2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第23课时 等腰三角形 5页

第23课时　等腰三角形 ‎(60分)‎ 一、选择题(每题6分，共30分)‎ ‎1．[2016·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是 (B)‎ A．80° B．80°或20°‎ C．80°或50° D．20°‎ ‎2．[2016·内江]如图23－1，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为 (A)‎ A．40° B．45° C．60° D．70°‎ 图23－1‎ ‎【解析】　∵AE∥BD，‎ ‎∴∠CBD＝∠E＝35°，‎ ‎∴∠CBA＝70°，‎ ‎∵AB＝AC，∴∠C＝∠CBA＝70°，‎ 图23－2‎ ‎∴∠BAC＝180°－70°×2＝40°.‎ ‎3．[2016·黄石]如图23－2，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝ (B)‎ A．36° B．54°‎ C．18° D．64°‎ ‎【解析】　∵AB＝AC，∠ABC＝72°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝72°，‎ ‎∴∠A＝36°，‎ ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴∠ABD＝90°－36°＝54°.‎ 图23－3‎ ‎4．如图23－3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(D)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎【解析】　∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，‎ ‎∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，‎ 5‎ ‎∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，‎ ‎∴BM＝ME，EN＝CN.‎ ‎∵MN＝ME＋EN，‎ ‎∴MN＝BM＋CN.‎ ‎∵BM＋CN＝9，‎ ‎∴MN＝9，故选D.‎ 图23－4‎ ‎5．[2016·遂宁]如图23－4，在△ABC中，AC＝‎4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是‎7 cm，则BC的长为 (C)‎ A．‎1 cm B．‎‎2 cm C．‎3 cm D．‎‎4 cm ‎【解析】　∵MN是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴AN＝BN，‎ ‎∵△BCN的周长是‎7 cm，‎ ‎∴BN＋NC＋BC＝7(cm)，‎ ‎∴AN＋NC＋BC＝7(cm)，‎ ‎∵AN＋NC＝AC，∴AC＋BC＝7(cm)，‎ 又∵AC＝‎4 cm，∴BC＝7－4＝3(cm)．‎ 二、填空题(每题6分，共30分)‎ 图23－5‎ ‎6．[2017·丽水]如图23－5，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是__20__.‎ ‎7．[2016·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA＝OB＝‎18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图23－6②，则此时A，B两点之间的距离是__18__cm.‎ 图23－6‎ ‎【解析】　∵OA＝OB，∠AOB＝60°，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ 5‎ ‎∴AB＝OA＝OB＝‎18 cm.‎ 图23－7‎ ‎8．[2016·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝__15__°.‎ ‎【解析】　∵DE垂直平分AB，‎ ‎∴AD＝BD，∠AED＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠ABD，‎ ‎∵∠ADE＝40°，‎ ‎∴∠A＝90°－40°＝50°，‎ ‎∴∠ABD＝∠A＝50°，‎ ‎∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝65°，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.‎ ‎9．[2017·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.‎ ‎ ‎ 图23－8 　　图23－9‎ ‎10．如图23－9，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点．将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__3__.‎ 图23－10‎ 三、解答题(共8分)‎ ‎11．(8分)[2017·衡阳]如图23－10在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.‎ 证明：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C.‎ ‎∵DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎∴∠DEB＝∠DFC.‎ 又∵BD＝CD，‎ ‎∴△BED≌△CFD(AAS)．‎ ‎(20分)‎ 图23－11‎ ‎12．(8分)如图23－11，点D，E在△ABC的边BC上，连结AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，‎ 5‎ 另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.‎ ‎(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)‎ ‎__①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；‎ ‎(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明)‎ 解：(2)选择①③⇒②，‎ ‎∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，‎ 又∵BD＝CE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE，‎ ‎∴AD＝AE.‎ 图23－12‎ ‎13．(12分)[2016·南充]如图23－12，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AE＝CE.‎ 求证：(1)△AEF≌△CEB；‎ ‎(2)AF＝2CD.‎ 证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，‎ ‎∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，‎ ‎∴∠CFD＝∠B，‎ ‎∵∠CFD＝∠AFE，‎ ‎∴∠AFE＝∠B，‎ 在△AEF与△CEB中，‎ ‎∴△AEF≌△CEB(AAS)；‎ ‎(2)∵AB＝AC，AD⊥BC，‎ ‎∴BC＝2CD，‎ ‎∵△AEF≌△CEB，‎ ‎∴AF＝BC，‎ ‎∴AF＝2CD.‎ ‎(12分)‎ ‎14．(12分)[2016·铜仁]已知，如图23－13，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连结DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.‎ 求证：AD＝CE.‎ 5‎ 图23－13‎ 第14题答图 证明：如答图所示，作DG∥BC交AC于G，则∠DGF＝∠ECF，‎ 在△DFG和△EFC中，‎ ‎∴△DFG≌△EFC(AAS)，‎ ‎∴GD＝CE，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，‎ ‎∵DG∥BC，‎ ‎∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，‎ ‎∴∠A＝∠ADG＝∠AGD，‎ ‎∴△ADG是等边三角形，‎ ‎∴AD＝GD，‎ ‎∴AD＝CE.‎ 5‎