中考专题待定系数法应用 9页

中考专题之：待定系数法 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。‎ 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。‎ 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。‎ 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。‎ 消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。‎ ‎ 应用待定系数法解题的一般步骤是：‎ ‎（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；‎ ‎（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；‎ ‎（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。‎ 在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过中考的实例探讨其应用。‎ 一.　待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。‎ 典型例题：‎ 例：若是完全平方式，则=【 】‎ A．9 B．－9 C．±9 D．±3 ‎ 练习题：‎ ‎1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【 】‎ A．64 B．48 C．32 D．16‎ ‎2.二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是　 ▲ 　。‎ ‎3.将代数式化成的形式为【 】  A. B. C. D.‎ 二.　待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。‎ 典型例题：‎ 例：已知，则的值是【 】‎ A． B． C． D．‎ 练习题：‎ 1. 已知，求代数式的值。‎ 2. 若，则= ▲ 。‎ 三.　待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3－6x2+11x－6，，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。‎ 典型例题：‎ 例1：分解因式：＝ ▲ 。‎ ‎〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。〗‎ 例2：分解因式： ▲ 。‎ 练习题：‎ ‎1. 分解因式： = ▲ 。‎ ‎2. 分解因式：x3—4x2—12x= ▲ 。‎ ‎3. 分解因式： ▲ 。‎ 四.　待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。‎ 典型例题：‎ 例1：无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于 ▲ ．‎ 例2：如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．‎ 例3：游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．‎ ‎（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；‎ ‎（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？‎ 例4：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，‎ ‎(1)求抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎(2)求△ABD的面积；‎ ‎(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．‎ 练习题：‎ ‎1. 某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．‎ ‎（注：总成本=每吨的成本×生产数量）‎ ‎2. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．‎ ‎5. 如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点．‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；‎ ‎(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 五.　待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量， an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,…an满足 (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项是关于n的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。‎ 典型例题：‎ 例1：2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：‎ 年份 ‎1896‎ ‎1900‎ ‎1904‎ ‎…‎ ‎2012‎ 届数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ n 表中n的值等于 ▲ ．‎ 例2：如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ．‎ 例3：1，3，7，13，…的第五个数应是　 ▲ 　．‎ 练习题：‎ ‎1. 问题情境：‎ 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？‎ ‎2.按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .‎ ‎3.下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是 ▲ ．‎ ‎4.观察下列一组图形：‎ 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 ▲ 个★．‎ ‎5.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：‎ ‎（1）第5个图形有多少黑色棋子？‎ ‎（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．‎ 六.　待定系数法在几何问题中的应用：‎ ‎ 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。‎ 典型例题：‎ 例1：如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【 】‎ A. B. C. D. ‎ 例2：如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是　▲　．‎ 例3：如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切定义，解下列问题：‎ ‎（1）ctan30°= ；‎ ‎（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．‎ 例4：等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP 为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。‎ ‎（1）求证：AM=AN；‎ ‎（2）设BP=x。‎ ①若，BM=，求x的值；‎ ②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；‎ ③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。‎ 练习题：‎ ‎1. 小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】‎ A．＋1 B．＋1 C．2.5 D．‎ ‎2. 如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结 CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 的值为【 】‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎4. 已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．‎ ‎（1）如图l，求证：PC=AN；‎ ‎（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK： CF=2：3，求DQ的长．‎