2020年甘肃省天水市中考数学试卷(含解析） 29页

‎2020年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）‎ ‎1．（4分）（2020•天水）下列四个实数中，是负数的是（　　）‎ A．﹣（﹣3） B．（﹣2）2 C．|﹣4| D．‎‎-‎‎5‎ ‎2．（4分）（2020•天水）天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为（　　）‎ A．3.41×105 B．3.41×106 C．341×103 D．0.341×106‎ ‎3．（4分）（2020•天水）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（　　）‎ A．文 B．羲 C．弘 D．化 ‎4．（4分）（2020•天水）某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42．该组数据的众数、中位数分别为（　　）‎ A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，41‎ ‎5．（4分）（2020•天水）如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（　　）‎ A．50° B．55° C．60° D．65°‎ ‎6．（4分）（2020•天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（4分）（2020•天水）若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y 第29页（共29页）‎ ‎=‎cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．（4分）（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）‎ A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m ‎9．（4分）（2020•天水）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）‎ A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4‎ ‎10．（4分）（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（　　）‎ A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果）‎ ‎11．（4分）（2020•天水）分解因式：m3n﹣mn＝　 　．‎ ‎12．（4分）（2020•天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝‎ 第29页（共29页）‎ ‎0的根，则该三角形的周长为　 　．‎ ‎13．（4分）（2020•天水）已知函数y‎=‎x+2‎x-3‎，则自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎14．（4分）（2020•天水）已知a+2b‎=‎‎10‎‎3‎，3a+4b‎=‎‎16‎‎3‎，则a+b的值为　 　．‎ ‎15．（4分）（2020•天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是　 　．‎ ‎16．（4分）（2020•天水）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　 　．‎ ‎17．（4分）（2020•天水）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．‎ ‎18．（4分）（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为　 　．‎ 第29页（共29页）‎ 三、解答题（本大题共3小题，共28分．解答时写出必要的文字说明及演算过程）‎ ‎19．（8分）（2020•天水）（1）计算：4sin60°﹣|‎3‎‎-‎2|+20200‎-‎12‎+‎（‎1‎‎4‎）﹣1．‎ ‎（2）先化简，再求值：‎1‎a-1‎‎-a-1‎a‎2‎‎+2a+1‎÷‎a-1‎a+1‎，其中a‎=‎‎3‎．‎ ‎20．（10分）（2020•天水）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．‎ 请结合图中的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）此次调查中接受调查的人数为　 　人；‎ ‎（2）请你补全条形统计图；‎ ‎（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为　 　度；‎ ‎（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．‎ ‎21．（10分）（2020•天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．‎ ‎（1）分别求出a和b的值；‎ 第29页（共29页）‎ ‎（2）结合图象直接写出mx+n‎＞‎kx中x的取值范围；‎ ‎（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．‎ 四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）‎ ‎22．（7分）（2020•天水）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．‎ ‎（1）求∠APB的度数；‎ ‎（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：‎2‎‎≈‎1.414，‎3‎‎≈‎1.732）‎ ‎23．（10分）（2020•天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．