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- 2021-05-10 发布
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2018年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)﹣的绝对值是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
2.(3分)下列物体的左视图是圆的是( )
A. 足球 B. 水杯
C. 圣诞帽 D. 鱼缸
3.(3分)下列运算正确的是( )
A.2x+3y=5xy B.(x+3)2=x2+9
C.(xy2)3=x3y6 D.x10÷x5=x2
4.(3分)二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x≤1 C.x>1 D.x<1
5.(3分)抚顺市中小学机器人科技大赛中,有7名学生参加决赛,他们决赛的成绩各不相同,其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名,他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
6.(3分)一次函数y=﹣x﹣2的图象经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
7.(3分)已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(2,1).将线段AB沿某一方向平移后,点A的对应点的坐标为(﹣2,1).则点B的对应点的坐标为( )
A.(5,3) B.(﹣1,﹣2) C.(﹣1,﹣1) D.(0,﹣1)
8.(3分)如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠BCD=30°,OA=2,则阴影部分的面积是( )
A. B. C.π D.2π
9.(3分)如图,菱形ABCD的边AD与x轴平行,A、B两点的横坐标分别为1和3,反比例函数y=的图象经过A、B两点,则菱形ABCD的面积是( )
A.4 B.4 C.2 D.2
10.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与x轴最多有一个交点.以下四个结论:
①abc>0;
②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧;
③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根;
④≥2.
其中,正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)第十三届全国人民代表大会政府工作报告中说到,五年来我国国内生产总值已增加到8270000000万元,将数据8270000000用科学记数法表示为 .
12.(3分)分解因式:xy2﹣4x= .
13.(3分)甲、乙两名跳高运动员近期20次的跳高成绩统计分析如下:=1.70m,=1.70m,s甲2=0.007,s乙2=0.003,则两名运动员中, 的成绩更稳定.
14.(3分)一个不透明布袋里有3个红球,4个白球和m
个黄球,这些球除颜色外其余都相同,若从中随机摸出1个球是红球的概率为,则m的值为 .
15.(3分)将两张三角形纸片如图摆放,量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°,则∠5= .
16.(3分)如图,▱ABCD中,AB=7,BC=3,连接AC,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交CD于点E,连接AE,则△AED的周长是 .
17.(3分)如图,△AOB三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,﹣6),点M为OB的中点.以点O为位似中心,把△AOB缩小为原来的,得到△A′O′B′,点M′为O′B′的中点,则MM′的长为 .
18.(3分)如图,正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0,2),O1为正方形AOBO2的中心;以正方形AOBO2的对角线AB为边,在AB的右侧作正方形ABO3A1,O2为正方形ABO3A1的中心;再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边,在A1B的右侧作正方形A1BB1O4,O3为正方形A1BB1O4的中心;再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边,在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2,O4为正方形A1B1O5A2的中心:…;按照此规律继续下去,则点O2018的坐标为 .
三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)
19.(10分)先化简,再求值:(1﹣x+)÷,其中x=tan45°+()﹣1.
20.(12分)抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉”,“旗袍故里”等家乡旅游品牌的了解程度,随机抽取了部分学生进行问卷调查,问卷有四个选项(每位被调查的学生必选且只选一项)A.十分了解,B.了解较多,C.了解较少,D.不知道.将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次调查了多少名学生?
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有500名学生,请你估计“十分了解”的学生有多少名?
(4)在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部,他们中有3名男生和1名女生,学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员,请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率.
四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分)
21.(12分)如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内,CM∥AN).
(1)求灯杆CD的高度;
(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈0.60,cos37
°≈0.80,tan37°≈0.75)
22.(12分)为落实“美丽抚顺”的工作部署,市政府计划对城区道路进行改造,现安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍,甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.
(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米?
(2)若甲队工作一天需付费用7万元,乙队工作一天需付费用5万元,如需改造的道路全长1200米,改造总费用不超过145万元,至少安排甲队工作多少天?
五、解答题(满分12分)
23.(12分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BE=4,DE=8,求AC的长.
六、解答题(满分12分)
24.(12分)俄罗斯世界杯足球赛期间,某商店销售一批足球纪念册,每本进价40元,规定销售单价不低于44元,且获利不高于30%.试销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300本,销售单价每上涨1元,每天销售量减少10本,现商店决定提价销售.设每天销售量为y本,销售单价为x元.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围;
(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时,商店每天获利2400元?
(3)将足球纪念册销售单价定为多少元时,商店每天销售纪念册获得的利润w元最大?最大利润是多少元?
七、解答题(满分12分)
25.(12分)如图,△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠FAC=∠ABC,且∠FAC在AC下方.点P,Q分别是射线BD,射线AF上的动点,且点P不与点B重合,点Q不与点A重合,连接CQ,过点P作PE⊥CQ于点E,连接DE.
(1)若∠ABC=60°,BP=AQ.
①如图1,当点P在线段BD上运动时,请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系;
②如图2,当点P运动到线段BD的延长线上时,试判断①中的结论是否成立,并说明理由;
(2)若∠ABC=2α≠60°,请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时,能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示).
八、解答题(满分14分)
26.(14分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q
同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.
①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;
②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.
2018年辽宁省抚顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)﹣的绝对值是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【专题】1:常规题型.
【解答】解:﹣的绝对值是:.
故选:D.
2.(3分)下列物体的左视图是圆的是( )
A. 足球 B. 水杯
C. 圣诞帽 D. 鱼缸
【专题】55:几何图形.
【解答】解:A、球的左视图是圆形,故此选项符合题意;
B、水杯的左视图是等腰梯形,故此选项不合题意;
C、圆锥的左视图是等腰三角形,故此选项不合题意;
D、长方体的左视图是矩形,故此选项不合题意;
故选:A.
3.(3分)下列运算正确的是( )
A.2x+3y=5xy B.(x+3)2=x2+9
C.(xy2)3=x3y6 D.x10÷x5=x2
【专题】11:计算题.
【解答】解:A、原式不能合并,错误;
B、(x+3)2=x2+6x+9,错误;
C、(xy2)3=x3y6,正确;
D、x10÷x5=x5,错误;
故选:C.
4.(3分)二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x≤1 C.x>1 D.x<1
【解答】解:由题意得:1﹣x≥0,
解得:x≤1,
故选:B.
5.(3分)抚顺市中小学机器人科技大赛中,有7名学生参加决赛,他们决赛的成绩各不相同,其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名,他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
【专题】1:常规题型;542:统计的应用.
【解答】解:由于总共有7个人,且他们的分数互不相同,第4的成绩是中位数,要判断是否进入前4名,故应知道中位数的多少.
故选:A.
6.(3分)一次函数y=﹣x﹣2的图象经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
【专题】53:函数及其图象.
【解答】解:∵﹣1<0,
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限;
又∵﹣2<0,
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴,
∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限;
故选:D.
7.(3分)已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(2,1).将线段AB沿某一方向平移后,点A的对应点的坐标为(﹣2,1).则点B的对应点的坐标为( )
A.(5,3) B.(﹣1,﹣2) C.(﹣1,﹣1) D.(0,﹣1)
【专题】55:几何图形.
【解答】解:∵A(1,3)的对应点的坐标为(﹣2,1),
∴平移规律为横坐标减3,纵坐标减2,
∴点B(2,1)的对应点的坐标为(﹣1,﹣1).
故选:C.
8.(3分)如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠BCD=30°,OA=2,则阴影部分的面积是( )
A. B. C.π D.2π
【专题】11:计算题.
【解答】解:∵∠BCD=30°,
∴∠BOD=60°,
∵AB是⊙O的直径,CD是弦,OA=2,
∴阴影部分的面积是:=,
故选:B.
9.(3分)如图,菱形ABCD的边AD与x轴平行,A、B两点的横坐标分别为1和3,反比例函数y=的图象经过A、B两点,则菱形ABCD的面积是( )
A.4 B.4 C.2 D.2
【专题】11:计算题.
【解答】解:作AH⊥BC交CB的延长线于H,
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点,A、B两点的横坐标分别为1和3,
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1,即点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(3,1),
∴AH=3﹣1=2,BH=3﹣1=2,
由勾股定理得,AB==2,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB=2,
∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4,
故选:A.
10.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与x轴最多有一个交点.以下四个结论:
①abc>0;
②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧;
③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根;
④≥2.
其中,正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【专题】33:函数思想.
