河北中考数学复习 第6讲 分式方程 8页

第6讲　分 式 方 程 ‎1. (2019，河北)甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40 min完工；若甲、乙共同整理20 min后，乙需再单独整理20 min才能完工．‎ ‎(1)乙单独整理多少分钟完工？‎ ‎(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30 min，则甲至少整理多少分钟才能完工？‎ ‎【思路分析】 (1)将总工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可．(2)设甲整理y min.根据乙整理时间不超过30 min，列出一元一次不等式解之即可．‎ 解：(1)设乙单独整理x min完工．‎ 根据题意，得＋＝1.‎ 解得x＝80.‎ 经检验，x＝80是原分式方程的解．‎ 答：乙单独整理80 min完工．‎ ‎(2)设甲整理y min才能完工．‎ 根据题意，得1－≤.‎ 解得y≥25.‎ 答：甲至少整理25 min才能完工．‎ ‎2. (2019，河北)甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m．设甲队每天修路x m．依题意，下面所列方程正确的是(A)‎ A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ ‎【解析】 设甲队每天修路x m，则乙队每天修路(x－10)m.因为甲队修路120 m与乙队修路100 m 所用天数相同，所以＝.‎ ‎3. (2019，河北)在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(B)‎ A. ＝－5 B. ＝＋5‎ C. ＝8x－5 D. ＝8x＋5‎ ‎【解析】 本题关键是读懂题意，找到3x的倒数与8x的倒数之间的等量关系，列出分式方程．‎ ‎　分式方程的解法 例1 (2019，连云港)解方程：－＝0.‎ ‎【思路分析】 最简公分母是x(x－1)．不要忘记验根．‎ 解：方程两边同乘x(x－1)，得3x－2(x－1)＝0.‎ 解这个整式方程，得x＝－2.‎ 经检验，x＝－2是原分式方程的解．‎ 针对训练1 把分式方程＝转化为整式方程时，方程两边需同乘(D)‎ A. x B. 2x C. x＋4 D. x(x＋4)‎ ‎【解析】 去分母是方程两边同乘最简公分母，即各分母中所有不同因式的最高次幂的乘积.‎ 针对训练2 (2019，成都)分式方程＋＝1的解是(A)‎ A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝3 D. x＝－3‎ ‎【解析】 去分母，得(x－2)(x＋1)＋x＝x(x－2)．化简得2x＝2.解得x＝1.经检验x＝1是原分式方程的根.‎ ‎　分式方程的增根 例2 (2019，达州，导学号5892921)若关于x的分式方程＋＝2a无解，则a的值为（ 1或 ）.‎ ‎【解析】 分式方程去分母，得x－3a＝2a(x－3)．化简，得(1－2a)x＝－3a.分式方程无解有两种情况：一是(1－2a)x＝－3a无解，即a＝；二是(1－2a)x＝－3a有解，但是增根．分式方程的增根只能是x＝3.把x＝3代入(1－2a)x＝－3a中，得a＝1.所以a的值为1或.‎ 针对训练3(2019，潍坊)当m＝ 2 时，解分式方程＝会出现增根.‎ ‎【解析】 分式方程去分母，得x－5＝－m.分式方程的增根只能是x＝3.把x＝3代入x－5＝－m中，得m＝2.‎ 针对训练4 (2019，眉山)已知关于x的分式方程－2＝有一个正数解，则k的取值范围为 k＜6且k≠3 .‎ ‎【解析】 分式方程去分母，得x－2(x－3)＝k.解得x＝－k＋6.∴－k＋6>0.∴k<6.但当k＝3时x＝3是增根，要舍去，∴k<6且k≠3.‎ ‎　分式方程的应用 例3 (2019，威海，导学号5892921)某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产，进行自动化程序软件升级，用时20 min.恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40 min，求软件升级后每小时生产多少个零件．‎ ‎【思路分析】 设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产x个零件．根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”结合软件升级后节省的时间，即可得出关于x的分式方程，解分式方程即可得出结论．‎ 解：设软件升级前每小时生产x个零件．‎ 根据题意，得－＝＋.‎ 解这个方程，得x＝60.‎ 经检验，x＝60是原分式方程的解．‎ ‎∴60×＝80(个)．‎ 答：软件升级后每小时生产80个零件．‎ 针对训练5 (2019，襄阳)正在建设的“汉十高铁”‎ 竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325 km，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5 h．求高铁的速度．‎ ‎【思路分析】 高铁速度是动车速度的2.5倍，即动车速度是高铁速度的0.4倍；等量关系是：动车所用时间－高铁所用时间＝1.5 h.‎ 解：设高铁的速度为x km/h，则动车的速度为0.4x km/h.‎ 根据题意，得－＝1.5.‎ 解得x＝325.‎ 经检验，x＝325是原分式方程的解．‎ 答：高铁的速度是325 km/h.‎ 一、 选择题 ‎1. (2019，张家界)若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为(B)‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【解析】 把x＝2代入分式方程可得m＝4.‎ ‎2. (2019，株洲)若关于x的分式方程＋＝0的解为x＝4，则常数a的值为(D)‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 10‎ ‎【解析】 把x＝4代入分式方程可得a＝10.‎ ‎3. (2019，毕节)若关于x的分式方程＋5＝有增根，则m的值为(C)‎ A. 1 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【解析】 方程两边乘x－1，得7x＋5(x－1)＝2m－1.∵原分式方程有增根，∴最简公分母x－1＝0.解得x＝1.当x＝1时，7＝2m－1.解得m＝4.∴m的值为4.‎ ‎4. (2019，海南)若分式的值为0，则x的值为(A)‎ A. －1 B. 0 C. 1 D. ±1‎ ‎【解析】 ∵分式的值为0，∴x2－1＝0，且x－1≠0.解得x＝－1.‎ ‎5. (2019，河南)解分式方程－2＝，去分母得(A)‎ A. 1－2(x－1)＝－3 B. 1－2(x－1)＝3‎ C. 1－2x－2＝－3 D. 1－2x－2＝3‎ ‎【解析】 整理分式方程，得－2＝－.去分母，得1－2(x－1)＝－3.‎ ‎6. (2019，哈尔滨)分式方程＝的解为(D)‎ A. x＝－1 B. x＝0 C. x＝ D. x＝1‎ ‎【解析】 去分母，得x＋3＝4x.解得x＝1.经检验，x＝1是原分式方程的根．‎ ‎7. 新华书店向一所希望小学赠送1 080本课外书，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个．已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装课外书x本，则根据题意可列方程为(A)‎ A. ＝－6 B. ＝－6‎ C. ＝＋6 D. ＝＋6‎ ‎【解析】 设每个A型包装箱可以装课外书x本，则每个B型包装箱可以装课外书(x＋15)本．单独使用A型包装箱需要个，单独使用B型包装箱需要个，又B型包装箱比A型包装箱少用6个．由此可列出方程．‎ ‎8. (2019，石家庄43中模拟)某自行车厂准备生产共享单车4 000辆，在生产完1 600辆后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%，结果共用了18天完成任务．若设原来每天生产共享单车x辆，则根据题意可列方程为(B)‎ A. ＋＝18 B. ＋＝18‎ C. ＋＝18 D. ＋＝18‎ ‎【解析】 设原来每天生产共享单车x辆，则采用新技术后每天生产共享单车(1＋20%)x辆，分别用时，，其和等于18. ‎ ‎9. (2019，南宁)一艘轮船在静水中的最大航速为35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间与以最大航速逆流航行90 km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则根据题意可列方程为(D)‎ A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ ‎【解析】 根据题意可得轮船的顺水速度为(35＋v)km/h，逆水速度为(35－v)km/h.