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- 2021-05-10 发布
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第11讲 反比例函数的图象和性质
知识清单梳理
知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1.
反比例函数的概念
(1)定义:形如y=(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数.
(2)形式:反比例函数有以下三种基本形式:
①y=;②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数,且k≠0)
例:函数y=3xm+1,当m=-2时,则该函数是反比例函数.
2.
反比例函数的图象和性质
k的符号
图象
经过象限
y随x变化的情况
(1)判断点是否在反比例函数图象上的方法:①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式;②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k.
失分点警示
(2)反比例函数值大小的比较时,首先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,若不在则不能运用性质进行比较,可以画出草图,直观地判断.
k>0
图象经过第一、三象限
(x、y同号)
每个象限内,函数y的值随x的增大而减小.
k<0
图象经过第二、四象限
(x、y异号)
每个象限内,函数y的值随x的增大而增大.
3.
反比例函数的图象特征
(1)由两条曲线组成,叫做双曲线;
(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交;
(3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.
例:若(a,b)在反比例函数的图象上,则(-a,-b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")
4.
待定系数法
只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.
例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是y=3/x.
知识点二 :反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.
系数k的几何意义
(1)意义:从反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.
(2)常见的面积类型:
图见学练优RJ九数上前面四页“方法、易错”的此内容下的图片
失分点警示
已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则k<0.
例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比例函数解析式为:或.
6.
与一次函数的综合
(1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.
(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解
(3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
(4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围.
涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积;②也要注意系数k的几何意义.
例:如图所示,三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为:
S△AOC=S△OPE>S△BOD.
知识点三:反比例函数的实际应用
一般步骤
(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系;
(2设出函数表达式;
(3)依题意求解函数表达式;
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
典例讲解
中考内参P38----2、1、6、8、9、11、13、18
P41----5、6、10、12
三、课后反思: