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- 2021-05-10 发布
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11 中考数学压轴题试题及答案选
1、(11 福州)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC 的边长为 2cm,点 A、C 分别在 y
轴的负半轴和 x 轴的正半轴上,抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D .
(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动,同
时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停
止运动. 设 S=PQ2(cm2)
①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围;
②当 S 取 时,在抛物线上是否存在点 R,使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出 R 点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上求点 M,使得 M 到 D、A 的距离之差最大,求出点 M 的坐标.
解: (1)据题意知: A(0, -2), B(2, -2) ,D(4,— ),
则 解得
∴抛物线的解析式为:
----------------------------4 分
(2) ①由图象知: PB=2-2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2-2t)2 + t2 ,
即 S=5t2-8t+4 (0≤t≤1) --------------------6 分
②假设存在点 R, 可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形.
∵S=5t2-8t+4 (0≤t≤1), ∴当 S= 时, 5t2-8t+4= ,得 20t2-32t+11=0,
解得 t = ,t = (不合题意,舍去)-------------------------------7 分
此时点 P 的坐标为(1,-2),Q 点的坐标为(2,— )
若 R 点存在,分情况讨论:
2(4, )3
−
5
4
3
2
23
1
6
1 2 −−= xxy
4
5
4
5
2
1
10
11
2
3
(第 22 题)
【A】假设 R 在 BQ 的右边, 这时 QR PB, 则,R 的横坐标为 3, R 的纵坐标为—
即 R (3, - ),代入 , 左右两边相等,
∴这时存在 R(3, - )满足题意.
【B】假设 R 在 BQ 的左边, 这时 PR QB, 则:R 的横坐标为 1, 纵坐标为- 即(1, - ) 代入
, 左右两边不相等, R 不在抛物线上.
【C】假设 R 在 PB 的下方, 这时 PR QB, 则:R(1,— )代入,
左右不相等, ∴R 不在抛物线上.
综上所述, 存点一点 R(3, - )满足题意. ---------------------11 分
(3)∵A 关于抛物线的对称轴的对称点为 B,过 B、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所求 M,M
的坐标为(1,— )---------------------------------------14 分
2、(11 德州) 在直角坐标系 xoy 中,已知点 P 是反比例函数 图象上一个动点,以
P 为圆心的圆始终与 y 轴相切,设切点为 A.
(1)如图 1,⊙P 运动到与 x 轴相切,设切点为 K,试判断四边形 OKPA 的形状,并说明理由.
(2)如图 2,⊙P 运动到与 x 轴相交,设交点为 B,C.当四边形 ABCP 是菱形时:
①求出点 A,B,C 的坐标.
②在过 A,B,C 三点的抛物线上是否存在点 M,使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 .若存在,
试求出所有满足条件的 M 点的坐标,若不存在,试说明理由.
解:(1)∵⊙P 分别与两坐标轴相切,
2
3
2
3
23
1
6
1 2 −−= xxy
2
3
2
3
2
3
23
1
6
1 2 −−= xxy
2
5
23
1
6
1 2 −−= xxy
2
3
3
8
)>0(32 xxy =
2
1
A P 2 3y x
=
x
y
KO
图 1 图 1
A P 2 3y x
=
x
y
KO
∴ PA⊥OA,PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°,
∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四边形 OKPA 是矩形.
又∵OA=OK,
∴四边形 OKPA 是正方形.……………………2 分
(2)①连接 PB,设点 P 的横坐标为 x,则其纵坐标为 .
过点 P 作 PG⊥BC 于 G.
∵四边形 ABCP 为菱形,
∴BC=PA=PB=PC.
∴△PBC 为等边三角形.
在 Rt△PBG 中,∠PBG=60°,PB=PA=x,
PG= .
sin∠PBG= ,即 .
解之得:x=±2(负值舍去).
∴ PG= ,PA=BC=2.……………………4 分
易知四边形 OGPA 是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.
∴ A(0, ),B(1,0) C(3,0).……………………6 分
设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c.
据题意得:
解之得:a= , b= , c= .
