2019中考数学压轴题专项训练有答案 26页

‎2019中考压轴题专项训练 训练目标 1. 熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；‎ 2. 书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。‎ 题型结构及解题方法 压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。‎ 考查要点 常考类型举例 题型特征 解题方法 问题背景研究 求坐标或函数解析式，求角度或线段长 已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息 研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。‎ 模型套路调用 求面积、周长的函数关系式，并求最值 速度已知，所求关系式和运动时间相关 ① 分段：动点转折分段、图形碰撞分段；‎ ② 利用动点路程表达线段长；‎ ③ 设计方案表达关系式。‎ 坐标系下，所求关系式和坐标相关 ① 利用坐标及横平竖直线段长；‎ ② 分类：根据线段表达不同分类；‎ ③ 设计方案表达面积或周长。‎ 求线段和（差）的最值 有定点（线）、不变量或不变关系 利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。‎ 套路整合及分类讨论 点的存在性 点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10‎ ① 抓定量，找特征；‎ ② 确定分类；.‎ ③ 根据几何特征或函数特征建等式。‎ 图形的存在性 特殊三角形、特殊四边形的存在性 ① 分析动点、定点或不变关系（如平行）；‎ ② 根据特殊图形的判定、性质，确定分类；根据几何特征或函数特征建等式。‎ 三角形相似、全等的存在性 ① 找定点，分析目标三角形边角关系；‎ ② 根据判定、对应关系确定分类；‎ ③ 根据几何特征建等式求解。‎ 答题规范动作 1. 试卷上探索思路、在演草纸上演草。‎ 2. 合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。‎ 作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。‎ 3. 作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。‎ ‎23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：‎ 几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；‎ 面积问题，要突出面积表达的方案和结论；‎ 几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；‎ 存在性问题，要明确分类，突出总结。‎ 4. ‎20分钟内完成。‎ 实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课程名称：‎ 中考数学难点突破之动点 ‎1、图形运动产生的面积问题 ‎2、存在性问题 ‎3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题）‎ ‎3、中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练）‎ ‎ 一、图形运动产生的面积问题 一、 知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态：‎ ‎①由起点、终点确定t的范围；‎ ‎②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．‎ 3. 分段画图，选择适当方法表达面积．‎ 二、精讲精练 1. 已知，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．‎ ‎（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积．‎ ‎（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ 1题图 ‎ 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．‎ ‎（1）求M，N的坐标．‎ ‎（2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．求S与自变量t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围． ‎ ‎3.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：‎ ‎（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；‎ ‎（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；‎ ‎（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。‎ 解：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E， ∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点。 ∴DE是中位线。∴DE∥AC，且DE=AC。 ∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE。 ∴。 ∵AD=AO+OD， ∴。 （2）答：点O是△ABC的重心。证明如下： 如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q， 则点Q为△ABC的重心。 由（1）可知，  ‎ ‎， 而， ∴点Q与点O重合（是同一个点）。 ∴点O是△ABC的重心。 （3）如答图3所示，连接DG． 设S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD， ∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S。 为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S。 ∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S。 设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S。 ∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S。 ∴ ①。 如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE。 ∵OF∥BC，∴。∴OF=CD=BC。 ∵GE∥BC，∴。∴。 ‎ ‎∴，∴。 ∵OF∥GE，∴。∴，即。 ∴，代入①式得： 。 ∴当x=时，有最大值，最大值为。‎ ‎（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论。 （2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心。 （3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。‎ 二、二次函数中的存在性问题 一、知识点睛 解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：‎ ‎①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．