根据以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间与以最大航速逆流航行90 km所用时间相等，列出方程．‎ ‎10. (2019，唐山路北区三模，导学号5892921)某校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了4 000元，购买篮球用了2 800元，篮球单价比足球单价贵16元．若可列方程＝－16表示题中的等量关系，则方程中x表示(D)‎ A. 足球的单价 B. 篮球的单价 ‎ C. 足球的数量 D. 篮球的数量 ‎【解析】 因为购买足球的数量是篮球的2倍，所列方程中有x和2x，所以x表示篮球的数量，2x表示足球的数量；和分别表示篮球和足球的单价，两者相差16元. ‎ 二、 填空题 ‎11. (2019，荆州)若关于x的分式方程＝2的解为负数，则k的取值范围为k＜3且k≠1.‎ ‎【解析】 分式方程去分母，得k－1＝2(x＋1)．解得x＝.∴<0.∴k<3.又∵当k＝1时x＝－1是增根，要舍去．∴k<3且k≠1.‎ ‎12. (2019，嘉兴)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测x个零件，则根据题意，可列出方程：（ ＝×(1－10%) ）．‎ ‎【解析】 设甲每小时检测x个零件，则乙每小时检测(x－20)个零件．甲、乙检测的时间分别是和，根据等量关系列方程即可．‎ ‎13. (2019，新疆)某商店第一次用600元购进铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 4 元．‎ ‎【解析】 设第一次购进的铅笔，每支的进价是x元．根据题意，得－30＝.解得x＝4.经检验，x＝4是原分式方程的根．‎ 三、 解答题 ‎14. (2019，南通)解方程：＝－3.‎ ‎【思路分析】 方程两边同乘x－2，分母是2－x的项要变号．‎ 解：方程两边乘x－2，‎ 得1＝x－1－3(x－2)．‎ 解得x＝2.‎ 检验：当x＝2时，x－2＝0.‎ 因此x＝2不是原分式方程的解．‎ 所以原分式方程无解．‎ ‎15. (1)小明解方程－＝0的过程如下：‎ 解：方程两边乘x(1－x)，‎ 得2x－(1－x)＝0①.‎ 去括号，得2x－1－x＝0②.‎ 移项、合并同类项，得x＝1③.‎ ‎∴原方程的解为x＝1④.‎ 小明解答的过程中开始出错的步骤是 ② (填序号)；原方程的解为（ x＝ ）；‎ ‎(2)当x的取值是(1)中方程的解时，求÷的值．‎ ‎【思路分析】 (1)第②步开始出错，去括号时后项没有变号．(2)先化简，再代入求值．‎ 解：(1)②　x＝ ‎(2)原式＝÷ ‎＝· ‎＝· ‎＝.‎ 当x＝时，原式＝－.‎ ‎16. (2019，石家庄28中质检)‎ 老师在黑板上书写了一个正确的等式，随后用手挡住了一个实数，其形式如下：×÷＝.‎ ‎(1)求被挡住的实数；‎ ‎(2)若这个实数是分式方程＝＋m的根，求m的值．‎ ‎【思路分析】 (1)根据逆运算求被挡住的实数．(2)将(1)中结果代入方程，解得m的值．‎ 解：(1)被挡住的实数＝×÷＝3.‎ ‎(2)把x＝3代入分式方程＝＋m，得＝＋m.‎ 解得m＝－.‎ ‎17. (2019，山西)2019年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南—北京西”全程大约500 km，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40 km，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外)．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10 min.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．‎ ‎ 第17题图 ‎【思路分析】 设时间为未知数，用“复兴号”速度＝“和谐号”速度＋40，来列方程求解．‎ 解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x h.‎ 由题意，得＝＋40.解得x＝.‎ 经检验，x＝是原分式方程的根．‎ ＋＝(h)．‎ 答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要 h.‎ 这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?18. (2019，桂林)某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程．