‎ ‎（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若BD＝2‎3‎，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．‎ ‎24．（10分）（2020•天水）性质探究 第29页（共29页）‎ 如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为　 　．‎ 理解运用 ‎（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2‎3‎，则它的面积为　 　；‎ ‎（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长．‎ 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　 　．（用含α的式子表示）‎ ‎25．（10分）（2020•天水）天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．‎ ‎（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？‎ ‎（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？‎ ‎（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．‎ ‎26．（13分）（2020•天水）如图所示，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的‎3‎‎4‎时，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N 第29页（共29页）‎ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第29页（共29页）‎ ‎2020年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）‎ ‎1．（4分）（2020•天水）下列四个实数中，是负数的是（　　）‎ A．﹣（﹣3） B．（﹣2）2 C．|﹣4| D．‎‎-‎‎5‎ ‎【解答】解：A．﹣（﹣3）＝3，是正数，不符合题意；‎ B．（﹣2）2＝4，是正数，不符合题意；‎ C．|﹣4|＝4，是正数，不符合题意；‎ D．‎-‎‎5‎是负数，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎2．（4分）（2020•天水）天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为（　　）‎ A．3.41×105 B．3.41×106 C．341×103 D．0.341×106‎ ‎【解答】解：341000＝3.41×105，‎ 故选：A．‎ ‎3．（4分）（2020•天水）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（　　）‎ A．文 B．羲 C．弘 D．化 ‎【解答】解：根据正方体表面展开图可知，“相间、Z端是对面”，因此“伏与化”相对，“弘与文”相对，“扬与羲”相对，‎ 故选：D．‎ ‎4．（4分）（2020•天水）某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42．该组数据的众数、中位数分别为（　　）‎ A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，41‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：将这组数据重新排列为39，40，40，42，42，42，43，44，‎ 所以这组数据的众数为42，中位数为‎42+42‎‎2‎‎=‎42，‎ 故选：C．‎ ‎5．（4分）（2020•天水）如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（　　）‎ A．50° B．55° C．60° D．65°‎ ‎【解答】解：连接OA、OB，如图，‎ ‎∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB，‎ ‎∴∠OAP＝∠OBP＝90°，‎ ‎∴∠AOB+∠P＝180°，‎ ‎∵∠P＝70°，‎ ‎∴∠AOB＝110°，‎ ‎∴∠ACB‎=‎‎1‎‎2‎∠AOB＝55°．‎ 故选：B．‎ ‎6．（4分）（2020•天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；‎ 第29页（共29页）‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎7．（4分）（2020•天水）若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y‎=‎cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：∵由函数图象交y轴的正坐标可知c＞0，‎ ‎∴反比例函数y‎=‎cx的图象必在一、三象限，故C、D错误；‎ ‎∵据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，‎ ‎∴函数y＝ax+b的图象经过一三四象限，故A错误，B正确．‎ 故选：B．‎ ‎8．（4分）（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）‎ A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m ‎【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，‎ ‎∴EB∥DC，‎ 第29页（共29页）‎ ‎∴△ABE∽△ACD，‎ ‎∴ABAC‎=‎BECD，‎ ‎∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，‎ ‎∴AC＝AB+BC＝14m，‎ ‎∴‎1.2‎‎14‎‎=‎‎1.5‎DC，‎ 解得，DC＝17.5，‎ 即建筑物CD的高是17.5m，‎ 故选：A．‎ ‎9．