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  • 2021-05-10 发布

2011中考数学压轴题试题及答案选

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11 中考数学压轴题试题及答案选 1、(11 福州)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC 的边长为 2cm,点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上,抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D . (1)求抛物线的解析式. (2)如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动,同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停 止运动. 设 S=PQ2(cm2) ①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围; ②当 S 取 时,在抛物线上是否存在点 R,使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在,求出 R 点的坐标;如果不存在,请说明理由. (3)在抛物线的对称轴上求点 M,使得 M 到 D、A 的距离之差最大,求出点 M 的坐标. 解: (1)据题意知: A(0, -2), B(2, -2) ,D(4,— ), 则 解得 ∴抛物线的解析式为: ----------------------------4 分 (2) ①由图象知: PB=2-2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2-2t)2 + t2 , 即 S=5t2-8t+4 (0≤t≤1) --------------------6 分 ②假设存在点 R, 可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形. ∵S=5t2-8t+4 (0≤t≤1), ∴当 S= 时, 5t2-8t+4= ,得 20t2-32t+11=0, 解得 t = ,t = (不合题意,舍去)-------------------------------7 分 此时点 P 的坐标为(1,-2),Q 点的坐标为(2,— ) 若 R 点存在,分情况讨论: 2(4, )3 − 5 4 3 2 23 1 6 1 2 −−= xxy 4 5 4 5 2 1 10 11 2 3 (第 22 题) 【A】假设 R 在 BQ 的右边, 这时 QR PB, 则,R 的横坐标为 3, R 的纵坐标为— 即 R (3, - ),代入 , 左右两边相等, ∴这时存在 R(3, - )满足题意. 【B】假设 R 在 BQ 的左边, 这时 PR QB, 则:R 的横坐标为 1, 纵坐标为- 即(1, - ) 代入 , 左右两边不相等, R 不在抛物线上. 【C】假设 R 在 PB 的下方, 这时 PR QB, 则:R(1,— )代入, 左右不相等, ∴R 不在抛物线上. 综上所述, 存点一点 R(3, - )满足题意. ---------------------11 分 (3)∵A 关于抛物线的对称轴的对称点为 B,过 B、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所求 M,M 的坐标为(1,— )---------------------------------------14 分 2、(11 德州) 在直角坐标系 xoy 中,已知点 P 是反比例函数 图象上一个动点,以 P 为圆心的圆始终与 y 轴相切,设切点为 A. (1)如图 1,⊙P 运动到与 x 轴相切,设切点为 K,试判断四边形 OKPA 的形状,并说明理由. (2)如图 2,⊙P 运动到与 x 轴相交,设交点为 B,C.当四边形 ABCP 是菱形时: ①求出点 A,B,C 的坐标. ②在过 A,B,C 三点的抛物线上是否存在点 M,使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 .若存在, 试求出所有满足条件的 M 点的坐标,若不存在,试说明理由. 解:(1)∵⊙P 分别与两坐标轴相切, 2 3 2 3 23 1 6 1 2 −−= xxy 2 3 2 3 2 3 23 1 6 1 2 −−= xxy 2 5 23 1 6 1 2 −−= xxy 2 3 3 8 )>0(32 xxy = 2 1 A P 2 3y x = x y KO 图 1 图 1 A P 2 3y x = x y KO ∴ PA⊥OA,PK⊥OK. ∴∠PAO=∠OKP=90°. 又∵∠AOK=90°, ∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°. ∴四边形 OKPA 是矩形. 又∵OA=OK, ∴四边形 OKPA 是正方形.