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- 2021-05-10 发布
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人教版九年级上册数学同步作业含详细解答
22.2 二次函数与一元二次方程A组
(2019模拟及中考真题演练)
1.(2019朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+x+1的图象如图所示,则方程x2+x+1=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
解:二次函数y=x2+x+1的图象如图所示,图象与x轴有两个交点,
则方程x2+x+1=0的根的情况是:有两个不相等的实数根.
答案B.
2.(2019邵阳模拟)二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,下列几个结论:
①对称轴为直线x=2;
②当y≤0时,x<0或x>4;
③函数解析式为y=﹣x2+4x;
④当x≤0时,y随x的增大而增大.其中正确的结论有( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
解:由图象得抛物线的对称轴为直线x=2,所以①正确;
当y≤0时,x≤0或y≥4,所以②错误;
抛物线经过点(0,0),(4,0),(2,4),
所以抛物线解析式为y=ax(x﹣4),
把(2,4)代入得a•2(2﹣4)=4,解得a=﹣1,
则抛物线解析式为y=﹣x(x﹣4),即y=﹣x2+4x,所以③正确;
当x≤0时,y随x的增大而增大,所以④正确.
答案D.
3.(2019桂平市一模)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴一个交点为(﹣2,0),对称轴为直线x=1,则y<0时x的范围是( )
A.x>4或x<﹣2 B.﹣2<x<4 C.﹣2<x<3 D.0<x<3
解:∵y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为(﹣2,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点为(4,0),
∴y<0时x的范围是﹣2<x<4,
答案B.
4.(2019河东区二模)若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表:
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
-
-
-
…
则下列说法错误的是( )
A.二次函数图象与x轴交点有两个
B.x≥2时y随x的增大而增大
C.二次函数图象与x轴交点横坐标一个在﹣1~0之间,另一个在2~3之间
D.对称轴为直线x=1.5
解:A、由图表数据可知x=1时,y的值最,所以,抛物线开口向上.所以该抛物线与x轴有两个交点.故本选项正确;
B、根据图表知,当x≥2时y随x的增大而增大.故本选项正确;
C、抛物线的开方方向向上,抛物线与y轴的交点坐标是(0,﹣),对称轴是x=1,所以二次函数图象与x轴交点横坐标一个在﹣1~0之间,另一个在2~3之间.故本选项正确;
D、因为x=0和x=2时的函数值相等,则抛物线的对称轴为直线x=1.故本选项错误;
答案D.
5.(2019资中县一模)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(﹣1,0),(3,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是 .
解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(﹣1,0),(3,0),
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,
故答案为:x1=﹣1,x2=3.
6.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 .
解:∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),
∴方程组的解为,,
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2,x2=1.
所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2,x2=1
故答案为x1=﹣2,x2=1.
7.已知:二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 .
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
解:∵抛物线y=ax2+bx+c经过(0,3)、(2,3)两点,
∴对称轴x==1;
点(﹣1,0)关于对称轴对称点为(3,0),
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是(3,0).
故答案为:(3,0).
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
3
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是 .
解:∵x=﹣3,x=﹣1的函数值都是﹣5,相等,
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2,
∵x=﹣4时,y=﹣2,
∴x=0时,y=﹣2,
∴方程ax2+bx+c=﹣2的解是x1=﹣4,x2=0.
故答案为:x1=﹣4,x2=0.
9.抛物线y=3x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点,则a的值为 .
解:∵抛物线y=3x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点,
∴△=36﹣12a=0,
解得:a=3,
故答案为:3
10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+4x与x轴交于点A,点M是x轴上方抛数线上任意一点,过点M作MP⊥x轴于点P,以MP为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ的取值范围为 .
解:∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
∴MP的最大值是4,
∵以MP为对角线作矩形MNPQ,
∴NQ=MP,
∵点M是x轴上方抛数线上任意一点,MP⊥x轴于点P,
∴0<MP≤4,
∴0<NQ≤4,
故答案为:0<NQ≤4.
11.已知抛物线y=3x2﹣4x+c的顶点在x轴上方,则c应满足的条件 .
解:抛物线y=3x2﹣4x+c的开口向上,
其顶点的纵坐标为:
=
=
由于抛物线的顶点在x轴上方,
所以>0
解得:c>
故答案为:c>
12.二次函数y=x2+mx+m﹣2的图象与x轴有 个交点.
解:y=x2+mx+m﹣2=0,
b2﹣4ac=m2﹣4(m﹣2)=m2﹣4m+8=(m﹣2)2+4,
∵(m﹣2)2≥0,
∴(m﹣2)2+4>0,
∴二次函数y=x2+mx+m﹣2的图象与x轴有2个交点.
故答案为:2.
13.若函数y=ax2+2x﹣1的图象与x轴有公共点,则实数a的取值范围 .
解:∵函数y=ax2+2x﹣1的图象与x轴有公共点,
∴△=4+4a≥0,
解得:a≥﹣1,
故答案为:a≥﹣1
14.若抛物线y=﹣x2﹣2x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是 .
解:∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m与x轴没有交点,
∴△=(﹣2)2﹣4×(﹣1)×m<0,
解得:m<﹣1,
故答案为:m<﹣1.
15.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为 .
