中考数学二轮复习资料 23页

2014 年中考数学二轮复习精品资料 新定义型问题 一、中考专题诠释 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运 算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推 理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学 生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 三、中考典例剖析 考点一：规律题型中的新定义 例 1 （2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°= 1 2 ，cos30°= 3 2 ，则 sin230°+cos230°= ；① sin45°= 2 2 ，cos45°= 2 2 ，则 sin245°+cos245°= ；② sin60°= 3 2 ，cos60°= 1 2 ，则 sin260°+cos260°= ．③ … 观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A= ．④ （1）如图，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想； （2）已知：∠A 为锐角（cosA＞0）且 sinA= 3 5 ，求 cosA． 思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=1； （1）如图，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，则∠ADB=90°． 利用锐角三角函数的定义得出 sinA= BD AB ，cosA= AD AB ，则 sin2A+cos2A= 2 2 2 BD AD AB  ，再 根据勾股定理得到 BD2+AD2=AB2，从而证明 sin2A+cos2A=1； （2）利用关系式 sin2A+cos2A=1，结合已知条件 cosA＞0 且 sinA= 3 5 ，进行求解． 解：∵sin30°= 1 2 ，cos30°= 3 2 ， ∴sin230°+cos230°=（ 1 2 ）2+（ 3 2 ）2= 1 4 + 3 4 =1；① ∵sin45°= 2 2 ，cos45°= 2 2 ， ∴sin245°+cos245°=（ 2 2 ）2+（ 2 2 ）2= 1 2 + 1 2 =1；② ∵sin60°= 3 2 ，cos60°= 1 2 ， ∴sin260°+cos260°=（ 3 2 ）2+（ 1 2 ）2= 3 4 + 1 4 =1．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=1．④ （1）如图，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，则∠ADB=90°． ∵sinA= BD AB ，cosA= AD AB ， ∴sin2A+cos2A=（ BD AB ）2+（ AD AB ）2= 2 2 2 BD AD AB  ， ∵∠ADB=90°， ∴BD2+AD2=AB2， ∴sin2A+cos2A=1． （2）∵sinA= 3 5 ，sin2A+cos2A=1，∠A 为锐角， ∴cosA= 23 41 ( )5 5   ． 点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 对应训练 1．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重 心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可 以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若 O 是△ABC 的重心（如图 1），连结 AO 并延长交 BC 于 D，证明： 2 3 AO AD  ； （2）若 AD 是△ABC 的一条中线（如图 2），O 是 AD 上一点，且满足 2 3 AO AD  ，试判断 O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）若 O 是△ABC 的重心，过 O 的一条直线分别与 AB、AC 相交于 G、H（均不与△ABC 的顶点重合）（如图 3），S 四边形 BCHG，S△AGH 分别表示四边形 BCHG 和△AGH 的面积，试探 究 BCHG AGH S SV 四边形 的最大值． 2.（1）证明：如答图 1 所示，连接 CO 并延长，交 AB 于点 E． ∵点 O 是△ABC 的重心，∴CE 是中线，点 E 是 AB 的中点． ∴DE 是中位线， ∴DE∥AC，且 DE= 1 2 AC． ∵DE∥AC， ∴△AOC∽△DOE， ∴ AO AC OD DE  =2， ∵AD=AO+OD， ∴ AO AD = 2 3 ． （2）答：点 O 是△ABC 的重心． 证明：如答图 2，作△ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q，则点 Q 为△ABC 的重心． 由（1）可知， AO AD = 2 3 ， 而 AO AD = 2 3 ， ∴点 Q 与点 O 重合（是同一个点）， ∴点 O 是△ABC 的重心． （3）解：如答图 3 所示，连接 DG． 设 S△GOD=S，由（1）知 AO AD = 2 3 ，即 OA=2OD， ∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S． 为简便起见，不妨设 AG=1，BG=x，则 S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S， ∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S． 