……………………2 分 (2)①连接 PB,设点 P 的横坐标为 x,则其纵坐标为 . 过点 P 作 PG⊥BC 于 G. ∵四边形 ABCP 为菱形, ∴BC=PA=PB=PC. ∴△PBC 为等边三角形. 在 Rt△PBG 中,∠PBG=60°,PB=PA=x, PG= . sin∠PBG= ,即 . 解之得:x=±2(负值舍去). ∴ PG= ,PA=BC=2.……………………4 分 易知四边形 OGPA 是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1, ∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3. ∴ A(0, ),B(1,0) C(3,0).……………………6 分 设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c. 据题意得: 解之得:a= , b= , c= . ∴二次函数关系式为: .……………………9 分 ②解法一:设直线 BP 的解析式为:y=ux+v,据题意得: x 32 x 32 PB PG 2 3 3 2 x x = 3 3 0 9 3 0 3 a b c a b c c  + + =  + + =  = 3 3 4 3 3 − 3 23 4 3 33 3y x x= − + 0 2 3 u v u v + = + = O A P 2 3y x = x y B C 图 2 G M 解之得:u= , v= . ∴直线 BP 的解析式为: . 过点 A 作直线 AM∥PB,则可得直线 AM 的解析式为: . 解方程组: 得: ; . 过点 C 作直线 CM∥PB,则可设直线 CM 的解析式为: . ∴0= . ∴ . ∴直线 CM 的解析式为: . 解方程组: 得: ; . 综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个, 分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分 解法二:∵ , ∴A(0, ),C(3,0)显然满足条件. 延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA. 又∵AM∥BC, ∴ . ∴点 M 的纵坐标为 . 又点 M 的横坐标为 AM=PA+PM=2+2=4. ∴点 M(4, )符合要求. 3 3 3− 3 3 3y x= − 3 3y x= + 2 3 3 3 4 3 33 3 y x y x x  = + = − + 1 1 0 3 x y = = 2 2 7 8 3 x y = = 3y x t= + 3 3 t+ 3 3t = − 3 3 3y x= − 2 3 3 3 3 4 3 33 3 y x y x x  = − = − + 1 1 3 0 x y =  = 2 2 4 3 x y = = 3 3 8 3 1 2PAB PBC PABCS S S∆ ∆= =  3 1 2PBM PBA PABCS S S∆ ∆= =  3 3 点(7, )的求法同解法一. 综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个, 分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分 解法三:延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA. 又∵AM∥BC, ∴ . ∴点 M 的纵坐标为 . 即 . 解得: (舍), . ∴点 M 的坐标为(4, ). 点(7, )的求法同解法一. 综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个, 分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分 3、(11 义乌)已知二次函数的图象经过 A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线 x=4. 设顶点为 点 P,与 x 轴的另一交点为点 B. (1)求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标; (2)如图 1,在直线 y=2x 上是否存在点 D,使四边形 OPBD 为等腰梯形?若存在,求出点 D 的 坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 2,点 M 是线段 OP 上的一个动点(O、P 两点除外),以每秒 个单位长度的速度由 点 P 向点 O 运动,过点 M 作直线 MN∥x 轴,交 PB 于点 N. 将△PMN 沿直线 MN 对折,得 到△P1MN. 在动点 M 的运动过程中,设△P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S,运 动时间为 t 秒. 求 S 关于 t 的函数关系式. 