【解答】解:①∵抛物线y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与x轴最多有一个交点,
∴抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0,
∴abc>0.
故正确;
②∵0<2a≤b,
∴≥1,
∴﹣≤﹣1,
∴该抛物线的对称轴不在x=﹣1的右侧.
故错误;
③由题意可知:对于任意的x,都有y=ax2+bx+c≥0,
∴ax2+bx+c+1≥1>0,即该方程无解,
故正确;
④∵抛物线y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与x轴最多有一个交点,
∴当x=﹣1时,y≥0,
∴a﹣b+c≥0,
∴a+b+c≥2b,
∵b>0,
∴≥2.
故正确.
综上所述,正确的结论有3个.
故选:C.
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)第十三届全国人民代表大会政府工作报告中说到,五年来我国国内生产总值已增加到8270000000万元,将数据8270000000用科学记数法表示为 8.27×109 .
【专题】511:实数.
【解答】解:8270000000=8.27×109,
故答案为:8.27×109.
12.(3分)分解因式:xy2﹣4x= x(y+2)(y﹣2) .
【专题】11:计算题;44:因式分解.
【解答】解:原式=x(y2﹣4)=x(y+2)(y﹣2),
故答案为:x(y+2)(y﹣2)
13.(3分)甲、乙两名跳高运动员近期20次的跳高成绩统计分析如下:=1.70m,
=1.70m,s甲2=0.007,s乙2=0.003,则两名运动员中, 乙 的成绩更稳定.
【专题】542:统计的应用.
【解答】解:=1.70m,=1.70m,s甲2=0.007,s乙2=0.003,
∵=,s甲2>s乙2,
则两名运动员中,乙的成绩更稳定,
故答案为:乙.
14.(3分)一个不透明布袋里有3个红球,4个白球和m个黄球,这些球除颜色外其余都相同,若从中随机摸出1个球是红球的概率为,则m的值为 2 .
【专题】54:统计与概率.
【解答】解:由题意可得,
m=3÷﹣3﹣4=9﹣3﹣4=2,
故答案为:2.
15.(3分)将两张三角形纸片如图摆放,量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°,则∠5= 40° .
【专题】1:常规题型.
【解答】解:如图所示:∠1+∠2+∠6=180°,∠3+∠4+∠7=180°,
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°,
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°,
∴∠6+∠7=140°,
∴∠5=180°﹣(∠6+∠7)=40°.
故答案为:40°.
16.(3分)如图,▱ABCD中,AB=7,BC=3,连接AC,分别以点A和点C为圆心,大于
AC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交CD于点E,连接AE,则△AED的周长是 10 .
【专题】555:多边形与平行四边形.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=7,BC=3,
∴AD=BC=3,CD=AB=7.
∵由作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,
∴AE=CE,
∴△ADE的周长=AD+(DE+AE)=AD+CD=3+7=10.
故答案为:10.
17.(3分)如图,△AOB三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,﹣6),点M为OB的中点.以点O为位似中心,把△AOB缩小为原来的,得到△A′O′B′,点M′为O′B′的中点,则MM′的长为 或 .
【专题】13:作图题;558:平移、旋转与对称.
【解答】解:如图,在Rt△AOB中,OB==10,
①当△A′OB′在第四象限时,MM′=.
②当△A″OB″在第二象限时,MM′=,
故答案为或.
18.(3分)如图,正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0,2),O1为正方形AOBO2的中心;以正方形AOBO2的对角线AB为边,在AB的右侧作正方形ABO3A1,O2为正方形ABO3A1的中心;再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边,在A1B的右侧作正方形A1BB1O4,O3为正方形A1BB1O4的中心;再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边,在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2,O4为正方形A1B1O5A2的中心:…;按照此规律继续下去,则点O2018的坐标为 (21010﹣2,21009) .
【专题】2A:规律型.
【解答】解:由题意Q1(1,1),O2(2,2),O3(,4,2),O4(,6,4),O5(10,4),O6(14,8)…
观察可知,下标为偶数的点的纵坐标为2,
下标为偶数的点在直线y=x+1上,
∵点O2018的纵坐标为21009,
∴21009=x+1,
∴x=21010﹣2,
∴点O2018的坐标为(21010﹣2,21009).
故答案为(21010﹣2,21009).
