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- 2021-05-10 发布
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重庆市2009年初中毕业暨高中招生考试
数 学 试 卷
(全卷共五个大题,满分150分,考试时间129分钟)
题号
一
二
三
四
五
总分
总分人
得分
参考公式:抛物线的顶点坐标为,对称轴公式为
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填在题后的括号中。
1.-5的相反数是( )。
A.5 B. C. D.
【答案】A
1.A 【解析】本题考查相反数的概念,答案A.
2.计算的结果是( )。
A. B. C. D.
【答案】B
2.B 【解析】本题考查整式运算中单项式除以单项式的运算法则:即系数相除作商的系数,同底数的幂相除底数不变指数相减,答案B.
3.函数y=的自变量取值范围是( )。
A. B. C. D.
【答案】C
3.C 【解析】因为是分式,根据分式的意义可知:分母x+3不能为0,故x≠-3,答案C,有部分学生把分式分母不为零与二次根式被开数大于等于零混淆.从而误选D.
4.如图,直线相交于点,,若,则等于( )。
A.70º B.80º C.90º D.100º
【答案】B
4.B 【解析】考查平行线的性质,因为AB∥DF,所以∠CEB=∠D,又因为∠CEB+∠AEC=180度,所以答案为B.
5.下列调查中,适宜采用全面调查(普查)方式的是( )。
A.调查一批新型节能灯泡的使用寿命
B.调查长江流域的水污染情况
C.调查重庆市初中学生的视力情况
D.为保证“神舟7号”的成功发射,对其零部件进行检查
【答案】D
5.D 【解析】考查全面调查与抽样调查的概念及在生活中的实际运用,答案为D.
6.如图,⊙是的外接圆,是直径,若,则等于( )。
A.60º B.50º C.40º D.30º
【答案】C
6.C 【解析】考查圆周角定理.同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍,所以∠A是∠BOC的一半,答案为C.
正面
7.由四个大小相同的正方体组成的集合体如图所示,那么它的左视图是( )。
A. B. C. D.
【答案】A
7.A【解析】考查三视图的概念,答案为A,个别同学对左视图理解错误从而误选B.
8.观察下列图形,则第个图形中三角形的个数是( )。
第1个
第2个
第3个
……
A. B. C. D.
【答案】D
8.D【解析】本题是由图形的个数构成的规律题,应从第一个图形开始分别列出所含三角形的个数:第一个图有4个三角形,第二个图有8个三角形,第三个图有12个三角形……由此可知三角形的个数是对应的图形序号的四倍,所以答案为D.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线B→C→D作匀速运动,那么△ABP的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是( )。
A. B. C. D.
【答案】B
9.
B【解析】本题难度中等,考查点的运动变化后根据几何图形的面积确定函数的图像,图像需分段讨论.当P在BC上时,⊿PAB的面积S=AB×PB,即S=×2×X=X.此时 0<X≤1.当P在CD上时,⊿PAB的面积S=AB×BC=×2×1=1,面积是定值.此时 1<X≤3.
10.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90º,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且保持AD=CE,连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中,下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;②四边形CDFE不可能为正方形;③DE长度的最小值为4;④四边形CDFE的面积保持不变;⑤△CDE面积的最大值为
8。其中正确的结论是( )。
A.①②③ B.①④⑤ C.①③④ D.③④⑤
【答案】B
10. B【解析】考查知识点大多,综合性强,能力要求全面,难度较大.但作为选择题可采用排除法等特有方法,使此题难度稍稍降低一些.解此题的关键在于判断⊿DEF是否为等腰直角三角形,作常规辅助线连接CF,由SAS定理可证⊿CFE和⊿ADF全等,从而可证∠DFE=90°,DF=EF.所以⊿DEF是等腰直角三角形.可证①正确,②错误,再由割补法可知④是正确的,判断③,⑤比较麻烦,因为⊿DEF是等腰直角三角形DE=DF,当DF与BC垂直,即DF最小时,DE取最小值4,故③错误,⊿CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去⊿DEF的最小面积,由③可知⑤是正确的.
二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)在每小题中,请将正确答案直接填在题后的横线上。
11.据重庆市统计局公布的数据,今年一季度全市实现国民生产总值约为7840000万元,那么7840000万元用科学计数法表示为 万元。
【答案】7.84×106
11. 7.84×106【解析】考查科学记数法的概念.
12.分式方程的解为 。
【答案】x=-3
12.X=-3【解析】考查分式方程的解法,关键在于正确的找公分母及去分母,最后验根.
13.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4︰25,则△ABC与△DEF的相似比为 。
【答案】2∶5
13.2:5【解析】考查相似三角形的性质,相似三角形面积比等于相似比的平方.
14.已知⊙的半径为3cm,⊙的半径为4cm,两圆的圆心距为7cm,则⊙与⊙的位置关系为 。
【答案】外切
14.外切【解析】考查圆和圆的位置关系.由d=R+r可知两圆是外切的位置关系.本题部分学生由于考虑不充分,对概念理解不清,误填为相切,导致得出错误的结论.
15在平面直角坐标系中,直线与两坐标轴围成一个△AOB。现将背面完全相同,正面分别标有数1、2、3、、的5张卡片洗匀后,背面朝上,从中任取一张,将该卡片上的数作为点P的横坐标,将该数的倒数作为点P的纵坐标,则点P落在△AOB内的概率为 。
【答案】
15. 【解析】考查函数、概率、几何等知识的综合运用,难度较大.先算出P的坐标是(1,1)(2, )(3, )(,2)(,3)将以上五点的横坐标分别代入y= -x+3中算出直线上点的纵坐标,如前者纵坐标小于后者纵坐标则在⊿AOB内.可知当x=1时,y=2,因为1小于2,故点(1,1)在⊿AOB内,同理可知(2, ),(,2)也在⊿AOB内,所以答案为.
16.某公司销售A、B、C三种产品,在去年的销售中,高新产品C的销售金额占总销售金额的40%。由于受国际金融危机的影响,今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%,因而高新产品C是今年销售的重点。若要使今年的总销售金额与去年持平,那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加 %。
【答案】30%
16. 30【解析】考查列方程模型解决实际问题,关键在于设求知数,列方程,难点在于涉及百分数,运算易出错.
三、解答题:(本大题4个小题,每小题6分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。
17.计算:
解:原式=2+3×1-3+1=3。
17.【解析】考查绝对值、负指数幂、零次方、二次根式.(-1)的偶次方的计算与化简,比较简单.
解:原式=2+3×1-3+1………………………………(5分)
=3………………………………………… (6分)
①②
18.解不等式组:
解:解不等式①,得x>-3。
解不等式②,得x≤2。
∴-3<x≤2。
18. 【解析】考查不等式组的解法,比较简单,但部分学生忘记取两个不等式解集的公共部分,导致失分.
解:由①,得X>-3………………………………… (2分)
由②,得X≤2……………………………………(4分)
所以,原不等式组的解集为-3<X≤2……………………(6分)
19.作图:请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC。(要求:用尺规作图,并写出已知、求作,保留作图痕迹,不写作法和结论)
A
B
已知:线段AB。
19题图
求作:等边△ABC。
图略。
19. 【解析】是今年重庆中考的新题型,难度不大,但部分学生写已知、求作不很规范.
解:已知:线段AB……………………………………(1分)
求作:等边⊿ABC………………………………………… (2分)
作图如下:(注:每段弧各1分,连接线段AC、BC各一分)
20.为了建设“森林重庆”,绿化环境,某中学七年级一班同学都积极参加了植树活动。今年4月份该班同学的植树情况的部分统计如下图所示:
植树2株的
人数占32%
(1)请你根据以上统计图中的信息,填写下表:
该班人数
植树株数的中位数
植树株数的众数
(2)请你将该条形统计图补充完整。
解:(1)人数:16÷32%=50(人)。中位数: (2+4)÷2=3。众数是2。
(2)植树4株的是50-9-16-7-4=14(人)。
20. 【解析】考查统计的基本知识、概念及对条形图、扇形图的理解与运用.
解:(1)填表如下:
该班人数
植树株数的中位数
植树株数的纵数
50
3
2
16
……………(4分)
1 2 4 5 6
植树量(株)
人数
(2)补图如下:9
14
7
4
…………(6分)
四、解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。
21.先化简,再求值:,其中
解:原式==。
当时,原式=。
21. 【解析】是近几年重庆中考的一贯题型,考查分式的化简与求值,主要的知识点是整式的运算法则、因式分解、通分约分等,难度不大,此题学生完成较好.
解:原式=÷ …………………………………….(4分)
=×…………………………………………(6分)….
=……………………………………………………………(8分)
当x=-3时,原式==…………………………………(10分)
22.已知:如图在平面直角坐标系中,直线AB分别与轴交于点B、A,与反比例函数的图象分别交于点C、D,CE⊥轴于点E,,OB=4,OE=2。
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)求直线AB的解析式。
解:(1)设反比例函数的解析式是。
∵,OB=4,
∴。∴OA=2,即A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,0)。
∵CE⊥x轴,∴CE∥OA,∴。
∵OE=2,∴CE=3。∴点C的坐标是(-2,3)。
∴k=-2×3=-6。∴。
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b。
∴解得,
∴。
22. 【解析】是一次函数与反比例函数的综合题.主要考查待定系数法求函数解析式.求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质,起点稍高,部分学生感觉较难.
解:(1)∵OB=4,OE=2,∴BE=2+4=6
∵CE⊥X轴于点E,
∴tan∠ABO==.∴CE=3 ..............................................(1分)
∴点C的坐标为(-2,3)..............................................(2分)
设反比例函数的解析式为y=(m≠0)
将点C的坐标带入,得3=,………………………..(3分)
∴m=-6 ……………………………………………….(4分)
∴该反比例函数的解析式为y=-……………………….(5分)
(2)∵OB=4,∴B(4,0) ……………………………………(6分)
∵tan∠ABO==
∴OA=2. ∴A(0,2) …………………………………………..(7分)
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0), 将点A、B坐标代入,得
b=0,
4k+2b=0……………………………………………(8分)
解得 k= -
b=2…………………………………………..(9分)
∴直线AB的解析式为y= -x+2……………………..(10分)
23.有一个可以自由转动的转盘,被分成了4个相同的扇形,分别标有数1、2、3、4(如图所示),另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球(除数不同外,其余都相同)。小亮转动一次转盘,停止后指针指向某一扇形,扇形内的数是小亮的幸运数,小红任意摸出一个小球,小球上的数是小红的吉祥数,然后计算这两个数的积。
(1)请你用画树状图或列表的方法,求这两个数的积为0的概率;
(2)小亮与小红做游戏,规则是:若这两个数的积为奇数,小亮赢;否则,小红赢。你认为该游戏公平吗?为什么?如果不公平,请你修改该游戏规则,使游戏公平。
解:(1)
总结果是12种,积为0的是4种,∴积为0的概率是;
(2)不公平。结果是偶数的为8种,奇数为4种,这样不公平。可以改为:积大于2的小亮赢,否则小红赢。(答案不唯一)
23. 【解析】本题考查用树状图或列表法解决需两步完成的概率题,判断游戏的公平性,并修改游戏规则.由于平时训练到位,此题学生完成较好.
解:(1)画树状图如下:
幸运数 1 2 3 4
吉祥数 0 1 3 0 1 3 0 1 3 0 1 3…………….(4分)
积 0 1 3 0 2 6 0 3 9 0 4 12
由图可知,所有等可能的结果有12种,其中积为0的有4种,
所以,积为0的概率为P==,……………………………………….(6分)
(2)不公平 ………………………………………….………….(7分)
因为有图知,积为奇数的有4种,积为偶数的有8种.
所以,积为奇数的概率为==,……………………………….….(8分)
积为偶数的概率为== ……………………………….….(9分)
因为≠,所以,该游戏不公平.游戏可修改为:
若这两个数的积为0,则小亮赢;积为奇数,则小红赢.………….(10分)
(只要正确即可)
24.已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC。
(1)求证:BG=FG;
(2)若AD=DC=2,求AB的长。
(1)证明:在△ABC和△AFE中,
∴△ABC≌△AFE。
∴AB=AF。
∴BE=CF。
∴在△EBG和△CFG中,
∴△EBG≌△CFG。
∴BG=FG。
(2)∵AD=DC=2,DE⊥AC ,AE=AC。
∴AF=FC。
∴AE=2AF=2AB。
∵∠AFE=∠EAD=90°,∴△EAF∽△EDA。
∴DE=2AD=4。∴AE=。
∴AB=。
24. 【解析】本题考查直角梯形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定,知识点多,综合性强.突破此题的关键在于第一问通过两次全等证Rt⊿ABG≌Rt⊿AFG,第二问求AB的长应充分利用等腰⊿ADC的性质得AF=AC=AE.从而得出∠E=30°
(1)证明:∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,
∴∠ABC=∠AFE ………………………..…..(1分)
∵AC=AE, ∠EAF=∠CAB,
∴⊿ABC≌⊿AFE ………………………..…..(2分)
∴AB=AF ………………………..…..(3分)
连接AG, ………………………..…..(4分)
∵AG=AC,AB=AF,
∴Rt⊿ABG≌Rt⊿AFG …………………..…..(5分)
BG=FG ………………………………...…..(6分)
(2)解:∵AD=DC,DF=AC
∴AF=AC=AE………………………...…..(7分)
∴∠E=30°
∴∠FAD=∠E=30°………………………………………………...…..(8分)
∴AF=…………………………………………………………...…..(9分)
∴AB=AF=……………………………………………………...…..(10分)
25.某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价(元)与月份之间满足函数关系,去年的月销售量(万台)与月份之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表:
月份
1月
5月
销售量
3.9万台
4.3万台
(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少?
