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- 2021-05-10 发布
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2019年中考数学提分训练: 命题与证明
一、选择题
1.下列命题是真命题的是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形
C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 有三条边相等的四边形是菱形
2.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A. a180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________
三、解答题
21.已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
22.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）等角的余角相等；
（2）平行线的同旁内角的平分线互相垂直；
（3）和为180°的两个角叫做邻补角．
23.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.已知:如图,在四边形ABCD中,BC=AD,
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AB=__①___.
求证:四边形ABCD是___②___四边形.
（1）在方框中填空,以补全已知和求证;
①________；②________.
（2）按嘉淇的想法写出证明.
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为________
24.如图，已知在△ABC中，∠1=∠2．
（1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；
（2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；
（3）如果“已知在△ABC中，∠1=∠2不变”，请你把（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？
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答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【解析】 A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，故B不符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故C符合题意；
D、四条边都相等的四边形是菱形，故D不符合题意．
故答案为：C
【分析】利用举反例法可对A作出判断；依据菱形、矩形的判定方法可对B、C、D作出判断.
2.【答案】B
【解析】 “a>b”的否定应为“a＝b或ab”、“a＝b、ab”的否定应为a≤b。
3.【答案】B
【解析】 ：A、同角的余角相等，其逆命题是，如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，显然是假命题，故A不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意；
C、全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意 ；
D、对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意 。
故答案为：B 。【分析】定理有逆定理，则定理的逆命题必须是正确的，对于同角的余角相等，其逆命题是，如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，显然是假命题，故A不符合题意；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意；全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意 ；对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意 。
4.【答案】B
【解析】 ：∵苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，
∴设苹果为9x颗，芭乐7x颗，铆钉6x颗（x是正整数），
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∵小柔榨果汁时没有使用柳丁，
∴设小柔榨完果汁后，苹果a颗，芭乐b颗，
∵小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，
∴ ， ，
∴a=9x，b= x，
∴苹果的用量为9x﹣a=9x﹣9x=0，
芭乐的用量为7x﹣b=7x﹣ x= x＞0，
∴她榨果汁时，只用了芭乐，
故答案为：B．
【分析】根据榨果汁前的三种水果的棵数比可将三种水果的棵数用含x的代数是表示，再根据榨果汁后的比值表示出各种水果的用量即可判断榨果汁时另外两种水果的使用情形。
5.【答案】C
【解析】 ：①两点之间线段最短，说法正确，不是假命题； ②到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误，是假命题；
④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题；
⑤如图，连接AC、BD．
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴ = ，
∴PA•PB=PC•PD，
故若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题．
故选：C．
【分析】根据线段的性质公理判断①；
根据角平分线的性质判断②；
根据垂线的性质、平行公理的推论判断③④；
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连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论．依此判断⑤．
6.【答案】A
【解析】 ：∵当b＜0时，如果 ＞1，那么a＜b，∴①错误； ∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；
∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，
故选A．
【分析】根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可．
7.【答案】A
【解析】 A、∵要了解灯泡的使用寿命破坏性极大，∴只能采用抽样调查的方法，A符合题意；
B、∵4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为102.5，B不符合题意；
C、甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差不能确定，C不符合题意；
D、某次抽奖活动中，中奖的概率为 表示每抽奖50次可能有一次中奖，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】A、根据抽样调查的定义来分析；B、根据中位数的定义来分析；C、根据方差的计算公式来分析；D、根据概率公式来分析；
8.【答案】C
【解析】 根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。
【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论。
9.【答案】B
【解析】 如果甲正确，则乙就正确；如果乙正确，则甲错误．
故答案为：B.
【分析】用假设法解该题，即假设甲说法正确，结合甲的说法判断乙的说法是否正确.
10.【答案】D
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【解析】 A.直角为90度，故凡是直角都相等；A不符合题意；
B.对顶角的定义：有一个共同的顶点并且一边是另一边的反向延长线.故对顶角相等；B不符合题意；
C.对顶角相等，故不相等的角不是对顶角；C不符合题意；
D.只有两直线平行时，同位角才相等；故同位角相等是假命题；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A根据直角定义来分析；B根据对顶角定义来分析；C根据对顶角定义来分析；D根据同位角定义来分析；
11.【答案】A
【解析 ：要算出这个在大矩形的面积，就需要知道大矩形的长和宽.