解 : ( 1 ) 设二次函数的解析 式 为 y=ax2+bx+c 由 题 意 得 8 3 3 3 8 3 1 2PBM PBA PABCS S S∆ ∆= =  3 23 4 3 3 33 3x x− + = 1 0x = 2 4x = 3 8 3 3 3 8 3 2 O P C BA x y 图 1 图 2 M O A x P N C B y 解得 ∴二次函数的解析式为 y= x2-8x+12 ……………………………………………2 分 点 P 的坐标为(4,-4) …………………………………………………………3 分 (2)存在点 D,使四边形 OPBD 为等腰梯形. 理由如下: 当 y=0 时,x2-8x+12=0 ∴x1=2 , x2=6 ∴点 B 的坐标为(6,0) 设直线 BP 的解析式为 y=kx+m 则 解得 ∴直线 BP 的解析式为 y=2x-12 ∴直线 OD∥BP………………………………………4 分 ∵顶点坐标 P(4, -4) ∴ OP=4 设 D(x,2x) 则 BD2=(2x)2+(6-x)2 当 BD=OP 时,(2x)2+(6-x)2=32 解得:x1= ,x 2=2…………………………………………………………………6 分 当 x2=2 时,OD=BP= ,四边形 OPBD 为平行四边形,舍去 ∴当 x= 时四边形 OPBD 为等腰梯形 …………………7 分 ∴当 D( , )时,四边形 OPBD 为等腰梯形 ………8 分 (3)① 当 0<t≤2 时, ∵运动速度为每秒 个单位长度,运动时间为 t 秒, 则 MP= t ∴PH=t,MH=t,HN= t ∴MN= t ∴S= t·t· = t2 ……………………10 分 ② 当 2<t<4 时,P1G=2t-4,P1H=t ∵MN∥OB ∴ ∽ ∴ ∴        =++ = =− 024 12 42 cba c a b    = −= = 12 8 1 c b a    −=+ =+ 44 06 mk mk    −= = 12 2 m k 2 5 2 52 5 2 5 2 5 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 4 3 EFP1∆ MNP1∆ 2 1 1 )( 1 1 HP GP S S MNP EFP = ∆ ∆ 2 2 )42( 4 3 1 t t t S EFP −=∆ xP1M AO B C P N y H x P1 M AO B C P N G H E F y DO xAO B C P y 图 1 图 2 图 3 x y M N xO C E A B F A B y C O … x O y A C B ∴ =3t2-12t+12 ∴S= t2-(3t2-12t+12)= - t2+12t-12 ∴ 当 0<t≤2 时,S= t2 4、(11 金华)在平面直角坐标系中,如图 1,将 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC, 相邻两 边 OA 和 OC 分别落在 轴和 轴的正半轴上, 设抛物线 ( <0)过矩形顶点 B、 C. (1)当 n=1 时,如果 =-1,试求 b 的值; (2)当 n=2 时,如图 2,在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN,使 EF 在线段 CB 上,如 果 M,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式; (3)将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转,使得点 B 落到 轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原 点 O.①试求当 n=3 时 a 的值; ②直接写出 关于 的关系式. 23.(本题 10 分) (1)由题意可知,抛物线对称轴为直线 x= , ∴ ,得 b= 1; ……2 分 (2)设所求抛物线解析式为 , 由对称性可知抛物线经过点 B(2,1)和点 M( ,2) ∴ 解得 ∴所求抛物线解析式为 ;……4 分 (3)①当 n=3 时,OC=1,BC=3, 设所求抛物线解析式为 , 过 C 作 CD⊥OB 于点 D,则 Rt△OCD∽Rt△CBD, ∴ , 设 OD=t,则 CD=3t, ∵ , EFPS 1∆ 4 3 4 9 4 3 n x y 2y ax bx c= + + a a x a n 1 2 1 2 2 b a − = 2 1y ax bx= + + 1 2 1 4 2 1 1 12 1.4 2 a b a b = + + = + + , 4 ,3 8.3 a b  = −  = 24 8 13 3y x x= − + + 2y ax bx= + 1 3 OD OC CD BC = = 2 2 2OD CD OC+ = x y O A B C D x y O C E A B M N F y xO C A B ∴ , ∴ , ∴C( , ), 又 B( ,0), ∴把 B 、C 坐标代入抛物线解析式,得 解得:a= ; ……2 分 ② . ……2 分 5、(11 金华)如图,在平面直角坐标系中,点 