中考数学贵州安顺—解析版 20页

贵州省安顺市2011年中考数学试卷 一、单项选择题（共30分，每小题3分）‎ ‎1、（2011•安顺）﹣4的倒数的相反数是（　　）‎ ‎ A、﹣4 B、4 C、﹣ D、 ‎2、（2011•安顺）已知地球距离月球表面约为383900千米，那么这个距离用科学记数法表示为（保留三个有效数字）（　　）‎ ‎ A、3.84×104千米 B、3.84×105千米 C、3.84×106千米 D、38.4×104千米 ‎3、（2011•安顺）如图，己知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C的度数是（　　）‎ ‎ A、100° B、110° C、120° D、150°‎ ‎4、（2011•安顺）我市某一周的最高气温统计如下表：21世纪教育网 最高气温（℃）‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ 天 数 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则这组数据的中位数与众数分别是（　　）‎ ‎ A、27，28 B、27.5，28 C、28，27 D、26.5，27‎ ‎5、（2008•黄石）若不等式组有实数解，则实数m的取值范围是（　　）‎ ‎ A、m≤ B、m＜ C、m＞ D、m≥ ‎6、（2011•安顺）如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎7、（2007•遵义）函数y=﹣中的自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎ A、x≥0 B、x＜0且x≠1 C、x＜0 D、x≥0且x≠1‎ ‎8、（2006•浙江）在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　）‎ ‎ A、 B、 C、π D、 ‎9、（2011•安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A、 B、C、 D、‎ ‎10、（2011•安顺）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（　　）‎ ‎ A、（4，O） B、（5，0） C、（0，5） D、（5，5）‎ 二、填空题（共32分，每小题4分）‎ ‎11、（2011•安顺）分解因式：x3﹣9x=　_________　．‎ ‎12、（2011•安顺）小程对本班50名同学进行了“我最喜爱的运动项目”的调查，统计出了最喜爱跳绳、羽毛球、篮球、乒乓球、踢毽子等运动项目的人数．根据调查结果绘制了人数分布直方图．若将其转化为扇形统计图，那么最喜爱打篮球的人数所在扇形区域的圆心角的度数为　_________　°．‎ ‎13、（2011•安顺）已知圆锥的母线长为30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为　_________　．‎ ‎14、如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=　_________　．‎ ‎15、（2011•安顺）某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为　_________　．‎ ‎16、（2011•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是　_________　．‎ ‎17、（2011•安顺）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为　_________　．‎ ‎18、（2011•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是　_________　．‎ 三、解答题（本大题共9个小题，共88分）‎ ‎19、（2011•安顺）计算：．‎ ‎20、（2011•安顺）先化简，再求值：，其中a=2﹣．‎ ‎21、（2011•安顺）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）‎ ‎22、（2011•安顺）有A、B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣l，﹣2和﹣3．小强从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为a，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为b，这样就确定点Q的一个坐标为（a，b）．‎ ‎（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；‎ ‎（2）求点Q落在直线y=x﹣3上的概率．‎ ‎23、（2011•安顺）如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点A（﹣1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，一2）．‎ ‎（1）求直线y=ax+b的解析式；‎ ‎（2）设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．‎ ‎24、（2011•安顺）某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品．已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．‎ ‎（1）求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？‎ ‎（2）有几种购买T恤和影集的方案？‎ ‎25、（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．‎ ‎（1）说明四边形ACEF是平行四边形；‎ ‎（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．‎ ‎26、（2011•安顺）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．‎ ‎（1）求证：点D是AB的中点；‎ ‎（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．‎ ‎27、（2011•菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；‎ ‎（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．‎ 答案与评分标准 一、单项选择题（共30分，每小题3分）‎ ‎1、（2011•安顺）﹣4的倒数的相反数是（　　）‎ ‎ A、﹣4 B、4 C、﹣ D、 考点：倒数；相反数。‎ 分析：利用相反数，倒数的概念及性质解题．‎ 解答：解：∵﹣4的倒数为﹣，‎ ‎∴﹣的相反数是．‎ 故选：D．‎ 点评：此题主要考查了相反数，倒数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，熟练应用定义是解决问题的关键．