∴二次函数关系式为: .……………………9 分
②解法一:设直线 BP 的解析式为:y=ux+v,据题意得:
x
32
x
32
PB
PG
2 3
3
2
x
x
=
3
3
0
9 3 0
3
a b c
a b c
c
+ + =
+ + =
=
3
3
4 3
3
− 3
23 4 3 33 3y x x= − +
0
2 3
u v
u v
+ = + =
O
A P 2 3y x
=
x
y
B C
图 2
G
M
解之得:u= , v= .
∴直线 BP 的解析式为: .
过点 A 作直线 AM∥PB,则可得直线 AM 的解析式为: .
解方程组:
得: ; .
过点 C 作直线 CM∥PB,则可设直线 CM 的解析式为: .
∴0= .
∴ .
∴直线 CM 的解析式为: .
解方程组:
得: ; .
综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个,
分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分
解法二:∵ ,
∴A(0, ),C(3,0)显然满足条件.
延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
∴ .
∴点 M 的纵坐标为 .
又点 M 的横坐标为 AM=PA+PM=2+2=4.
∴点 M(4, )符合要求.
3 3 3−
3 3 3y x= −
3 3y x= +
2
3 3
3 4 3 33 3
y x
y x x
= +
= − +
1
1
0
3
x
y
= =
2
2
7
8 3
x
y
= =
3y x t= +
3 3 t+
3 3t = −
3 3 3y x= −
2
3 3 3
3 4 3 33 3
y x
y x x
= −
= − +
1
1
3
0
x
y
=
=
2
2
4
3
x
y
= =
3 3 8 3
1
2PAB PBC PABCS S S∆ ∆= =
3
1
2PBM PBA PABCS S S∆ ∆= =
3
3
点(7, )的求法同解法一.
综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个,
分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分
解法三:延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
∴ .
∴点 M 的纵坐标为 .
即 .
解得: (舍), .
∴点 M 的坐标为(4, ).
点(7, )的求法同解法一.
综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个,
分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分
3、(11 义乌)已知二次函数的图象经过 A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线 x=4. 设顶点为
点 P,与 x 轴的另一交点为点 B.
(1)求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标;
(2)如图 1,在直线 y=2x 上是否存在点 D,使四边形 OPBD 为等腰梯形?若存在,求出点 D 的
坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图 2,点 M 是线段 OP 上的一个动点(O、P 两点除外),以每秒 个单位长度的速度由
点 P 向点 O 运动,过点 M 作直线 MN∥x 轴,交 PB 于点 N. 将△PMN 沿直线 MN 对折,得
到△P1MN. 在动点 M 的运动过程中,设△P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S,运
动时间为 t 秒. 求 S 关于 t 的函数关系式.
解 : ( 1 ) 设二次函数的解析
式 为 y=ax2+bx+c
由 题 意 得
8 3
3 3 8 3
1
2PBM PBA PABCS S S∆ ∆= =
3
23 4 3 3 33 3x x− + =
1 0x = 2 4x =
3
8 3
3 3 8 3
2
O
P
C
BA x
y
图 1 图 2
M
O
A
x
P
N
C
B
y
解得
∴二次函数的解析式为 y= x2-8x+12 ……………………………………………2 分
点 P 的坐标为(4,-4) …………………………………………………………3 分
(2)存在点 D,使四边形 OPBD 为等腰梯形. 理由如下:
当 y=0 时,x2-8x+12=0 ∴x1=2 , x2=6
∴点 B 的坐标为(6,0)
设直线 BP 的解析式为 y=kx+m
则 解得
∴直线 BP 的解析式为 y=2x-12
∴直线 OD∥BP………………………………………4 分
∵顶点坐标 P(4, -4) ∴ OP=4
设 D(x,2x) 则 BD2=(2x)2+(6-x)2
当 BD=OP 时,(2x)2+(6-x)2=32
解得:x1= ,x 2=2…………………………………………………………………6 分
当 x2=2 时,OD=BP= ,四边形 OPBD 为平行四边形,舍去
∴当 x= 时四边形 OPBD 为等腰梯形 …………………7 分
∴当 D( , )时,四边形 OPBD 为等腰梯形 ………8 分
(3)① 当 0<t≤2 时,
∵运动速度为每秒 个单位长度,运动时间为 t 秒,
则 MP= t ∴PH=t,MH=t,HN= t ∴MN= t
∴S= t·t· = t2 ……………………10 分
② 当 2<t<4 时,P1G=2t-4,P1H=t
∵MN∥OB ∴ ∽
∴ ∴
=++
=
=−
024
12
42
cba
c
a
b
=
−=
=
12
8
1
c
b
a
−=+
=+
44
06
mk
mk
−=
=
12
2
m
k
2
5
2
52
5
2
5
2
5
4
2
2 2
1
2
3
2
3
2
1
4
3
EFP1∆ MNP1∆
2
1
1 )(
1
1
HP
GP
S
S
MNP
EFP =
∆
∆ 2
2
)42(
4
3
1
t
t
t
S EFP −=∆
xP1M
AO B
C
P
N
y
H
x
P1
M
AO B
C
P
N
G
H
E F
y
DO
xAO B
C
P
y
图 1 图 2 图 3
x
y
M N
xO
C
E
A
B
F
A
B
y
C
O
…
x O
y
A
C
B
∴ =3t2-12t+12
∴S= t2-(3t2-12t+12)= - t2+12t-12
∴ 当 0<t≤2 时,S= t2
4、(11 金华)在平面直角坐标系中,如图 1,将 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC, 相邻两
边 OA 和 OC 分别落在 轴和 轴的正半轴上, 设抛物线 ( <0)过矩形顶点 B、
C.
(1)当 n=1 时,如果 =-1,试求 b 的值;
(2)当 n=2 时,如图 2,在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN,使 EF 在线段 CB 上,如
果 M,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转,使得点 B 落到 轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原
点 O.①试求当 n=3 时 a 的值;
②直接写出 关于 的关系式.
23.(本题 10 分)
(1)由题意可知,抛物线对称轴为直线 x= ,
∴ ,得 b= 1; ……2 分
(2)设所求抛物线解析式为 ,
由对称性可知抛物线经过点 B(2,1)和点 M( ,2)
∴ 解得
∴所求抛物线解析式为 ;……4 分
(3)①当 n=3 时,OC=1,BC=3,
设所求抛物线解析式为 ,
过 C 作 CD⊥OB 于点 D,则 Rt△OCD∽Rt△CBD,
∴ ,
设 OD=t,则 CD=3t,
∵ ,
EFPS 1∆
4
3
4
9
4
3
n
x y 2y ax bx c= + + a
a
x
a n
1
2
1
2 2
b
a
− =
2 1y ax bx= + +
1
2
1 4 2 1
1 12 1.4 2
a b
a b
= + + = + +
, 4 ,3
8.3
a
b
= −
=
24 8 13 3y x x= − + +
2y ax bx= +
1
3
OD OC
CD BC
= =
2 2 2OD CD OC+ =
x
y
O
A
B
C
D
x
y
O
C
E
A
B
M N
F
y
xO
C
A
B
∴ , ∴ ,
∴C( , ), 又 B( ,0),
∴把 B 、C 坐标代入抛物线解析式,得
解得:a= ; ……2 分
② . ……2 分
5、(11 金华)如图,在平面直角坐标系中,点 A(10,0),以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C,
点 B 是该半圆周上一动点,连结 OB、AB,并延长 AB 至点 D,使 DB=AB,过点 D 作 x 轴垂线,分
别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F,点 E 为垂足,连结 CF.