A(10,0),以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C, 点 B 是该半圆周上一动点,连结 OB、AB,并延长 AB 至点 D,使 DB=AB,过点 D 作 x 轴垂线,分 别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F,点 E 为垂足,连结 CF. (1)当∠AOB=30°时,求弧 AB 的长度; (2)当 DE=8 时,求线段 EF 的长; (3)在点 B 运动过程中,是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,若存在,请求出此 时点 E 的坐标;若不存在,请说明理由. (1)连结 BC, ∵A(10,0), ∴OA=10 ,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB=2∠AOB=60°, ∴弧 AB 的长= ; ……4 分 (2)连结 OD, ∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB 是 AD 的垂直平分线, ∴OD=OA=10, 在 Rt△ODE 中, OE= , ∴AE=AO-OE=10-6=4, 由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA, 得△OEF∽△DEA, ∴ ,即 ,∴EF=3;……4 分 (3)设 OE=x, ①当交点 E 在 O,C 之间时,由以点 E、C、F 为顶点的三角 形与△AOB 相似,有∠ECF=∠BOA 或∠ECF=∠OAB, 当∠ECF=∠BOA 时,此时△OCF 为等腰三角形,点 E 为 OC 2 2 2(3 ) 1t t+ = 1 10 10 10t = = 10 10 3 1010 10 0 10 10 3 1 1010 .10 10 10 a b a b  = + = + , 10 3 − 2 1na n += − 3 5 180 560 ππ =×× =− 22 DEOD 6810 22 =− OE EF DE AE = 68 4 EF= 第 24 题图 O B D EC F x y A O B D EC F x y A O B D F CE A x y 中点,即 OE= , ∴E1( ,0); 当∠ECF=∠OAB 时,有 CE=5-x, AE=10-x, ∴CF∥AB,有 CF= , ∵△ECF∽△EAD, ∴ ,即 ,解得: , ∴E2( ,0); ②当交点 E 在点 C 的右侧时, ∵∠ECF>∠BOA, ∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF=∠BAO, 连结 BE, ∵BE 为 Rt△ADE 斜边上的中线, ∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, ∴CF∥BE, ∴ , ∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠, ∴△CEF∽△AED, ∴ , 而 AD=2BE, ∴ , 即 , 解得 , <0(舍去), ∴E3( ,0); ③当交点 E 在点 O 的左侧时, ∵∠BOA=∠EOF>∠ECF . ∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF=∠BAO 连结 BE,得 BE= =AB,∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴ , 又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠, 2 5 2 5 1 2 AB AD CF AE CE = 5 1 10 4 x x − =− 3 10=x 3 10 OE OC BE CF = CF CE AD AE = 2 OC CE OE AE = 5 5 2 10 x x x −= − 4 1755 1 +=x 4 1755 2 −=x 4 1755 + AD2 1 OE OC BE CF = O B D F CE A x y O B D F C E A x y O B D F CE A x y A B C D l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 ∴△CEF∽△AED, ∴ , 而 AD=2BE, ∴ , ∴ , 解得 , <0(舍去), ∵点 E 在 x 轴负半轴上, ∴E4( ,0), 综上所述:存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点 E 坐标为: ( ,0)、 ( ,0)、 ( ,0)、 ( ,0).……4 分 6、(11 安徽如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1、l2、l3、l4 上,这四条直线中相邻 两条之间的距离依次为 h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0). (1)求证:h1=h2; 【证】 (2)设正方形 ABCD 的面积为 S,求证:S=(h1+h2)2+h12; 【证】 (3)若 3 2h1+h2=1,当 h1 变化时,说明正方形 ABCD 的面积 S 随 h1 的变化情况. 