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- 2021-05-10 发布
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第九单元 圆
第29课时 圆的有关性质
(60分)
一、选择题(每题5分,共30分)
1.[2017·梧州]已知⊙O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与⊙O的位置关系是 (C)
A.点A在⊙O上
B.点A在⊙O内
C.点A在⊙O外
D.点A与圆心O重合
【解析】 ∵⊙O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,即点A到圆心O的距离大于圆的半径,∴点A在⊙O外.
图29-1
2.[2016·珠海]如图29-1,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C=25°,则∠BOD的度数是 (D)
A.25° B.30°
C.40° D.50°
【解析】 ∵在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,
∴=,
∴∠DOB=2∠C=50°.
3.[2016·遂宁]如图29-2,在半径为5 cm的⊙O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC= (B)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
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图29-2
第3题答图
【解析】 显然利用垂径定理.如答图,连结OA,
∵AB=6 cm,AC=AB=3 cm,
又⊙O的半径为5 cm,所以OA=5 cm,
在Rt△AOC中,
OC===4(cm).
4.[2016·宁波]如图29-3,⊙O为△ABC的外接圆,∠A=72°,则∠BCO的度数为 (B)
A.15° B.18° C.20° D.28°
图29-3
第4题答图
【解析】 连结OB,如答图,∠BOC=2∠A=2×72°=144°,
∵OB=OC,∴∠CBO=∠BCO,
∴∠BCO=(180°-∠BOC)=×(180°-144°)=18°.
5.[2016·巴中]如图29-4,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为 (A)
A.25° B.50° C.60° D.30°
【解析】 ∵∠BOC=2∠BAC,∠BOC=50°,
∴∠BAC=25°,
∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠B=25°.
7
图29-4 图29-5
6.[2017·荆门]如图29-5,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,连结AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件其中错误的是 (D)
A.∠ACD=∠DAB B.AD=DE
C.AD2=BD·CD D.AD·AB=AC·BD
【解析】 由题意可知,∠ADC=∠ADB=90°,
A.∵∠ACD=∠DAB,
∴△ADC∽△BDA,故A正确;
B.∵AD=DE,
∴=,
∴∠DAE=∠B,∴△ADC∽△BDA,故B正确;
C.∵AD2=BD·CD,∴AD∶BD=CD∶AD,
∴△ADC∽△BDA,故C正确;
D.∵AD·AB=AC·BD,∴AD∶BD=AC∶AB,
但∠ADC=∠ADB不是夹角,故D错误.
二、填空题(每题5分,共30分)
7.[2016·贵州]如图29-6,A,B,C三点均在⊙O上,若∠AOB=80°,则∠ACB=__40°__.
【解析】 ∠ACB=∠AOB=×80°=40°.
7
图29-6 图29-7
8.[2016安徽]如图29-7,点A,B,C在⊙O上,⊙O的半径为9,的长为2π,则∠ACB的大小是__20°__.
图29-8
9.[2016·娄底]如图29-8,在⊙O中,AB为直径,CD为弦,已知∠ACD=40°,则∠BAD=__50__度.
【解析】 ∵在⊙O中,AB为直径,∴∠ADB=90°,
∵∠B=∠ACD=40°,∴∠BAD=90°-∠B=50°.
10.[2016·泰州]如图29-9,⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于__130°__.
【解析】 ∵∠A=115°,∴∠C=180°-∠A=65°,∴∠BOD=2∠C=130°.
图29-9 图29-10
11.[2016·绍兴]如图29-10,已知点A(0,1),B(0,-1),以点A为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点C,则∠BAC等于__60__度.
【解析】 ∵A(0,1),B(0,-1),
∴AB=2,OA=1,∴AC=2,
在Rt△AOC中,cos∠BAC==,
∴∠BAC=60°.
12.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道.如图29-11,水面宽度原有60 cm,发现时水面宽度只有50 cm,同时水位也下降65 cm,则修理人员应准备的半径为__50__cm的管道.
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图29-11
第12题答图
【解析】 如答图所示:过点O作EF⊥AB于点F,交CD于点E,连结OC,OA,
∵CD∥AB,∴EF⊥CD,
∵CD=60 cm,AB=50 cm,
∴CE=CD=×60=30 cm,
AF=AB=×50=25 cm,
设⊙O的半径为r,OE=h cm,则OF=65-h(cm),
在Rt△OCE中,OC2=CE2+OE2,即r2=302+h2,①
在Rt△OAF中,OA2=AF2+OF2,即r2=(25)2+(65-h)2,②
①②联立,解得r=50 cm.
三、解答题(共10分)
13.(10分)[2017·湖州]如图29-12,已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
图29-12
第13题答图
解:(1)证明:如答图,过点O作OE⊥AB于点E.则CE=DE,AE=BE.
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∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD;
(2)由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,
如答图,连结OA,OC,
∴CE===2.
AE===8.
∴AC=AE-CE=8-2.
(18分)
图29-13
14.(8分)[2016·安顺]如图29-13,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为(C)
A.2 B.4
C.4 D.8
【解析】 ∵∠A=22.5°,∴∠BOC=2∠A=45°,
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD,
∴CE=DE,△OCE为等腰直角三角形,
∴CE=OC=2,∴CD=2CE=4.
15.(10分)某地有一座圆弧形拱桥,圆心为O,桥下水面宽度为7.2 m,如图29-14,过O作OC⊥AB于D,交圆弧于C,CD=2.4 m.现有一艘宽3 m,船舱顶部为方形并高出水面(AB)2 m的货船要经过拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥?
图29-14
第15题答图
解:如答图,连结ON,OB.
∵OC⊥AB,∴D为AB的中点.
∵AB=7.2 m,
∴BD=AB=3.6 m.
设OB=OC=ON=r,则OD=OC-CD=r-2.4.
在Rt△BOD中,
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根据勾股定理得r2=(r-2.4)2+3.62,
解得r=3.9(m).
∵CD=2.4 m,
船舱顶部为方形并高出水面AB为2 m,
∴CE=2.4-2=0.4(m),
∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5(m).
在Rt△OEN中,
EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96,
∴EN= m,
∴MN=2EN=2×≈3.44(m)>3(m),
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
(12分)
图29-15
16.(12分)[2016·台州]如图29-15,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.
(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;
(2)求证:∠1=∠2.
解:(1)∵BC=DC,
∴=.
∴∠BAC=∠CAD=∠CBD.
∵∠CBD=39°,
∴∠BAC=∠CAD=39°.
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=78°;
(2)证明:∵EC=BC,
∴∠CBE=∠CEB.
∵∠CBE=∠1+∠CBD,
∠CEB=∠2+∠BAC,
∴∠1+∠CBD=∠2+∠BAC.
又∵∠BAC=∠CBD,
∴∠1=∠2.
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