‎ ‎②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．‎ ‎③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．‎ 二、精讲精练 1. 如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．‎ 1. 抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．‎ ‎（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；‎ ‎（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．‎ 1. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，‎ OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．‎ ‎（1）若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；‎ ‎（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN 与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ 三、二次函数与几何综合 一、知识点睛 ‎“二次函数与几何综合”思考流程：‎ 关键点坐标 几何特征 转 线段长 ‎ 几何图形 函数表达式 整合信息时，下面两点可为我们提供便利：‎ ‎①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b； ‎ ‎②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．‎ 二、精讲精练 1. ‎ 如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 2. ‎ 如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，‎ 且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．‎ 1. ‎ 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8． ‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．‎ 窗体底端 ‎4.如图，点P是直线：上的点，过点P的另一条直线交抛物线于A、B两点．‎ ‎（1）若直线的解析式为，求A、B两点的坐标； ‎ ‎（2）①若点P的坐标为（－2，），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；‎ ‎ ②试证明：对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．‎ ‎（3）设直线交轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．‎ ‎5.如图1，抛物线y＝nx2－11nx＋24n (n＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．‎ ‎（1）填空：点B的坐标为（_ ），点C的坐标为（_ ）；‎ ‎（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．‎ ‎①求此时抛物线的解析式；‎ ‎②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．‎ C O A y x B C O A y x D B M N l 图1‎ 图2‎ 附：参考答案 一、图形运动产生的面积问题 ‎1. （1）当t=时，四边形MNQP恰为矩形．此时，该矩形的面积为平方厘米．‎ ‎（2） 当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；‎ 当2＜t＜3时， ‎ ‎2．（1）M（4，2） N（6，0）（2）当0≤t≤1时，；‎ 当1＜t≤4时，；‎ 当4＜t≤5时，；‎ 当5＜t≤6时，；‎ 当6＜t≤7时， ‎ ‎3.解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。‎ ‎∵点O是△ABC的重心，‎ ‎∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD，‎ ‎∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，‎ ‎△OPD∽△CA，= = , = ,∴；‎ ‎（2）点O是是△ABC的重心。‎ 证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知 ，‎ 而 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；‎ ‎（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别 与AC、AB交于点M、N，‎ ‎∵点O是△ABC的重心， ‎ ‎∴ = ， = , ‎ ‎∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB，‎ 在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC，‎ 在△AGH中，OM//AH，= ，‎ 在△ACH中，ON//AH，= ，‎ ‎∴ + = +=1， + =1, + = 3 ,‎ 令= m , = n , m=3-n,‎ ‎∵ = , ‎ ‎= =‎ ‎= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + ,‎ ‎∴ 当 = n = ，GH//BC时， 有最大值 。‎ 附：或 的另外两种证明方法的作图。‎ 方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。‎ 方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。‎ 二、二次函数中的存在性问题 ‎1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时，‎ ‎△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；‎ ① 若△BAP∽△AOB，如图1，‎ 可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），‎ 代入，可知，‎ ② 若△BAP∽△BOA，如图2，‎ 可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），‎ 代入，可知，‎ 当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；‎ ① 若△ABP∽△AOB，如图3，‎ 可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），‎ 代入，可知，‎ ② 若△ABP∽△BOA，如图4，‎ 可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，），‎ 代入，可知，‎ ‎2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.‎ 要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.‎ 过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.