【解】 (1)过 A 点作 AF⊥l3 分别交 l2、l3 于点 E、F,过 C 点作 CH⊥l2 分别交 l2、l3 于点 H、G,证△ABE≌△ CDG 即可. (2)易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为 h1、h1+h2,四边形 EFGH 是边长为 h2 的 正方形, 所以 . (3)由题意,得 所以 又 解得 0<h1< AD CF AE CE = 2 OC CE OE AE = 5 +5 2 10+ x x x = 4 1755 1 +−=x 4 1755 2 −−=x 4 1755 − 1E 2 5 2E 3 10 3E 4 1755 + 4E 4 1755 − ( ) 2 1 2 21 2 221 2 1 2 2211 )(222 14 hhhhhhhhhhhS ++=++=++×= 12 3 2 1 hh −= 5 4 5 2 4 5 14 5 2 31 2 1 1 2 1 2 1 2 11 +     −= +−=+     −+= h hhhhhS    〉− 〉 02 31 0 1 1 h h 3 2 ∴当 0<h1< 时,S 随 h1 的增大而减小; 当 h1= 时,S 取得最小值 ; 当 <h1< 时,S 随 h1 的增大而增大. 7、(11 日照)如图,抛物线 y=ax2+bx(a 0)与双曲线 y= 相交于点 A,B. 已知点 B 的坐标为 (-2,-2),点 A 在第一象限内,且 tan∠AOx=4. 过点 A 作直线 AC∥x 轴,交抛物线于另一点 C. (1)求双曲线和抛物线的解析式; (2)计算△ABC 的面积; (3)在抛物线上是否存在点 D,使△ABD 的面积等于△ABC 的面 积.若存在,请你写出点 D 的坐标;若不存在,请你说明理由. 8、(11 威海)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A(-3,0),点 B(1,0),交 y 轴于点 E(0,- 3)。点 C 是点 A 关于点 B 的对称点,点 F 是线段 BC 的中点,直线 l 过点 F 且与 y 轴平行。直线 y= -x+m 过点 C,交 y 轴于 D 点。 ⑴求抛物线的函数表达式; ⑵点 K 为线段 AB 上一动点,过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H,与抛物线交于点 G, 求线段 HG 长度的最大值; ⑶在直线 l 上取点 M,在抛物线上取点 N,使以点 A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边 形,求点 N 的坐标。 9、(11 广州)已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 C(0,1),且与 x 轴交于不同的 两点 A、B,点 A 的坐标是(1,0) (1)求 c 的值; 5 2 5 2 5 4 5 2 3 2 x k A B C DH E F G K O x y l 图① A B C DH E F G K O x y l 备用图 (2)求 a 的取值范围; (3)该二次函数的图象与直线 y=1 交于 C、D 两点,设 A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相 交于点 P,记△PCD 的面积为 S1,△PAB 的面积为 S2,当 0 ( ) ( )2 22 21 4 2 1 4 2 1 1a a a a a a a a∆ = − + − = + + − = − + = −   a 0a > 1a ≠ 0 1a< < 1 1 12 2 a ax a a − − += − = > 1 12 12 a aAB a a + − = − =   1y = ( )2 1 1y ax a x= − + + ( )2 1 0ax a x− + = 1 2 10, ax x a += = 1 aCD a += 1 2 PCD PAB ACD CABS S S S S S∆ ∆ ∆ ∆− = − = − 1 1 2 2CD OC AB OC× × − × × 1 1 1 11 12 2 2 a a a + −× × − × × 1 2S S− 2 α α 2 x y P D B C O A (1)证明:∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ ∠DCE=90° ∴∠ACB+∠DCE=180° ∴ B、C、E 三点共线。 (2)证明:连接 ON、AE、BD,延长 BD 交 AE 于点 F ∵ ∠ABC=45°,∠ACB=90° ∴ BC=AC,又∠ACB=∠DCE=90°,DC=EC ∴ △BCD≌△ACE ∴ BD=AE,∠DBC=∠CAE ∴∠DBC+∠AEC=∠CAE+∠AEC=90° ∴ BF⊥AE ∵ AO=OB,AN=ND ∴ ON= BD,ON∥BD ∵ AO=OB,EM=MB ∴ OM= AE,OM∥AE ∴ OM=ON,OM⊥ON ∴ ∠OMN=45°,又 cos∠OMN= ∴ (3) 成立,证明同(2)。 