三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)
19.(10分)先化简,再求值:(1﹣x+)÷,其中x=tan45°+()﹣1.
【专题】11:计算题;513:分式.
【解答】解:原式=(+)÷
=•
=,
当x=tan45°+()﹣1=1+2=3时,
原式==﹣.
20.(12分)抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉”,“旗袍故里”等家乡旅游品牌的了解程度,随机抽取了部分学生进行问卷调查,问卷有四个选项(每位被调查的学生必选且只选一项)A.十分了解,B.了解较多,C.了解较少,D.不知道.将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次调查了多少名学生?
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有500名学生,请你估计“十分了解”的学生有多少名?
(4)在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部,他们中有3名男生和1名女生,学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员,请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率.
【专题】54:统计与概率.
【解答】解:(1)15÷30%=50(人),
答:本次调查了50名学生.
(2)50﹣10﹣15﹣5=20(人),
条形图如图所示:
(3)500×=100(人),
答:该校共有500名学生,估计“十分了解”的学生有100名.
(4)树状图如下:
共有12种等可能情况,其中所选两位参赛选手恰好是一男一女有6种.
所以,所选两位参赛选手恰好是一男一女的概率P==.
四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分)
21.(12分)如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内,CM∥AN).
(1)求灯杆CD的高度;
(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
【专题】552:三角形.
【解答】解:(1)延长DC交AN于H.
∵∠DBH=60°,∠DHB=90°,
∴∠BDH=30°,
∵∠CBH=30°,
∴∠CBD=∠BDC=30°,
∴BC=CD=10(米).
(2)在Rt△BCH中,CH=BC=5,BH=5≈8.65,
∴DH=15,
在Rt△ADH中,AH===20,
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4(米).
22.(12分)为落实“美丽抚顺”的工作部署,市政府计划对城区道路进行改造,现安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍,甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.
(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米?
(2)若甲队工作一天需付费用7万元,乙队工作一天需付费用5万元,如需改造的道路全长1200米,改造总费用不超过145万元,至少安排甲队工作多少天?
【专题】34:方程思想;522:分式方程及应用;524:一元一次不等式(组)及应用.
【解答】解:(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x米,则甲工程队每天能改造道路的长度为x米,
根据题意得:﹣=3,
解得:x=40,
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意,
∴x=×40=60.
答:乙工程队每天能改造道路的长度为40米,甲工程队每天能改造道路的长度为60米.
(2)设安排甲队工作m天,则安排乙队工作天,
根据题意得:7m+5×≤145,
解得:m≥10.
答:至少安排甲队工作10天.
五、解答题(满分12分)
23.(12分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BE=4,DE=8,求AC的长.
【专题】559:圆的有关概念及性质.
【解答】(1)证明:连接OC.
∵CB=CD,CO=CO,OB=OD,
∴△OCB≌△OCD,
∴∠ODC=∠OBC=90°,
∴OD⊥DC,
∴DC是⊙O的切线.
(2)解:设⊙O的半径为r.
在Rt△OBE中,∵OE2=EB2+OB2,
∴(8﹣r)2=r2+42,
∴r=3,
∵tan∠E==,
∴=,
∴CD=BC=6,
在Rt△ABC中,AC===6.
六、解答题(满分12分)
24.(12分)俄罗斯世界杯足球赛期间,某商店销售一批足球纪念册,每本进价40元,规定销售单价不低于44元,且获利不高于30%.试销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300本,销售单价每上涨1元,每天销售量减少10本,现商店决定提价销售.设每天销售量为y本,销售单价为x元.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围;
(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时,商店每天获利2400元?
(3)将足球纪念册销售单价定为多少元时,商店每天销售纪念册获得的利润w元最大?最大利润是多少元?
【专题】12:应用题.
【解答】解:(1)y=300﹣10(x﹣44),
即y=﹣10x+740(44≤x≤52);
(2)根据题意得(x﹣40)(﹣10x+740)=2400,
解得x1=50,x2=64(舍去),
答:当每本足球纪念册销售单价是50元时,商店每天获利2400元;
(3)w=(x﹣40)(﹣10x+740)
=﹣10x2+1140x﹣29600
=﹣10(x﹣57)2+2890,
当x<57时,w随x的增大而增大,
而44≤x≤52,
所以当x=52时,w有最大值,最大值为﹣10(52﹣57)2+2890=2640,
答:将足球纪念册销售单价定为52元时,商店每天销售纪念册获得的利润w元最大,最大利润是2640元.
