中考专题复习之——新定义题 59页

‎2017年中考专题复习之——新定义题 一．选择题（共2小题）‎ ‎1．连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，﹣b）．如f（1，2）=（1，﹣2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，﹣9））=（　　）‎ A．（5，﹣9） B．（﹣9，﹣5） C．（5，9） D．（9，5）‎ ‎　‎ 二．填空题（共2小题）‎ ‎3．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全等三角形，边长分别为‎3cm，‎4cm，‎5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么奇异中位线的长是　　cm．‎ ‎4．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有　　条．‎ ‎　‎ 三．解答题（共16小题）‎ ‎5．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．‎ ‎（1）如果[a]=﹣3，则a的取值范围为　　；‎ ‎（2）如果[]=4，求满足条件的所有正整数x．‎ ‎6．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．‎ ‎（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　　，　　；‎ ‎（2）如图，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB．‎ ‎7．我们定义：有一组对角相等而另一对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．‎ ‎8．提出问题：‎ ‎（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；‎ 类比探究：‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；‎ 综合运用：‎ ‎（3）在（2）问条件下，HF∥‎ GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．‎ ‎9．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．‎ ‎（1）请你在图1中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）‎ ‎（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并直接写出x所有可能的值；‎ ‎（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．‎ ‎10．通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化．类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图在△ABC中，AB=AC，‎ 顶角A的正对记作sadA，这时sadA=．我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：‎ ‎（1）sad60°=　　；sad90°=　　．‎ ‎（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　　．‎ ‎（3）试求sad36°的值．‎ ‎11．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．‎ ‎（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；‎ ‎（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；‎ ‎（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．‎ ‎12．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．‎ ‎（1）已知T（1，﹣1）=﹣，T（4，2）=1．‎ ‎①求a，b的值；‎ ‎②若关于m的不等式组恰好有5个整数解，求实数p的取值范围；‎ ‎（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？‎ ‎13．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；‎ ‎【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：‎ 当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．‎ 假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．‎ ‎【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．‎ ‎14．如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．‎ ‎（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB　　∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．‎ ‎（2）①如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；‎ ‎②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．‎ ‎（3）如图4，点C是函数y=（x＞0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标．‎ ‎15．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．‎ ‎（1）抛物线y=x2对应的碟宽为　　；抛物线y=4x2对应的碟宽为　　；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为　　；抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碟宽为　　；‎ ‎（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；‎ ‎（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．‎ ‎①求抛物线y2的表达式；‎ ‎②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn=　　，Fn的碟宽右端点横坐标为　　；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．‎ ‎16．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．‎ ‎（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；‎ ‎（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“好玩三角形”；‎ ‎（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值．‎ ‎17．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ ‎①在点D、E、F中，⊙O的关联点是　　．‎ ‎②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．‎ ‎18．问题探究 ‎（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；‎ 问题解决 ‎（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=‎270m，AE=‎400m，ED=‎285m，CD=‎340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎19．某景区内的环形路是边长为‎800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为‎200米/分．‎ 探究：设行驶吋间为t分．‎ ‎（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米） 与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是‎400米时t的值；‎ ‎（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．