(1)当∠AOB=30°时,求弧 AB 的长度;
(2)当 DE=8 时,求线段 EF 的长;
(3)在点 B 运动过程中,是否存在以点 E、C、F
为顶点的三角形与△AOB 相似,若存在,请求出此
时点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)连结 BC,
∵A(10,0), ∴OA=10 ,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB=2∠AOB=60°,
∴弧 AB 的长= ; ……4 分
(2)连结 OD,
∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB 是 AD 的垂直平分线,
∴OD=OA=10,
在 Rt△ODE 中,
OE= ,
∴AE=AO-OE=10-6=4,
由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
∴ ,即 ,∴EF=3;……4 分
(3)设 OE=x,
①当交点 E 在 O,C 之间时,由以点 E、C、F 为顶点的三角
形与△AOB 相似,有∠ECF=∠BOA 或∠ECF=∠OAB,
当∠ECF=∠BOA 时,此时△OCF 为等腰三角形,点 E 为 OC
2 2 2(3 ) 1t t+ = 1 10
10 10t = =
10
10
3 1010 10
0 10 10
3 1 1010 .10 10 10
a b
a b
= +
= +
, 10
3
−
2 1na n
+= −
3
5
180
560 ππ =××
=− 22 DEOD 6810 22 =−
OE
EF
DE
AE =
68
4 EF=
第 24 题图
O
B
D
EC
F
x
y
A
O
B
D
EC
F
x
y
A
O
B
D
F
CE A x
y
中点,即 OE= ,
∴E1( ,0);
当∠ECF=∠OAB 时,有 CE=5-x, AE=10-x,
∴CF∥AB,有 CF= ,
∵△ECF∽△EAD,
∴ ,即 ,解得: ,
∴E2( ,0);
②当交点 E 在点 C 的右侧时,
∵∠ECF>∠BOA,
∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF=∠BAO,
连结 BE,
∵BE 为 Rt△ADE 斜边上的中线,
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE, ∴ ,
∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED, ∴ ,
而 AD=2BE, ∴ ,
即 , 解得 , <0(舍去),
∴E3( ,0);
③当交点 E 在点 O 的左侧时,
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF .
∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF=∠BAO
连结 BE,得 BE= =AB,∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
∴ ,
又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠,
2
5
2
5
1
2 AB
AD
CF
AE
CE = 5 1
10 4
x
x
− =− 3
10=x
3
10
OE
OC
BE
CF =
CF CE
AD AE
=
2
OC CE
OE AE
=
5 5
2 10
x
x x
−= − 4
1755
1
+=x 4
1755
2
−=x
4
1755 +
AD2
1
OE
OC
BE
CF =
O
B
D
F
CE A x
y
O
B
D
F
C E A x
y
O
B
D
F
CE A x
y
A
B
C
D
l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3
∴△CEF∽△AED, ∴ ,
而 AD=2BE, ∴ ,
∴ , 解得 , <0(舍去),
∵点 E 在 x 轴负半轴上, ∴E4( ,0),
综上所述:存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点 E 坐标为:
( ,0)、 ( ,0)、 ( ,0)、 ( ,0).……4 分
6、(11 安徽如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1、l2、l3、l4 上,这四条直线中相邻
两条之间的距离依次为 h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0).
(1)求证:h1=h2;
【证】
(2)设正方形 ABCD 的面积为 S,求证:S=(h1+h2)2+h12;
【证】
(3)若 3
2h1+h2=1,当 h1 变化时,说明正方形 ABCD 的面积 S 随 h1 的变化情况.
【解】
(1)过 A 点作 AF⊥l3 分别交 l2、l3 于点 E、F,过 C 点作 CH⊥l2 分别交 l2、l3 于点 H、G,证△ABE≌△
CDG 即可.
(2)易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为 h1、h1+h2,四边形 EFGH 是边长为 h2 的
正方形,
所以 .
(3)由题意,得 所以
又 解得 0<h1<
AD
CF
AE
CE =
2
OC CE
OE AE
=
5 +5
2 10+
x
x x
=
4
1755
1
+−=x 4
1755
2
−−=x
4
1755 −
1E 2
5
2E 3
10
3E 4
1755 +
4E 4
1755 −
( ) 2
1
2
21
2
221
2
1
2
2211 )(222
14 hhhhhhhhhhhS ++=++=++×=
12
3
2 1 hh −=
5
4
5
2
4
5
14
5
2
31
2
1
1
2
1
2
1
2
11
+
−=
+−=+
−+=
h
hhhhhS
〉−
〉
02
31
0
1
1
h
h
3
2
∴当 0<h1< 时,S 随 h1 的增大而减小;
当 h1= 时,S 取得最小值 ;
当 <h1< 时,S 随 h1 的增大而增大.
