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- 2021-05-10 发布
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2016年山西省中考数学试卷
一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2016·山西）的相反数是 （ ）
A． B．-6 C．6 D．
2．（2016·山西）不等式组的解集是 （ ）
A．x>5 B．x<3 C．-5”或“=”或“<”）
13． （2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂
有阴影，依此规律，第n个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．
14． （2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积
相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，
当指针指向的数都是奇数的概率为__________
15． （2016·山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是
的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为____________
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算：
（2）先化简，在求值：，其中x=-2．
17．（2016·山西）（本题7分）解方程：
18． （2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬
工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长
和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取
了部分学生进行调查：
“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．
（1）补全条形统计图和扇形统计图；
（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?
（3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进 行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最
感兴趣的学生的概率是
19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC
．．．
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于，AB=2，D为
上 一点, ，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是 ．
20． （2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg
（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：
方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．
方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1） 请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达
式；
（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接
写出他应选择哪种方案．
21． （2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各
国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，
太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为，BE=CA=50cm，支撑角钢
CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，于点E．两个底座地基高度相
同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD
和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）
22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（）沿对角线AC剪开，得到和．
操作发现
（1）将图1中的以A为旋转中心，
逆时针方向旋转角，使 ，
得到如图2所示的，分别延长BC
和交于点E，则四边形的
状是 ；……………（2分）
（2）创新小组将图1中的以A为
旋转中心，按逆时针方向旋转角
，使，得到如图3所
示的，连接DB，，得到四边形，发现它是矩形．请你证明这个论；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将沿着射线DB方向平移acm，得到，连接，，使四边形恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的在同一平面内进行一次平移，得到，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线
l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐
标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2） 试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． A 2． C 3．C 4． A 5．B
6．D 7．B 8．D 9．C 10．D
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11． （3，0） ．
12． >
13．（4n+1）
14．
15．
16．（1）解答：原=9-5-4+1 ……………………………（4分）
=1． ……………………………（5分）
（2）解答：原式= ……………………………（2分）
= ……………………………（3分）
= ……………………………（4分）
当x=-2时，原式= ……………………（5分）
17． 解答：解法一：
原方程可化为 ……………………………（1分）
． ……………………………（2分）
． ……………………………（3分）
． ……………………………（4分）
∴ x-3=0或x-9=0． ……………………………（5分）
∴ ，． ……………………………（7分）
解法二：
原方程可化为
……………………………（3分）
这里a=1，b=-12，c=27． ∵
∴． ……………………………（5分）
因此原方程的根为 ，． ……………………………（7分）
18．解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示
（2）1800×30%=540（人）
∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人
（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”
最感兴趣的学生的概率是 0.13（或13%或）
19． 解答：（1）证明：又∵， …………………（1分）
∴ △MBA≌△MGC． …………………（2分）
∴MB=MG． …………………（3分）
又∵MD⊥BC，∵BD=GD． …………………（4分）
∴CD=CG+GD=AB+BD． …………………（5分）
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于，AB=2，
D为 上 一点， ，AE⊥BD与点E，则△BDC
的长是 ．
20．解答：（1）方案A：函数表达式为． ………………………（1分）
方案B：函数表达式为 ………………………（2分）
（2）由题意，得． ………………………（3分）
解不等式，得x<2500 ………………………（4分）
∴当购买量x的取值范围为时，选用方案A
比方案B付款少． ………………………（5分）
（3）他应选择方案B． ………………………（7分）
21．解答：过点A作，垂足为G．…………（1分）
则，在Rt中，
．…………（2分）
由题意，得．…………（3分）
（cm）．…（4分）
连接FD并延长与BA的延长线交于点H．…（5分）
由题意，得．在Rt中，
．……………………（6分）
．………（7分）
在Rt中，（cm）．……………（9分）
答：支撑角钢CD的长为45cm，EF的长为cm．……………………（10分）
22．解答：（1）菱形
（2）证明：作于点E．…………………………………………（3分）
由旋转得，．
四边形ABCD是菱形，，，，，同理，，又， 四边形是平行四边形，…………………（4分）
又，，，
∴四边形是矩形…………………………………………（5分）
（3）过点B作，垂足为F，，
．
在Rt 中，，
在和中，， ．
∽，，即，解得，
，，．…………………（7分）
当四边形恰好为正方形时，分两种情况：
①点在边上．．…………………（8分）
②点在边的延长线上，．……………（9分）
综上所述，a的值为或．
（4）：答案不唯一．
例：画出正确图形．……………………………………（10分）
平移及构图方法：将沿着射线CA方向平移，平移距离为的长度，得到，
连接．………………………（11分）
结论：四边形是平行四边形……（12分）
23．解答：（1）抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8），
解得…………………………………（1分）
抛物线的函数表达式为……………………………（2分）
，抛物线的对称轴为直线．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）…………………（4分）
设直线l的函数表达式为．点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得．
直线l的函数表达式为………………………………………………………（5分）
点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为（3，－4）……………………………………………………………………（6分）
（2）抛物线上存在点F，使≌．
点F的坐标为（）或（）．……………………………………（8分）
（3）解法一：分两种情况：
①当时，是等腰三角形．
点E的坐标为（3，－4），，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则，……………………………………（9分）
点M的坐标为（0，－5）．
设直线ME的表达式为，，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得
，解得x=15，点H的坐标为（15，0）…（10分）
又MH//PB，，即，……………………………（11分）
②当时，是等腰三角形．
当x=0时，，点C的坐标为（0，－8），
，OE=CE，，又因为，，
，CE//PB………………………………………………………………（12分）
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，，解得，CE的函数表达式为，令y=0，得，，点N的坐标为
（6，0）………………………………………………………………（13分）
CN//PB，，，解得………………（14分）
综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．
解法二：
当x=0时， ，点C的坐标为（0，－8），点E的坐标为
（3，－4），，，OE=CE，，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：
① 当时，是等腰三角形．
，，CE//PB………………………………………（9分）
又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，，
，HM//y轴，
∽，……………………………………………………（10分）
………………………………………………………（11分）
②当时，是等腰三角形．
轴，∽，，……………（12分）
，，轴，∽，…………………………………………………（13分）
………………（14分）
当m的值为或时，是等腰三角形．
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