解:根据图象可知,二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点(4,0),所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m,代入,得
﹣42+2×4+m=0
解得m=8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0,得
﹣x2+2x+8=0,②
解②得
x1=4,x2=﹣2,
故答案为x1=4,x2=﹣2.
16.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论:
①abc>0;②9a+3b+c<0;③c>﹣1;
④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为﹣
其中正确的结论个数有 (填序号)
解:由图象开口向下,可知a<0,
与y轴的交点在x轴的下方,可知c<0,
又对称轴方程为x=2,所以﹣>0,所以b>0,
∴abc>0,故①正确;
由图象可知当x=3时,y>0,
∴9a+3b+c>0,故②错误;
由图象可知OA<1,
∵OA=OC,
∴OC<1,即﹣c<1,
∴c>﹣1,故③正确;
假设方程的一个根为x=﹣,把x=﹣代入方程可得﹣+c=0,
整理可得ac﹣b+1=0,
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0,
即方程有一个根为x=﹣c,
由②可知﹣c=OA,而当x=OA是方程的根,
∴x=﹣c是方程的根,即假设成立,故④正确;
综上可知正确的结论有三个:①③④.
故答案为:①③④.
17.(2019东明县一模)如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,﹣6)两点
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积.
解:(1)把A(2,0)、B(0,﹣6)代入y=﹣x2+bx+c,
得:解得,
∴这个二次函数的解析式为y=﹣x2+4x﹣6.
(2)∵该抛物线对称轴为直线x=﹣=4,
∴点C的坐标为(4,0),
∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2,
∴S△ABC=×AC×OB=×2×6=6.
18.(2019云南中考)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(﹣4,﹣)两点.
(1)求b,c的值.
(2)二次函数y=﹣x2+bx+
c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标;若没有,请说明情况.
解:(1)把A(0,3),B(﹣4,﹣)分别代入y=﹣x2+bx+c,得
解得;
(2)由(1)可得,该抛物线解析式为:y=﹣x2+x+3.
△=()2﹣4×(﹣)×3=>0,
所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点.
∵﹣x2+x+3=0的解为:x1=﹣2,x2=8
∴公共点的坐标是(﹣2,0)或(8,0).
19.(2019南京中考)已知二次函数y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
(1)证明:当y=0时,2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=0,
解得:x1=1,x2=m+3.
当m+3=1,即m=﹣2时,方程有两个相等的实数根;
当m+3≠1,即m≠﹣2时,方程有两个不相等的实数根.
∴不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)解:当x=0时,y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=2m+6,
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6,
∴当2m+6>0,即m>﹣3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
20.(2019长丰县二模)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(﹣1,0),点C(0,2)
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若D是抛物线位于第一象限上的动点,求△
BCD面积的最大值及此时点D的坐标.
解:(1)将A,C代入得:,
解得:,
则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)连接OD,则有B(4,0),设D(m,﹣m2+m+2),
∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4(﹣m2+m+2)=﹣m2+4m+4,
∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣(m﹣2)2+4,
当m=2时,S△BCD取得最大值4,
此时yD=﹣×4+×2+2=3,即D(2,3).
21.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣4,0),B (1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)连接AC、BC,判断△ABC的形状,并证明;
(3)若点P为二次函数对称轴上点,求出使△PBC周长最小时,点P的坐标.
解:(1)抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣1),
即y=ax2+3ax﹣4a,
∴﹣4a=2,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2;
(2)△ABC为直角三角形.理由如下:
当x=0时,y=﹣x2﹣x+2=2,则C(0,2),
∵A(﹣4,0),B (1,0),
∴AC2=42+22,BC2=12+22,AB2=52=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°;
(3)抛物线的对称轴为直线x=﹣,
连接AC交直线x=﹣于P点,如图,
∵PA=PB,
∴PB+PC=PA+PC=AC,
∴此时PB+PC的值最小,△PBC周长最小,
设直线AC的解析式为y=kx+m,
把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,
∴直线AC的解析式为y=x+2,
当x=﹣时,y=x+2=,则P(﹣,)
∴当P点坐标为(﹣,)时,△PBC周长最小.
22.(2019阜阳模拟)如图所示,二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B.且与y轴交于点C.
(1)求m的值及点B的坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)该二次函数图象上有一点D(x,y),使S△ABD=S△ABC,请求出D点的坐标.
解:(1)∵函数过A(3,0),
∴﹣18+12+m=0,
∴m=6,
∴该函数解析式为:y=﹣2x2+4x+6,
∴当﹣2x2+4x+6=0时,x1=﹣1,x2=3,
∴点B的坐标为(﹣1,0);
(2)当x=0时,y=6,
则C点坐标为(0,6),
∴S△ABC==12;
(3)∵S△ABD=S△ABC=12,
∴S△ABD==12,
∴|h|=6,
①当h=6时:﹣2x2+4x+6=6,
解得:x1=0,x2=2
∴D点坐标为(0,6)或(2,6);
②当h=﹣6时:﹣2x2+4x+6=﹣6,
解得:x1=1+,x2=1﹣
∴D点坐标为(1+,﹣6)、(1﹣,﹣6);
∴D点坐标为(2,6)、(1+,﹣6)、(1﹣,﹣6).
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