(2)由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了,且每月的销售量都比去年12月份下降了。国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴。受此政策的影响,今年3月份至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台。若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予财政补贴936万元,求的值(保留一位小数)
(参考数据:,,,)
解:(1)设P=kx+b,根据题意,得
解得
∴P=0.1x+3.8
设去年月销往农村的销售金额为W,则)
即。
当时,。
(2)去年12月的价格为:-50×12+2600=2000。
去年12月的销售量为:0.1×12+3.8=5。
根据题意,得2000(1-m%)×13%×〔5(1-1.5m%)+1.5〕×3=936。
解得m1≈52.8,m2≈133.9(舍去)。
答:m的值是52.8。
25.
【解析】本题考查数学知识在实际生活中的应用,培养学生学数学,用数学的意识和能力.本题阅读量大,数量与数量之间关系转换较为复杂.第一问直接问哪月销售金额最大,思维起点较高,突破口在于先求出销售量与月份x之间的函数关系式,再正确列出销售金额与月份x之间的函数关系式;第二问头绪多,相等关系难列出来,并且计算量大,学生失分严重,应化整为零,先求出去年12月份每台的售价与去年12月份销售金额,再逐步表示今年3—5月份的售价与销售量,从而列出方程,解方程时应非常仔细,否则易出错.
解:(1)设p与x的函数关系为p=kx+b(k≠0),根据题意,得
k+b=3.9
5k+b=4.3……………………………………………………..(1分)
解得:k=0.1
B=3.8
∴p= 0.1x+3.8………………………………………………..(2分)
设月销售金额为w万元,则w=py=(0.1x+3.8)(-50x+2600)…………(3分)
化简,得w= -5+70x+9880,所以,w= - 5+10125万元
当x=7时,w取得最大值,最大值为10125万元
答:该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大,最大值为10125万元. ………………………………………..…………………………….(4分)
(2)去年12月份每台的售价为 -50×12+2600=2000元,
去年12月份销售金额为0.1×12+3.8=5万台……..……………………….(5分)
根据题意, 得2000(1-m﹪) ×〔5(1-1.5m﹪)+1.5〕×13﹪×3=936……….(8分)
令m%=t,原方程可化为7.5-14t+5.3=0 解得:=,=
∴≈0.528, ≈1.339(舍去).
答:m的值约为52.8 …………………………………………………………………(10分)
26.已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在轴的正半轴上,OC在轴的正半轴上,OA=2,OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E。
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G。如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
解:(1)∵OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD。
∵AB∥OC,∴∠ADO=∠COD。
∴∠ADO=∠AOD。∴AD=AO=2。∴点D的坐标为(2,2)。
∵OA=2,OC=3。∴BD=1。
∵DE⊥DC,∴∠ADE+∠BDC=90°,∴∠ADE=∠BCD。
∵∠DAE=∠CBD=90°,AD=BC=2。
∴△ADE≌△BCD。
∴AE=BD=1。∴点E的坐标为(0,1)。
∵OC=3,∴点C的坐标为(3,0)。
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c。
解得
∴。
(2)EF=2OG。
理由:把x=代入,得y=。
∴点M得坐标为(,)。
设直线DM的解析式为y=kx+b。
解得∴y=x+3。
当x=0时,y=3。∴点F的坐标为(0,3)。∴EF=2。
作DH⊥OC于H,
∵DH=AD,∠GHD=∠FAD=90°,∠GDH=∠FDA,
∴△FAD≌△GHD。∴GH=AF=1。∴OG=1。∴EF=2OG。
(3)存在。∵OG=1,∴CG=2。
①当PG=CG=2时,PG⊥OC。∴点P的坐标为(1,2),∴把x=1代入,得y=。∴点Q的坐标为(1,)。
②当PC=CG时,PC⊥OC,∴点P就是点B,坐标为(3,2)。
设直线BG的解析式为y=kx+b,得出
解得∴y=x-1。
∴点Q是直线BG与抛物线的交点。
∴解得或
又∵点P在第一象限。∴点P的坐标为(,)。
③当PG=PC时,点P在CG的垂直平分线上,∴点P就是点D,点D也是点Q,坐标为(2,2)。
∴综上所述,点Q的坐标为(1,)或(,)或(2,2)。
26. 【解析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式,图形旋转变换,三角形全等,探究等腰三角形的构成情况等重要知识点,综合性强,能力要求极高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.解决此题首先应正确求出二次函数解析式;第二问关键在于正确作出旋转后的图形,结合几何知识,利用数形结合的思想求解;第三问应当明确⊿PCG构成等腰三角形有三种情况,逐一讨论求解,要求思维的完备性.