‎ 发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米．‎ 情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；‎ 情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．‎ 比较哪种情况用时较多？（含候车时间）‎ 决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是‎50米/分．当行进到DA上一点P （不与点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．‎ ‎（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：‎ ‎（2）设PA=s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？‎ ‎20．【问题情境】如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．‎ ‎【结论运用】如图2，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；‎ ‎【迁移拓展】图3是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，‎ ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=8，AD=3，BD=7；M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．‎ ‎　‎ ‎2017年04月14日马 赛的初中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共2小题）‎ ‎1．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先找出每个图形的“直径”，再根据所学的定理求出其长度，最后进行比较即可．‎ ‎【解答】解：‎ 连接BC，则BC为这个几何图形的直径，过O作OM⊥BC于M，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠BOM=∠BOC=60°，‎ ‎∴∠OBM=30°，‎ ‎∵OB=2，OM⊥BC，‎ ‎∴OM=OB=1，由勾股定理得：BM=，‎ ‎∴由垂径定理得：BC=2；‎ 连接AC、BD，则BD为这个图形的直径，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，‎ ‎∵∠ABC=60°，‎ ‎∴∠ABO=30°，‎ ‎∴AO=AB=1，由勾股定理得：BO=，‎ ‎∴BD=2BO=2；‎ 连接BD，则BD为这个图形的直径，‎ 由勾股定理得：BD==2；‎ 连接BD，则BD为这个图形的直径，‎ 由勾股定理得：BD==，‎ ‎∵2＞＞2，‎ ‎∴选项A、B、D错误，选项C正确；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，扇形性质等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力．‎ ‎　‎ ‎2．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，﹣b）．如f（1，2）=（1，﹣2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，﹣9））=（　　）‎ A．（5，﹣9） B．（﹣9，﹣5） C．（5，9） D．（9，5）‎ ‎【分析】根据两种变换的规则，先计算f（5，﹣9）=（5，9），再计算g（5，9）即可．‎ ‎【解答】解：g（f（5，﹣9））=g（5，9）=（9，5）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了点的坐标，理解新定义的变化规则是解题的关键．‎ ‎　‎ 二．填空题（共2小题）‎ ‎3．（2014•杨浦区二模）我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全等三角形，边长分别为‎3cm，‎4cm，‎5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么奇异中位线的长是　　cm．‎ ‎【分析】首先利用勾股定理的逆定理得出边长分别为‎3cm，‎4cm，‎5cm的三角形是直角三角形，然后将这两个直角三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么只有一种情况，画出图形，根据正弦函数的定义求出OA，由中点的定义得出AM，再根据OM=AM﹣OA即可求解．‎ ‎【解答】解：∵32+42=9+16=25=52，‎ ‎∴边长分别为‎3cm，‎4cm，‎5cm的三角形是直角三角形．‎ 如图，将两个全等的直角△ABC与△DEF的斜边AC与DF重合，拼成凸四边形ABCE，AC与BE交于点O，M为AC的中点．‎ ‎∵△ABC≌△DEF，‎ ‎∴AB=AE=‎3cm，∠BAC=∠EDF，‎ ‎∴BO=OE，AO⊥BE．‎ 在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，‎ ‎∴OA=AB•cos∠BAO=3×=，‎ ‎∵AM=AC=，‎ ‎∴OM=AM﹣OA=﹣=．‎ 即奇异中位线的长是cm．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，图形的拼组，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，难度适中．根据题目要求画出符合题意的图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有　3　条．‎ ‎【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．‎ ‎【解答】解：当PD∥BC时，△APD∽△ABC，‎ 当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，‎ 连接PC，‎ ‎∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，‎ ‎∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°，‎ ‎∴∠ACP=∠PAC=36°，‎ ‎∴∠PCB=36°，‎ ‎∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，‎ ‎∴△CPB∽△ACB，‎ 故过点P的△ABC的相似线最多有3条．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．‎ ‎　‎ 三．解答题（共16小题）‎ ‎5．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．‎ ‎（1）如果[a]=﹣3，则a的取值范围为　﹣3≤a＜﹣2　；‎ ‎（2）如果[]=4，求满足条件的所有正整数x．‎ ‎【分析】（1）根据[a]=﹣3，得出﹣3≤a＜﹣2，求出a的解即可；‎ ‎（2）根据题意得出4≤＜5，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解．‎ ‎【解答】解：（1）∵[a]=﹣3，‎ ‎∴a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2；‎ ‎（2）根据题意得：‎ ‎4≤＜5，‎ 解得：7≤x＜9．‎ 则满足条件的所有正整数为7，8．‎ ‎【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解．‎ ‎　‎ ‎6．（2010秋•无锡校级期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．‎ ‎（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　矩形　，　正方形　；‎ ‎（2）如图，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB．‎ ‎【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；‎ ‎（2）根据要求和图形，分析知该四边形即为矩形，画图即可．‎ ‎【解答】解：（1）矩形、正方形；‎ ‎（2）根据要求和图形，则该四边形即为矩形，‎ 根据上述定义可知只要有一个角为直角的四边形就是勾股四边形，‎ ‎∵∠BOA为直角，‎ ‎∴点M在点（3，4）时四边形OAMB为勾股四边形，‎ ‎∴点M横纵坐标分别为3，4，‎ 由勾股定理知AM2+AO2=OM2‎ ‎∴OM=5‎ ‎∵由勾股定理得AB也为5，‎ ‎∴对角线相等，‎ ‎∴OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB，点M坐标还有（3，4），（4，3）．