2014年常德中考数学试题卷 11页

‎2014年常德市初中毕业学业考试数学试题 ‎ ‎ 考生注意：1、请考生在试题卷首填写好准考证号及姓名.‎ ‎ 2、请将答案填写在答题卡上，填写在试题卷上的无效.‎ ‎ 3、本学科试题卷共 4页，七道大题，满分120 分，考试时量 120 分钟.‎ ‎ 4、考生可带科学计算器参加考试.‎ 一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（2014常德市，1，3分）等于 A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A 图1 A． B． C． D．‎ ‎2．（2014常德市，2，3分）如图1所示的几何体的主视图是 ‎【答案】B ‎3．（2014常德市，3，3分）下列各数：，其中无理数的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】 B ‎4．（2014常德市，4，3分）下列各式与是同类二次根式的是 图2‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎5．（2014常德市，5，3分）如图2，已知AC∥BD，∠CAE=30°，‎ ‎∠DBE=45，则∠AEB等于 ‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ ‎【答案】D ‎ ‎6．（2014常德市，6，3分）某班体育委员记录了7位女生1分钟仰卧起坐的个数分别为28，38，38，35，35，38，48，这组数据的中位数和众数分别是 A．35，38 B．38，‎35 ‎ C．38，38 D．35，35‎ ‎【答案】C ‎7．（2014常德市，7，3分）下面分解因式正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．（2014常德市，8，3分）阅读理解：如图3，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点Ｍ的位置可由的度数与的长度m确定,有序数对（，m）称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．‎ 应用：在图4的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为 ‎ A．(60°，4) B．(45°，4) C．(60°，2) D．(50°，2)‎ ‎ 图3 图4‎ ‎ 【答案】A 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．（2014常德市，9，3分）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎10．（2014常德市，10，3分）古生物学家发现350 000 000年前，地球上每年大约是400天，用科学记数法表示350 000 000=_______________.‎ ‎【答案】3.5×108‎ ‎11．（2014常德市，11，3分）下列关于反比例函数的三个结论：①它的图象经过点（7，3）；②‎ 它的图象在每一个象限内，随的增大而减小；③它的图象在二、四象限内.其中正确的是________________.‎ ‎【答案】①②‎ ‎12．（2014常德市，12，3分）计算：＝___________.‎ ‎【答案】‎ 图5‎ ‎13．（2014常德市，13，3分）一元二次方程有两个不相等的实数根，‎ 则的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎14．（2014常德市，14，3分）如图5所示，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10,CD=8，则圆心O到弦CD的距离为_________.‎ ‎【答案】3‎ ‎15．（2014常德市，15，3分）如图6，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO， 若∠BAC=，则∠BCA的度数为 .‎ ‎【答案】60°‎ 图6‎ ‎16．（2014常德市，16，3分）‎ 已知：‎ 计算： ； ‎ 猜想： ． ‎ ‎【答案】，‎ 三、 (本大题2个小题,每小题5分,满分10分)‎ ‎17．（2014常德市，17，5分）计算： ‎ ‎【答案】解：原式=4+14 …………………………………………4分 ‎ = …………………………………………5分 ‎ 注：第一个等号每算对一个运算给1分，共4分 ‎ ‎ ‎18．（2014常德市，18，5分）解方程：‎ ‎【答案】解：方程两边同乘以，得 ‎ ‎ ……………………………2分 ‎ ‎ ……………………………4分 ‎ 经检验：是原方程的根 所以原方程的解是. ……………………………5分 四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)‎ ‎19．（2014常德市，19，6分）解不等式组 ‎【答案】解：解不等式①，得 ……………………………2分 ‎ 解不等式②，得 ……………………………4分 ‎ 所以不等式组的解集是 ……………………………6分 ‎20．（2014常德市，20，6分）小美周末来到公园,发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的. 