（4分）（2020•天水）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）‎ A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4‎ ‎【解答】解：∵3x+a≤2，‎ ‎∴3x≤2﹣a，‎ 则x‎≤‎‎2-a‎3‎，‎ ‎∵不等式只有2个正整数解，‎ ‎∴不等式的正整数解为1、2，‎ 则2‎≤‎2-a‎3‎＜‎3，‎ 解得：﹣7＜a≤﹣4，‎ 故选：D．‎ ‎10．（4分）（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（　　）‎ A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2‎ ‎【解答】解：∵2100＝S，‎ ‎∴2100+2101+2102+…+2199+2200‎ ‎＝S+2S+22S+…+299S+2100S ‎＝S（1+2+22+…+299+2100）‎ ‎＝S（1+2100﹣2+2100）‎ 第29页（共29页）‎ ‎＝S（2S﹣1）‎ ‎＝2S2﹣S．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果）‎ ‎11．（4分）（2020•天水）分解因式：m3n﹣mn＝　mn（m﹣1）（m+1）　．‎ ‎【解答】解：m3n﹣mn＝mn（m2﹣1）＝mn（m﹣1）（m+1），‎ 故答案为：mn（m﹣1）（m+1）．‎ ‎12．（4分）（2020•天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为　13　．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣8x+12＝0，‎ ‎∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，‎ ‎∴x1＝2，x2＝6，‎ ‎∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，‎ ‎∴三角形的第三边长是6，‎ ‎∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．‎ 故答案为：13．‎ ‎13．（4分）（2020•天水）已知函数y‎=‎x+2‎x-3‎，则自变量x的取值范围是　x≥﹣2且x≠3　．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣3≠0，‎ 解得：x≥﹣2且x≠3．‎ 故答案为：x≥﹣2且x≠3．‎ ‎14．（4分）（2020•天水）已知a+2b‎=‎‎10‎‎3‎，3a+4b‎=‎‎16‎‎3‎，则a+b的值为　1　．‎ ‎【解答】解：a+2b‎=‎‎10‎‎3‎①，3a+4b‎=‎‎16‎‎3‎②，‎ ‎②﹣①得2a+2b＝2，‎ 解得a+b＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎15．（4分）（2020•天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是　‎2‎‎2‎　．‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：如图，连接AB．‎ ‎∵OA＝AB‎=‎‎10‎，OB＝2‎5‎，‎ ‎∴OB2＝OA2+AB2，‎ ‎∴∠OAB＝90°，‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AOB＝45°，‎ ‎∴sin∠AOB‎=‎‎2‎‎2‎，‎ 故答案为‎2‎‎2‎．‎ ‎16．（4分）（2020•天水）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　‎8‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面半径为r，‎ 由题意得，‎120π×8‎‎180‎‎=‎2πr，‎ 解得，r‎=‎‎8‎‎3‎，‎ 故答案为：‎8‎‎3‎．‎ ‎17．（4分）（2020•天水）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　（﹣1，5）　．‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．‎ ‎∵四边形OEFG是正方形，‎ ‎∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，‎ 在△OGM与△EOH中，‎ ‎∠OGM=∠EOHOG=EO‎∠GOM=∠OEH‎ ‎ ‎∴△OGM≌△EOH（ASA）‎ ‎∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，‎ ‎∴G（﹣3，2）．‎ ‎∴O′（‎-‎‎1‎‎2‎，‎5‎‎2‎）．‎ ‎∵点F与点O关于点O′对称，‎ ‎∴点F的坐标为 （﹣1，5）．‎ 故答案是：（﹣1，5）．‎ ‎18．（4分）（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为　2　．‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：‎ 法一：由题意可得，‎ ‎△ADF≌△ABG，‎ ‎∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，‎ ‎∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，‎ ‎∴∠DAF+∠EAB＝45°，‎ ‎∴∠BAG+∠EAB＝45°，‎ ‎∴∠EAF＝∠EAG，‎ 在△EAG和△EAF中，‎ AG=AF‎∠EAG=∠EAFAE=AE‎，‎ ‎∴△EAG≌△EAF（SAS），‎ ‎∴GE＝FE，‎ 设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，‎ ‎∴EF＝3+x，‎ ‎∵CD＝6，DF＝3，‎ ‎∴CF＝3，‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，‎ 解得，x＝2，‎ 即BE＝2，‎ 