‎ ‎【点评】此题考查了学生对新定义的理解以及特殊四边形的性质．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•厦门模拟）我们定义：有一组对角相等而另一对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．‎ ‎【分析】分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；‎ ‎②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=3，BN=DM=2，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ ‎①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图1所示：‎ ‎∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，‎ ‎∴∠E=30°，‎ ‎∴AE=2AB=10，‎ ‎∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，‎ ‎∵∠EDC=90°，∠E=30°，‎ ‎∴CD=2，‎ ‎∴AC===2；‎ ‎②当∠BCD=∠DAB=60°时，‎ 过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图2所示：‎ 则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，‎ ‎∵∠DAB=60°，‎ ‎∴∠ADM=30°，‎ ‎∴AM=AD=2，‎ ‎∴DM=2‎ ‎∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，‎ ‎∵四边形BNDM是矩形，‎ ‎∴DN=BM=3，BN=DM=2，‎ ‎∵∠BCD=60°，‎ ‎∴CN=，‎ ‎∴BC=CN+BN=3，‎ ‎∴AC==2；‎ 综上所述：AC的长为2或2．‎ ‎【点评】此题考查了新定义、四边形内角和定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•衢州）提出问题：‎ ‎（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；‎ 类比探究：‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；‎ 综合运用：‎ ‎（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；‎ ‎（2）EF=GH．将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；‎ ‎（3）易得△AHF∽△CGE，所以，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF=，因为FH∥EG，所以，根据（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH与三角形EOG的面积相加即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．‎ ‎∴∠HAO+∠OAD=90°．‎ ‎∵AE⊥DH，‎ ‎∴∠ADO+∠OAD=90°．‎ ‎∴∠HAO=∠ADO．‎ ‎∴△ABE≌△DAH（ASA），‎ ‎∴AE=DH．‎ ‎（2）EF=GH．‎ 将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．‎ 将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．‎ ‎∵EF⊥GH，‎ ‎∴AM⊥DN，‎ 根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；‎ ‎（3）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB∥CD ‎∴∠AHO=∠CGO ‎∵FH∥EG ‎∴∠FHO=∠EGO ‎∴∠AHF=∠CGE ‎∴△AHF∽△CGE ‎∴‎ ‎∵EC=2‎ ‎∴AF=1‎ 过F作FP⊥BC于P，‎ 根据勾股定理得EF=，‎ ‎∵FH∥EG，‎ ‎∴‎ 根据（2）知EF=GH，‎ ‎∴FO=HO．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴阴影部分面积为．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•宜兴市校级期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．‎ ‎（1）请你在图1中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）‎ ‎（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并直接写出x所有可能的值；‎ ‎（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；‎ ‎（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC，根据图形易得x的值；‎ ‎（3）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，解方程可知三分线的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎①当AD=AE时，‎ ‎∵2x+x=30°+30°，‎ ‎∴x=20°；‎ ‎②当AD=DE时，‎ ‎∵30°+30°+2x+x=180°，‎ ‎∴x=40°；‎ ‎（3）如图所示，CD、AE就是所求的三分线．‎ 设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，‎ 此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，‎ 设AE=AD=x，BD=CD=y，‎ ‎∵△AEC∽△BDC，‎ ‎∴x：y=2：3，①‎ ‎∵△ACD∽△ABC，‎ ‎∴2：x=（x+y）：2，②‎ 由①和②解得或（舍去），‎ ‎∴AE=，CD=，‎ 即三分线的长分别为和．‎ ‎【点评】此题是相似形的综合题，主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，掌握相似三角形的判定与性质，根据成比例的线段联立方程解决问题．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•宝山区一模）通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化．类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图在△ABC中，AB=AC，‎ 顶角A的正对记作sadA，这时sadA=．我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：‎ ‎（1）sad60°=　1　；sad90°=　　．‎ ‎（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　0＜sadA＜2　．‎ ‎（3）试求sad36°的值．‎ ‎【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答进而得出sad90°的值；‎ ‎（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；‎ ‎（3）作出等腰△ABC，构造等腰三角形BCD，根据正对的定义解答．‎ ‎【解答】解：（1）根据正对定义，‎ 当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，‎ 则三角形为等边三角形，‎ 则sad60°==1．‎ 根据正对定义，‎ 当顶角为90°时，等腰三角形底角为45°，‎ 则三角形为等腰直角三角形，‎ 则sad90°==‎ 故答案为：1，．‎ ‎（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，‎ 当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．‎ 于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．‎ 故答案为：0＜sadA＜2．‎ ‎（3）如图所示：已知：∠A=36°，AB=AC，BC=BD，‎ ‎∴∠A=∠CBD=36°，∠ABC=∠C=72°，‎ ‎∴△BCD∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：BC=CD，‎ ‎∴sad36°==．