规定①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值5元小兔玩具，否则应付费3元.‎ ‎（1）问小美得到小兔玩具的机会有多大?‎ ‎（2）假设有100人次玩此游戏, 估计游戏设计者可赚多少元?‎ ‎【答案】解：（1）画树状图（或列表略）‎ ‎ ……………………………2分 小美得到小兔玩具的概率= ……………………………4分 ‎ ‎（2）100人次玩此游戏,估计有人次会获得玩具,花费20×5=100元,‎ ‎ 估计将有100-20=80人次要付费，‎ 估计游戏设计者可赚80×3-100=140(元). ……………………………6分 五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分) ‎ ‎21．（2014常德市，21，7分）‎2014年5月12日，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长.某地区农民工人均月收入增长率如图7所示，并将人均月收入绘制成如图8所示的不完整的条形统计图.‎ ‎ 图7 图8‎ ‎ 根据以上统计图解答下列问题：‎ ‎（1）2013年农民工人均月收入的增长率是多少？‎ ‎（2）2011年农民工人均月收入是多少？‎ ‎（3）小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了.”你认为小明的说法正确吗？请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）10% ……………………………2分 ‎ （2）2205元 ……………………………4分 ‎ （3）不正确 ……………………………5分 ‎ 2012的人均月收入= …………7分 图9‎ ‎22．（2014常德市，22，7分）如图9，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1，分别为‎160米，‎400米，‎1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度.（结果精确到‎1米）‎ ‎【答案】解：在Rt△ABD中, BD=400-160=240, ∠BAD=30° ……………………………1分 ‎ 则AB=2BD=480 m. 　　　　　　 ……………………………3分 在Rt△BCB2中, CB2=1000-400=600,∠CBB2=45° ……………………………4分 ‎ 则CB=600m. ……………………………6分 ‎ 所以AB+BC=480+600 ‎ ‎ ≈1328 (米) ‎ 答：钢缆AB和BC的总长度约为1328米. ……………………………7分 图9‎ 六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)‎ ‎23．（2014常德市，23，8分）如图10，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA.‎ ‎（1）求证：ED是⊙O的切线.‎ ‎（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度.‎ 图10‎ ‎【答案】．解：（1）证明：连结OD.‎ A B C E D O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎∵OD=OA,EA=ED，‎ ‎∴∠3=∠4, ∠1=∠2 ……………2分 ‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠4 , 即∠ODE=∠OAE ‎∵AB⊥AC, ∠OAE=90° ‎ ‎∴∠ODE=90°∴DE是⊙O的切线. ………4分 ‎（2）∵OA=3, AE=4 ∴OE=5 ………5分 ‎ 又∵AB是直径, ∴AD⊥BC ‎∴∠1+∠5=90°,∠2+∠6=90°‎ 又∵∠1=∠2 ∴∠5=∠6 ，∴DE=EC， ……………………………6分 ‎∴E是AC的中点. ‎ ‎∴OE∥BC且 OE=BC ‎∴BC=10 ……………………………8分 ‎24．（2014常德市，24，8分）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为,购票总价为):‎ 方案一: 提供8 000元赞助后，每张票的票价为50元;‎ ‎ 方案二: 票价按图11中的折线OAB所表示的函数 关系确定.‎ ‎（1）若购买120张票时, 按方案一和方案二分别应付的购票款是多少?‎ ‎（2）求方案二中与的函数关系式;‎ 图11‎ ‎（3）至少买多少张票时选择方案一比较合算?‎ ‎【答案】解：（1）按方案一购120张票时，（元）；‎ 按方案二购120张票时，由图知（元）……………………2分 ‎（2）当时,设,则,‎ ‎∴. ……………………………3分 时, 设,‎ 解得,‎ ‎∴‎ 综合上面所得 …………………………5分 ‎（3）由(1)知, 购120张票时,按方案一购票不合算.‎ 即选择方案一比较合算时,应超过120. …………………………6分 设至少购买张票时选择方案一比较合算 则应有,‎ 解得:(张) ‎ ‎∴至少买200张时选方案一. …………………………8分 七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)‎ ‎25．（2014常德市，25，10分）如图12, 已知二次函数的图像过点O(0,0), A(4，0)，B()，M是OA的中点.