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- 2021-05-10 发布
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一元二次方程综合复习题
基础题:
一、选择题 :
1.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论成立的是( )
A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c
2.某旅游景点三月份共接待游客25万人次,五月份共接待游客64万人次,设每月的平均增长率为x,则可列方程为( )A. 25(1+x)2=64 B. 25(1﹣x)2=64 C. 64(1+x)2=25 D. 64(1﹣x)2=25
3.关于关于x的一元二次方程x2+x﹣k2=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法判断
4.若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根,则一次函数y=(n+1)x﹣n的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0,则m的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 2或﹣2 D.
6.下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0; ②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1;③x+3=0; ④(a2+a+1)x2﹣a=0;⑤3x2+k=x﹣1.一元二次方程的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足( )
A. a≥1 B. a>1且a≠5 C. a≥1且a≠5 D. a≠5
8.关于x的方程x2+(k2﹣4)x+k﹣1=0的两根互为相反数,则k的值为( )
A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 不能确定
9.用配方法解方程x2﹣4x+1=0时,先把方程变为(x+h)2=k的形式,则h、k的值分别是( )
A. 2、17 B. ﹣2、15 C. 2、5 D. ﹣2、3
10.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么m的最小整数值是( )
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
11.已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a(a≠0),则下列代数式的值恒为常数的是( )
A. ab B. C. a+b D. a﹣b
12.设a、b、c是三角形的三边,则关于x的一元二次方程c的根的情况是( )
A. 方程有两个相等实根 B. 方程有两个不等的正实根
C. 方程有两个不等的负实根 D. 方程无实根
13.若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A. k>﹣1 B. k≥﹣1 C. k>﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0
14.如果(x+2y)2+3(x+2y)﹣4=0,那么x+2y的值为( )
A. 1 B. ﹣4 C. 1或﹣4 D. ﹣1或3
15.若α、β是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根,那么α2+2α﹣β的值是( )
A. ﹣2 B. 4 C. 0.25 D. ﹣0.5
16.若方程(x2+y2)2﹣5(x2+y2)﹣6=0,则x2+y2=( )
A. 6 B. 6或﹣1 C. ﹣1 D. ﹣6或1
17.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是( )
A. x(x+1)=182 B. x(x﹣1)=182 C. x(x+1)=182×2 D. x(x﹣1)=182×2
18.已知m,n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,且(7m2﹣14m+a)(3n2﹣6n﹣7)=8,则a的值等于( )
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣9 D. 9
二、解答题 :
19.(换元法)解方程:(x2﹣3x)2﹣2(x2﹣3x)﹣8=0
解:设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0
解得:y1=﹣2,y2=4当y=﹣2时,x2﹣3x=﹣2,解得x1=2,x2=1
当y=4时,x2﹣3x=4,解得x1=4,x2=﹣1
∴原方程的根是x1=2,x2=1,x3=4,x4=﹣1,
根据以上材料,请解方程:(2x2﹣3x)2+5(2x2﹣3x)+4=0.
20.如图所示,学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19m),另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成.
(1)若围成的面积为180m2,试求出自行车车棚的长和宽;
(2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
21.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
25.阅读材料:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,那么有x1+x2=﹣,x1x2=.这是一元二次方程根与系数的关系,我们利用它可以用来解题,例x1,x2是方程x2+6x﹣3=0的两根,求x12+x22的值.解法可以这样:∵x1+x2=6,x1x2=﹣3则x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2(﹣6)2﹣2×(﹣3)=42.
请你根据以上解法解答下题:已知x1,x2是方程x2﹣4x+2=0的两根,求:
(1)的值;(2)(x1﹣x2)2的值.
26.解下列方程:
(1) (2).
27.已知关于x的方程x2﹣2mx+n2=0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰和底边.
(1)求证:这个方程有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两根x1、x2满足丨x1﹣x2丨=8,且等腰三角形的面积为4,求m、n的值.
28.关于x的一元二次方程4x2+4(m﹣1)x+m2=0
(1)当m在什么范围取值时,方程有两个实数根?(2)设方程有两个实数根x1,x2,问m为何值时,?
(3)若方程有两个实数根x1,x2,问x1和x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由.
29.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根:
(2)若x1,x2是原方程的两根,且|x1﹣x2|=2,求m的值,并求出此时方程的两根.
提高练习
一、选择题 :
1.已知a,b,c分别是三角形的三边,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 可能有且只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
2.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根,则该三角形面积是( )
A. 24 B. 24或 C. 48 D.
3.关于关于x的一元二次方程x2+x﹣k2=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法判断
4.若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根,则一次函数y=(n+1)x﹣n的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.下列命题①方程x2=x的解是x=1②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等
④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中真命题有:【 】
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.已知是关于的一元二次方程的两实数根,则式子的值是( )
A. B. C. D.
7.设a,b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为( )
A. 2006 B. 2007 C. 2008 D. 2009
8.方程x2﹣kx﹣(k+1)=0的根的情况是( )
A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况与k的取值有关
9.若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0,则m的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 2或﹣2 D.
10. 关于x的一元二次方程的一个根是0,则a的值为( )A.1 B. 0 C. -1 D. ±1
11.若式子能构成完全平方式,则的值为( ).
