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- 2021-05-10 发布
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中考复习专题: 实际应用题
类型一 一次函数图象型问题
1. 某游泳池一天要经过“注水—保持—排水”三个过程,如图,图中折线表示的是游泳池在一天某一时间段内池中水量y(m3)与时间x(min)之间的关系.
(1)求排水阶段y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求水量不超过最大水量的一半值的时间一共有多少分钟.
第1题图
2. (2017衢州8分)“五·一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,分别求出y1、y2关于x的函数表达式;
(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算.
第2题图
3. (2017吉林省卷8分)如图①,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内,现以一定的速度往水槽中注水,28 s时注满水槽.水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x
(s)之间的函数图象如图②所示.
(1)正方体的棱长为________cm;
(2)求线段AB对应的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)如果将正方体铁块取出,又经过t(s)恰好将此水槽注满,直接写出t的值.
第3题图
4. 如图①所示,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶,图②是客车、货车离C站的距离y1(千米),y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)填空:A,B两地相距________千米;
(2)求两小时后,货车离C站的距离y2与行驶时间x之间的函数关系式;
(3)客、货两车何时相遇?
第4题图
5. (2017乌鲁木齐10分)一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地,一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地.两车之间的距离y(千米)与行驶时间x
(小时)的对应关系如图所示:
(1)甲乙两地相距多远?
(2)求快车和慢车的速度分别是多少?
(3)求出两车相遇后y与x之间的函数关系式;
(4)何时两车相距300千米.
第5题图
答案
1. 解:(1)设排水阶段y与x之间的函数关系式是y=kx+b,
将(285,1500),(300,0)代入得,,解得,
即排水阶段y与x之间的函数关系式是y=-100x+30000,
当y=2000时,2000=-100x+30000,解得x=280,
∴x的取值范围是280≤x≤300;
(2)设注水阶段y与x的函数关系式为y=mx,将(30,1500)代入得,30m=1500,解得m=50,∴注水阶段y与x的函数关系式为y=50x,
当y=1000时,1000=50x,得x=20,
将y=1000代入y=-100x+30000,得x=290,
∴水量不超过最大水量的一半值的时间一共有20+(300-290)=30(分钟).
2. 解:(1)由题意可知y1=k1x+80,且图象过点(1,95),则有95=k1+80,
∴k1=15,∴y1=15x+80(x≥0),由题意易得y2=30x(x≥0);
(2)当y1=y2时,解得x=,
当y1>y2时,解得x<,
当y1<y2时,解得x>.
∴当租车时间为小时,选择甲、乙公司一样合算;
当租车时间小于小时,选择乙公司合算;
当租车时间大于小时,选择甲公司合算.
3. 解:(1)10;
【解法提示】由题意可得12秒时,水槽内水面的高度为10 cm,12秒后水槽内高度变化趋势改变,故正方体的棱长为10 cm;
(2)设线段AB对应的函数解析式为:
y=kx+b,
∵图象过A(12,10),B(28,20),∴,解得,
∴线段AB对应的函数解析式为:y=x+(12≤x≤28);
(3)4 s.
【解法提示】∵没有正方体时,水面上升10 cm,所用时间为16 s,∴没有正方体的圆柱形水槽,注满需要用时间32 s,∴取出正方体铁块后,已经注水28 s,且注水速度一定,故还需要4 s才能注满圆柱形水槽,∴t=4 s.
4. 解:(1)420;
(2)由题图可知货车的速度为60÷2=30(千米/小时),
货车到达A地一共需要2+360÷30=14(小时).
设y2=kx+b,代入点(2,0),(14,360)得
,解得,所以y2=30x-60;
(3)设y1=mx+n,代入点(6,0),(0,360)得
,解得.所以y1=-60x+360.
由y1=y2得30x-60=-60x+360,解得x=.
答:客、货两车经过小时相遇.
5. 解:(1)由题图得,甲乙两地相距600千米;
(2)由题图得,慢车总用时10小时,
∴慢车速度为=60(千米/小时),
设快车速度为x千米/小时.
由题图得,60×4+4x=600,解得x=90(千米/小时),
∴快车速度90千米/小时,慢车速度60(千米/小时);
(3)由(2)得,=(小时),
60×=400(千米),时间为小时时快车已到达,此时慢车走了400千米,
∴两车相遇后y与x之间的函数关系式为;
(4)设出发x小时后,两车相距300千米,
①当两车相遇前,由题意得:60x+90x=600-300,解得x=2;
②当两车相遇后,由题意得:60x+90x=600+300,解得x=6,
即两车行驶6小时或2小时后,两车相距300千米.
类型二 方案选取型问题
1. 现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示:按每千克16元收费,另加包装费3元,设小明快递物品x千克.
(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式;
(2)小明选择哪家快递公司更省钱?
