH=BD=12米,∵OS⊥BC于点D,∴BD=CD=12米,∴BC=24米.‎ ‎(2)由(1)可得OH=5米,∵AB=14米,∴HD=9米,联接OB,‎ ‎∵∠ODB=90°,∴OB=‎ ‎11.(2010 广东珠海)如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连结PA、PB、PC、PD.‎ ‎(1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;‎ ‎(2)若cos∠PCB=,求PA的长.‎ ‎【答案】解:(1)当BD=AC=4时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ‎∵P是优弧BAC的中点 ∴弧PB=弧PC ‎∴PB=PC ‎∵BD=AC=4 ∠PBD=∠PCA ‎∴△PBD≌△PCA ‎∴PA=PD 即△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ‎(2)由(1)可知,当BD=4时,PD=PA,AD=AB-BD=6-4=2‎ 过点P作PE⊥AD于E,则AE=AD=1‎ ‎∵∠PCB=∠PAD ‎∴cos∠PAD=cos∠PCB=‎ ‎∴PA=‎ ‎12.(2010湖北荆门)如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.‎ ‎(1)求证:AC·CD=PC·BC;‎ ‎(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;‎ ‎ (3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求出这个最大面积S。‎ ‎【答案】(1)由题意,AB是⊙O的直径;∴∠ACB=90。,∵CD⊥CP,∴∠PCD=90。‎ ‎∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。,∴∠ACP=∠DCB,又∵∠CBP=∠D+∠DCB,∠CBP=∠ABP+∠ABC,∴∠ABC=∠APC,∴∠APC=∠D,∴△PCA∽△DCB;∴, ‎ ‎∴AC·CD=PC·BC ‎(2)当P运动到AB弧的中点时,连接AP,∵AB是⊙O的直径,∴∠APB=90。,又∵P是弧AB的中点,∴弧PA=弧PB,∴AP=BP,∴∠PAB=∠PBA=45.,又AB=5,∴PA=,过A作AM⊥CP,垂足为M,在Rt△AMC中,∠ACM=45 ,∴∠CAM=45,∴AM=CM=,在Rt△AMP中,AM2+AP2=PM2,∴PM=,∴PC=PM+=‎ ‎。由(1)知:AC·CD=PC·BC ,3×CD=PC×4,∴CD=‎ ‎(3)由(1)知:AC·CD=PC·BC,所以AC:BC=CP:CD;所以CP:CD=3:4,而△PCD的面积等于·=,CP是圆O的弦,当CP最长时,△PCD的面积最大,而此时CP就是圆O的直径;所以CP=5,∴3:4=5:CD;∴CD=,△PCD的面积等于·==;‎ ‎ ‎ ‎13.(2010 四川成都)已知:如图,内接于⊙O,为直径,弦于,是AD的中点,连结并延长交的延长线于点,连结,分别交、于点、.‎ ‎ (1)求证:是的外心;‎ ‎ (2)若,求的长;‎ ‎ (3)求证:.‎ ‎【答案】(1)证明:∵C是AD的中点,∴AC=CD,‎ ‎∴∠CAD=∠ABC‎⌒‎ ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。‎ ‎∴∠CAD+∠AQC=90°‎ 又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90°‎ ‎∴∠AQC=∠PCQ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎∴在△PCQ中,PC=PQ,‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎∵CE⊥直径AB,∴AC=AE ‎∴AE=CD ‎∴∠CAD=∠ACE。‎ ‎∴在△APC中,有PA=PC,‎ ‎∴PA=PC=PQ ‎∴P是△ACQ的外心。‎ ‎(2)解:∵CE⊥直径AB于F,‎ ‎∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC=,CF=8,‎ 得。‎ ‎∴由勾股定理,得 ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC=,‎ ‎ 得。‎ 易知Rt△ACB∽Rt△QCA,∴‎ ‎∴。‎ ‎(3)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠DAB+∠ABD=90°‎ 又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90°‎ ‎∴∠DAB=∠G;‎ ‎∴Rt△AFP∽Rt△GFB,‎ ‎∴,即 易知Rt△ACF∽Rt△CBF,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC ‎∴。‎ ‎14.(2010山东潍坊)如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,且AC=CD.‎ ‎(1)求证:OC∥BD;‎ ‎(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.