法二：设BE＝x，连接GF，如下图所示，‎ 第29页（共29页）‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠ABE＝∠GCF＝90°，‎ ‎∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，‎ ‎∴∠CAF＝90°，GA＝FA，‎ ‎∴△GAF为等腰直角三角形，‎ ‎∵∠EAF＝45°，‎ ‎∴AE垂直平分GF，‎ ‎∴∠AEB+∠CGF＝90°，‎ ‎∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，‎ ‎∴∠BAE＝∠CGF，‎ ‎∴△BAE～△CGF，‎ ‎∴BECF‎=‎ABGC，‎ ‎∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，‎ ‎∴x‎3‎‎=‎‎6‎‎9‎，‎ ‎∴x＝2，‎ 即BE＝2，‎ 故答案为：2．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共28分．解答时写出必要的文字说明及演算过程）‎ ‎19．（8分）（2020•天水）（1）计算：4sin60°﹣|‎3‎‎-‎2|+20200‎-‎12‎+‎（‎1‎‎4‎）﹣1．‎ ‎（2）先化简，再求值：‎1‎a-1‎‎-a-1‎a‎2‎‎+2a+1‎÷‎a-1‎a+1‎，其中a‎=‎‎3‎．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝4‎×‎3‎‎2‎-‎（2‎-‎‎3‎）+1﹣2‎3‎‎+‎4‎ ‎＝2‎3‎‎-‎2‎+‎3‎+‎1﹣2‎3‎‎+‎4‎ ‎＝3‎+‎‎3‎；‎ 第29页（共29页）‎ ‎（2）原式‎=‎1‎a-1‎-‎a-1‎‎(a+1‎‎)‎‎2‎•‎a+1‎a-1‎ ‎=‎1‎a-1‎-‎‎1‎a+1‎‎ ‎ ‎=a+1‎‎(a+1)(a-1)‎-‎a-1‎‎(a+1)(a-1)‎‎ ‎ ‎=‎‎2‎‎(a+1)(a-1)‎‎ ‎ ‎=‎‎2‎a‎2‎‎-1‎‎，‎ 当a‎=‎‎3‎时，‎ 原式‎=‎‎2‎‎(‎3‎‎)‎‎2‎-1‎ ‎=‎‎2‎‎3-1‎‎ ‎ ‎=‎‎2‎‎2‎‎ ‎ ‎＝1．‎ ‎20．（10分）（2020•天水）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．‎ 请结合图中的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）此次调查中接受调查的人数为　50　人；‎ ‎（2）请你补全条形统计图；‎ ‎（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为　144　度；‎ ‎（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：（1））∵非常满意的有18人，占36%，‎ ‎∴此次调查中接受调查的人数：18÷36%＝50（人）；‎ 故答案为：50；‎ ‎（2）此次调查中结果为满意的人数为：50﹣4﹣8﹣18＝20（人）；‎ ‎（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为：360°‎×‎20‎‎50‎=‎144°；‎ 故答案为：144°；‎ ‎（4）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有8种情况，‎ ‎∴选择回访的市民为“一男一女”的概率为：‎8‎‎12‎‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎21．（10分）（2020•天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．‎ ‎（1）分别求出a和b的值；‎ ‎（2）结合图象直接写出mx+n‎＞‎kx中x的取值范围；‎ ‎（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4，‎ ‎∴‎1‎‎2‎|k|＝4，‎ 解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），‎ ‎∴反比例函数的关系式为y‎=-‎‎8‎x，‎ 把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y‎=-‎‎8‎x得，‎ a＝4，b＝8；‎ 答：a＝4，b＝8；‎ ‎（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n‎＞‎kx的解集为x＜﹣2或0＜x＜8；‎ ‎（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），‎ 又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，‎ 设直线A′B的关系式为y＝cx+d，‎ 则有‎2c+d=4‎‎8c+d=-1‎，‎ 解得，c=-‎‎5‎‎6‎d=‎‎17‎‎3‎，‎ ‎∴直线A′B的关系式为y‎=-‎‎5‎‎6‎x‎+‎‎17‎‎3‎，‎ ‎∴直线y‎=-‎‎5‎‎6‎x‎+‎‎17‎‎3‎与y轴的交点坐标为（0，‎17‎‎3‎），‎ 即点P的坐标为（0，‎17‎‎3‎）．‎ 四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）‎ ‎22．（7分）（2020•天水）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40‎ 第29页（共29页）‎ 海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．