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和相似三角形的判定与性质，根据题意得出BC与CD的关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎11．（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．‎ ‎（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；‎ ‎（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；‎ ‎（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．‎ ‎【分析】（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；‎ ‎（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在中点时构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，‎ ‎（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．‎ ‎【解答】解：（1）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．‎ ‎∵∠BAD=120°，‎ ‎∴∠ABC=60°．‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=30°，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∴△ADB是等腰三角形．‎ 在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，‎ ‎∴∠BDC=∠C=75°，‎ ‎∴△BCD为等腰三角形，‎ ‎∴BD是梯形ABCD的和谐线；‎ ‎（2）由题意作图为：图2，图3‎ ‎（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，‎ ‎∴△ACD是等腰三角形．‎ ‎∵AB=AD=BC，‎ 如图4，当AD=AC时，‎ ‎∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ‎∴△ABC是正三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠BCA=60°．‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴∠CAD=30°，‎ ‎∴∠ACD=∠ADC=75°，‎ ‎∴∠BCD=60°+75°=135°．‎ 如图5，当AD=CD时，‎ ‎∴AB=AD=BC=CD．‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCD=90°‎ 如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，‎ ‎∵AC=CD．CE⊥AD，‎ ‎∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．‎ ‎∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，‎ ‎∴四边形ABFE是矩形．‎ ‎∴BF=AE．‎ ‎∵AB=AD=BC，‎ ‎∴BF=BC，‎ ‎∴∠BCF=30°．‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC．‎ ‎∵AB∥CE，‎ ‎∴∠BAC=∠ACE，‎ ‎∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，‎ ‎∴∠BCD=15°×3=45°．‎ ‎【点评】本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．‎ ‎　‎ ‎12．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=‎ ‎（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．‎ ‎（1）已知T（1，﹣1）=﹣，T（4，2）=1．‎ ‎①求a，b的值；‎ ‎②若关于m的不等式组恰好有5个整数解，求实数p的取值范围；‎ ‎（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？‎ ‎【分析】（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；‎ ‎②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有5个整数解，求出p的范围即可；‎ ‎（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．‎ ‎【解答】解：（1）①根据题意得：T（1，﹣1）==﹣，即a﹣b=﹣1，①‎ T=（4，2）==1，即‎2a+b=7，②‎ 联立①②，解得：a=2，b=3；‎ ‎②根据题意得：，‎ 由①得：m≥﹣；‎ 由②得：m＜，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣≤m＜，‎ ‎∵不等式组恰好有5个整数解，即m=0，1，2，3，4．‎ ‎∴4＜≤5，‎ 解得：﹣≤p＜﹣11；‎ ‎（2）由T（x，y）=T（y，x），得到=，‎ 整理得：（x2﹣y2）（2b﹣a）=0，‎ ‎∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，‎ ‎∴2b﹣a=0，即a=2b．‎ ‎【点评】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2014•东营）【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；‎ ‎【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：‎ 当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．‎ 假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．‎ ‎【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．‎ ‎【分析】根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根据ASA，可得△AGE≌△ECF，根据全等三角形的性质，可得结论；‎ 根据等边三角形的判定，可得△AEF是等边三角形，根据等边三角形相似，可得△ABC与△AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案．‎ ‎【解答】证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，‎ 可作三种辅助线：‎ 方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．‎ ‎∵AG=EC，‎ ‎∴BG=BE，‎ ‎∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，‎ ‎∴∠AGE=120°．‎ ‎∵FC是外角的平分线，‎ ‎∠ECF=120°=∠AGE．‎ ‎∵∠AEC是△ABE的外角，‎ ‎∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．‎ ‎∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，‎ ‎∴∠GAE=∠FEC．‎ 在△AGE和△ECF中 ‎，‎ ‎∴△AGE≌△ECF（ASA），‎ ‎∴AE=EF；‎ 方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；‎ 方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，‎ 易证△CEG是等边三角形，‎ ‎∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，‎ ‎∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，‎ 即∠GEF=∠AEC，‎ ‎∴△GEF≌△CEA，‎ ‎∴AE=EF．‎ 第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点 如图2，可作三种辅助线：‎ ‎①在CF上截取CG=CE，连接GE ‎②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；‎ ‎③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．