11、(11 舟山)已知直线 ( <0)分别交 轴、 轴于 A、B 两点,线段 OA 上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动,速度为每秒 1 个单位长度,过点 P 作 轴的垂线交直线 AB 于点 C,设运 动时间为 秒. 1 2 1 2 OM MN 2MN OM= 1 1 12M N OM= 3+= kxy k x y x t F N1 M1 D O B C A E F N M DO B C A E (1)当 时,线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动,它与点 P 以相同速度同时出发, 当点 P 到达点 A 时两点同时停止运动(如图 1). ① 直接写出 =1 秒时 C、Q 两点的坐标; ② 若以 Q、C、A 为顶点的三角形与△AOB 相似 ,求 的值. (2)当 时,设以 C 为顶点的抛物线 与直线 AB 的另一交点为 D(如图 2), ① 求 CD 的长; ② 设△COD 的 OC 边上的高为 ,当 为何值时, 的值最大? 1−=k t t 4 3−=k nmxy ++= 2)( h t h B AO P C x y 1 1 D (第 24 题图 2)(第 24 题图 1) B AO P C Q x y 1 1 12、(11 济宁)如图,在平面直角坐标系中,顶点为( , )的抛物线交 轴于 点,交 轴于 , 两点(点 在点 的左侧). 已知 点坐标为( , ). (1)求此抛物线的解析式; (2)过点 作线段 的垂线交抛物线于点 , 如果以点 为圆心的圆与直线 相切,请 判断抛物线的对称轴 与⊙ 有怎样的位置关系,并给出证明; (3)已知点 是抛物线上的一个动点,且位于 , 两点之间,问:当点 运动到什么位置 时, 的面积最大?并求出此时 点的坐标和 的最大面积. (1)解:设抛物线为 . ∵抛物线经过点 (0,3),∴ .∴ . ∴抛物线为 . ……………………………3 分 (2) 答: 与⊙ 相交. …………………………………………………………………4 分 证明:当 时, , . ∴ 为(2,0), 为(6,0).∴ . 设⊙ 与 相切于点 ,连接 ,则 . ∵ ,∴ . 又∵ ,∴ .∴ ∽ . ∴ .∴ .∴ .…………………………6 分 ∵抛物线的对称轴 为 ,∴ 点到 的距离为 2. ∴抛物线的对称轴 与⊙ 相交. ……………………………………………7 分 4 1− y A x B C B C A 0 3 B AB D C BD l C P A C P PAC∆ P PAC∆ 2( 4) 1y a x= − − A 23 (0 4) 1a= − − 1 4a = 2 21 1( 4) 1 2 34 4y x x x= − − = − + l C 21 ( 4) 1 04 x − − = 1 2x = 2 6x = B C 2 23 2 13AB = + = C BD E CE 90BEC AOB∠ = ° = ∠ 90ABD∠ = ° 90CBE ABO∠ = °− ∠ 90BAO ABO∠ = °− ∠ BAO CBE∠ = ∠ AOB∆ BEC∆ CE BC OB AB = 6 2 2 13 CE −= 8 2 13 CE = > l 4x = C l l C A x y BO C D (第 23 题) (3) 解:如图,过点 作平行于 轴的直线交 于点 . 可求出 的解析式为 .…………………………………………8 分 设 点的坐标为( , ),则 点的坐标为( , ). ∴ . ∵ , ∴当 时, 的面积最大为 . 此时, 点的坐标为(3, ). …………………………………………10 分 13、(11 菏泽)21. (本题 9 分)如图,抛物线 y=1 2x2+bx-2 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(-1,0). (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)判断 的形状,证明你的结论; (3)点 是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD 的值最 小时,求 m 的值. (1)把点 A(-1,0)的坐标代入抛物线的解析式 y=1 2x2+bx- 2, 整理后解得 , P y AC Q AC 1 32y x= − + P m 21 2 34 m m− + Q m 1 32 m− + 2 21 1 1 33 ( 2 3)2 4 4 2PQ m m m m m= − + − − + = − + 2 21 1 3 3 27( ) 6 ( 3)2 4 2 4 4PAC PAQ PCQS S S m m m∆ ∆ ∆= + = × − + × = − − + 3m = PAC∆ 27 4 P 3 4 − ABC△ ( 0)M m, 3 2b = − A x y BO ht tp: // w w w. gz sx w. ne t/ C D (第 23 题) E P Q A B C D x y O (第 21 题图) 1 1 1− 所以抛物线的解析式为 .