‎ ‎2、（2011•安顺）已知地球距离月球表面约为383900千米，那么这个距离用科学记数法表示为（保留三个有效数字）（　　）‎ ‎ A、3.84×104千米 B、3.84×105千米 C、3.84×106千米 D、38.4×104千米 考点：科学记数法与有效数字。‎ 专题：常规题型。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于383900有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．‎ 有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．‎ 解答：解：383900=3.839×105≈3.84×105．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．‎ ‎3、（2011•安顺）如图，己知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C的度数是（　　）‎ ‎ A、100° B、110° C、120° D、150°‎ 考点：平行线的性质。‎ 分析：由∠CDE=150°，根据邻补角的定义，即可求得∠CDB的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABD的度数，由BE平分∠ABC，求得∠ABC的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠C的度数．‎ 解答：解：∵∠CDE=150°，‎ ‎∴∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ABE=∠CDB=30°，‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABC=2∠ABD=60°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ABC+∠C=180°，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠ABC=120°．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查了平行线的性质，邻补角的定义与角平分线的定义．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．‎ ‎4、（2011•安顺）我市某一周的最高气温统计如下表：21世纪教育网 最高气温（℃）‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ 天 数 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则这组数据的中位数与众数分别是（　　）‎ ‎ A、27，28 B、27.5，28 C、28，27 D、26.5，27‎ 考点：众数；中位数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ 解答：解：处于这组数据中间位置的那个数是27，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是27．‎ 众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28．‎ 故选A．‎ 点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎5、（2008•黄石）若不等式组有实数解，则实数m的取值范围是（　　）‎ ‎ A、m≤ B、m＜ C、m＞ D、m≥ 考点：解一元一次不等式组。‎ 分析：解出不等式组的解集，根据不等式组有实数解，可以求出实数m的取值范围．‎ 解答：解：解5﹣3x≥0，得x≤；‎ 解x﹣m≥0，得x≥m，‎ 由于不等式组有实数解，‎ 所以m≤．‎ 故应选A．‎ 点评：本题是反向考查不等式组的解集，也就是在不等式组有实数解的情况下确定不等式中字母的取值范围，解答本题时，易忽略m=，当m=时，不等式组的解集是x=．‎ ‎6、（2011•安顺）如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图。‎ 分析：找到从正面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：从正面看可得到从左到右分别是1，2，1个正方形．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎7、（2007•遵义）函数y=﹣中的自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎ A、x≥0 B、x＜0且x≠1 C、x＜0 D、x≥0且x≠1‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。‎ 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．‎ 解答：解：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x≥0；‎ 分母不等于0，可知：x﹣1≠0，即x≠1．‎ 所以自变量x的取值范围是x≥0且x≠1．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎8、（2006•浙江）在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　）‎ ‎ A、 B、 C、π D、 考点：弧长的计算；旋转的性质。‎ 分析：因为斜边AB=4，∠B=60°，所以BC=2，点C运动的路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧CC′，那么弧CC′的长=．‎ 解答：解：弧CC′的长=．‎ 故选B．‎ 点评：解答本题的关键在于正确理解点C的运动路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧．‎ ‎9、（2011•安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A、 B、C、 D、‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x，根据y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．‎ 解答：解：依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH ‎=1﹣4×（1﹣x）x=2x2﹣2x+1，即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=，‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．‎ ‎10、（2011•安顺）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（　　）‎ ‎ A、（4，O） B、（5，0） C、（0，5） D、（5，5）‎ 考点：点的坐标。