‎ ‎（1）求此二次函数的解析式;‎ ‎（2）设P是抛物线上的一点,过P作轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形,求P点的坐标;‎ ‎（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OB′A(B′为B关于轴的对称点),在原抛物线轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D,若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,这样的点C是否存在?若存在求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】O A M P Q C D B/‎ B D1‎ C1‎ 图12‎ 25．解: （1）方法一：设二次函数的解析式为 则 ‎∴ ……3分 方法二：∵图像过点O(0,0), A（4，0），‎ ‎∴设,‎ 又B()在曲线上,∴,∴‎ ‎∴ ……………………………………3分 ‎（2）∵M是OA的中点,OA=4,∴MA=2, ‎ 若四边形PQAM是菱形,则PQ=2,‎ 又根据抛物线关于对称轴对称,即P、Q关于直线对称,‎ ‎∴P的横坐标为1, Q的横坐标为3. ……………………………………5分 ‎∴P的坐标为(1,, Q的横坐标为(3,.‎ 而计算PM=,故所求的P(1,满足四边形PQAM是菱形 ………6分 ‎（3）设存在这样的C点.设C、D的坐标分别为 ‎∵二次函数在轴下方的部分向上翻折,得曲线OB′A,‎ ‎∴曲线OB′A的解析式为……………………………………7分 若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,‎ ‎∴△CMA的面积是△MDA面积的3倍,‎ ‎∴， ∴,即,‎ ‎∴……………① …………………………8分 过D,C分别作DD1,CC1垂直于轴,‎ ‎∴△MD1D∽△MC1C,‎ ‎∴,∴‎ 即………………② …………………………9分 将②代入①得:‎ ‎,代入二次函数的解析式得 故C的坐标为,或. ………………………10分 图12‎ ‎26．（2014常德市，26，10分）如图13，14,已知四边形ABCD为正方形,在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD(或延长线)于E，作PF⊥DC(或延长线)于F，作射线BP交EF于G. ‎ ‎（1）在图13中,设正方形ABCD的边长为2, 四边形ABFE的面积为y, AP=，求y关于的函数表达式．‎ ‎（2）结论GB⊥EF对图13，图14都是成立的，请任选一图形给出证明；‎ ‎（3）请根据图14证明：△FGC∽△PFB．‎ ‎ 图13 图14‎ ‎【答案】解：（1）∵EPAD，PFDC，∴四边形EPFD是矩形，‎ ‎∵AP=，‎ ‎∴AE=EP=DF=，‎ ‎， …………………………1分 ‎∴ ‎ ‎ ‎ A B C E P F G ‎ D 答案图13-1‎ H ‎ ………………………………3分 ‎（2）在图13中证明GB⊥EF．‎ ‎①证法一：延长FP交AB于H，‎ ‎∵PF⊥DC，PE⊥AD，∴PF⊥PE，PH⊥HB,‎ 即∠BHP=90° ………………………………4分 ‎∴在Rt△FPE与Rt△BHP中 因 ABCD是正方形，‎ ‎∴易知PF=FC=HB，EP=PH ‎∴Rt△FPE≌Rt△BHP……………………………5分 ‎∴∠PFE=∠PBH，‎ 又∠FPG=∠BPH，‎ ‎∴△FPG∽ △BPH，‎ ‎∴∠FGP=∠BHP=90°，即GB⊥EF ………………………………6分 分析: 要GB⊥EF,只要∠5 +∠3=90°,而∠5 +∠4=90°,只要证∠3=∠4,‎ 而∠2 =∠3, ,只要证∠4=∠2,而∠4=∠1,故只要∠1=∠2.‎ 证法二: 如答案图13-2,连接PD,延长FP交AB于H，‎ 延长EP交BC于M，‎ 易知DC=BC, ∠DCP=∠BCP=45°,PC=PC,‎ C F D A B E P G 答案图13-2‎ H M ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5 A. B. C. D.‎ ‎∴△DPC≌△BPC……………………4分 ‎∴∠DPC=∠BPC,即∠1+45°=45°+∠2,‎ ‎∴∠1=∠2,……………………………5分 而∠1=∠4, ∠2 =∠3, ‎ ‎∴∠3=∠4,‎ 而∠5 +∠4=90°,∴∠5 +∠3=90°,‎ ‎∴∠PGE=180°-(∠5 +∠3)=90°,‎ 即GB⊥EF.……………………………6分 注:在图14中证法与上面类似.‎ ‎（3）证法一：‎ ‎∵GB⊥EF，∴…①……7分 连接PD，在△DPC和△BPC中 ‎∵DC=BC, ∠DCP=∠BCP=135°,PC=PC,‎ ‎∴ △DPC≌△BPC，∴PD=PB． ………………………8分 而PD=EF, ∴EF=PB． ‎ 又∵GB⊥EF，∴‎ ‎∴‎ 而PF=FC, ∴ ………………………9分 ‎∴………②‎ ‎∴由①②得△FGC∽△PFB． ………………………10分 证法二:‎ ‎∵GB⊥EF，∴………① ………………………7分 又∵‎ 取BF的中点M,则有:‎ ‎∴B,C,G,F四点在以M为圆心,MB为半径的圆上. …………………………9分 ‎∴………②‎ ‎∴由①②得△FGC∽△PFB． …………………………10分