设 OH=k•OG，由 S△AGO=2S，得 S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S． ∴S 四边形 BCHG=S△ABC-S△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S． ∴ BCHG AGH S SV 四边形 = (6 - 2 4) (2 2) x k S k S   = 3 - 2 1 x k k   ① 如答图 3，过点 O 作 OF∥BC 交 AC 于点 F，过点 G 作 GE∥BC 交 AC 于点 E，则 OF∥GE． ∵OF∥BC， ∴ 2 3 OF AO CD AD   ， ∴OF= 2 3 CD= 1 3 BC； ∵GE∥BC， ∴ 1 1 GE AG BC AB x    ， ∴GE= 1 BC x  ； ∴ 1 3 1 BCOF BCGE x   = 1 3 x  ， ∴ 1 3 ( 1) OF x GE OF x    = 1 2 x x   ． ∵OF∥GE， ∴ OH OF GH GE  ， ∴ 1 - 2- OH OF x OG GE OF x   ， ∴k= 1 2- x x  ，代入①式得： BCHG AGH S SV 四边形 = 13 - 23 - 2 2- 11 12- xxx k x xk x      =-x2+x+1=-（x- 1 2 ）2+ 5 4 ， ∴当 x= 1 2 时， BCHG AGH S SV 四边形 有最大值，最大值为 5 4 ． 考点二：运算题型中的新定义 例 2 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 a⊕b=a（a-b）+1，等式右边 是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5。 （1）求（-2）⊕3 的值； （2）若 3⊕x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来． 思路分析：（1）按照定义新运算 a⊕b=a（a-b）+1，求解即可； （2）先按照定义新运算 a⊕b=a（a-b）+1，得出 3⊕x，再令其小于 13，得到一元一次不等 式，解不等式求出 x 的取值范围，即可在数轴上表示． 解：（1）∵a⊕b=a（a-b）+1， ∴（-2）⊕3=-2（-2-3）+1=10+1=11； （2）∵3⊕x＜13， ∴3（3-x）+1＜13， 9-3x+1＜13， -3x＜3， x＞-1． 在数轴上表示如下： 点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法 则是解题的关键． 对应训练 2．（2013•十堰）定义：对于实数 a，符号[a]表示不大于 a 的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5， [-π]=-4． （1）如果[a]=-2，那么 a 的取值范围是 ． （2）如果[ 1 2 x  ]=3，求满足条件的所有正整数 x． 2．解：（1）∵[a]=-2， ∴a 的取值范围是-2≤a＜-1； （2）根据题意得： 3≤[ 1 2 x  ]＜4， 解得：5≤x＜7， 则满足条件的所有正整数为 5，6． 考点三：探索题型中的新定义 例 3 （2013•钦州）定义：直线 l1 与 l2 相交于点 O，对于平面内任意一点 M，点 M 到直线 l1、l2 的距离分别为 p、q，则称有序实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距 离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 思路分析： “距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线 l1、l2 的距离分别为 1、2．由 于到直线 l1 的距离是 1 的点在与直线 l1 平行且与 l1 的距离是 1 的两条平行线 a1、a2 上，到直 线 l2 的距离是 2 的点在与直线 l2 平行且与 l2 的距离是 2 的两条平行线 b1、b2 上，它们有 4 个 交点，即为所求． 解：如图， ∵到直线 l1 的距离是 1 的点在与直线 l1 平行且与 l1 的距离是 1 的两条平行线 a1、a2 上， 到直线 l2 的距离是 2 的点在与直线 l2 平行且与 l2 的距离是 2 的两条平行线 b1、b2 上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是 M1、M2、M3、M4，一共 4 个． 故选 C． 点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条 直线的距离等于定长 k 的点在与已知直线相距 k 的两条平行线上是解题的关键． 对应训练 3.（2013•台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好 玩三角形”． （1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”； （2）如图在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA= 3 2 ，求证：△ABC 是“好玩三角形”； （3））如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC=2β，点 P，Q 从点 A 同时出发，以相 同速度分别沿折线 AB-BC 和 AD-DC 向终点 C 运动，记点 P 经过的路程为 s． ①当β=45°时，若△APQ 是“好玩三角形”，试求 a s 的值； ②当 tanβ的取值在什么范围内，点 P，Q 在运动过程中，有且只有一个△APQ 能成为“好玩 三角形”．请直接写出 tanβ的取值范围． （4）（本小题为选做题，作对另加 2 分，但全卷满分不超过 150 分） 依据（3）的条件，提出一个关于“在点 P，Q 的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ 是‘好 玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为 1） 3．解：（1）如图 1，①作一条线段 AB， ②作线段 AB 的中点 O， ③作线段 OC，使 OC=AB， ④连接 AC、BC， ∴△ABC 是所求作的三角形． （2）如图 2，取 AC 的中点 D，连接 BD ∵∠C=90°，tanA= 3 2 ， ∴ BC AC = 3 2 ∴设 BC= 3 x，则 AC=2x， ∵D 是 AC 的中点， ∴CD= 1 2 AC=x ∴BD= 2 2 2 23CD BC x x   =2x， ∴AC=BD ∴△ABC 是“好玩三角形”； （3）①如图 3，当β=45°，点 P 在 AB 上时， ∴∠ABC=2β=90°， ∴△APQ 是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”， 当 P 在 BC 上时，连接 AC 交 PQ 于点 E，延长 AB 交 QP 的延长线于点 F， ∵PC=CQ， ∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP， ∴△AEF∽△CEP， ∴ 2 AE AF AB BP s CE PC PC a s     ． ∵PE=CE， ∴ 2 AE s PE a s   ． Ⅰ当底边 PQ 与它的中线 AE 相等时，即 AE=PQ 时， 2 AE s PE a s   =2， ∴ a s = 3 4 ， Ⅱ当腰 AP 与它的中线 QM 相等，即 AP=QM 时， 作 QN⊥AP 于 N，如图 4 ∴MN=AN= 1 2 MP． ∴QN= 15 MN， ∴tan∠APQ= 15 3 QN MN PN MN  = 15 3 ， ∴tan∠APE= 2 AE s PE a s   = 15 3 ， ∴ a s = 15 10 + 1 2 。 ②由①可知，当 AE=PQ 和 AP=QM 时，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”， ∴ 15 3 ＜tanβ＜2 时，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”． （4）由（3）可以知道 0＜tanβ＜ 15 3 ， 则在 P、Q 的运动过程中，使得△APQ 成为“好玩三角形”的个数为 2． 考点四：开放题型中的新定义 例 4 （2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条 对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形． （1）如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD 平分∠ABC．求 证：BD 是梯形 ABCD 的和谐线； （2）如图 2，在 12×16 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC，点 A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的 四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形 ABCD 中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求∠BCD 的度数． 思路分析：（1）要证明 BD 是四边形 ABCD 的和谐线，只需要证明△ABD 和△BDC 是等腰 三角形就可以； （2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要 D 在 »BC 上任意一点构成的四边形 ABDC 就是和谐四边形；连接 BC，在△BAC 外作一个以 AC 为腰的等腰三角形 ACD，构成 的四边形 ABCD 就是和谐四边形， （3）由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线，可以得出△ACD 是等腰三角形，从图 4，图 5，图 6 三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和 30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数． 解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC． ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°． ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB， ∴△ADB 是等腰三角形． 在△BCD 中，∠C=75°，∠DBC=30°， ∴∠BDC=∠C=75°， ∴△BCD 为等腰三角形， ∴BD 是梯形 ABCD 的和谐线； （2）由题意作图为：图 2，图 3 （3）∵AC 是四边形 ABCD 的和谐线， ∴△ACD 是等腰三角形． ∵AB=AD=BC， 如图 4，当 AD=AC 时， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC 是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠BAD=90°， ∴∠CAD=30°， ∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠BCD=60°+75°=135°． 如图 5，当 AD=CD 时， ∴AB=AD=BC=CD． ∵∠BAD=90°， ∴四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90° 如图 6，当 AC=CD 时，过点 C 作 CE⊥AD 于 E，过点 B 作 BF⊥CE 于 F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE= 1 2 AD，∠ACE=∠DCE． ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四边形 ABFE 是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF= 1 2 BC， ∴∠BCF=30°． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC． ∵AB∥CE， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠ACB=∠ACE= 1 2 ∠BCF=15°， ∴∠BCD=15°×3=45°． 点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定， 等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图 6 这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键． 