‎ 第②种添加辅助线的方法证明如下：‎ 证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，‎ 易证△CEG为等边三角形，‎ ‎∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，‎ 又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，‎ ‎∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，‎ ‎∴∠AEG=∠CEF，‎ ‎∴△AEG≌△FEC，‎ ‎∴AE=EF．‎ 第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点 如图3，可作三种辅助线：‎ ‎①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；‎ ‎②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；‎ ‎③在CE上截取CG=CF，连结GF 现就第①种添加辅助线的方法证明如下：‎ 证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，‎ 易证△BEG为等边三角形，‎ ‎∴∠G=∠ECF=60°，‎ ‎∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，‎ ‎∴∠BAE=∠CEF，‎ ‎∵AB=BC，BG=BE，‎ ‎∴AB+BG=BC+BE，‎ 即AG=CE，‎ ‎∴△AEG≌△EFC，‎ ‎∴AE=EF．‎ 拓展应用：‎ 如图4：作CH⊥AE于H点，‎ ‎∴∠AHC=90°．‎ 由数学思考得AE=EF，‎ 又∵∠AEF=60°，‎ ‎∴△AEF是等边三角形，‎ ‎∴△ABC∽△AEF．‎ ‎∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠CAH=30°，AH=EH．‎ ‎∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，‎ ‎∴．‎ ‎∴==．‎ ‎【点评】本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•门头沟区一模）如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．‎ ‎（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB　是　∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．‎ ‎（2）①如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；‎ ‎②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠‎ MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．‎ ‎（3）如图4，点C是函数y=（x＞0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）先判断出△OBP∽△OPA，即可；‎ ‎（2）先根据关联角求出OA×OB=4，再利用三角形的面积公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；‎ ‎（3）根据条件分情况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，经过计算，不存在，②在正半轴时，由BC=‎2AC判断出点C是线段AB的一个三等分点，即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵P为∠MON平分线OC上一点，‎ ‎∴∠BOP=∠AOP，‎ ‎∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，‎ ‎∴∠OBP=∠OPA，‎ ‎∴△OBP∽△OPA，‎ ‎∴，‎ ‎∴OP2=OA×OB，‎ ‎∴∠APB是∠MON的关联角．‎ 故答案为是．‎ ‎（2）①如图，过点A作AH⊥OB，‎ ‎∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，‎ ‎∴OA×OB=OP2=4，‎ 在Rt△AOH中，∠AOH=90°，‎ ‎∴sin∠AOH=，‎ ‎∴AH=OAsin∠AOH，‎ ‎∴S△AOB=OB×AH=OB×OA×sin60°=×OP2×=，‎ ‎∵OP2=OA×OB，‎ ‎∴，‎ ‎∵点P为∠MON的平分线上一点，‎ ‎∴∠AOP=∠BOP=∠MON=30°，‎ ‎∴△AOP∽△POB，‎ ‎∴∠OAP=∠OPB，‎ ‎∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣30°=150°，‎ ‎②由①有，S△AOB=OB×OA×∠MON=m2×sinα；‎ ‎（3）∵过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，‎ ‎∴只有点A在x轴正半轴，‎ ‎①当点B在y轴负半轴时，点A只能在x轴正半轴．即：点P只能在第四象限，‎ 设A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＜0）‎ ‎∴OA=m，OB=﹣n，‎ ‎∵BC=2CA，‎ ‎∴点A是BC中点，‎ ‎∴点C（‎2m，﹣n），‎ ‎∵点C在双曲线y=上，‎ ‎∴‎2m×（﹣n）=2，‎ ‎∴mn=﹣1，‎ ‎∵∠AOB的关联角∠APB ‎∴OP2=OA×OB=|m|•|n|=1，‎ ‎∴OP=1，‎ ‎∵点P在∠AOB的平分线上，设P（a，﹣a）（a＞0），‎ ‎∴OP2=‎2a2，‎ ‎∴‎2a2=1，‎ ‎∴a=或a=﹣（舍），‎ ‎∴点P（，﹣）‎ ‎②当点B在y轴正半轴，由于BC=2CA，所以，点A只能在x轴正半轴上，‎ 设A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）‎ ‎∴点C（，），‎ ‎∴=2，‎ ‎∴mn=9，‎ ‎∵∠AOB的关联角∠APB ‎∴OP2=OA×0B=mn=9，‎ ‎∴OP=3，‎ ‎∵点P在∠AOB的平分线上，即：点P在第一象限，设P（a，a），（a＞0）‎ ‎∴OP2=‎2a2，‎ ‎∴‎2a2=9，‎ ‎∴a=或a=﹣（舍）‎ 即：点P（，），‎ 综上所述，（，﹣）或（，）．‎ ‎【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了新定义，关联角的理解和简单应用，相似三角形的判定和性质，关联角的理解是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2014•南昌）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△‎ AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．‎ ‎（1）抛物线y=x2对应的碟宽为　4　；抛物线y=4x2对应的碟宽为　　；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为　　；抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碟宽为　　；‎ ‎（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；‎ ‎（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．‎ ‎①求抛物线y2的表达式；‎ ‎②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn=　　，Fn的碟宽右端点横坐标为　2+　；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据定义易算出含具体值的抛物线y=x2，抛物线y=4x2的碟宽，且都利用端点（第一象限）横纵坐标的相等．推广至含字母的抛物线y=ax2（a＞0），类似．而抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2平移得到，则发现碟宽只和a有关．‎ ‎（2）根据（1）的结论，根据碟宽易得a的值．‎ ‎（3）①由y1，易推y2．②结合画图，易知h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，但证明需要有一般推广，可以考虑hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，进而可得．另画图时易知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端点的特点．对于“F1‎ ‎，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？”