‎ 专题：规律型。‎ 分析：由题目中所给的质点运动的特点找出规律，即可解答．‎ 解答：解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依次类推，到（5，0）用35秒．‎ 故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．‎ 二、填空题（共32分，每小题4分）‎ ‎11、（2010•崇左）分解因式：x3﹣9x=　x（x﹣3）（x+3）　．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．‎ 解答：解：x3﹣9x，‎ ‎=x（x2﹣9），‎ ‎=x（x+3）（x﹣3）．‎ 点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．‎ ‎12、（2011•安顺）小程对本班50名同学进行了“我最喜爱的运动项目”的调查，统计出了最喜爱跳绳、羽毛球、篮球、乒乓球、踢毽子等运动项目的人数．根据调查结果绘制了人数分布直方图．若将其转化为扇形统计图，那么最喜爱打篮球的人数所在扇形区域的圆心角的度数为　144　°．‎ 考点：扇形统计图；条形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：本题首先根据条形统计图求出最喜爱打篮球的人数占总人数的百分比，再求出圆心角的度数即可解答．‎ 解答：解：20÷50×100%=40%．‎ ‎360×40%=144°．‎ 故答案为144°．‎ 点评：本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．‎ ‎13、（2005•宿迁）已知圆锥的母线长为30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为　10　．‎ 考点：弧长的计算。‎ 分析：已知圆锥的母线长为30即展开所得扇形半径是30，弧长是=20π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是20π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解即可．‎ 解答：解：弧长==20π，‎ 根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长得 ‎2πr=20π，‎ 解得：r=10．‎ 该圆锥的底面半径为10．‎ 点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．‎ ‎14、如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．‎ 考点：圆周角定理；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义。‎ 分析：根据同弧所对的圆周角相等，可证∠ECO=∠OBE．由锐角三角函数可求tan∠ECO=，即tan∠OBE=．‎ 解答：解：连接EC．‎ 根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．‎ 在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，‎ 则tan∠ECO=．‎ 故tan∠OBE=．‎ 点评：本题重点考查了同弧所对的圆周角相等及解直角三角形的知识．‎ 注意锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．‎ ‎15、（2011•安顺）某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为．‎ 考点：由实际问题抽象出分式方程。‎ 分析：本题需先根据已知条件，设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程，即可求出答案．‎ 解答：解：设去年居民用水价格为x元/立方米，根据题意得：‎ =8，‎ 故答案为：．‎ 点评：本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出题目中的等量关系是本题的关键．‎ ‎16、（2011•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是　6cm2．‎ 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，然后根据三角形的面积公式计算即可．‎ 解答：解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，‎ ‎∴AB=10cm，‎ ‎∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，‎ ‎∴DC=DC′，BC=BC′=6cm，‎ ‎∴AC′=4cm，‎ 设DC=xcm，则AD=（8﹣x）cm，‎ 在Rt△ADC′中，AD2=AC′2+C′D2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，‎ ‎∴△ADC′的面积=×4×3=6（cm2）．‎ 故答案为6cm2．‎ 点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理．‎ ‎17、（2011•安顺）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为　（2，4）或（3，4）或（8，4）　．‎ 考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．‎ 解答：解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：‎ 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=OA=5，‎ 根据勾股定理得：DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）；‎ 当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：‎ 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5，‎ 根据勾股定理得：QD=3，故OQ=OD﹣QD=5﹣3=2，则P2（2，4）；‎ 当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示：‎ 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4，‎ 根据勾股定理得：OQ=3，则P3（3，4），‎ 综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．‎ 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）‎ 点评：这是一道代数与几何知识综合的开放型题，综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用，属于策略和结果的开放，这类问题的解决方法是：数形结合，依理构图解决问题．