‎ ‎【答案】(1) ⊙O中,AC=CD,则∠ABC=∠DBC,∵OC=OB,则∠ABC=∠OAB,∴∠OCB=∠DBC,则OC∥BD;‎ ‎(2)∵OC∥BD,不妨设平行线OC与BD之间的距离为h,又S△OBC=OC×h,S△OBC=OC×h,∵BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,即S△OBC= S△DBC,则OC=BD,∴四边形OBDC为平行四边形,因为OC=OB,所以四边形OBDC为菱形.‎ ‎15.(2010广东中山)如图,PA与⊙O相切于A点,弦AB⊥OP,垂足为C,OP与⊙O相交于D点,已知OA=2,OP=4.‎ ‎(1)求∠POA的度数;‎ ‎(2)计算弦AB的长.‎ ‎【答案】解:(1)∵PA与⊙O相切于A点,‎ ‎∴∠PAO=‎ 在RtΔPAO中,OA=2,OP=4‎ ‎∴∠POA=‎ ‎(2)∵AB⊥OP ‎∴AC=BC,∠OCA=‎ 在RtΔAOC中,OA=2,∠AOC=‎ ‎∴AC=‎ ‎∴AB=2‎ ‎16.(2010黑龙江哈尔滨)如图,AB、AC为⊙O的弦,连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F,∠B=∠C。‎ 求证:CE=BF。‎ ‎【答案】证明:∵OB、OC是⊙O的半径,∴OB=OC ‎ 又 ‎ ‎≌ ‎ ‎∴OE=OF ∴CE=BF ‎ ‎17.(2010四川 泸州)(本题满分10分)如图9,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC.‎ (1) 求证:AE⊥DE;‎ (2) 设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求的值.‎ ‎【答案】(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°, ‎ 又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC, ‎ ‎∴∠DAE+∠ADE=90°, ‎ ‎∴∠AED=90°, ‎ ‎∴AE⊥DE. ‎ ‎(2)解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=5,AD=BC,‎ ‎∴∠DAE=∠BEA, ‎ 又∵∠DAE=∠BAE,∴∠BEA=∠BAE,‎ ‎∴BE=AB=5, ‎ 同理EC=CD=5, ‎ ‎∴AD=BC=BE+EC=10, ‎ 在RtAED中,‎ DE===6, ‎ 又∵AD为半圆的直径,∴∠AFD=90°,∴∠AFD=∠AED,‎ ‎∵∠DAE=∠FAG,∴AFG∽AED, ‎ ‎∴. ‎ ‎18.(2010吉林长春)第16届亚运会将在中国广州举行。小李预定了两种价格的亚运会门票,其中甲种门票共花费280元,乙种门票共花费300元,甲种门票比乙种门票多2张,乙种门票价格是甲种门票价格的1.5倍,求甲种门票的价格。‎ ‎【答案】‎ ‎18.(2010吉林长春)如图,将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D、E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm。求直尺的宽。‎ ‎【答案】‎ ‎19.(2010湖北宜昌)如图①,P是△ABC边AC上的动点,以P为顶点作矩形PDEF,顶点D,E在边BC上,顶点F在边AB上;△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根,设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。‎ ‎(1)求证:以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4;‎ ‎(2)求的最小值;‎ ‎(3)当的值最小时,过点A作BC的平行线交直线BP与Q,这时线段AQ 的长与m , n , k的取值是否有关?请说明理由。(11分)‎ A C B ‎(第23题)‎ 解:解法一:‎ ‎(1)据题意,∵a+h=.‎ ‎∴所求正方形与矩形的面积之比: ‎ ‎ 1分 由知同号, ‎ ‎ 2分 ‎(说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分)‎ ‎ 3分 即正方形与矩形的面积之比不小于4.‎ ‎(2)∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.‎ ‎⊙‎ ‎∴⊙O的面积为:. 4分 矩形PDEF的面积:.‎ ‎⊙‎ ‎∴面积之比: 设 ‎⊙‎ ‎……………………………………………………………6分 ‎, ‎ ‎⊙‎ ‎,即时(EF=DE), 的最小值为 7分 ‎⊙‎ ‎(3)当的值最小时,这时矩形PDEF的四边相等为正方形.‎ 过B点过BM⊥AQ,M为垂足,BM交直线PF于N点,设FP= e,‎ ‎∵BN∥FE,NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.‎ 由BC∥MQ,得:BM =AG =h.‎ ‎∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,‎ ‎∴△FBP∽△ABQ. 8分 M N ‎(说明:此处有多种相似关系可用,要同等分步骤评分)‎ ‎∴,……9分 ‎∴.∴……10分 ‎……11分 ‎∴线段AQ的长与m,n,k的取值有关. ‎ ‎(解题过程叙述基本清楚即可)‎ 解法二:‎ ‎(1)∵a,h为线段长,即a,h都大于0,‎ ‎ ∴ah>0…………1分(说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分)‎ ‎ ∵(a-h)2≥0,当a=h时等号成立.