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- 2021-05-10 发布
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中考数学大题复习
一、函数问题
1、已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线于点E,交BD于点C.
(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.
(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.
(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.
2、如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD
向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值.
二、折叠问题
已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,),C(0,),点T在线段OA上(不与线段端点重合),将纸片折叠,使点A落在射线AB上(记为点A′),折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t,折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S;
(1)求∠OAB的度数,并求当点A′在线段AB上时,S关于t的函数关系式;
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时,求t的取值范围;
(3)S存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时t的值;若不存在,请说明理由.
y
B
C
y
T
A
C
B
O
x
O
T
A
x
三、圆相关问题
A
y
x
B
E
F
O1
Q
O
O2
C
1、如图,在平面直角坐标系内,Rt△ABC的直角顶点C(0,)在轴的正半轴上,A、B是轴上是两点,且OA∶OB=3∶1,以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E,交BC于点F.直线EF交OC于点Q.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)请猜想:直线EF与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想.
(3)在△AOC中,设点M是AC边上的一个动点,
过M作MN∥AB交OC于点N.试问:在轴上是否存在点P,使得△PMN是
一个以MN为一直角边的等腰直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,
请说明理由.
A
·
B
C
D
E
F
G
M
x
y
O
2、已知:如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,∠ACB=90°,
(1)求m的值及抛物线顶点坐标;
(2)过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D,连结DM并延长交⊙M于点E,过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G,求直线FG的解析式;
(3)在(2)条件下,设P为上的动点(P不与C、D重合),连结PA交y轴于点H,问是否存在一个常数k,始终满足AH·AP=k,如果存在,请写出求解过程;如果不存在,请说明理由.
四、动点问题
X
O
P
D
C
A
B
Y
1、如图,已知点A(0,1)、C(4,3)、E(,),P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点,点D在y轴,抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点.
(1)说明点A、C、E在一条条直线上;
(2)能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向?请说明理由;
(3)设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧),△GAO与△FAO
的面积差为3,且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点.这时能确定a、
b的值吗?若能,请求出a、b的值;若不能,请确定a、b的取值范围.
QA
P
O
C(8,6)
B(18,6)
A(18,0)
x
y
2、如图,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形,点P、Q同时从原点出发,分别坐匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。
(1)求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。
(2)试在⑴中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等,请直接写出点D的坐标。
(3)设从出发起,运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围。
(4)设从出发起,运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分,如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由。
答案:一、函数问题:
1、解:(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入中,得y=-2.
∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2)
从而k=8×2=16
(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A,B,M,E四点均在双曲线上,
∴mn=k,B(-2m,-),C(-2m,-n),E(-m,-n)
=2mn=2k,=mn=k,=mn=k.
∴=――=k.∴k=4.
由直线及双曲线,得A(4,1),B(-4,-1)
∴C(-4,-2),M(2,2)
设直线CM的解析式是,由C、M两点在这条直线上,得
,解得a=b=
∴直线CM的解析式是y=x+.
(3)如图,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1,M1
设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a.于是,
同理
∴p-q=-=-2
2、(1)点A的坐标为(4,8) …………………1分
将A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx
8=16a+4b
得
0=64a+8b
解 得a=-,b=4
∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x …………………3分
(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t.PB=8-t.
∴点E的坐标为(4+t,8-t).
∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8.
∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t. ∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2.
②共有三个时刻. t1=, t2=,t3= .
二、折叠问题
1. (1) ∵A,B两点的坐标分别是A(10,0)和B(8,),
∴, ∴
当点A´在线段AB上时,∵,TA=TA´,
∴△A´TA是等边三角形,且,
∴,,
A´
y
E
∴,
x
O
C
T
P
B
A
当A´与B重合时,AT=AB=,
所以此时.
(2)当点A´在线段AB的延长线,且点P在线段AB(不与B重合)上时,
纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1),其中E是TA´与CB的交点),
y
x
当点P与B重合时,AT=2AB=8,点T的坐标是(2,0)
又由(1)中求得当A´与B重合时,T的坐标是(6,0)
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,.
E
B
P
A´
F
C
(3)S存在最大值
A
T
O
当时,,
在对称轴t=10的左边,S的值随着t的增大而减小,
∴当t=6时,S的值最大是.
当时,由图,重叠部分的面积
∵△A´EB的高是,
∴
当t=2时,S的值最大是;
当,即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图,其中E是TA´与CB的交点,F是TP与CB的交点),
∵,四边形ETAB是等腰形,∴EF=ET=AB=4,
∴
综上所述,S的最大值是,此时t的值是.
三、圆相关问题
1、 (1)在Rt△ABC中,OC⊥AB,
B
A
E
F
O1
Q
O
O2
y
x
2
1
3
4
N
M
P
C
∴△AOC≌△COB.
∴OC2=OA·OB.
∵OA∶OB=3∶1,C(0,),
∴
∴OB=1.∴OA=3.
∴A(-3,0),B(1,0).
设抛物线的解析式为
则解之,得
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为
(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.
证明:连结O1E、OE、OF.
∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°,
∴四边形EOFC为矩形.
∴QE=QO.
∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°,
∴EF与⊙O1相切.
同理:EF理⊙O2相切.
(3)作MP⊥OA于P,设MN=a,由题意可得MP=MN=a.
∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.