2. (2017焦作模拟)
某会堂举行专场音乐会,出售的门票分为成人票和学生票,已知购买2张成人票和1张学生票共需45元,购买1张成人票和2张学生票共需30元.
(1)求成人票和学生票的单价分别是多少?
(2)暑假期间,为了丰富广大师生的业余文化生活,该会堂制定了两种优惠方案,方案①:购买一张成人票赠送一张学生票;方案②:按总价的90%付款,某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会.设学生人数为x(人),付款总金额为y(元),分别求出两种优惠方案中y与x的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,请计算并确定出最节省费用的购票方案.
3. 新农村社区改造中,有一部分楼盘要对外销售.某楼盘共23层,销售价格如下:第八层楼房售价为4000元/米2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高50元;反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元.已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.
若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案:
方案一:降价8%,另外每套楼房赠送a元装修基金;
方案二:降价10%,没有其他赠送.
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数关系式;
(2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算.
4. 某移动通讯公司开设了两种通讯业务:“全球通”使用者先缴50元月基础费,然后每通话1分钟,再付0.4元;“神州行”不缴月基础费,每通话1分钟,付话费0.6元(这里均指市内通话).若一个月内通话时间为x分钟,两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)写出y1,y2与x的关系式;
(2) 某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种移动通讯合算些.
(3)一个月通话为多少分钟时,哪种业务更优惠?
5. 为奖励在社会实践活动中表现优异的同学,某校准备购买一批文具袋和水性笔作为奖品.已知文具袋的单价是水性笔单价的5倍,购买5支水性笔和3个文具袋共需60元.
(1)求文具袋和水性笔的单价;
(2)学校准备购买文具袋20个,水性笔若干支,文具店给出两种优惠方案:
A:购买一个文具袋,赠送1支水性笔;
B:购买水性笔10支以上,超出10支的部分按原价的八折优惠,文具袋不打折.
①设购买水性笔x支,选择方案A总费用为y1元,选择方案B总费用为y2元,分别求出y1,y2与x的函数关系式;
②若学校购买水性笔超过10支,选择哪种方案更合算?请说明理由.
参考答案
1. 解:(1)甲快递公司快递该物品的费用y1(元)与x(千克)之间的函数关系式为:
当0<x≤1时,y1=22x;
当x>1时,y1=22+15(x-1)=15x+7.
∴y1=,
乙快递公司快递该物品的费用y2(元)与x(千克)之间的函数关系式为y2=16x+3;
(2)若0<x≤1,当22x>16x+3时,0,即0.5x-12>0时,解得x>24,
当x>24时,优惠方案②付款较少.
3. 解:(1)当1≤x≤8时,每平方米的售价为y=4000-(8-x)×30=30x+3760(元/平方米);
当9≤x≤23时,每平方米的售价为
y=4000+(x-8)×50=50x+3600(元/平方米).
∴y=.
(2)第十六层楼房的每平方米的价格为:50×16+3600=4400(元/平方米),
设所交房款为W元.
按照方案一所交房款为:W1=4400×120×(1-8%)-a=485760-a(元),
按照方案二所交房款为:W2=4400×120×(1-10%)=475200(元),
当W1>W2时,即485760-a>475200,
解得:0<a<10560;
当W1=W2时,即a=10560;
当W1<W2时,即485760-a<475200,
解得:a>10560,
∴当0<a<10560时,方案二合算;当a=10560元时两种方案一样;当a>10560时,方案一合算.
4. 解:(1)根据题意得:y1=50+0.4x;
y2=0.6x.
(2)将x=300代入到y1=50+0.4x,得y1=170,将x=300代入到y2=0.6x,得y2=180.∵170<180,∴选择全球通业务更优惠.
(3)当y1>y2时,有50+0.4x>0.6x,
解得:x<250;
当y1=y2时,有50+0.4x=0.6x,x=250;
当y1250,
答:当一个月通话时间小于250分钟时,选择“神州行”业务更优惠;当一个月通话时间为250分钟时,选择“全球通”和“神州行”业务费用相同;当一个月通话时间大于250分钟时,选择“全球通”业务更优惠.
5. 解:(1)设水性笔的单价是x元,则文具袋的单价是5x元.
由题意得5x+3×5x=60,解得x=3,则5x=15,所以水性笔的单价是3元,文具袋的单价是15元;
(2)①根据题意,得y1=20×15+3×(x-20)=3x+240,
当0≤x≤10时,y2=3x+300;
当x>10时,y2=20×15+3×10+3×0.8(x-10)=2.4x+306.
②当y1>y2时,可知3x+240>2.4x+306,解得x>110,
所以当购买数量超过110支时,选择方案B更合算;
当y1=y2时,可知3x+240=2.4x+306,解得x=110,
所以当购买数量为110支时,选择方案A、B均可;
当y10,∴w随x的增大而增大,
∴当x=20时,w有最大值,最大值为5×20+1770=1870.