…………………………………2 分 顶点 . …………………………………3 分 (2) . , , . 是直角三角形. …………………………………6 分 (3)作出点 关于 轴的对称点 ,则 , .连接 交 轴于点 , 根据轴对称性及两点之间线段最短可知, 的值最小. 设抛物线的对称轴交 轴于点 . . . . .…………………………………10 分 说明:此处求出 、D 的解析式后,再求与 x 轴的交点坐标可同样给分. 14(11 成都)如图,在平面直角坐标系 中,△ABC 的 A、B 两个顶点在 x 轴上,顶点 C 在 y 轴 的 负 半 轴 上 . 已 知 , , △ABC 的 面 积 , 抛 物 线 经过 A、B、C 三点。 (1)求此抛物线的函数表达式; (2)设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点,过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 F,过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G,再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H,得到矩形 EFGH.则在点 E 的 运动过程中,当矩形 EFGH 为正方形时,求出该正方形的边长; (3)在抛物线上是否存在异于 B、C 的点 M,使△MBC 中 BC 边上的高为 ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 3 25 2 8  −  , 24 41m∴ = 21 3 22 2y x x= − − D 5AB = 2 2 2 5AC OA OC= + = 2 2 2 20BC OC OB= + = 2 2 2AC BC AB∴ + = ABC∴△ C x C′ (0 2)C′ , 2OC′ = C D′ x M MC MD+ x E C OM DEM′△ ∽△ OM OC EM ED ′∴ = 2 3 25 2 8 m m ∴ = − 'C xOy : 1:5OA OB = OB OC= 15ABCS∆ = 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 7 2 15(11 福州) 已知,如图 11,二次函数 图象的顶点为 ,与 轴交于 、 两点( 在 点右侧),点 、 关于直线 : 对称. (1)求 、 两点坐标,并证明点 在直线 上; (2)求二次函数解析式; (3)过点 作直线 ∥ 交直线 于 点, 、 分别为直线 和直线 上的两个动点,连 接 、 、 ,求 和的最小值. 解:(1)依题意,得 解得 , ∵ 点在 点右侧 ∴ 点坐标为 , 点坐标为 ∵直线 : 当 时, ∴点 在直线 上 (2)∵点 、 关于过 点的直线 : 对称 ∴ 过顶点 作 交 于 点 则 , ∴顶点 代入二次函数解析式,解得 ∴二次函数解析式为 (3)直线 的解析式为 直线 的解析式为 由 解得 即 ,则 ∵点 、 关于直线 对称 ∴ 的最小值是 , 过点 作直线 的对称点 ,连接 ,交直线 于 2 2 3y ax ax a= + − ( 0)a ≠ H x A B B A H B l 3 33y x= + A B A l B BK AH l K M N AH l HN NM MK HN NM MK+ + 2 2 3 0ax ax a+ − = ( 0)a ≠ 1 3x = − 2 1x = B A A ( 3 0)− , B (1 0), l 3 33y x= + 3x = − 3 ( 3) 3 03y = × − + = A l H B A l 3 33y x= + 4AH AB= = H HC AB⊥ AB C 1 22AC AB= = 2 3HC = ( 1,2 3)H − 3 2a = − 23 3 332 2y x x= − − + AH 3 3 3y x= + BK 3 3y x= − 3 33 3 3 y x y x  = +  = − { 3 2 3 x y = = (3,2 3)K 4BK = H B AK HN MN+ MB 2 3KD KE= = K AH Q QK AH E A B K H x y O l 图 11 A B K H x y O l 备用图 11 A B K H x y C O 则 , , ∴ 的最小值是 ,即 的长是 的最小值 ∵ ∥ ∴ 由勾股定理得 ∴ 的最小值为 (不同解法参照给分) 16、(11 泉州)在直角坐标系 xoy 中,已知点 P 是反比例函数 图象上一个动点,以 P 为圆心的圆始终与 y 轴相切,设切点为 A. (1)如图 1,⊙P 运动到与 x 轴相切,设切点为 K,试判断四边形 OKPA 的形状,并说明理由. (2)如图 2,⊙P 运动到与 x 轴相交,设交点为 B,C.