A.10 B.15 C.或 D.25
12. 若是方程的两个实数根,则的值( )
A.2007 B.2005 C.-2007 D.4010
13.设a、b、c是三角形的三边,则关于x的一元二次方程c的根的情况是( )
A. 方程有两个相等实根 B. 方程有两个不等的正实根
C. 方程有两个不等的负实根 D. 方程无实根
14.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足( )
A. a≥1 B. a>1且a≠5 C. a≥1且a≠5 D. a≠5
15.已知关于x的一元二次方程(a﹣l)x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A. a>2 B. a<2 C. a<2且a≠l D. a<﹣2
16.(非课改)已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=﹣1,则m的值是( )
A. 3或﹣1 B. 3 C. 1 D. ﹣3或1
17.关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a,则a的值是( )
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D. 2
18.设α、β是方程的两根,则的值是( )
A.0 B.1 C.2000 D.4000000
19.已知m,n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,且(7m2﹣14m+a)(3n2﹣6n﹣7)=8,则a的值等于( )
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣9 D. 9
20.方程x(x+2)=2(x+2)的解是( )
A. 2和﹣2 B. 2 C. ﹣2 D. 无解
21.已知x是实数,且满足(x2+4x)2+3(x2+4x)﹣18=0,则x2+4x的值为( )
A. 3 B. 3或﹣6 C. ﹣3或6 D. 6
22.若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
23.若关于x的方程x2+px+q=0得一个根为零,另一个根不为零,则( )
A. p=0且q=0 B. p=0且q≠0 C. p≠0且q=0 D. p=0或q=0
24.若方程(x2+y2)2﹣5(x2+y2)﹣6=0,则x2+y2=( )
A. 6 B. 6或﹣1 C. ﹣1 D. ﹣6或1
25.一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别是x1,x2,则x12x2+x1x22的值是( )
A. 3 B. ﹣3 C. D. ﹣
二、解答题 :
27.用指定方法解方程
(1)2x2﹣7x+3=0(公式法)
(2)y2+4y﹣5=0(配方法)
(3)(x+2)2﹣10(x+2)+25=0(因式分解法)
28.已知关于x的方程x2﹣2mx+n2=0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰和底边.
(1)求证:这个方程有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两根x1、x2满足丨x1﹣x2丨=8,且等腰三角形的面积为4,求m、n的值.
29.已知、是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
30.已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长.
⑴k取何值时,方程在两个实数根;⑵当矩形的对角线长为时,求k的值.
应用题:
一、选择题 :
1.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A. 200(1+x)2=1000 B. 200+200×2x=1000 C. 200+200×3x=1000 D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
2.利民大药房将原来每盒盈利30%的某种药品先后两次降价,经两次降价后每盒仍能盈利10%.则这两次降价的平均降价率是多少?( )
A. (1﹣x)2=1+10% B. 30%(1﹣x)2=1+10% C. (1﹣x)2×30%=1+10% D. (1+30%)(1﹣x)2=1+10%
3.某品牌电脑2009年的销售单价为7200元,由于科技进步和新型电子原材料的开发运用,该品牌电脑成本不断下降,销售单价也逐年下降.至2011年该品牌电脑的销售单价为4900元,设2009年至2010年,2010年至2011年这两年该品牌电脑的销售单价年平均降低率均为x,则可列出的正确的方程为( )
A.4900(1+x)2=7200 B.7200(1﹣2x)=4900
C.7200(1﹣x)=4900(1+x) D.7200(1﹣x)2=4900
4.某厂一月份生产产品150台,计划二、三月份共生产450台.设二、三月平均每月增长率为x,根据题意列出方程是( )
A.150(1+x)2=450 B.150(1+x)+150(1+x)2=450 C.150(1﹣x)2=450 D.150+150(1+x)2=450
5.实数m满足,则的值为( )A.62 B.64 C.80 D.100
二、解答题 :
6.百货商店服装部在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售量,增加赢利.减少库存,商场决定采取适当的降价措施经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.
(1)若平均每天销售这种童装赢利1200元,则从消费者的角度考虑.每件童装应降价多少元?
(2)销售这种童装是否可以使赢利最大?若可以,求出这个最大赢利;若不可以.请说明理由.
7.某商场为迎接元旦,计划以单价40元的价格购进一批商品,再以单价50元出售,每天可卖出200件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每天少卖10件(每件售价不能高于56元).设每件商品的售价为x元(x为正整数),每天的销量为y件.
(1)求y与x的函数关系式并写出自变量X的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每天的利润恰为2210元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少元?
8.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发.
(1)几秒后△PBQ的面积等于4cm2?
(2)几秒钟后,PQ的长度等于5cm?
(3)在(1)中△PBQ的面积能否等于7cm2?请说明理由.
9.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件;
(1)若商场平均每天要赢利1 200元,每件衬衫应降价多少元;
(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多.
10. “低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.
(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?
(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车进价为1000元/辆,售价为1300元/辆.根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?
11.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=﹣p,x1.x2=q,请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0,(n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;
(2)已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,求的值;
(3)已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.
12.山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240
元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
13.某食品零售店为食品厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,经统计销售情况发现,当这种面包单价定为7角时,每天卖出160个,在此基础上,这种面包单价每提高1角,该零售店每天就会少卖出20个,该零售店每个面包的成本是5角.
(1)如果每天卖出面包100个,那么这种面包的单价定为多少?这天卖面包的利润是多少?
(2)如果每天销售这种面包获得的利润是48元,那么这种面包的单价是多少?
14.如图,某小区规划在长32米,宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路,使其中两条与AD平行,一条与AB平行,其余部分种草,若使草坪的面积为570米2,问小路应为多宽?