7、(11 日照)如图,抛物线 y=ax2+bx(a 0)与双曲线 y= 相交于点 A,B. 已知点 B 的坐标为
(-2,-2),点 A 在第一象限内,且 tan∠AOx=4. 过点 A 作直线 AC∥x 轴,交抛物线于另一点 C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC 的面积;
(3)在抛物线上是否存在点 D,使△ABD 的面积等于△ABC 的面
积.若存在,请你写出点 D 的坐标;若不存在,请你说明理由.
8、(11 威海)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A(-3,0),点 B(1,0),交 y 轴于点 E(0,-
3)。点 C 是点 A 关于点 B 的对称点,点 F 是线段 BC 的中点,直线 l 过点 F 且与 y 轴平行。直线 y=
-x+m 过点 C,交 y 轴于 D 点。
⑴求抛物线的函数表达式;
⑵点 K 为线段 AB 上一动点,过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H,与抛物线交于点 G,
求线段 HG 长度的最大值;
⑶在直线 l 上取点 M,在抛物线上取点 N,使以点 A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边
形,求点 N 的坐标。
9、(11 广州)已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 C(0,1),且与 x 轴交于不同的
两点 A、B,点 A 的坐标是(1,0)
(1)求 c 的值;
5
2
5
2
5
4
5
2
3
2
x
k
A B C
DH
E
F
G
K
O x
y
l
图①
A B C
DH
E
F
G
K
O x
y
l
备用图
(2)求 a 的取值范围;
(3)该二次函数的图象与直线 y=1 交于 C、D 两点,设 A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相
交于点 P,记△PCD 的面积为 S1,△PAB 的面积为 S2,当 0 ( ) ( )2 22 21 4 2 1 4 2 1 1a a a a a a a a∆ = − + − = + + − = − + = −
a 0a > 1a ≠
0 1a< <
1 1 12 2
a ax a a
− − += − = >
1 12 12
a aAB a a
+ − = − =
1y = ( )2 1 1y ax a x= − + +
( )2 1 0ax a x− + = 1 2
10, ax x a
+= =
1 aCD a
+=
1 2 PCD PAB ACD CABS S S S S S∆ ∆ ∆ ∆− = − = −
1 1
2 2CD OC AB OC× × − × ×
1 1 1 11 12 2 2
a a
a
+ −× × − × ×
1 2S S−
2
α α
2
x
y
P
D
B
C
O A
(1)证明:∵ AB 是⊙O 的直径
∴ ∠ACB=90°
∵ ∠DCE=90°
∴∠ACB+∠DCE=180°
∴ B、C、E 三点共线。
(2)证明:连接 ON、AE、BD,延长 BD 交 AE 于点 F
∵ ∠ABC=45°,∠ACB=90°
∴ BC=AC,又∠ACB=∠DCE=90°,DC=EC
∴ △BCD≌△ACE
∴ BD=AE,∠DBC=∠CAE
∴∠DBC+∠AEC=∠CAE+∠AEC=90°
∴ BF⊥AE
∵ AO=OB,AN=ND
∴ ON= BD,ON∥BD
∵ AO=OB,EM=MB
∴ OM= AE,OM∥AE
∴ OM=ON,OM⊥ON
∴ ∠OMN=45°,又 cos∠OMN=
∴
(3) 成立,证明同(2)。
11、(11 舟山)已知直线 ( <0)分别交 轴、 轴于 A、B 两点,线段 OA 上有一动点 P
由原点 O 向点 A 运动,速度为每秒 1 个单位长度,过点 P 作 轴的垂线交直线 AB 于点 C,设运
动时间为 秒.
1
2
1
2
OM
MN
2MN OM=
1 1 12M N OM=
3+= kxy k x y
x
t
F
N1
M1
D
O
B C
A
E
F
N
M
DO
B C
A
E
(1)当 时,线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动,它与点 P 以相同速度同时出发,
当点 P 到达点 A 时两点同时停止运动(如图 1).
① 直接写出 =1 秒时 C、Q 两点的坐标;
② 若以 Q、C、A 为顶点的三角形与△AOB 相似 ,求 的值.
(2)当 时,设以 C 为顶点的抛物线 与直线 AB 的另一交点为 D(如图 2),
① 求 CD 的长;
② 设△COD 的 OC 边上的高为 ,当 为何值时, 的值最大?
1−=k
t
t
4
3−=k nmxy ++= 2)(
h t h
B
AO P
C
x
y
1
1
D
(第 24 题图 2)(第 24 题图 1)
B
AO
P
C
Q x
y
1
1
12、(11 济宁)如图,在平面直角坐标系中,顶点为( , )的抛物线交 轴于 点,交 轴于
, 两点(点 在点 的左侧). 已知 点坐标为( , ).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点 作线段 的垂线交抛物线于点 , 如果以点 为圆心的圆与直线 相切,请
判断抛物线的对称轴 与⊙ 有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点 是抛物线上的一个动点,且位于 , 两点之间,问:当点 运动到什么位置
时, 的面积最大?并求出此时 点的坐标和 的最大面积.
(1)解:设抛物线为 .
∵抛物线经过点 (0,3),∴ .∴ .
∴抛物线为 . ……………………………3 分
(2) 答: 与⊙ 相交. …………………………………………………………………4 分
证明:当 时, , .
∴ 为(2,0), 为(6,0).∴ .
设⊙ 与 相切于点 ,连接 ,则 .
∵ ,∴ .
又∵ ,∴ .∴ ∽ .
∴ .∴ .∴ .…………………………6 分
∵抛物线的对称轴 为 ,∴ 点到 的距离为 2.
∴抛物线的对称轴 与⊙ 相交. ……………………………………………7 分
4 1− y A x
B C B C A 0 3
B AB D C BD
l C
P A C P
PAC∆ P PAC∆
2( 4) 1y a x= − −
A 23 (0 4) 1a= − − 1
4a =
2 21 1( 4) 1 2 34 4y x x x= − − = − +
l C
21 ( 4) 1 04 x − − = 1 2x = 2 6x =
B C 2 23 2 13AB = + =
C BD E CE 90BEC AOB∠ = ° = ∠
90ABD∠ = ° 90CBE ABO∠ = °− ∠
90BAO ABO∠ = °− ∠ BAO CBE∠ = ∠ AOB∆ BEC∆
CE BC
OB AB
= 6 2
2 13
CE −= 8 2
13
CE = >
l 4x = C l
l C
A
x
y
BO C
D
(第 23 题)
(3) 解:如图,过点 作平行于 轴的直线交 于点 .
可求出 的解析式为 .…………………………………………8 分
设 点的坐标为( , ),则 点的坐标为( , ).
∴ .
∵ ,
∴当 时, 的面积最大为 .
此时, 点的坐标为(3, ). …………………………………………10 分
13、(11 菏泽)21. (本题 9 分)如图,抛物线 y=1
2x2+bx-2 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C
点,且 A(-1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标;
(2)判断 的形状,证明你的结论;
(3)点 是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD 的值最
小时,求 m 的值.
(1)把点 A(-1,0)的坐标代入抛物线的解析式 y=1
2x2+bx-
2,
整理后解得 ,
P y AC Q
AC 1 32y x= − +
P m 21 2 34 m m− + Q m 1 32 m− +
2 21 1 1 33 ( 2 3)2 4 4 2PQ m m m m m= − + − − + = − +
2 21 1 3 3 27( ) 6 ( 3)2 4 2 4 4PAC PAQ PCQS S S m m m∆ ∆ ∆= + = × − + × = − − +
3m = PAC∆ 27
4
P 3
4
−
ABC△
( 0)M m,
3
2b = −
A
x
y
BO ht
tp:
//
w
w
w.
gz
sx
w.
ne
t/
C
D
(第 23 题)
E
P
Q
A B
C
D
x
y
O
(第 21 题图)
1
1
1−
所以抛物线的解析式为 .…………………………………2 分
顶点 . …………………………………3 分
(2) . , , .