七、解答题(满分12分)
25.(12分)如图,△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠FAC=∠ABC,且∠FAC在AC下方.点P,Q分别是射线BD,射线AF上的动点,且点P不与点B重合,点Q不与点A重合,连接CQ,过点P作PE⊥CQ于点E,连接DE.
(1)若∠ABC=60°,BP=AQ.
①如图1,当点P在线段BD上运动时,请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系;
②如图2,当点P运动到线段BD的延长线上时,试判断①中的结论是否成立,并说明理由;
(2)若∠ABC=2α≠60°,请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时,能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示).
【专题】152:几何综合题.
【解答】解:(1)①DE=AQ,DE∥AQ,
理由:连接PC,PQ,
在△ABC中,AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AC=BC,
∵AB=BC,BD⊥AC,
∴AD=CD,∠ABD=∠CBD=∠BAC,
∵∠CAF=∠ABC,
∴∠CBP=∠CAQ,
在△BPC和△AQC中,,
∴△BPC≌△AQC(SAS),
∴PC=QC,∠BPC=∠ACQ,
∴∠PCQ=∠PCA+∠AQC=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°,
∴△PCQ是等边三角形,
∵PE⊥CQ,
∴CE=QE,
∵AD=CD,
∴DE=AQ,DE∥AQ;
②DE∥AQ,DE=AQ,
理由:如图2,连接PQ,PC,
同①的方法得出DE∥AQ,DE=AQ;
(2)AQ=2BP•sinα
理由:连接PQ,PC,
要使DE=AQ,DE∥AQ,
∵AD=CD,
∴CE=QE,
∵PE⊥CQ,
∴PQ=PC,
易知,PA=PC,
∴PA=PE=PC
∴以点P为圆心,PA为半径的圆必过A,Q,C,
∴∠APQ=2∠ACQ,
∵PA=PQ,
∴∠PAQ=∠PQA=(180°﹣∠APQ)=90°﹣∠ACQ,
∵∠CAF=∠ABD,∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠BAQ=90°,
∴∠BAP=90°﹣∠PAQ=∠ACQ,
易知,∠BCP=∠BAP,
∴∠BCP=∠ACQ,
∵∠CBP=∠CAQ,
∴△BPC∽△AQC,
∴=,
在Rt△BCD中,sinα=,
∴=2sinα,
∴AQ=2BP•sinα.
八、解答题(满分14分)
26.(14分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.
①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;
②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.
【专题】153:代数几何综合题;16:压轴题.
【解答】解:(1)由已知,B点横坐标为3
∵A、B在y=x+1上
∴A(﹣1,0),B(3,4)
把A(﹣1,0),B(3,4)代入y=﹣x2+bx+c得
解得
∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4;
(2)①过点P作PE⊥x轴于点E.
∵直线y=x+1与x轴夹角为45°,P点速度为每秒个单位长度
∴t秒时点E坐标为(﹣1+t,0),Q点坐标为(3﹣2t,0)
∴EQ=4﹣3t,PE=t
∵∠PQE+∠NQC=90°
∠PQE+∠EPQ=90°
∴∠EPQ=∠NQC
∴△PQE∽△QNC
∴
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2
∵PQ2=PE2+EQ2
∴S=2()2=20t2﹣48t+32
当t=时,
S最小=20×()2﹣48×+32=
②由①点Q坐标为(3﹣2t,0),P坐标为(﹣1+t,t)
∴△PQE∽△QNC,可得NC=2EQ=8﹣6t
∴N点坐标为(3,8﹣6t)
由矩形对角线互相平分
∴点M坐标为(3t﹣1,8﹣5t)
当M在抛物线上时
8﹣5t=﹣(3t﹣1)2+3(3t﹣1)+4
解得t=或
当点Q到A时,Q在抛物线上,此时t=2
当N在抛物线上时,8﹣6t=4
∴t=
综上所述当t=或或或2时,矩形PQNM的顶点落在抛物线上.
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日期:2019/4/3 23:00:46;用户:思程教育;邮箱:18241349611;学号:27668080