∴A款式服装分配给甲、乙两店铺分别为20件和16件,B款式服装分配给甲、乙两店铺分别为10件和14件,王老板获得利润最大,最大的总利润为1870元.
3. 解:(1)设第一批次收购x吨蒜薹,则第二批次收购(100-x)吨蒜薹,由题意得,
4000x+1000(100-x)=160000,解得,x=20,∴100-x=80,
∴第一批次收购20吨蒜薹,第二批次收购80吨蒜薹;
(2)设精加工数量为y吨,则粗加工数量为(100-y)吨,
∵精加工数量不多于粗加工数量的3倍,∴y≤3(100-y),解得y≤75,
设获得的利润为w元,由题意可得w与y之间的关系式为
w=1000y+400(100-y),整理得w=600y+40000,
∵w是y的一次函数,且k=600>0,∴w随y的增大而增大,
∴当y取最大值时,w最大,
∵y≤75,∴当y=75时,w最大,最大值w=600×75+40000=85000.
综上所述,精加工数量为75吨时,可获得最大利润,最大利润是85000元.
4. 解:(1)设A种足球单价为x元,则B种足球单价为(x+80)元,
根据题意,得=2×,解得x=120,
经检验:x=120是原分式方程的解.
答:A种足球单价为120元,B种足球单价为200元.
(2)设再次购买A种足球x个,则B种足球为(18-x)个.
根据题意,得W=120x+200(18-x)=-80x+3600,
∵18-x≥2x,∴x≤6,∵-80<0,∴W随x的增大而减小,
∴当x=6时,W最小,此时18-x=12,
答:本次购买A种足球6个,B种足球12个,才能使购买费用W最少.
5. 解:(1)设一辆大型渣土运输车每次运土方x吨,一辆小型渣土运输车每次运土方y吨,根据题意,得,解得,
答:一辆大型渣土运输车每次运土方10吨,一辆小型渣土运输车每次运土为5吨;
(2)设派出小型渣土运输车m辆,则派出大型渣土运输车为(20-m)辆,根据题意,得,解得7≤m≤10,∵m取整数,∴m=7,8,9,10.
∴有如下四种方案:
①派出小型渣土运输车7辆,派出大型渣土运输车为13辆;
②派出小型渣土运输车8辆,派出大型渣土运输车为12辆;
③派出小型渣土运输车9辆,派出大型渣土运输车为11辆;
④派出小型渣土运输车10辆,派出大型渣土运输车为10辆;
(3)设总费用为W元,派出小型渣土运输车m辆,则派出大型渣土运输车为(20-m)辆,根据题意得W=300m+500(20-m)=-200m+10000,
∵k=-200<0,∴W随m的增大而减小,
∴当m=10时,W最小,最小值为8000元.
故该公司选择方案为小型渣土运输车10辆,大型渣土运输车10辆.
6. 解:(1)设用乙、丙两种型号的货轮分别为x艘、y艘,
则,解得,
答:用2艘乙种型号的货轮,6艘丙种型号的货轮;
(2)设乙型货轮有n艘,则甲型有20-(m+n)艘,根据题意得
10[20-(m+n)]+5n+7.5m=180,解得n=4-0.5m,
∴20-(m+n)=16-0.5m,
即甲型货轮有(16-0.5m)艘,乙型货轮有(4-0.5m)艘,
由题意得4-0.5m+m≤16-0.5m,解得m≤12,
∵m,16-0.5m,4-0.5m均为正整数,∴m=2,4,6,
设集团的总利润为w,
则w=10×5(16-0.5m)+5×3.6(4-0.5m)+7.5×4m=-4m+872,
∵-4<0,∴w随m的增大而减小,
故当m=2时,w最大,最大值为864,此时利润为864×100×10000=8.64(亿元).
此时16-0.5×2=15,4-0.5×2=3.
答:甲型货轮有15艘,乙型货轮有3艘,丙型货轮有2艘时,可获得最大利润,最大利润为8.64亿元.
7. 解:(1)y=-2x+80(20≤x≤28);
【解法提示】设一次函数的表达式为:y=kx+b(k≠0),将点(22,36)、点(24,32)分别代入求得:y=-2x+80;
(2)由题意知,(x-20)(-2x+80)=150,整理得x2-60x+875=0,
(x-25)(x-35)=0,解得x1=25,x2=35(不合题意,舍去),
答:每本纪念册的销售单价是25元;
(3)由题意知,w=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,
∵a=-2<0,∴二次函数图象开口向下,
∴当x<30时,w随x的增大而增大,
∵20≤x≤28,∴当x=28时,w最大=-2×(28-30)2+200=192(元),
答:当纪念册销售单价定为28元时,所获利润最大,最大利润为192元.