是直角三角形. …………………………………6 分
(3)作出点 关于 轴的对称点 ,则 , .连接 交 轴于点 ,
根据轴对称性及两点之间线段最短可知, 的值最小.
设抛物线的对称轴交 轴于点 . .
. . .…………………………………10 分
说明:此处求出 、D 的解析式后,再求与 x 轴的交点坐标可同样给分.
14(11 成都)如图,在平面直角坐标系 中,△ABC 的 A、B 两个顶点在 x 轴上,顶点 C 在 y 轴
的 负 半 轴 上 . 已 知 , , △ABC 的 面 积 , 抛 物 线
经过 A、B、C 三点。
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点,过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点
F,过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G,再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H,得到矩形 EFGH.则在点 E 的
运动过程中,当矩形 EFGH 为正方形时,求出该正方形的边长;
(3)在抛物线上是否存在异于 B、C 的点 M,使△MBC 中 BC 边上的高为 ?若存在,求出点 M
的坐标;若不存在,请说明理由.
3 25
2 8
− ,
24
41m∴ =
21 3 22 2y x x= − −
D
5AB = 2 2 2 5AC OA OC= + = 2 2 2 20BC OC OB= + = 2 2 2AC BC AB∴ + =
ABC∴△
C x C′ (0 2)C′ , 2OC′ = C D′ x M
MC MD+
x E C OM DEM′△ ∽△
OM OC
EM ED
′∴ = 2
3 25
2 8
m
m
∴ =
−
'C
xOy
: 1:5OA OB = OB OC= 15ABCS∆ =
2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠
7 2
15(11 福州)
已知,如图 11,二次函数 图象的顶点为 ,与 轴交于 、 两点( 在
点右侧),点 、 关于直线 : 对称.
(1)求 、 两点坐标,并证明点 在直线 上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点 作直线 ∥ 交直线 于 点, 、 分别为直线 和直线 上的两个动点,连
接 、 、 ,求 和的最小值.
解:(1)依题意,得
解得 ,
∵ 点在 点右侧
∴ 点坐标为 , 点坐标为
∵直线 :
当 时,
∴点 在直线 上
(2)∵点 、 关于过 点的直线 : 对称
∴
过顶点 作 交 于 点
则 ,
∴顶点
代入二次函数解析式,解得
∴二次函数解析式为
(3)直线 的解析式为
直线 的解析式为
由 解得 即 ,则
∵点 、 关于直线 对称
∴ 的最小值是 ,
过点 作直线 的对称点 ,连接 ,交直线 于
2 2 3y ax ax a= + − ( 0)a ≠ H x A B B
A H B l 3 33y x= +
A B A l
B BK AH l K M N AH l
HN NM MK HN NM MK+ +
2 2 3 0ax ax a+ − = ( 0)a ≠
1 3x = − 2 1x =
B A
A ( 3 0)− , B (1 0),
l 3 33y x= +
3x = − 3 ( 3) 3 03y = × − + =
A l
H B A l 3 33y x= +
4AH AB= =
H HC AB⊥ AB C
1 22AC AB= = 2 3HC =
( 1,2 3)H −
3
2a = −
23 3 332 2y x x= − − +
AH 3 3 3y x= +
BK 3 3y x= −
3 33
3 3
y x
y x
= +
= −
{ 3
2 3
x
y
=
= (3,2 3)K 4BK =
H B AK
HN MN+ MB 2 3KD KE= =
K AH Q QK AH E
A B
K
H
x
y
O
l
图 11
A B
K
H
x
y
O
l
备用图
11
A B
K
H
x
y
C O
则 , ,
∴ 的最小值是 ,即 的长是 的最小值
∵ ∥
∴
由勾股定理得
∴ 的最小值为
(不同解法参照给分)
16、(11 泉州)在直角坐标系 xoy 中,已知点 P 是反比例函数 图象上一个动点,以
P 为圆心的圆始终与 y 轴相切,设切点为 A.