‎ 则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形.‎ 则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）‎ 可得BQ解析式为y=－x+4.‎ ‎（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.‎ 而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.‎ ① 当∠DCE=30°时，‎ a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.‎ 则可证△DCH∽△DEK.则，‎ 在矩形DHQK中，DK=HQ，则.‎ 在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）‎ 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.‎ b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.‎ ‎ 由对称性可得此时点P坐标为（1－,）‎ ② 当∠DCE=60°时，‎ a) 过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.‎ 则可证△DCM∽△DEN.则，‎ 在矩形DMQN中，DN=MQ，则.‎ 在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，‎ ‎∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）,则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.‎ b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.‎ 由对称性可得此时点P坐标为（1－,）‎ 综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.‎ ‎3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）‎ 将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，‎ ‎ （2）存在：‎ 如果△AMN与△ACD相似，则或 设M（00，∴a=1‎ ‎∴抛物线的解析式为：‎ ‎（2）当AB为平行四边形的边时，则BA∥EF，并且EF= BA =4 由于对称轴为直线x=1，∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3 将x=5代入得y=12，∴F（5，12）．将x=-3代入得y=12，∴F（-3，12）． 当AB为平行四边形的对角线时，点F即为点D， ∴F（1，4）． 综上所述，点F的坐标为（5，12），（3，12）或（1，4）．‎ ‎ ‎ ‎3、解：（1）对于，当y=0，x=2；当x=8时，y=.‎ ‎∴A点坐标为（2，0），B点坐标为 ‎ 由抛物线经过A、B两点，得 ‎ 解得 ‎ ‎（2）设直线与y轴交于点M 当x=0时，y=. ∴OM=.‎ ‎∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2，∴AM= ‎ ‎∴OM：OA：AM=3：4：5.‎ 由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.‎ ‎∴DE：PE：PD=3：4：5‎ ‎∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，‎ ‎∴PD=‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 由题意知： ‎ ‎4.（1）A（，），B（1，1）；（2）①A1（－1，1），A2（－3，9）；②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H.设P（，），A（，），由PA＝PB可证得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，则B（，），将点B坐标代入抛物线，得，根据△的值始终大于0即可作出判断；（3）（，）．‎ ‎ 试题分析：（1）由题意联立方程组即可求得A、B两点的坐标； （2）①根据函数图象上的点的坐标的特征结合PA＝AB即可求得A点的坐标； ②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H.设P（，），A（，），由PA＝PB可证得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，则B（，），将点B坐标代入抛物线，得，根据△的值始终大于0即可作出判断； （3）设直线：交y轴于D，设A（，），B（，）．过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H．由△AOB的外心在AB上可得∠AOB＝90°，由△AGO∽△OHB，得，则，联立得，依题意得、是方程的两根，即可求得b的值，设P（，），过点P作PQ⊥轴于Q，在Rt△PDQ中，根据勾股定理列方程求解即可. （1）依题意，得解得， ‎ ‎∴A（，），B（1，1）； （2）①A1（－1，1），A2（－3，9）； ②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H. 设P（，），A（，）， ∵PA＝PB， ∴△PAG≌△BAH， ∴AG＝AH，PG＝BH， ∴B（，）， 将点B坐标代入抛物线，得， ∵△＝ ∴无论为何值时，关于的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A； （3）设直线：交y轴于D，设A（，），B（，）． 过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H． ‎ ‎∵△AOB的外心在AB上， ∴∠AOB＝90°‎ ‎， 由△AGO∽△OHB，得， ∴． 联立得， 依题意得、是方程的两根， ∴， ∴，即D（0，1）． ∵∠BPC＝∠OCP， ∴DP＝DC＝3． 设P（，），过点P作PQ⊥轴于Q， 在Rt△PDQ中，， ∴． 解得（舍去），， ∴P（，）． ∵PN平分∠MNQ， ‎ ‎∴PT＝NT， ∴.‎ ‎5．解：（1）B（3，０），C（8，０） ………………3分 ‎（2）①作AE⊥OC，垂足为点E ‎∵△OAC是等腰三角形，∴OE＝EC＝×8＝4，∴BE＝4－3＝1‎ 又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△BAE，∴＝ ‎∴AE2＝BE·CE＝1×4，∴AE＝2 ………………4分 ‎∴点A的坐标为 (4，2) ………………5分 把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝nx2－11nx＋24n，得n＝－ ‎∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－12 ………………7分 ‎②∵点M的横坐标为m，且点M在①中的抛物线上 ‎∴点M的坐标为 (m，－m2＋m－12)，由①知，点D的坐标为（4，－2），‎ 则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4‎ ‎∴点N的坐标为 (m，m－4)‎ ‎∴MN＝（－m2＋m－12）－（m－4）＝－m2＋5m－8 …………9分 ‎∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝MN·CE＝（－m2＋5m－8）×4‎ ‎ ＝－(m－5)2＋9 ……………11分 ‎∴当m＝5时，S四边形AMCN＝9 ……………12分