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- 2021-05-10 发布
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三角形 专题检测试卷
一．选择题（共15小题）
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．12S B．10S C．9S D．8S
3．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．
5．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（ ）
A． B．3 C． D．4
6．如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
7．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
9．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
10．如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（ ）
A．2 B．2 C．2+ D．2+
11．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）
A． B． C． D．
14．在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2
，那么下列结论正确的是（ ）
A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b
二．填空题（共5小题）
16．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 ．
18．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ．
19．如图，∠AOB=60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1=2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为点A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为点A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为点A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…按这样的方法继续下去，则△AnBnOn的面积为 （用含正整数n的代数式表示）．
20．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且==，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是 ．（用含有S与n的式子表示）
三．解答题（共8小题）
21．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．
22．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
（1）如图1，求证：AE=BD；
（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．
24．如图所示，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE=CF，BE=DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
25．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．
（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC= ，OC△OA= ；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．
26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．
27．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：
（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）求△PQR面积的最小值；
（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠
PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
28．△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在直线MN上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E．
（1）如图①，当α=60°，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．
（2）如图②，当α=45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关系，并说明理由．
（3）当α=30°时，若点D在射线AM上，∠ABE=15°，AD=﹣1，请直接写出线段AE的长度．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，PD=CD，
∵∠C=90°，
∴CD=AB=3，
∵AC=BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，
故选：A．
2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．12S B．10S C．9S D．8S
【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2EF，
∴2a=2b，
∴a=b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，
故选：C．
3．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，
所以AC=3，
∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6，
故选：D．
4．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．
【解答】解：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴AB==3，∠CAB=45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3，
∴∠CAB′=90°，
∴B′C==3，
故选：A．
5．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（ ）
A． B．3 C． D．4
【解答】解：如图所示，延长BA，CD交于点E，
∵∠A=∠C=90°，∠B=60°，
∴∠E=30°，
∴Rt△ADE中，AE===，
Rt△BCE中，CE=tan60°×BC=×2=2，
∴四边形ABCD的面积
=S△BCE﹣S△ADE
=×2×2﹣×1×
=2﹣
故选：A．
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
6．如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，
∴6x=180°，
∴x=30°，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选：B．
7．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
【解答】解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=AO=1，
∴Rt△BOC中，BC==，
∴B（1，），
故选：D．
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
【解答】解：∵S1=3，S3=9，
∴AB=，CD=3，
过A作AE∥CD交BC于E，
则∠AEB=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD，AE=CD=3，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠AEB+∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，
∴BE==2，
∵BC=2AD，
∴BC=2BE=4，
∴S2=（4）2=48，
故选：D．
9．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，
∴∠A=∠EBC，
故选：C．
10．如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（ ）
A．2 B．2 C．2+ D．2+
【解答】解：∵∠A=90°，∠B=∠D=30°，
∴∠AED=∠ACB=60°，
∵∠AED=∠B+∠EFB=∠ACB=∠CFD+∠D=60°，
∴∠EFB=∠CFD=30°，
∴∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，
∴BE=EF=CF=CD，
∴四边形AEFC的周长=AB+AC，
∵∠A=90°，AE=AC=1，
∴AB=AD=，
∴四边形AEFC的周长=2．
故选：B．
11．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点O是△ABC的重心，
∴OC=CE，
∵△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∵∠B=30°，
∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，
∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，
∴CM=CE，
∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，
∵BE=AE，
∴EF=AE，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=60°，
∴∠FEM=30°，
∴MF=EF，
∴MF=AE，
故选：D．
12．如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵D是BC中点，N是AC中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB，且DN=；
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，
∴M是AB的中点，
∴EM=，
又∵DN=，
∴EM=DN，
∴结论①正确；
∵DN∥AB，
∴△CDN∽ABC，
∵DN=，
∴S△CDN=S△ABC，
∴S△CDN=S四边形ABDN，
∴结论②正确；
如图1，连接MD、FN，，
∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴FN=，
又∵DM=，
∴DM=FN，
∵DM∥AC，DN∥AB，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∴∠AMD=∠AND，
又∵∠EMA=∠FNA=90°，
∴∠EMD=∠DNF，
在△EMD和△DNF中，
∴△EMD≌△DNF，
∴DE=DF，
∴结论③正确；
如图2，连接MD，EF，NF，，[来源:1]
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，
∴M是AB的中点，EM⊥AB，
∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，
∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴FN=，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，
又∵DM=，
∴DM=FN=FA，
∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，
∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC
=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD）
=90°+∠AMD
∴∠EMD=∠EAF，
在△EMD和△∠EAF中，
∴△EMD∽△∠EAF，
∴∠MED=∠AEF，
∵∠MED+∠AED=45°，
∴∠AED+∠AEF=45°，
即∠DEF=45°，
又∵DE=DF，
∴∠DFE=45°，
∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴DE⊥DF，
∴结论④正确．
∴正确的结论有4个：①②③④．
故选：D．
13．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图A中、延长AC、BE交于S，
∵∠CAB=∠EDB=45°，
∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，
∴四边形SCDE是平行四边形，
∴SE=CD，DE=CS，
即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
如图B中、延长AF、BH交于S，作EG∥AS交BS于E．
显然AF+FG+GH+HB＜SA+SB．
如图C中、延长AI到S，使得∠SBA=70°，SB交KM于T．
显然AI+IK+KM+BM＞SA+SB，
如图D中、
显然AN+NQ+QP+PB＞SA+SB．
如图D中，延长AN交BP的延长线于T．作∠RQB=45°，
显然：AN+NQ+QP+PB＞AN+NQ+QR=RB，
即AN+NQ+PQ+PB＞AI+IK+KM+MB，
综上所述，D选项的所走的线路最长．
故选：D．[来源:1]
14．在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得
或，
解得或，
∵2×＜（此时不能构成三角形，舍去）
∴取，其中n是3的倍数
∴三角形的面积S△=××=n2，对于S△=n2=n2，
当n＞0时，S△随着n的增大而增大，故当n=3时，S△=取最小．
故选：C．
15．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）
A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b
【解答】解：∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
A、sinA=，则csinA=a．故本选项正确；
B、cosB=，则cosBc=a．故本选项错误；
C、tanA=，则=b．故本选项错误；
D、tanB=，则atanB=b．故本选项错误．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
16．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 10 ．
【解答】解：（14×14﹣2×2）÷8
=（196﹣4）÷8
=192÷8
=24，
24×4+2×2
=96+4
=100，
=10．
答：正方形EFGH的边长为10．
故答案为：10．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 18 ．
【解答】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD=∠BCD=90°[来源:Z,xx,k.Com]
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°；
∵∠BAD=90°，
∴∠BAM=∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；
∴2λ2=36，λ2=18，
方法二：将三角形ADC绕点A顺时针旋转90度得到△ABC′，只要证明△ACC′是等腰直角三角形，然后面积可用AC×AC′来表示．
故答案为：18．
18．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 AB=DC ．
【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
故答案为：AB=DC．
19．如图，∠AOB=60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1=2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为点A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为点A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为点A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…按这样的方法继续下去，则△AnBnOn的面积为 或 （用含正整数n的代数式表示）．
【解答】解：如图，由题意得：∠A1OC1=∠B1OO1=30°，OO1=2，
∠OA1O1=∠OB1O1=90°，
∴A1O1=B1O1=OO1=1，
∴OA1=OB1=，
∵∠AOB=60°，
∴△A1OB1是等边三角形，
∴A1B1=，
设OO4分别与A1B1，A2B2，A3B3的交点为C1，C2，C3，
∴高OC1=，O1C1=2﹣=，
∴△A1B1O1的面积为A1B1×O1C1=，
易证得△A1B1O1∽△A2B2O2，
同理可得： ==×，…，
==×=（或）．
故答案为： 或．
20．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且==，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是 •S ．（用含有S与n的式子表示）
【解答】解：连接MN，设BN交MP1于O1，MP2交NP1于O2，MP3交NP2于O3．
∴MN∥BC，
∵点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点，
∴MN=BP1=P1P2=P2P3，
∴四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形，
易知S△ABN=•S，S△BCN=•S，S△MNB=•S，
∴===•S，
∴S阴=S△NBC﹣（n﹣1）•﹣=•S﹣（n﹣1）••S﹣S=•S，
故答案为•S．
三．解答题（共8小题）
21．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．
【解答】解：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
∴AF=BE，
在△ADF与△BCE中，
∴△ADF≌△BCE（SAS）
22．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
（1）如图1，求证：AE=BD；
（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE与△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
（2）∵AC=DC，
∴AC=CD=EC=CB，
△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC
∴∠DOM=90°，
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，
∴△EMC≌△BCN（ASA），
∴CM=CN，
∴DM=AN，
△AON≌△DOM（AAS），
∵DE=AB，AO=DO，
∴△AOB≌△DOE（HL）
23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AC=BC=AB=4，
∵BE=5，
∴CE==3，
∴AE=4﹣3=1；
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴A，F，C，B四点共圆，
∴∠CFB=∠CAB=45°，
∴∠DFC=∠AFC=135°，