∴
∴
解之,得
此时,四边形OPMN是正方形.
∴
∴
考虑到四边形PMNO此时为正方形,
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.
故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或
2、(1)由抛物线可知,点C的坐标为(0,m),且m<0.
设A(x1,0),B(x2,0).则有x1·x2=3m
又OC是Rt△ABC的斜边上的高,∴△AOC∽△COB ∴
∴,即x1·x2=-m2
∴-m2=3m,解得 m=0 或m=-3
而m<0,故只能取m=-3
这时,
故抛物线的顶点坐标为(,-4)
(2)解法一:由已知可得:M(,0),A(-,0),B(3,0),
C(0,-3),D(0, 3)
∵抛物线的对称轴是x=,也是⊙M的对称轴,连结CE
∵DE是⊙M的直径,
∴∠DCE=90°,∴直线x=,垂直平分CE,
∴E点的坐标为(2,-3)
∵,∠AOC=∠DOM=90°,
∴∠ACO=∠MDO=30°,∴AC∥DE
∵AC⊥CB,∴CB⊥DE
又FG⊥DE, ∴FG∥CB
由B(3,0)、C(0,-3)两点的坐标易求直线CB的解析式为:
y=-3
可设直线FG的解析式为y=+n,把(2,-3)代入求得n=-5
故直线FG的解析式为y=-5
解法二:令y=0,解-3=0得
x1=-,x2=3
即A(-,0),B(3,0)
根据圆的对称性,易知::⊙M半径为2, M(,0)
在Rt△BOC中,∠BOC=90°,OB=3,,OC=3
∴∠CBO=30°,同理,∠ODM=30°。
而∠BME=∠DMO,∠DOM=90°,∴DE⊥BC
∵DE⊥FG, ∴BC∥FG
∴∠EFM=∠CBO=30°
在Rt△EFM中,∠MEF=90°,ME=2,∠FEM=30°,
∴MF=4,∴OF=OM+MF=5,
∴F点的坐标为(5,0)
在Rt△OFG中,OG=OF·tan30°=5×=5
A
·
B
C
D
E
F
G
M
x
y
P
H
O
∴G点的坐标为(0,-5)
∴直线 FG的解析式为y=-5
(3)解法一:
存在常数k=12,满足AH·AP=12
连结CP
由垂径定理可知,
∴∠P=∠ACH
(或利用∠P=∠ABC=∠ACO)
又∵∠CAH=∠PAC,
∴△ACH∽△APC
∴ 即AC2=AH·AP
在Rt△AOC中,AC2=AO2+OC2=()2+32=12
(或利用AC2=AO·AB=×4=12
∴AH·AP=12
解法二:
存在常数k=12,满足AH·AP=12
设AH=x,AP=y
由相交弦定理得HD·HC=AH·HP
即
化简得:xy=12
即 AH·AP=12
四、动点问题
1、(1)由题意,A(0,1)、C(4,3)确定的解析式为:y=x+1.
将点E的坐标E(,)代入y=x+1中,左边=,右边=×+1=,
∵左边=右边,∴点E在直线y=x+1上,即点A、C、E在一条直线上.
(2)解法一:由于动点P在矩形ABCD内部,∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标,而点A与点P都在抛物线上,且P为顶点,∴这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下
X
G
F
O
P
D
E
C
A
B
Y
解法二:∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为,且P在矩形ABCD内部,∴1<<3,由1<1—得—>0,∴a<0,∴抛物线的开口向下.
(3)连接GA、FA,∵S△GAO—S△FAO=3 ∴GO·AO—FO·AO=3 ∵OA=1,∴GO—FO=6. 设F(x1,0)、G(x2,0),则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根,且x1<x2,又∵a<0,∴x1·x2=<0,∴x1<0<x2,
∴GO= x2,FO= —x1,∴x2—(—x1)=6,
即x2+x1=6,∵x2+x1= — ∴—=6,
∴b= —6a,
∴抛物线解析式为:y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为(3,1—9a), ∵顶点P在矩形ABCD内部,
由方程组
y=ax2—6ax+1
y=x+1
得:ax2—(6a+)x=0
∴1<1—9a<3, ∴—<a<0.
∴x=0或x==6+.
当x=0时,即抛物线与线段AE交于点A,而这条抛物线与线段AE有两个不同的交
点,则有:0<6+≤,解得:—≤a<—
综合得:—<a<— ∵b= —6a,∴<b<
2、(1)∵O、C两点的坐标分别为O,C
设OC的解析式为,将两点坐标代入得:
,,∴
∵A,O是轴上两点,故可设抛物线的解析式为
再将C代入得:∴
(2)D
(3)当Q在OC上运动时,可设Q,依题意有:
∴,∴Q,
当Q在CB上时,Q点所走过的路程为,∵OC=10,∴CQ=
∴Q点的横坐标为,∴Q,
(4)∵梯形OABC的周长为44,当Q点OC上时,P运动的路程为,则Q运动的路程为
△OPQ中,OP边上的高为:
梯形OABC的面积=,依题意有:
整理得: ∵△=,∴这样的不存在
当Q在BC上时,Q走过的路程为,∴CQ的长为:
∴梯形OCQP的面积==36≠84×
∴这样的值不存在
综上所述,不存在这样的值,使得P,Q两点同时平分梯形的周长和面积