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  • 2021-05-10 发布

中考总复习—全等三角形中辅助线的添加(最经典最全面),有答案

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全等三角形及其辅助线作法 常见辅助线的作法有以下几种:‎ 1) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”(或构造平行线的X型全等).‎ 2) 遇到角平分线,一是可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,二是在角的两边上截取相同的线段,构成全等。利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,也是运用了角的对称性。 ‎ 3) 截长法与补短法,具体做法是在较长线段上截取一条线段与特定线段相等,使剩下的线段与另一条线段相等;或者是将两条较短线段中的一条延长,使这两条线段的和等于较长的线段。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等题目.‎ 4) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.也可以将两腰分拆到两个三角形中,证明这两个三角形全等。特殊的应用有等边三角形与等腰直角三角形。‎ 5) 此外,还有旋转、折叠等情况。‎ ‎(一)、中点线段倍长问题(中线倍长或者倍长中线):‎ ‎1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.‎ ‎2、如图△ABC中,点D是BC边中点,过点D作直线交AB、CA延长线于点E、F。当AE=AF时,求证BE=CF。‎ A B C D E F ‎3、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.‎ ‎4、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.‎ ‎5 如图,AB=AC,AD=AE,M为BE中点,∠BAC=∠DAE=90°。求证:AM⊥DC。‎ D M CD ED AD BD 应用:‎ ‎1、以△ABC以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE,且∠BAD=∠CAE-90°,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE的位置关系及数量关系.‎ ‎(1)如图① 当△ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 ,‎ 线段AM与DE的数量关系是 ;‎ ‎(2)将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ° (0<θ<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由.‎ ‎(二)角平分线与轴对称 ‎1、如图,已知AD为△ABC的角平分线,∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD.‎ B C D A 2、 如图,直线l1∥l2,直线m与直线l1 、l2交于A、B两点。AE、BE为其同旁内角平分线,过E点作直线与l1 、l2交于D、C两点,求证AD+BC=AB。‎ l1‎ l2‎ A B C D E m ‎1‎ ‎2‎ A C D B ‎3、如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。‎ B D C A ‎4、如图,BC>BA,BD平分∠ABC,且AD=CD,求证:∠A+∠C=180。‎ ‎5、(1)如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,CD平分∠ACB,点E为AB上一点,且CE=BE,PE⊥AB交CD的延长线于P,求∠PAC+∠PBC的度数。‎ ‎(2)如图②,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC≠60°,CD平分∠ACB,点E为AB上一点,且CE=BE,PE⊥AB交CD的延长线于P。(1)中结论是否成立,说明理由。‎ A B C D E P A B C D E P A B C D E ‎(三)截长补短型 ‎1、如图,AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC,∠DCB,求证:AB+CD=BC A B C D E F ‎2、如图,Rt△ACB中,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AD交AD于F点,交AB于E点,求证:AD=2DF+CE D A E C B ‎3.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。‎ ‎4. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,AD+AB=2AE,‎ 求证: ∠ADC+∠B=180º ‎ D C B A ‎5. 已知:如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,A=108°,BD平分ABC。‎ 求证:BC=AB+DC。‎ M B D C A ‎6. 