在△ACF与△DCF中，，
∴△ACF≌△DCF，
∴CD=AC，
∵AC=BC，
∴DC=BC．
24．如图所示，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥
BD于点F，AE=CF，BE=DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
25．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．
（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC= 0 ，OC△OA= 7 ；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．
【解答】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=10，
∵点O是BC的中点，
∴OA=OB=OC=BC=5，
∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，
②如图1，
取AC的中点D，连接OD，
∴CD=AC=3，
∵OA=OC=5，
∴OD⊥AC，
在Rt△COD中，OD==4，
∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，
故答案为0，7；
（2）①如图2，取BC的中点O，连接AO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，
∴AO=2，OB=2，
∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，
②取AC的中点D，连接BD，
∴AD=CD=AC=2，
过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，
在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，
∴∠ABE=30°，
∵AB=4，
∴AE=2，BE=2，
∴DE=AD+AE=4，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD===2，
∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；
（3）如图3，
设ON=x，OB=OC=y，
∴BC=2y，OA=3x，
∵AB△AC=14，
∴OA2﹣OB2=14，
∴9x2﹣y2=14①，
取AN的中点D，连接BD，
∴AD=DN=AN=×OA=ON=x，
∴OD=ON+DN=2x，
在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，
∵BN△BA=10，
∴BD2﹣DN2=10，
∴y2+4x2﹣x2=10，
∴3x2+y2=10②
联立①②得，或（舍），
∴BC=4，OA=3，
∴S△ABC=BC×AO=6．
26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵AC=10，
∴DE=DF=5，
由勾股定理得，EF==5．
27．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：
（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）求△PQR面积的最小值；
（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，
∴sin∠B===，sin∠C=，
过点Q作QE⊥AB于E，
在Rt△BQE中，BQ=5t，
∴sin∠B==，
∴QE=4t，
过点Q作QD⊥AC于D，
在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，
∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），
由运动知，AP=3t，CR=4t，
∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），
∴S△APR=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），
S△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），
S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），
∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，
∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），
∵AB=6，AC=8，
∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）
=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，
∵0≤t≤2，
∴当t=1时，S△PQR最小=6；
（3）存在，方法1、如图1，
过点R作RE⊥BC于E，过点P作PD⊥BC于D，
∴∠REQ=∠QDP=90°，
∴∠ERQ+∠EQR=90°，
∵∠PQR=90°，
∴∠EQR+∠PQD=90°，
∴∠ERQ=∠PQD，
∴△REQ∽△QDP，
∴RE×DP=QD×EQ，
由运动知，CR=4t，BQ=5t，AP=3t，
∴BP=6﹣3t，
易证，△BDP∽△BAC，
∴DP=（6﹣3t），BD=（6﹣3t），
∴DQ=BQ﹣BD=5t﹣（6﹣3t）=，
同理：EQ=，RE=，
∴×（6﹣3t）=×，
∴t=1或秒；
方法2、由点P，Q，R的运动速度知，运动1秒时，点P，Q，R分别在AB，BC，AC的中点，此时，四边形APQR是矩形，即：t=1秒时，∠PQR=90°，
由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），
∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），
过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，
∵∠A=90°，
∴四边形APQD是矩形，
∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，
∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=4|2t﹣2|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=3|2t﹣2|
∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，
∴∠DQR=∠EQP，
∴tan∠DQR=tan∠EQP，
在Rt△DQR中，tan∠DQR==，
在Rt△EQP中，tan∠EQP==，
∴16t=9（2﹣t），
∴t=．
即：t=1或秒时，∠PQR=90°．
28．△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在直线MN上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E．
（1）如图①，当α=60°，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．
（2）如图②，当α=45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关系，并说明理由．
（3）当α=30°时，若点D在射线AM上，∠ABE=15°，AD=﹣1，请直接写出线段AE的长度．
【解答】解：（1）∵当α=60°时，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，∠ACB=60°，
∴∠BCE=120°，
∵MN∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=120°，
∴∠BAD=∠BCE，
∴△BAD≌△BCE，
∴AD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+AD；
（2）AE=AB+AD．
理由：当α=45°时，∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠ABD=∠CBE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，[来源:Zxxk.Com]
∴BC=AB，
∵MN∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=135°，
∵∠BCE=180°﹣∠ACB=135°，
∴∠BAD=∠BCE，
∴△BAD∽△BCE，
∴CE=AD，
∴AE=AC+CE=AB+AD；
（3）线段AE的长度为﹣1或2﹣．
由题可得，∠ABC=∠DBE=∠BAD=30°，
分两种情况：
①如图所示，当点E在线段AC上时，
∵∠ABE=15°=∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠ABE=15°，
在BE上截取BF=BD，易得△ABD≌△ABF，
∴AD=AF=﹣1，∠ABC=∠BAD=∠BAF=30°，
∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=15°+30°=45°，
又∵∠AEF=∠CBE+∠C=15°+30°=45°，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF=﹣1；
②如图所示，当点E在CA的延长线上时，
过D作DF⊥AB于F，过E作EG⊥BC于G，
∵AD=﹣1，∠DAF=30°，
∴DF=，AF=，
∵∠DBF=15°+30°=45°，
∴∠DBF=∠BDF，
∴BF=DF=，AB=+=1=AC，
易得△ABC中，BC=，
∵∠EBG=15°+30°=45°，
∴∠BEG=∠EBG，
设BG=EG=x，则CG=﹣x，
∵Rt△CEG中，tanC=，即=，
∴x==EG，
∴CE=2EG=3﹣，
∴AE=CE﹣AC=3﹣﹣1=2﹣
综上所述所，线段AE的长度为﹣1或2﹣．
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