当四边形 ABCP 是菱形时: ①求出点 A,B,C 的坐标. ②在过 A,B,C 三点的抛物线上是否存在点 M,使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 .若存在, 试求出所有满足条件的 M 点的坐标,若不存在,试说明理由. 解:(1)∵⊙P 分别与两坐标轴相切, ∴ PA⊥OA,PK⊥OK. ∴∠PAO=∠OKP=90°. 又∵∠AOK=90°, ∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°. ∴四边形 OKPA 是矩形. 又∵OA=OK, ∴四边形 OKPA 是正方形.……………………2 分 QM MK= 2 3QE EK= = AE QK⊥ BM MK+ BQ BQ HN NM MK+ + BK AH 90BKQ HEQ∠ = ∠ = ° 8QB = HN NM MK+ + 8 )>0(32 xxy = 2 1 A B K H N M D E Q x y O l A P 2 3y x = x y KO 第 25 题 图 1 (2)①连接 PB,设点 P 的横坐标为 x,则其纵坐标为 . 过点 P 作 PG⊥BC 于 G. ∵四边形 ABCP 为菱形, ∴BC=PA=PB=PC. ∴△PBC 为等边三角形. 在 Rt△PBG 中,∠PBG=60°,PB=PA=x, PG= . sin∠PBG= ,即 . 解之得:x=±2(负值舍去). ∴ PG= ,PA=BC=2.……………………4 分 易知四边形 OGPA 是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1, ∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3. ∴ A(0, ),B(1,0) C(3,0).……………………6 分 设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c. 据题意得: 解之得:a= , b= , c= . ∴二次函数关系式为: .……………………9 分 ②解法一:设直线 BP 的解析式为:y=ux+v,据题意得: 解之得:u= , v= . ∴直线 BP 的解析式为: . 过点 A 作直线 AM∥PB,则可得直线 AM 的解析式为: . x 32 x 32 PB PG 2 3 3 2 x x = 3 3 0 9 3 0 3 a b c a b c c  + + =  + + =  = 3 3 4 3 3 − 3 23 4 3 33 3y x x= − + 0 2 3 u v u v + = + = 3 3 3− 3 3 3y x= − 3 3y x= + O A P 2 3y x = x y B C 图 2 G M 解方程组: 得: ; . 过点 C 作直线 CM∥PB,则可设直线 CM 的解析式为: . ∴0= . ∴ . ∴直线 CM 的解析式为: . 解方程组: 得: ; . 综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个, 分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分 解法二:∵ , ∴A(0, ),C(3,0)显然满足条件. 延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA. 又∵AM∥BC, ∴ . ∴点 M 的纵坐标为 . 又点 M 的横坐标为 AM=PA+PM=2+2=4. ∴点 M(4, )符合要求. 点(7, )的求法同解法一. 综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个, 分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分 解法三:延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA. 2 3 3 3 4 3 33 3 y x y x x  = + = − + 1 1 0 3 x y = = 2 2 7 8 3 x y = = 3y x t= + 3 3 t+ 3 3t = − 3 3 3y x= − 2 3 3 3 3 4 3 33 3 y x y x x  = − = − + 1 1 3 0 x y =  = 2 2 4 3 x y = = 3 3 8 3 1 2PAB PBC PABCS S S∆ ∆= =  3 1 2PBM PBA PABCS S S∆ ∆= =  3 3 8 3 3 3 8 3 又∵AM∥BC, ∴ . ∴点 M 的纵坐标为 . 即 . 解得: (舍), . ∴点 M 的坐标为(4, ). 点(7, )的求法同解法一. 综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个, 分别为:(0, ),(3,0),(4, ),(7, ).…………………12 分 1 2PBM PBA PABCS S S∆ ∆= =  3 23 4 3 3 33 3x x− + = 1 0x = 2 4x = 3 8 3 3 3 8 3