‎ ‎（1）求∠APB的度数；‎ ‎（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：‎2‎‎≈‎1.414，‎3‎‎≈‎1.732）‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠APB＝90°+45°＝135°，‎ ‎∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝180°﹣30°﹣135°＝15°；‎ ‎（2）作PH⊥AB于H，如图：‎ 则△PBH是等腰直角三角形，‎ ‎∴BH＝PH，‎ 设BH＝PH＝x海里，‎ 由题意得：AB＝40‎×‎30‎‎60‎=‎20（海里），‎ 在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°‎=PHAH=‎‎3‎‎3‎，‎ 即x‎20+x‎=‎‎3‎‎3‎，‎ 解得：x＝10‎3‎‎+‎10≈27.32＞25，且符合题意，‎ ‎∴海监船继续向正东方向航行安全．‎ ‎23．（10分）（2020•天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．‎ ‎（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若BD＝2‎3‎，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．‎ 第29页（共29页）‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图：‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠OAD＝∠ODA，‎ ‎∵AD平分∠CAB，‎ ‎∴∠OAD＝∠CAD，‎ ‎∴∠CAD＝∠ODA，‎ ‎∴AC∥OD，‎ ‎∴∠ODB＝∠C＝90°，‎ 即BC⊥OD，‎ 又∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴直线BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝6﹣r，‎ 在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，‎ ‎∴r2+（2‎3‎）2＝（6﹣r）2，‎ 解得：r＝2，‎ ‎∴OB＝4，‎ ‎∴OD‎=OB‎2‎-BD‎2‎=‎4‎‎2‎‎-(2‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎2，‎ ‎∴OD‎=‎‎1‎‎2‎OB，‎ ‎∴∠B＝30°，‎ ‎∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，‎ ‎∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOF‎=‎1‎‎2‎×‎2 ‎3‎‎×‎2‎-‎60π×‎‎2‎‎2‎‎360‎=‎2‎3‎‎-‎‎2π‎3‎．‎ 第29页（共29页）‎ ‎24．（10分）（2020•天水）性质探究 如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为　‎3‎：1　．‎ 理解运用 ‎（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2‎3‎，则它的面积为　‎3‎　；‎ ‎（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长．‎ 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　2sinα：1　．（用含α的式子表示）‎ ‎【解答】解：性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．‎ ‎∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，‎ ‎∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，‎ ‎∴AB＝2AD＝2AC•cos30°‎=‎‎3‎AC，‎ ‎∴AB：AC‎=‎‎3‎：1．‎ 故答案为‎3‎：1．‎ 理解运用：（1）设CA＝CB＝m，则AB‎=‎‎3‎m，‎ 由题意2m‎+‎‎3‎m＝4+2‎3‎，‎ 第29页（共29页）‎ ‎∴m＝2，‎ ‎∴AC＝CB＝2，AB＝2‎3‎，‎ ‎∴AD＝DB‎=‎‎3‎，CD＝AC•sin30°＝1，‎ ‎∴S△ABC‎=‎‎1‎‎2‎•AB•CD‎=‎‎3‎．‎ 故答案为‎3‎．‎ ‎（2）如图2中，连接FH．‎ ‎∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，‎ ‎∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，‎ ‎∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°，‎ ‎∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°，‎ ‎∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，‎ ‎∵EF＝EH，‎ ‎∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，‎ ‎∴FH‎=‎‎3‎EF＝20‎3‎，‎ ‎∵FM＝MG．GN＝GH，‎ ‎∴MN‎=‎‎1‎‎2‎FH＝10‎3‎．‎ 类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．‎ ‎∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，‎ ‎∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α ‎∴AB＝2AD＝2AC•sinα 第29页（共29页）‎ ‎∴AB：AC＝2sinα：1．‎ 故答案为2sinα：1．‎ ‎25．（10分）（2020•天水）天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．‎ ‎（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？‎ ‎（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？‎ ‎（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．