‎ ‎18、（2011•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是　8﹣2π　．‎ 考点：扇形面积的计算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S△ABC=•4•4=8，然后代入即可得到答案．‎ 解答：解：∵∠C=90°，CA=CB=4，‎ ‎∴AC=2，S△ABC=•4•4=8，‎ ‎∵三条弧所对的圆心角的和为180°，‎ 三个扇形的面积和==2π，‎ ‎∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π．‎ 故答案为8﹣2π．‎ 点评：本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了等腰直角三角形的性质．‎ 三、解答题（本大题共9个小题，共88分）‎ ‎19、（2011•安顺）计算：．‎ 考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：分别根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、数的开方及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．‎ 解答：解：原式=2+2﹣﹣2+2﹣ ‎=2．‎ 点评：本题考查的是实数混合运算的法则，熟知二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、数的开方及绝对值的性质是解答此题的关键．‎ ‎20、（2011•安顺）先化简，再求值：，其中a=2﹣．‎ 考点：分式的化简求值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算．‎ 解答：解：原式= ‎= ‎=• ‎=．‎ 当a=时，原式=．‎ 点评：本题主要考查分式的化简求值，注意除法要统一为乘法运算；以及符号的处理等．‎ ‎21、（2011•安顺）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）‎ 考点：解直角三角形的应用-方向角问题。‎ 专题：应用题。‎ 分析：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知道∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，则AD=AB+BD=（40+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，由此可以列出关于x的方程，解方程即可求解．‎ 解答：解：过点C作CD⊥AB于D，‎ 由题意∠DAC=31°，∠DBC=45°，‎ 设CD=BD=x米，‎ 则AD=AB+BD=（40+x）米，‎ 在Rt△ACD中，tan∠DAC=，‎ 则，‎ 解得x=60（米）．‎ ‎∴这条河的宽度为60米．‎ 点评：此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的数量关系列出方程解决问题．‎ ‎22、（2011•安顺）有A、B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣l，﹣2和﹣3．小强从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为a，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为b，这样就确定点Q的一个坐标为（a，b）．‎ ‎（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；‎ ‎（2）求点Q落在直线y=x﹣3上的概率．‎ 考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：（1）首先根据题意画树状图，根据树状图可以求得点Q的所有可能坐标；‎ ‎（2）根据（1）中的树状图，求得点Q落在直线y=x﹣3上的情况，根据概率公式即可求得答案．‎ 解答：解：（1）画树状图得：‎ ‎∴点Q的坐标有（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣3）；‎ ‎（2）∵点Q落在直线y=x﹣3上的有（1，﹣2），（2，﹣1），‎ ‎∴“点Q落在直线y=x﹣3上”记为事件A，‎ ‎∴P（A）==，‎ 即点Q落在直线y=x﹣3上的概率为．‎ 点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎23、（2011•安顺）如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点A（﹣1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，一2）．‎ ‎（1）求直线y=ax+b的解析式；‎ ‎（2）设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）根据点A的横坐标与△AOB的面积求出AB的长度，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点C的坐标，根据点A与点C的坐标利用待定系数法即可求出直线y=ax+b的解析式；‎ ‎（2）根据直线y=ax+b的解析式，取y=0，求出对应的x的值，得到点M的坐标，然后求出BM的长度，在△ABM中利用勾股定理即可求出AM的长度．‎ 解答：解：（1）∵点A（﹣1，m）在第二象限内，‎ ‎∴AB=m，OB=1，‎ ‎∴S△ABO=AB•BO=2，‎ 即：×m×1=2，‎ 解得m=4，‎ ‎∴A （﹣1，4），‎ ‎∵点A （﹣1，4），在反比例函数的图象上，‎ ‎∴4=，‎ 解得k=﹣4，‎ ‎∵反比例函数为y=﹣，‎ 又∵反比例函数y=﹣的图象经过C（n，﹣2）‎ ‎∴﹣2=，‎ 解得n=2，‎ ‎∴C （2，﹣2），‎ ‎∵直线y=ax+b过点A （﹣1，4），C （2，﹣2）‎ ‎∴，‎ 解方程组得，‎ ‎∴直线y=ax+b的解析式为y=﹣2x+2；‎ ‎（2）当y=0时，即﹣2x+2=0，‎ 解得x=1，‎ ‎∴点M的坐标是M（1，0），‎ 在Rt△ABM中，‎ ‎∵AB=4，BM=BO+OM=1+1=2，‎ 由勾股定理得AM===．‎ 点评：本题主要考查了反比例函数，待定系数法求函数解析式，勾股定理，综合性较强，但只要细心分析题目难度不大．‎ ‎24、（2011•安顺）某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品．已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．‎ ‎（1）求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？‎ ‎（2）有几种购买T恤和影集的方案？