(1)如图 1,⊙P 运动到与 x 轴相切,设切点为 K,试判断四边形 OKPA 的形状,并说明理由.
(2)如图 2,⊙P 运动到与 x 轴相交,设交点为 B,C.当四边形 ABCP 是菱形时:
①求出点 A,B,C 的坐标.
②在过 A,B,C 三点的抛物线上是否存在点 M,使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 .若存在,
试求出所有满足条件的 M 点的坐标,若不存在,试说明理由.
解:(1)∵⊙P 分别与两坐标轴相切,
∴ PA⊥OA,PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°,
∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四边形 OKPA 是矩形.
又∵OA=OK,
∴四边形 OKPA 是正方形.……………………2 分
QM MK= 2 3QE EK= = AE QK⊥
BM MK+ BQ BQ HN NM MK+ +
BK AH
90BKQ HEQ∠ = ∠ = °
8QB =
HN NM MK+ + 8
)>0(32 xxy =
2
1
A B
K
H
N
M
D
E
Q
x
y
O
l
A P 2 3y x
=
x
y
KO
第 25 题 图 1
(2)①连接 PB,设点 P 的横坐标为 x,则其纵坐标为 .
过点 P 作 PG⊥BC 于 G.
∵四边形 ABCP 为菱形,
∴BC=PA=PB=PC.
∴△PBC 为等边三角形.
在 Rt△PBG 中,∠PBG=60°,PB=PA=x,
PG= .
sin∠PBG= ,即 .
解之得:x=±2(负值舍去).
∴ PG= ,PA=BC=2.……………………4 分
易知四边形 OGPA 是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.
∴ A(0, ),B(1,0) C(3,0).……………………6 分
设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c.
据题意得:
解之得:a= , b= , c= .
∴二次函数关系式为: .……………………9 分
②解法一:设直线 BP 的解析式为:y=ux+v,据题意得:
解之得:u= , v= .
∴直线 BP 的解析式为: .
过点 A 作直线 AM∥PB,则可得直线 AM 的解析式为: .
x
32
x
32
PB
PG
2 3
3
2
x
x
=
3
3
0
9 3 0
3
a b c
a b c
c
+ + =
+ + =
=
3
3
4 3
3
− 3
23 4 3 33 3y x x= − +
0
2 3
u v
u v
+ = + =
3 3 3−
3 3 3y x= −
3 3y x= +
O
A P 2 3y x
=
x
y
B C
图 2
G
M
解方程组:
得: ; .
过点 C 作直线 CM∥PB,则可设直线 CM 的解析式为: .
∴0= .
∴ .
∴直线 CM 的解析式为: .
解方程组:
得: ; .
综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个,
分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分
解法二:∵ ,
∴A(0, ),C(3,0)显然满足条件.
延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
∴ .
∴点 M 的纵坐标为 .
又点 M 的横坐标为 AM=PA+PM=2+2=4.
∴点 M(4, )符合要求.
点(7, )的求法同解法一.
综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个,
分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分
解法三:延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
2
3 3
3 4 3 33 3
y x
y x x
= +
= − +
1
1
0
3
x
y
= =
2
2
7
8 3
x
y
= =
3y x t= +
3 3 t+
3 3t = −
3 3 3y x= −
2
3 3 3
3 4 3 33 3
y x
y x x
= −
= − +
1
1
3
0
x
y
=
=
2
2
4
3
x
y
= =
3 3 8 3
1
2PAB PBC PABCS S S∆ ∆= =
3
1
2PBM PBA PABCS S S∆ ∆= =
3
3
8 3
3 3 8 3
又∵AM∥BC,
∴ .
∴点 M 的纵坐标为 .
即 .
解得: (舍), .
∴点 M 的坐标为(4, ).
点(7, )的求法同解法一.
综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个,
分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分
1
2PBM PBA PABCS S S∆ ∆= =
3
23 4 3 3 33 3x x− + =
1 0x = 2 4x =
3
8 3
3 3 8 3