对应训练 4．（2013•常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的 顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为 S，该多边 形各边上的格点个数和为 a，内部的格点个数为 b，则 S= 1 2 a+b-1（史称“皮克公式”）． 小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角 形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为 格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形： 根据图中提供的信息填表： 格点多边形各边 上的格点的个数 格点边多边形内 部的格点个数 格点多边形的面 积 多边形 1 8 1 多边形 2 7 3 … … … … 一般格点多边形 a b S 则 S 与 a、b 之间的关系为 S= （用含 a、b 的代数式表示）． 4．解：填表如下： 格点多边形各边 上的格点的个数 格点边多边形内 部的格点个数 格点多边形的面 积 多边形 1 8 1 8 多边形 2 7 3 11 … … … … 一般格点多边形 a b S 则 S 与 a、b 之间的关系为 S=a+2（b-1）（用含 a、b 的代数式表示）． 考点五：阅读材料题型中的新定义 例 5 （2013•舟山）对于点 A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例 如，A（-5，4），B（2，-3），A⊕B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四点 C，D，E， F，满足 C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则 C，D，E，F 四点（ ） A．在同一条直线上 B．在同一条抛物线上 C．在同一反比例函数图象上 D．是同一个正方形的四个顶点 思路分析：如果设 C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算 得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6）， 则 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则 C（x3，y3），D（x4，y4）， E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线 y=-x+k 上． 解：∵对于点 A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）， 如果设 C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）， 那么 C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4）， D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5）， E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6）， F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6）， 又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D， ∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6）， ∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6， 令 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k， 则 C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线 y=-x+k 上， ∴互不重合的四点 C，D，E，F 在同一条直线上． 故选 A． 点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度． 对应训练 5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩 下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第 n 次操作 后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为 n 阶奇异矩形．如图 1，矩形 ABCD 中，若 AB=2， BC=6，则称矩形 ABCD 为 2 阶奇异矩形． （1）判断与操作： 如图 2，矩形 ABCD 长为 5，宽为 2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形， 并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由． （2）探究与计算： 已知矩形 ABCD 的一边长为 20，另一边长为 a（a＜20），且它是 3 阶奇异矩形，请画出矩 形 ABCD 及裁剪线的示意图，并在图的下方写出 a 的值． （3）归纳与拓展： 已知矩形 ABCD 两邻边的长分别为 b，c（b＜c），且它是 4 阶奇异矩形，求 b：c（直接写出 结果）． 7．解：（1）矩形 ABCD 是 3 阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下： （2）裁剪线的示意图如下： （3）b：c 的值为 1 4 2 3 4 5 3 5, , , , , , ,5 5 7 7 7 7 8 8 ， 规律如下：第 4 次操作前短边与长边之比为： 1 2 ； 第 3 次操作前短边与长边之比为： 1 2,3 3 ； 第 2 次操作前短边与长边之比为： 1 3 2 3, , ,4 4 5 5 ； 第 1 次操作前短边与长边之比为： 1 4 3 4 2 5 3 5, ; , ; , ; ,5 5 7 7 7 7 8 8 ． 