‎ 考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：（1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即每件T恤比每本影集费9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．根据这两个等量关系可列出方程组．‎ ‎（2）本题存在两个不等量关系，即设购买T恤t件，购买影集（50﹣t）本，则1800﹣300≤35t+26（50﹣t）≤1800﹣270，根据t为正整数，解出不等式再进行比较即可．‎ 解答：解：（1）设每件T恤和每本影集的价格分别为x元和y元，‎ 则，‎ 解得．‎ 答：每件T恤和每本影集的价格分别为35元和26元．‎ ‎（2）设购买T恤t件，购买影集（50﹣t）本，则 ‎1800﹣300≤35t+26（50﹣t）≤1800﹣270‎ 解得≤t≤，‎ 因为t为正整数，所以t=23，24，25，即有三种方案：‎ 第一种方案：购买T恤23件，影集27本，此时余下资金293元；‎ 第二种方案：购买T恤24件，影集26本，此时余下资金284元；‎ 第三种方案：购T恤25件，影集25本，此时余下资金275元．‎ 所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．‎ 点评：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，问题（1）在解决时只需认真分析题意，找出本题存在的两个等量关系，根据这两个等量关系可列出方程组．问题（2）需利用不等式解决，另外要注意，同实际相联系的题目，需考虑字母的实际意义，从而确定具体的取值．再进行比较即可知道方案用于购买老师纪念品的资金更充足．‎ ‎25、（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．‎ ‎（1）说明四边形ACEF是平行四边形；‎ ‎（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．‎ 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。‎ 分析：（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；‎ ‎（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．‎ 解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，‎ ‎∴EF∥CA，‎ ‎∴∠AEF=∠EAC，‎ ‎∵AF=CE=AE，‎ ‎∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．‎ 又∵AE=EA，‎ ‎∴△AEC≌△EAF，‎ ‎∴EF=CA，‎ ‎∴四边形ACEF是平行四边形．‎ ‎（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．‎ 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∵DE垂直平分BC，‎ ‎∴BE=CE，‎ 又∵AE=CE，‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴AC=CE，‎ ‎∴四边形ACEF是菱形．‎ 点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．‎ ‎26、（2011•安顺）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．‎ ‎（1）求证：点D是AB的中点；‎ ‎（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．‎ 考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。‎ 分析：（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；‎ ‎（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；‎ ‎（3）结论CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE．‎ 解答：解：（1）证明：连接CD，则CD⊥AB，‎ 又∵AC=BC，‎ ‎∴AD=BD，即点D是AB的中点．‎ ‎（2）DE是⊙O的切线．‎ 理由是：连接OD，则DO是△ABC的中位线，‎ ‎∴DO∥AC，‎ 又∵DE⊥AC，‎ ‎∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；‎ ‎（3）连接CD，‎ ‎∵AC=BC，∴∠B=∠A，‎ ‎∴cos∠B=cos∠A=，‎ ‎∵cos∠B=，BC=18，‎ ‎∴BD=6，‎ ‎∴AD=6，‎ ‎∵cos∠A=，‎ ‎∴AE=2，‎ 在Rt△AED中，DE=．‎ 点评：本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题．‎ ‎27、（2011•菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；‎ ‎（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；‎ ‎（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值 解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，‎ ‎∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b= ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．‎ y=x2﹣x﹣2‎ ‎=（ x2﹣3x﹣4 ）‎ ‎=（x﹣）2﹣，‎ ‎∴顶点D的坐标为 （，﹣）．‎ ‎（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．‎ 当y=0时，x2﹣x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0）‎ ‎∴OA=1，OB=4，AB=5．‎ ‎∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，‎ 连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．‎ 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．‎ ‎∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ‎∴△C′OM∽△DEM．‎ ‎∴ ‎∴，‎ ‎∴m=．‎ 解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，‎ 则，‎ 解得：．‎ ‎∴．‎ ‎∴当y=0时，，．‎ ‎∴．‎ 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．‎