，如果写出所有端点规律似乎很难，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反则结论成立．求直线方程只需考虑特殊点即可．‎ ‎【解答】解：（1）4；；；．‎ 分析如下：‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴y=ax2的图象大致如下：‎ 其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．‎ ‎∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=90°=45°，‎ ‎∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，‎ ‎∴AC=OC=BC，‎ ‎∴xA=yA，xB=yB，代入y=ax2，‎ ‎∴A（﹣，），B（，），C（0，），‎ ‎∴AB=，OC=，‎ 即y=ax2的碟宽为．‎ ‎①抛物线y=x2对应的a=，得碟宽为4；‎ ‎②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为为；‎ ‎③抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为；‎ ‎④抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，‎ ‎∵平移不改变形状、大小、方向，‎ ‎∴抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax2的准碟，‎ ‎∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，‎ ‎∴抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0），碟宽为．‎ ‎（2）∵y=ax2﹣4ax﹣=a（x﹣2）2﹣（‎4a+），‎ ‎∴同（1），其碟宽为，‎ ‎∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，‎ ‎∴=6，‎ 解得 a=，‎ ‎∴y=（x﹣2）2﹣3．‎ ‎（3）①∵F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，‎ ‎∴，‎ ‎∵a1=，‎ ‎∴a2=．‎ ‎∵y=（x﹣2）2﹣3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），‎ ‎∴A（﹣1，0），B（5，0），‎ ‎∴F2的碟顶坐标为（2，0），‎ ‎∴y2=（x﹣2）2．‎ ‎②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形，‎ ‎∴Fn的碟宽为2hn，‎ ‎∵2hn：2hn﹣1=1：2，‎ ‎∴hn=hn﹣1=（）2hn﹣2=（）3hn﹣3=…=（）n﹣1h1，‎ ‎∵h1=3，‎ ‎∴hn=．‎ ‎∵hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，‎ ‎∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在一条直线上，‎ ‎∵h1在直线x=2上，‎ ‎∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，‎ ‎∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+．‎ 另，F1，F2，…，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5．‎ 分析如下：‎ 考虑Fn﹣2，Fn﹣1，Fn情形，关系如图2，‎ Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．‎ ‎∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，‎ ‎∴AB∥DE∥GH，‎ ‎∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，‎ ‎∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，‎ ‎∴HE∥GF，EB∥DC，‎ ‎∵∠GFI=•∠GFH=•∠DCE=∠DCF，‎ ‎∴GF∥DC，‎ ‎∴HE∥EB，‎ ‎∵HE，EB都过E点，‎ ‎∴HE，EB在一条直线上，‎ ‎∴Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线，‎ ‎∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在一条直线．‎ ‎∵F1：y1=（x﹣2）2﹣3准碟形右端点坐标为（5，0），‎ ‎ F2：y2=（x﹣2）2准碟形右端点坐标为（2+，），‎ ‎∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，‎ ‎∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．‎ ‎【点评】本题考查学生对新知识的学习、理解与应用能力．题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生清晰理解有一定困难．‎ ‎　‎ ‎16．（2014秋•拱墅区期末）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．‎ ‎（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；‎ ‎（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“好玩三角形”；‎ ‎（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠‎ ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值．‎ ‎【分析】（1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在圆O上取一点C，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；‎ ‎（2）取AC的中点D，连接BD，设BC=x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BD，从而得出结论；‎ ‎（3）当β=45°时，分情况讨论，P点在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出分情况讨论，就可以求出=，再分情况讨论就可以求出当AE=PQ时，的值，当AP=QM时，可以求出的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，①作一条线段AB，‎ ‎②作线段AB的中点O，‎ ‎③以点O为圆心，AB为半径画圆，‎ ‎④在圆O上取一点C，连接AC、BC，‎ ‎∴△ABC是所求作的三角形（点E、F除外）；‎ ‎（2）如图2，取AC的中点D，连接BD，‎ ‎∵∠C=90°，tanA=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴设BC=x，则AC=2x，‎ ‎∵D是AC的中点，‎ ‎∴CD=AC=x ‎∴BD===2x，‎ ‎∴AC=BD ‎∴△ABC是“好玩三角形”；‎ ‎（3）如图3，当β=45°，点P在AB上时，‎ ‎∴∠ABC=2β=90°，‎ ‎∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，‎ 当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，如图4，‎ ‎∵PC=CQ，‎ ‎∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，‎ ‎∴△AEF∽△CEP，‎ ‎∴===．‎ ‎∵PE=CE，‎ ‎∴=．‎ Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，‎ ‎==2，‎ ‎∴=，‎ Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，‎ 作QN⊥AP于N，如图4，‎ ‎∴MN=AN=MP．‎ ‎∴QN=MN，‎ ‎∴tan∠APQ===，‎ ‎∴tan∠APE===，‎ ‎∴=+．‎ ‎【点评】本题是一道相似形综合运用的试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，锐角三角形函数值的运用，解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ ‎①在点D、E、F中，⊙O的关联点是　D，E　．