当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．‎ ‎(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？‎ ‎(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？‎ ‎【思路分析】 将整个工程看作单位“1”，工作效率可表示为时间的倒数．(1)等量关系是：一号施工队施工5天的工作量＋两队合作(40－5－14)天的工作量＝1.(2)等量关系：工作总量÷工作效率＝工作时间．‎ 解：(1)设二号施工队单独施工，完成整个工程需要x天．‎ 根据题意，得×5＋×(40－5－14)＝1.解得x＝60.‎ 经检验，x＝60是原分式方程的解．‎ 答：若二号施工队单独施工，完成整个工程需要60天．‎ ‎(2)由题意，得1÷＝24(天)．‎ 答：若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天．‎ ‎1. (2019，邯郸一模)某工厂计划生产1 500个零件，但是在实际生产时……求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程－＝10.则题目中用“……”表示的条件应是(B)‎ A. 每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成 B. 每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成 C. 每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成 D. 每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成 ‎【解析】 实际每天生产零件x个，则表示实际生产天数，那么应该是原计划生产的天数，可推断出(x－5)表示原计划每天生产的零件个数．‎ ‎2. 若关于x的分式方程＋＝2的解为整数，则满足条件的m有 5 个．‎ ‎【解析】 解分式方程＋＝2，得x＝.∵ x是不等于2(增根)的整数，∴m－2＝－1, －4，1，2或4.∴符合条件的 m有5个．‎ ‎3. (2019，吉林，导学号5892921)下图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．‎ 第3题图 根据以上信息，解答下列问题．‎ ‎(1)冰冰同学所列方程中的x表示 甲队每天修路的长度 ，庆庆同学所列方程中的y表示 甲队修路400 m所需时间 ；‎ ‎(2)两个方程中任选一个，写出它的关系式；‎ ‎(3)解(2)中你所选择的方程，回答老师提出的问题．‎ ‎【思路分析】 (1)(2)冰冰列的方程是时间相等，所以x和x＋20应是每天修路的长度；庆庆所列方程用的等量关系是乙队每天比甲队多修20 m，所以y表示修路的时间．(3)选一个方程求解即可．‎ 解：(1)甲队每天修路的长度　甲队修400 m路所需时间 ‎(2)冰冰：甲队修400 m路所需时间＝乙队修600 m路所需时间；‎ 庆庆：乙队每天修路长度－甲队每天修路长度＝20.‎ ‎(3)选冰冰的：＝.解得x＝40.‎ 经检验，x＝40是原分式方程的根．‎ 答：甲队每天修路40 m.‎ 选庆庆的：－＝20.解得y＝10.‎ 经检验，y＝10是原分式方程的根．‎ ‎∴＝40.‎ 答：甲队每天修路40 m.‎ ‎4. 如图①，在数轴上，点A表示的数为.王老师让同学们在数轴上再标出一点B，点B 表示数，且AB比OA长2.甲同学认为点B应在点A的右侧，如图②；乙同学认为点B应在点A的左侧，如图③.‎ ‎(1)两名同学谁的说法正确，请说明理由；‎ ‎(2)求x的值．‎ 第4题图 ‎【思路分析】 (1)根据图①中点A的位置，得x>0，以此为依据，推断点B相对于原点的位置，就可以判断出谁的说法正确．(2)据“AB比OA长2”可以列方程求x的值．‎ 解：(1)甲同学的说法正确．‎ 理由：题图①中点A在原点右侧，∴＞0.∴x＞0.‎ ‎∴x＋8＞0，3x＞0.∴＞0.‎ 所以点B应在原点右侧且AB比OA长2.‎ 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。所以甲同学的说法正确．‎ ‎(2)根据题意，得－＝＋2.‎ 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。方程两边乘3x，得x＋8－3＝3＋6x.解得x＝.‎ 经检验，x＝是原分式方程的解．所以x的值为.‎