四、中考真题演练 一、选择题 1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ） A．y=-x+3 B．y= 5 x C．y=2x D．y=-2x2+x-7 1．C 2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展 开图的圆心角是（ ） A．90° B．120° C．150° D．180° 2．D 3．（2013•潍坊）对于实数 x，我们规定[x]表示不大于 x 的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3， [-2.5]=-3，若[ 4 10 x  ]=5，则 x 的取值可以是（ ） A．40 B．45 C．51 D．56 3．C 4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义 f，g 两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如 f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如 g（1，2）=（2，1）．据此得 g（f（5，-9）） =（ ） A．（5，-9） B．（-9，-5） C．（5，9） D．（9，5） 4．D 5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形 的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（ ） A． B． C． D． 5．C 二、填空题 6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三 角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为 100°，那么这个“特征三角 形”的最小内角的度数为 ． 6．30° 7．（2013•宜宾）如图，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、B、C，如果 AB=1，那么曲线 CDEF 的长是 ． 7．4π 8．（2013•淄博）在△ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A，B），过点 P 的一条直线截△ ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的△ABC 的相似线．如 图，∠A=36°，AB=AC，当点 P 在 AC 的垂直平分线上时，过点 P 的△ABC 的相似线最多 有 条． 8．3 9．（2013•乐山）对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当 n 为非负整数时，若 n- 1 2 ≤x ＜n+ 1 2 ，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4． 给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）=1； ②（2x）=2（x）； ③若（ 1 2 x-1）=4，则实数 x 的取值范围是 9≤x＜11； ④当 x≥0，m 为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）； ⑤（x+y）=（x）+（y）； 其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 9．①③④ 三、解答题 10．（2013•莆田）定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2=BC•AB，则称点 C 为线 段 AB 的黄金分割点． 如图 2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D． （1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）求出线段 AD 的长． 10．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°， ∴AD=BD，BC=BD， ∴△ABC∽△BDC， ∴ BD CD AB BC  ，即 AD CD AC AD  ， ∴AD2=AC•CD． ∴点 D 是线段 AC 的黄金分割点． （2）∵点 D 是线段 AC 的黄金分割点， ∴AD= 5 1 2  AC= 5 1 2  ． 11．（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α） （1）求 sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是 1：1：4，A，B 是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB 是方程 4x2-mx-1=0 的两个不相等的实数根，求 m 的值及∠A 和∠B 的大小． 11．解：（1）由题意得， sin120°=sin（180°-120°）=sin60°= 3 2 ， cos120°=-cos（180°-120°）=-cos60°=- 1 2 ， sin150°=sin（180°-150°）=sin30°= 1 2 ； （2）∵三角形的三个内角的比是 1：1：4， ∴三个内角分别为 30°，30°，120°， ①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为 1 2 ，- 1 2 ， 将 1 2 代入方程得：4×（ 1 2 ）2-m× 1 2 -1=0， 解得：m=0， 经检验- 1 2 是方程 4x2-1=0 的根， ∴m=0 符合题意； ②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为 3 2 ， 3 2 ，不符合题意； ③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为 1 2 ， 3 2 ， 将 1 2 代入方程得：4×（ 1 2 ）2-m× 1 2 -1=0， 解得：m=0， 经检验 3 2 不是方程 4x2-1=0 的根． 