‎ ‎②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．‎ ‎【分析】（1）①根据关联点的定义得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系；‎ ‎②若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，进而得出PC的长，进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的P点，进而得出m的取值范围；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，‎ ‎∵⊙O的半径为1，∴RO=1，‎ ‎∵EO=2，‎ ‎∴∠OER=30°，‎ 根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，‎ ‎∴E点是⊙O的关联点，‎ ‎∵D（，），E（0，﹣2），F（2，0），‎ ‎∴OF＞EO，DO＜EO，‎ ‎∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°，‎ 故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；‎ 故答案为：D，E；‎ ‎②如图2，由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，‎ 需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，‎ 由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，‎ 连接BC，则PC==2BC=2r，‎ ‎∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；‎ 由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，‎ 如图3，点P1到原点的距离OP1=2×1=2，‎ 过点O作直线l的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF===，‎ ‎∴∠OGF=60°，‎ ‎∴OH=OGsin60°=；‎ sin∠OP1H==，‎ ‎∴∠OP1H=60°，‎ 可得点P1与点G重合，‎ 过点P2作P‎2M⊥x轴于点M，‎ 可得∠P2OM=30°，‎ ‎∴OM=OP2cos30°=，‎ 从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，‎ ‎∴0≤m≤；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；‎ 考虑临界情况，如图4，‎ 即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，‎ 此时，r=1，‎ 故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．‎ ‎【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及切线判定与性质以及锐角三角函数关系和新概念等知识，注意临界点位置的应用是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2014•陕西）问题探究 ‎（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；‎ 问题解决 ‎（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=‎270m，AE=‎400m，ED=‎285m，CD=‎340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．‎ ‎（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．‎ ‎（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．‎ ‎【解答】解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，‎ 则PA=PD．‎ ‎∴△PAD是等腰三角形．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB=DC，∠B=∠C=90°．‎ ‎∵PA=PD，AB=DC，‎ ‎∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．‎ ‎∴BP=CP．‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴BP=CP=2．‎ ‎②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，‎ 则DA=DP′．‎ ‎∴△P′AD是等腰三角形．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．‎ ‎∵AB=3，BC=4，‎ ‎∴DC=3，DP′=4．‎ ‎∴CP′==．‎ ‎∴BP′=4﹣．‎ ‎③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，‎ 则AD=AP″．‎ ‎∴△P″AD是等腰三角形．‎ 同理可得：BP″=．‎ 综上所述：在等腰三角形△ADP中，‎ 若PA=PD，则BP=2；‎ 若DP=DA，则BP=4﹣；‎ 若AP=AD，则BP=．‎ ‎（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC，EF=BC．‎ ‎∵BC=12，‎ ‎∴EF=6．‎ 以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．‎ ‎∵AD⊥BC，AD=6，‎ ‎∴EF与BC之间的距离为3．‎ ‎∴OQ=3‎ ‎∴OQ=OE=3．‎ ‎∴⊙O与BC相切，切点为Q．‎ ‎∵EF为⊙O的直径，‎ ‎∴∠EQF=90°．‎ 过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．‎ ‎∵EG⊥BC，OQ⊥BC，‎ ‎∴EG∥OQ．‎ ‎∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，‎ ‎∴四边形OEGQ是正方形．‎ ‎∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．‎ ‎∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，‎ ‎∴BG=．‎ ‎∴BQ=GQ+BG=3+．‎ ‎∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+．‎ ‎（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．‎ 理由如下：‎ 以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，‎ 作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．‎ 设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，‎ 过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．‎ 则⊙O是△ABG的外接圆，‎ ‎∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，‎ ‎∴AP=PB=AB．‎ ‎∵AB=270，‎ ‎∴AP=135．‎ ‎∵ED=285，‎ ‎∴OH=285﹣135=150．‎ ‎∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，‎ ‎∴∠BAK=∠GAK=30°．‎ ‎∴OP=AP•tan30°‎ ‎=135×‎ ‎=45．‎ ‎∴OA=2OP=90．‎ ‎∴OH＜OA．‎ ‎∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．‎ ‎∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．‎ ‎∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，‎ ‎∴HM=‎ ‎=‎ ‎=30．‎ ‎∵AE=400，OP=45，‎ ‎∴DH=400﹣45．‎ 若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45+30．‎ ‎∵400﹣45+30＞340，‎ ‎∴DM＞CD．‎ ‎∴点M不在线段CD上，应舍去．‎ 若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．‎ ‎∵400﹣45﹣30＜340，‎ ‎∴DM＜CD．