‎ ‎     故,(a-h)2=(a+h)2-4a h≥0. 2分 ‎    ∴(a+h)2≥4a h,‎ ‎    ∴≥4.(﹡) 3分 ‎      这就证得≥4.(叙述基本明晰即可)‎ ‎(2)设矩形PDEF的边PD=x,DE=y,则⊙O的直径为 .‎ ‎ S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy ‎⊙‎ ‎= ‎ ‎= 6分 由(1)(*), .‎ ‎.‎ ‎⊙‎ ‎∴的最小值是 7分 ‎⊙‎ ‎(3)当的值最小时,‎ 这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ‎ ‎∴EF=PF.作AG⊥BC,G为垂足.‎ ‎∵△AGB∽△FEB,∴.……8分 ‎∵△AQB∽△FPB, ,……9分 ‎∴=.‎ 而 EF=PF,∴AG=AQ=h, ……………10分 ‎∴AG=h=,‎ 或者AG=h= 11分 ‎∴线段AQ的长与m,n,k的取值有关.‎ ‎20.(2010福建省南平)如图,⊙O的直径AB长为6,弦AC长为2,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求四边形ADBC的面积.‎ ‎·‎ 第21题 A B C O D ‎【答案】解:∵AB是直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°,‎ 在Rt△ABC中,AB=6, AC= 2,∴BC=== 4 ‎∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,∴∠DAC=∠BCD ‎∴=, ∴AD=BD ‎∴在Rt△ABD中,AD=BD= AB=3 ‎∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=AC·BC+AD·BD ‎=×2×4+×(3)2 =9+4 ‎21.(2010广西河池)如图10,为的直径,为弦,且,垂足为.‎ ‎(1)如果的半径为4,,求的度数;‎ ‎(2)若点为的中点,连结,.求证:平分;‎ ‎(3)在(1)的条件下,圆周上到直线距离为3的点有多少个?并说明理由.‎ A B D E O C H ‎【答案】解:(1)∵ AB为⊙O的直径,CD⊥AB ∴ CH=CD=2 ‎ A B D E O C H ‎      在Rt△COH中,sin∠COH==‎ ‎ ∴ ∠COH=60° ‎ ‎ ∵ OA=OC ∴∠BAC=∠COH=30° ‎ ‎ (2)∵ 点E是的中点 ∴OE⊥AB ∴ OE∥CD ∴ ∠ECD=∠OEC 又∵ ∠OEC=∠OCE ‎∴ ∠OCE=∠DCE ‎ ‎∴ CE平分∠OCD ‎ ‎  (3)圆周上到直线的距离为3的点有2个. ‎ ‎ 因为劣弧上的点到直线的最大距离为2, 上的点到直线AC的最大距离为6,,根据圆的轴对称性,到直线AC距离为3的点有2个. ‎ ‎22.(2010广东清远)如下图,在⊙O中,点P在直径AB上运动,但与A、B两点不重合,过点P作弦CE⊥AB,在上任取一点D,直线CD与直线AB交于点F,弦DE交直线AB于点M,连接CM.‎ ‎(1)如图10,当点P运动到与O点重合时,求∠FDM的度数.‎ 图10 图11 图12‎ C A B ‎(P)‎ E O M F D C A B P E O F D M O C A B P E F D M ‎(2)如图11、图12,当点P运动到与O点不重合时,求证:FM·OB=DF·MC.‎ ‎【答案】28. 解:(1)点P与点O重合时,(如图10)‎ ‎∵CE是直径,∴∠CDE=90°.…………(1分)‎ ‎∵∠CDE+∠FDM=180°,∴∠FDM=90°.…………(2分)‎ ‎(2)当点P在OA上运动时(如图11)‎ ‎∵OP⊥CE,∴==,CP=EP.‎ ‎∴CM=EM. ∴∠CMP=∠EMP.‎ ‎∵∠DMO=∠EMP, ∴∠CMP=∠DMO.‎ ‎∵∠CMP+∠DMC=∠DMO+∠DMC,‎ ‎∴∠DMF=∠CMO. …………(3分)‎ ‎∵∠D所对的弧是,∠COM所对的弧是,‎ ‎∴∠D=∠COM. …………(4分)‎ ‎∴△DFM∽△OCM. ∴= ‎∴FM·OC=DF·MC.‎ ‎∵OB=OC, ∴FM·OB=DF·MC. …………(5分)‎ 当点P在OB上运动时,(如图12)‎ 证法一:连结AC,AE.‎ ‎∵OP⊥CE,∴==,CP=EP.‎ ‎∴CM=EM, ∴∠CMO=∠EMO.‎ ‎∵∠DMF=∠EMO, ∴∠DMF=∠CMO.………………(6分)‎ ‎∵∠CDE所对的弧是,∠CAE所对的弧是.‎ ‎∴∠CDE+∠CAE=180°.‎ ‎∴∠CDM+∠FDM=180°,∴∠FDM=∠CAE.‎ ‎∵∠CAE所对的弧是,∠COM所对的弧是,‎ ‎∴∠CAE=∠COM.‎ ‎∴∠FDM=∠COM. ………………(7分)‎ ‎∴△DFM∽△OCM. ∴=.‎ ‎∴FM·OC=DF·MC.‎ ‎∵OB=OC, ∴FM·OB=DF·MC. ………………(8分)‎ 证法二:∵OP⊥CE,‎ ‎∴==,==,CP=EP.‎ ‎∴CM=EM, ∴∠CMO=∠EMO.‎ ‎∵∠DMF=∠EMO, ∴∠DMF=∠CMO.………………(6分)‎ ‎∵∠CDE所对的弧是,‎ ‎∴∠CDE=度数的一半=的度数=180°-的度数.‎ ‎∴∠FDM=180°-∠CDE=180°-(180°-的度数)=的度数.‎ ‎∵∠COM=的度数.‎ ‎∴∠FDM=∠COM. ………………(7分)‎ ‎∴△DFM∽△OCM. ∴=.‎ ‎∴FM·OC=DF·MC.‎ ‎∵OB=OC, ∴FM·OB=DF·MC. ………………(8分)‎