‎ ‎【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，‎ 由题意得：‎2000‎x‎=‎‎1200‎x-20‎，‎ 解得：x＝50，‎ 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，‎ ‎50﹣20＝30，‎ 答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；‎ ‎（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，‎ 由题意得：‎50a+30(40-a)≤1560‎a≥‎1‎‎2‎(40-a)‎，‎ 解得‎40‎‎3‎‎≤a≤18‎，‎ ‎∵a为正整数，‎ ‎∴a＝14、15、16、17、18，‎ ‎∴商店共有5种进货方案；‎ ‎（3）设销售A、B两种商品共获利y元，‎ 由题意得：y＝（80﹣50﹣m）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣m）a+600，‎ 第29页（共29页）‎ ‎①当10＜m＜15时，15﹣m＞0，y随a的增大而增大，‎ ‎∴当a＝18时，获利最大，即买18件A商品，22件B商品，‎ ‎②当m＝15时，15﹣m＝0，‎ y与a的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，‎ ‎③当15＜m＜20时，15﹣m＜0，y随a的增大而减小，‎ ‎∴当a＝14时，获利最大，即买14件A商品，26件B商品．‎ ‎26．（13分）（2020•天水）如图所示，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的‎3‎‎4‎时，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：‎-b‎2a=1‎‎4a-2b+c=0‎c=6‎，‎ 解得：a=-‎‎3‎‎4‎b=‎‎3‎‎2‎c=6‎，‎ ‎∴抛物线的函数表达式为：y‎=-‎‎3‎‎4‎x2‎+‎‎3‎‎2‎x+6；‎ ‎（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：‎ 第29页（共29页）‎ ‎∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），‎ ‎∴OA＝2，OC＝6，‎ ‎∴S△AOC‎=‎‎1‎‎2‎OA•OC‎=‎1‎‎2‎×‎2×6＝6，‎ ‎∴S△BCD‎=‎‎3‎‎4‎S△AOC‎=‎3‎‎4‎×‎6‎=‎‎9‎‎2‎，‎ 当y＝0时，‎-‎‎3‎‎4‎x2‎+‎‎3‎‎2‎x+6＝0，‎ 解得：x1＝﹣2，x2＝4，‎ ‎∴点B的坐标为（4，0），‎ 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，‎ 则‎0=4k+n‎6=n，‎ 解得：k=-‎‎3‎‎2‎n=6‎，‎ ‎∴直线BC的函数表达式为：y‎=-‎‎3‎‎2‎x+6，‎ ‎∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），‎ ‎∴点D的坐标为：（m，‎-‎‎3‎‎4‎m2‎+‎‎3‎‎2‎m+6），‎ 点G的坐标为：（m，‎-‎‎3‎‎2‎m+6），‎ ‎∴DG‎=-‎‎3‎‎4‎m2‎+‎‎3‎‎2‎m+6﹣（‎-‎‎3‎‎2‎m+6）‎=-‎‎3‎‎4‎m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，‎ ‎∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG‎=‎‎1‎‎2‎DG•CF‎+‎‎1‎‎2‎DG•BE‎=‎‎1‎‎2‎DG×（CF+BE）‎=‎1‎‎2‎×‎（‎-‎‎3‎‎4‎m2+3m）×（m+4﹣m）‎=-‎‎3‎‎2‎m2+6m，‎ ‎∴‎-‎‎3‎‎2‎m2+6m‎=‎‎9‎‎2‎，‎ 解得：m1＝1（不合题意舍去），m2＝3，‎ ‎∴m的值为3；‎ ‎（3）由（2）得：m＝3，‎-‎‎3‎‎4‎m2‎+‎‎3‎‎2‎m+6‎=-‎3‎‎4‎×‎32‎+‎3‎‎2‎×‎3+6‎=‎‎15‎‎4‎，‎ ‎∴点D的坐标为：（3，‎15‎‎4‎），‎ 分三种情况讨论：‎ ‎①当DB为对角线时，如图2所示：‎ 第29页（共29页）‎ ‎∵四边形BNDM是平行四边形，‎ ‎∴DN∥BM，‎ ‎∴DN∥x轴，‎ ‎∴点D与点N关于直线x＝1对称，‎ ‎∴N（﹣1，‎15‎‎4‎），‎ ‎∴DN＝3﹣（﹣1）＝4，‎ ‎∴BM＝4，‎ ‎∵B（4，0），‎ ‎∴M（8，0）；‎ ‎②当DM为对角线时，如图3所示：‎ 由①得：N（﹣1，‎15‎‎4‎），DN＝4，‎ ‎∵四边形BNDM是平行四边形，‎ ‎∴DN＝BM＝4，‎ ‎∵B（4，0），‎ ‎∴M（0，0）；‎ ‎③当DN为对角线时，‎ ‎∵四边形BNDM是平行四边形，‎ ‎∴DM＝BN，DM∥BN，‎ ‎∴∠DMB＝∠MBN，‎ ‎∴点D与点N的纵坐标相等，‎ ‎∵点D（3，‎15‎‎4‎），‎ ‎∴点N的纵坐标为：‎-‎‎15‎‎4‎，‎ 将y‎=-‎‎15‎‎4‎代入y‎=-‎‎3‎‎4‎x2‎+‎‎3‎‎2‎x+6中，‎ 得：‎-‎‎3‎‎4‎x2‎+‎‎3‎‎2‎x+6‎=-‎‎15‎‎4‎，‎ 解得：x1＝1‎+‎‎14‎，x2＝1‎-‎‎14‎，‎ 当x＝1‎+‎‎14‎时，如图4所示：‎ 则N（1‎+‎‎14‎，‎-‎‎15‎‎4‎），‎ 第29页（共29页）‎ 分别过点D、N作x轴的垂线，垂足分别为E、Q，‎ 在Rt△DEM和Rt△NQB中，DM=BNDE=NQ，‎ ‎∴Rt△DEM≌Rt△NQB（HL），‎ ‎∴BQ＝EM，‎ ‎∵BQ＝1‎+‎14‎-‎4‎=‎14‎-‎3，‎ ‎∴EM‎=‎14‎-‎3，‎ ‎∵E（3，0），‎ ‎∴M（‎14‎，0）；‎ 当x＝1‎-‎‎14‎时，如图5所示：‎ 则N（1‎-‎‎14‎，‎-‎‎15‎‎4‎），‎ 同理得点M（‎-‎‎14‎，0）；‎ 综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（‎14‎，0）或（‎-‎‎14‎，0）．‎ 第29页（共29页）‎ 第29页（共29页）‎