‎ ‎∴点M在线段CD上．‎ 综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，‎ 此时DM的长为（400﹣45﹣30）米．‎ ‎【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（2014•河北）某景区内的环形路是边长为‎800米 的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为‎200米/分．‎ 探究：设行驶吋间为t分．‎ ‎（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米） 与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是‎400米时t的值；‎ ‎（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．‎ 发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米．‎ 情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；‎ 情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．‎ 比较哪种情况用时较多？（含候车时间）‎ 决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是‎50米/分．当行进到DA上一点P （不与点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．‎ ‎（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：‎ ‎（2）设PA=s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？‎ ‎【分析】探究：（1）由路程=速度×时间就可以得出y1，y2（米） 与t（分）的函数关系式，再由关系式就可以求出两车相距的路程是‎400米时t的值；‎ ‎（2）求出1号车3次经过A的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数；‎ 发现：分别计算出情况一的用时和情况二的用时，在进行大小比较就可以求出结论 决策：（1）根据题意可以得出游客乙在AD上等待乘1号车的距离小于边长，而成2号车到A出口的距离大于3个边长，进而得出结论；‎ ‎（2）分类讨论，若步行比乘1号车的用时少，就有，得出s＜320．就可以分情况得出结论．‎ ‎【解答】解：探究：（1）由题意，得 y1=200t，y2=﹣200t+1600‎ 当相遇前相距‎400米时，‎ ‎﹣200t+1600﹣200t=400，‎ t=3，‎ 当相遇后相距‎400米时，‎ ‎200t﹣（﹣200t+1600）=400，‎ t=5．‎ 答：当两车相距的路程是‎400米时t的值为3分钟或5分钟；‎ ‎（2）由题意，得 ‎1号车第三次恰好经过景点C行驶的路程为：800×2+800×4×2=8000，‎ ‎∴1号车第三次经过景点C需要的时间为：8000÷200=40分钟，‎ 两车第一次相遇的时间为：1600÷400=4．‎ 第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：800×4÷400=8，‎ ‎∴两车相遇的次数为：（40﹣4）÷8+1=5次．‎ ‎∴这一段时间内它与2号车相遇的次数为：5次；‎ 发现：由题意，得 情况一需要时间为：=16﹣，‎ 情况二需要的时间为：=16+‎ ‎∵16﹣＜16+‎ ‎∴情况二用时较多．‎ 决策：（1）∵游客乙在AD边上与2号车相遇，‎ ‎∴此时1号车在CD边上，‎ ‎∴乘1号车到达A的路程小于2个边长，乘2号车的路程大于3个边长，‎ ‎∴乘1号车的用时比2号车少．‎ ‎（2）若步行比乘1号车的用时少，‎ ‎，‎ ‎∴s＜320．‎ ‎∴当0＜s＜320时，选择步行．‎ 同理可得 当320＜s＜800时，选择乘1号车，‎ 当s=320时，选择步行或乘1号车一样．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，一元一次不等式的运用，分类讨论思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•大庆模拟）【问题情境】如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．‎ ‎【结论运用】如图2，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；‎ ‎【迁移拓展】图3是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，‎ ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=8，AD=3，BD=7；M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．‎ ‎【分析】【问题情境】连接AP，如图1，只需运用面积法（S△ABC=S△ABP+S△ACP ‎）即可解决问题．‎ ‎【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，如图2，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可．‎ ‎【迁移拓展】如图3，由条件AD•CE=DE•BC联想到三角形相似，从而得到∠A=∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM与△CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是△ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题．‎ ‎【解答】【问题情境】证明：连接AP，如图1，‎ ‎∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，‎ 且S△ABC=S△ABP+S△ACP，‎ ‎∴AB•CF=AB•PD+AC•PE．‎ ‎∵AB=AC，∴CF=PD+PE；‎ ‎【结论运用】解：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图2，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．‎ ‎∵AD=8，CF=3，‎ ‎∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．‎ 由折叠可得：DF=BF=5，∠BEF=∠DEF．‎ ‎∵∠C=90°，∴DC===4．‎ ‎∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，‎ ‎∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．‎ ‎∴四边形EQCD是矩形，‎ ‎∴EQ=DC=4．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DEF=∠EFB．‎ ‎∵∠BEF=∠DEF，‎ ‎∴∠BEF=∠EFB．‎ ‎∴BE=BF．‎ 由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．‎ ‎∴PG+PH=4．‎ 即PG+PH的值为4；‎ ‎【迁移拓展】解：延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图3．‎ ‎∵ED⊥AD，EC⊥CB，‎ ‎∴∠ADE=∠BCE=90°．‎ 又∵AD•CE=DE•BC，即=，‎ ‎∴△ADE∽△BCE，‎ ‎∴∠A=∠CBE，‎ ‎∴FA=FB．‎ 由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH．‎ 设DH=x，则AH=AD+DH=（3+x）．‎ ‎∵BH⊥AF，‎ ‎∴∠BHA=90°．‎ ‎∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2．‎ ‎∵AB=8，AD=3，BD=7，‎ ‎∴72﹣x2=82﹣（3+x）2．‎ 解得：x=1．‎ ‎∴BH2=BD2﹣DH2=49﹣1=48，‎ ‎∴BH=4，‎ ‎∴ED+EC=BH=4．‎ ‎∵∠ADE=∠BCE=90°，‎ 且M、N分别为AE、BE的中点，‎ ‎∴DM=AM=EM=AE，CN=BN=EN=BE．‎ ‎∴△DEM与△CEN的周长之和 ‎=DE+DM+EM+CN+EN+EC ‎=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC ‎=DE+EC+AB=8+4．‎ 即△DEM与△CEN的周长之和为8+4．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．‎ ‎　‎