如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分线,DM⊥AB于M,且AM=MB。求证:CD=DB。‎ ‎ ‎ A B C E O F y x ‎7、如图,直线AB交x轴于A(m,o),交y轴于B(o,n),其中m,n满足m2+‎4m+4+ =0.C为B点关于x轴的对称点,当直线OF的解析式y=kx,当k的值发生改变时(但始终保持k<0)。过C点作CE∥AB交直线于E点,下列两个结论:①的值不变。②的值不变。其中有且只有一个是正确的,请你找出正确的结论并求其值。‎ ‎(四)等腰直角三角形,等边三角形 A B D E C 图 ‎1、 如图,已知BE、CF是△ABC中AC、AB上的高,在射线BE上截取BP=AC,在射线CF上截取CQ=AB,求证:(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ;‎ x A D E P O y ‎②‎ ‎2、如图①OA=2,OB=4,以A点为顶点,AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC。(1)求C点的坐标。‎ x y F G H O ‎③‎ A B C O y x ‎①‎ ‎(2)如图②,P为y轴负半轴上一个动点,当P点向y轴负半轴向下运动时,若以P点为顶点,PA为腰作等腰Rt△APD,过D点作DE⊥x轴于E点,求OP-DE的值。‎ ‎(3)如图③,已知点F坐标为(-4,-4),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持∠GFH=90°,FG与y轴负半轴交于点G(o,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,o),当G点在y轴负半轴沿负方向运动时,求m+n的值。‎ ‎3、如图,△ABC中,AB=AC, ∠A=90°,点D为BC边的中点,E、F分别在AB、BC上,且ED⊥FD,EG⊥BC于G点,FH⊥BC于H点,下列结论:① DE=DF②AE+AF=AB③S四边形AEDF=S△ABC.④EG+FG=BC,其中结论正确的是( )‎ A、只有②③. B、只有①④. C、只有①②③. D、只有①②③④.‎ A B C D E F G H A B C D O y x ‎4、如图,在△ACE中,∠ACB=90°‎ ‎,AC=BC,BC与y轴交于D点,点C的坐标为(-1,0).点A的坐标为(-4,2),,则D点坐标为________‎ A B C D E F G H ‎5、如图,G为线段AB上一点,AC⊥AB,BD⊥AB,GE⊥AB,且AC=BG,BD=AG,GE=AB.若∠AEB=50°,求∠CED的度数。‎ ‎(五)旋转、折叠 ‎1、(倍角与半角问题)(1)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E在斜边AB上,且∠DCE=45°,求证AD+BE>DE.‎ A B C D E ‎(2)如图,若将Rt△ABC改为等边三角形,∠DCE=30°,其它条件不变,上述结论成立吗?试证明。‎ A B C D E ‎2、如图,RT△CDA≌RT△CDB,‎ ‎①、若∠ACD=30°,∠MDN=45°,当∠MDN绕点D旋转时,AM、MN、BN三条线段之间的关系式为______‎ ‎②、若∠ACD=45°,∠MDN=45°,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式为:______‎ ‎③、由①②猜想:在上述条件下,当∠ACD与∠MDN满足什么条件时,上述关系式成立,证明你的结论。‎ A B C D M N ‎③‎ B D A C M N ‎②‎ B A C D M N ‎①‎ ‎ ‎ ‎3、如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P, 连接EP.‎ ‎ (1)如图②,若M为AD边的中点,‎ ‎ ①,△AEM的周长=_____cm;‎ ‎②求证:EP=AE+DP;‎ ‎ (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.‎ 4、 已知三点A(a,b)、B(3,1)、C(6,0),其中a,b满足(a-2)2=-.‎ ‎(1)求A的坐标。‎ ‎(2)点P为x轴上一动点,当△OAP与△CBP的周长和取得最小值时,求P点坐标;‎ ‎(3)点P为x轴上一动点,当∠APB=20°时,求∠OAP+∠PBC的度数。‎ y O B C x 4、 已知△ABC中,∠BAC=45°,以AB,AC为边在△ABC外作等腰△ABD和△ACE,AB=AD,AC=AE,且∠BAD=∠CAE,连接CD,BE并交于F点,连接AF。‎ A B C D E F (1) 如图①,若∠BAD=60°,则∠AFE=____,如图②,若∠BAD=90°,则∠AFE=____,如图③,若若∠BAD=120°,则∠AFE=____。‎ D E F C B A (2) 如图4,若∠BAD=2°,猜想∠AFE的度数,并证明。‎ A B C D E F A B C E D F G 5、 如图,已知锐角三角形ABC,分别以AB,AC为边在△ABC的形外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接EG,若S△ABC=5,请求S△AEG。‎ B A C D O 6、 如图,A、D、B三点在同一直线上,△ADC, △BDO为等腰直角三角形。(1),AO与BC有何关系?证明你的结论。(2)当△ODB绕顶点D旋转任一角度到图②的位置,(1)中结论成立吗?请证明。‎ A B C O E