综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°． 12．（2013•安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰 梯形”．如图 1，四边形 ABCD 即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C． （1）在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即 可）； （2）如图 2，在“准等腰梯形”ABCD 中∠B=∠C．E 为边 BC 上一点，若 AB∥DE，AE∥DC， 求证： AB BE DC EC  ； （3）在由不平行于 BC 的直线 AD 截△PBC 所得的四边形 ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的 平分线交于点 E．若 EB=EC，请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时（即图 3 所示情形），四边 形 ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点 E 不在四边形 ABCD 内部时，情况又将如何？ 写出你的结论．（不必说明理由） 12．解：（1）如图 1，过点 D 作 DE∥BC 交 PB 于点 E，则四边形 ABCD 分割成一个等腰梯 形 BCDE 和一个三角形 ADE； （2）∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEC， ∵AE∥DC， ∴∠AEB=∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠AEB， ∴AB=AE． ∵在△ABE 和△DEC 中， B DEC AEB C       ， ∴△ABE∽△DEC， ∴ AE BE DC EC  ， ∴ AB BE DC EC  ； （3）作 EF⊥AB 于 F，EG⊥AD 于 G，EH⊥CD 于 H， ∴∠BFE=∠CHE=90°． ∵AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC， ∴EF=EG=EH， 在 Rt△EFB 和 Rt△EHC 中 BE CE EF EH    ， ∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL）， ∴∠3=∠4． ∵BE=CE， ∴∠1=∠2． ∴∠1+∠3=∠2+∠4 即∠ABC=∠DCB， ∵ABCD 为 AD 截某三角形所得，且 AD 不平行 BC， ∴ABCD 是“准等腰梯形”． 当点 E 不在四边形 ABCD 的内部时，有两种情况： 如图 4，当点 E 在 BC 边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC， ∴∠B=∠C， ∴ABCD 是“准等腰梯形”． 如图 5，当点 E 在四边形 ABCD 的外部时，同理可以证明△EFB≌△EHC， ∴∠EBF=∠ECH． ∵BE=CE， ∴∠3=∠4， ∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4， 即∠1=∠2， ∴四边形 ABCD 是“准等腰梯形”． 13．（2013•北京）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C，给出如下的定义：若⊙C 上存 在两个点 A、B，使得∠APB=60°，则称 P 为⊙C 的关联点．已知点 D（ 1 2 ， 1 2 ），E（0， -2），F（2 3 ，0）． （1）当⊙O 的半径为 1 时， ①在点 D、E、F 中，⊙O 的关联点是 ． ②过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G，使∠GFO=30°，若直线 l 上的点 P（m，n）是⊙O 的关联点，求 m 的取值范围； （2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 r 的取值范围． 13．解：（1）①如图 1 所示，过点 E 作⊙O 的切线设切点为 R， ∵⊙O 的半径为 1，∴RO=1， ∵EO=2， ∴∠OER=30°， 根据切线长定理得出⊙O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于 30°， ∴E 点是⊙O 的关联点， ∵D（ 1 2 ， 1 2 ），E（0，-2），F（2 3 ，0）， ∴OF＞EO，DO＜EO， ∴D 点一定是⊙O 的关联点，而在⊙O 上不可能找到两点使得组成的角度等于 60°， 故在点 D、E、F 中，⊙O 的关联点是 D，E； 故答案为：D，E； ②由题意可知，若 P 要刚好是⊙C 的关联点， 需要点 P 到⊙C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角为 60°， 由图 2 可知∠APB=60°，则∠CPB=30°， 连接 BC，则 PC= sin BC CPB =2BC=2r， ∴若 P 点为⊙C 的关联点，则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0≤d≤2r； 由上述证明可知，考虑临界点位置的 P 点， 如图 3，点 P 到原点的距离 OP=2×1=2， 过点 O 作 l 轴的垂线 OH，垂足为 H，tan∠OGF= 2 3 2 FO OG  = 3 ， ∴∠OGF=60°， ∴OH=OGsin60°= 3 ； sin∠OPH= 3 2 OH OP  ， ∴∠OPH=60°， 可得点 P1 与点 G 重合， 过点 P2 作 P2M⊥x 轴于点 M， 可得∠P2OM=30°， ∴OM=OP2cos30°= 3 ， 从而若点 P 为⊙O 的关联点，则 P 点必在线段 P1P2 上， ∴0≤m≤ 3 ； （2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心 应在线段 EF 的中点； 考虑临界情况，如图 4， 即恰好 E、F 点为⊙K 的关联时，则 KF=2KN= 1 2 EF=2， 此时，r=1， 故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径 r 的取值范围为 r≥1．