如图：
假设已知小矩形①的周长为4x，小矩形③周长为2y，小矩形④周长为2z；
则可得出①的边长以及③和④的邻边和，分别为x、y、z；
设小矩形②的周长为4a，则②的边长为a，可得③、④都有一边长为a
则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，z﹣a，
故大矩形的边长分别为：y﹣a+x+a=y+x，z﹣a+x+a=z+x，
故大矩形的面积为：（y+x）（z+x），当x，y，z都为已知数时，即可算出大正方形的面积，
故n的最小值是3．
故选：A．
【分析】根据题意结合正方形的性质及正方形及矩形周长与各边长的关系来进行求解，进而得出符合题意的答案．
12.【答案】D
【解析】 ：∵AC=AB， ∴∠C=∠B，
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠B=∠CDE，
∴∠C=∠CDE，
∴DE=CE；①正确；
连接AE，
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∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，又∠C=45°，
∴AC= CE，
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED，
∴△CDE∽△CBA，
∴ =（ ）2= ，
∴S1=S2 ， ②正确，
故选：D．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，根据圆内接四边形的性质得到∠B=∠CDE，根据等腰三角形的判定判断①；
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②．
二、填空题
13.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【解析】 ：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果 那么 ”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【分析】根据命题的构成可知题设为：对顶角，结论为：相等，所以用“如果 … 那么 … ”的形式可表示为：如果两个角是对顶角，那么它们相等。
14.【答案】假
【解析】 原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题.
【分析】首先将原命题改写成如果那么的形式，然后根据原命题与逆用的关系，将原命题的题设和结论交换位置得到其逆命题：面积相等的两个三角形为全等三角形；再根据已有知识判断此命题显然是假命题。
15.【答案】②
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【解析】 ：①对顶角相等是真命题；②同旁内角互补是假命题；③全等三角形的对应角相等是真命题；④两直线平行，同位角相等是真命题；故假命题有②，
故答案为：②．
【分析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
16.【答案】若a2=b2，则a=b.
【解析】 原命题的逆命题为：若a2=b2，则a=b.
故答案为：若a2=b2，则a=b.
【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，用若领起的部分是题设，用则领起的部分是结论，求一个命题的逆命题，只需要将原命题的题设和结论交换位置即可。
17.【答案】两个锐角的度数分别为20°，30°
【解析】 ：若两个锐角的度数分别为20°，30°
则这两个角的和为50°，50°的角是锐角
故答案为：两个锐角的度数分别为20°，30°（答案不唯一）
【分析】根据题意写出两个锐角的和是直角或锐角即可。
18.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是直角。
【解析】 ：∵原命题是：如果两个角都是直角,那么这两个角相等
∴它的逆命题是;如果两个角相等，那么这两个角是直角。
【分析】将原命题的题设和结论互换，再写成如果，那么的形式即可。
19.【答案】②③
【解析】 ：①把 代入 ，得 ， 如果a=2，那么b=1，a+b=3；
如果a=﹣2，那么b=﹣7，a+b=﹣9．
故命题①是假命题；
②y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故命题②是真命题；
③最小角等于50°的三角形，最大角不大于80°，一定是锐角三角形，故命题③是真命题．
所以正确命题的序号为②③．
故答案为②③．
【分析】①根据方程组的解的定义，把 代入 ，即可判断；②利用配方法把函数y=﹣2x2+4x+1化为顶点式，即可判断；③根据三角形内角和定理以及锐角三角形的定义即可判断．
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20.【答案】③①②
【解析】 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
三、解答题
21.【答案】解：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B=∠E，
∴AB∥DE．
【解析】【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论。
22.【答案】（1）解：等角的余角相等，正确，是真命题
（2）解：平行线的同旁内角的平分线互相垂直，正确，是真命题
（3）解：和为180°的两个角叫做邻补角，错误，是假命题，如两个不同书本上的两个和为180°的角
【解析】【分析】（1）根据余角的定义，知如果两个角相等，那么它们的余角一定相等 ；
（2）根据平行线的性质二直线平行，同旁内角互补及角平分线的定义，三角形的内角和即可作出判断；
（3）和为180°的两个角叫做补角，邻补角应该还满足有公共顶点，及一条公共边，另一条边互为反向延长线。
23.【答案】（1）CD；平行
（2）证明:如图,连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD,AD=CB,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴AB∥CD,AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形
（3）平行四边形的两组对边分别相等
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【解析】【解答】（1）补全已知和求证在四边形ABCD中,BC=AD,AB=CD，求证:四边形ABCD是平行四边形。
故答案为：CD；平行。【分析】（1）由平行四边形的判定定理容易得出结果。
（2）连接AC，由SSS证明△ABC≌CDA，得出对应角相等∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，证出AB∥DC，BC∥AD，根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
（3）根据命题的逆命题的定义得出平行四边形的两组对边分别相等。
24.【答案】（1）解：AC∥BE；
（2）解：∠1=∠ABE或∠1=∠DBE
（3）解：是真命题，理由如下：
∵BE是△ABC的外角平分线，
∴∠ABE=∠DBE，
又∵∠ABD是三角形ABC的外角，
∴∠ABD=∠1+∠2，
即∠ABE+∠DBE=∠1+∠2，
又∵∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，
∴∠ABE=∠1，
∴AC∥BE．
【解析】【分析】①②要使BE是△ABC的外角平分线，结合三角形的外角的性质∠ABD=∠1+∠2，∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，即证明∠ABE=∠1=∠DBE=∠2，进一步可得BE∥AC;
③根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可证明。
本题综合运用了角平分线定义、平行线的性质和三角形的外角的性质。
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