广州中考数学试题及答案 20页

‎ ‎ ‎2010年广州中考数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试用时102分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第三面、第五面上用黑色字迹的钢笔或签字笔走宝自已的考生号、姓名；走宝考场室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共30分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1． （2010广东广州，1，3分）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）‎ A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%‎ ‎2． （2010广东广州，2，3分）将图1所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 图1‎ ‎3． （2010广东广州，3，3分）下列运算正确的是（ ）‎ A．－3(x－1)＝－3x－1 B．－3(x－1)＝－3x＋1‎ C．－3(x－1)＝－3x－3 D．－3(x－1)＝－3x＋3‎ ‎4． （2010广东广州，4，3分）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是（ ）‎ A．2.5 B．5 C．10 D．15‎ ‎5． （2010广东广州，5，3分）不等式的解集是（ ）‎ A．－＜x≤2 B．－3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜－3‎ ‎6． （2010广东广州，6，3分）从图2的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称称图形的卡片的概率是（ ）‎ ‎ ‎ 图2‎ A． B． C． D．1‎ ‎7． （2010广东广州，7，3分）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ）‎ A．52 B．32 C．24 D．9‎ ‎ ‎ ‎ 主视图 俯视图 ‎8． （2010广东广州，8，3分）下列命题中，正确的是（ ）‎ A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0‎ C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0‎ ‎9． （2010广东广州，9，3分）若a＜1，化简＝（ ）‎ A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a ‎10．（2010广东广州，10，3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ 按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）‎ A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc 第二部分（非选择题 共120分）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）‎ ‎11．（2010广东广州，11，3分）“激情盛会，和谐亚洲”‎ 第16届亚运会将于2010年11月在广州举行，广州亚运城的建筑面积约是358000平方米，将358000用科学记数法表示为_______．‎ ‎12．（2010广东广州，12，3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．‎ ‎13．（2010广东广州，13，3分）老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是＝51、＝12．则成绩比较稳定的是_______ （填“甲”、“乙”中的一个）．‎ ‎14．（2010广东广州，14，3分）一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留)‎ ‎15．（2010广东广州，15，3分）因式分解：3ab2＋a2b＝_______．‎ ‎16．（2010广东广州，16，3分）如图4，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有_____个．‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（2010广东广州，17，9分）解方程组 ‎18．（2010广东广州，18，9分）如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．‎ 求证：∠A＋∠C＝180°‎ ‎19．（2010广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。‎ ‎20．（2010广东广州，20，10分）广州市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：‎ 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 频数 ‎40‎ ‎120‎ ‎36‎ ‎4‎ 频率 ‎0.2‎ m ‎0.18‎ ‎0.02‎ ‎（1）本次问卷调查取样的样本容量为_______，表中的m值为_______．‎ ‎（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图6所对应的扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．‎ ‎（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多少？‎ ‎21．（2010广东广州，21，12分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．‎ ‎（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；‎ ‎（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；‎ x ‎…‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎…‎ ‎（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．‎ ‎22．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．‎ ‎（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；‎ ‎（2）求大楼的高度CD（精确到1米）‎ ‎23．（2010广东广州，23，12分）已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．‎ ‎24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．‎ ‎（1）求弦AB的长；‎ ‎（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；‎ ‎（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.‎ ‎25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.‎ C D B A E O ‎ 2010年广州中考数学试题答案详解 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试用时102分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第三面、第五面上用黑色字迹的钢笔或签字笔走宝自已的考生号、姓名；走宝考场室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共30分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1． （2010广东广州，1，3分）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）‎ A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%‎ ‎ 【分析】正数和负数可以表示一对相反意义的量，在本题中“增加”和“减小”就是一对相反意义的量，既然增加用正数表示，那么减少就用负数来表示，后面的百分比的值不变．‎ ‎【答案】B ‎ 【涉及知识点】负数的意义 ‎【点评】本题属于基础题，主要考查学生对概念的掌握是否全面，考查知识点单一，有利于提高本题的信度．‎ ‎【推荐指数】★‎ ‎2． （2010广东广州，2，3分）将图1所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 图1‎ ‎【分析】图1是一个直角题型，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，因此得到的立体图形应该是一个圆台．‎ ‎【答案】C ‎ 【涉及知识点】面动成体 ‎【点评】本题属于基础题，主要考查学生是否具有基本的识图能力，以及对点线面体之间关系的理解，考查知识点单一，有利于提高本题的信度．‎ ‎【推荐指数】★‎ ‎3． （2010广东广州，3，3分）下列运算正确的是（ ）‎ A．－3(x－1)＝－3x－1 B．－3(x－1)＝－3x＋1‎ C．－3(x－1)＝－3x－3 D．－3(x－1)＝－3x＋3‎ ‎【分析】去括号时，要按照去括号法则，将括号前的－3与括号内每一项分别相乘，尤其需要注意，－3与－1相乘时，应该是＋3而不是减3．‎ ‎【答案】D ‎ 【涉及知识点】去括号 ‎【点评】本题属于基础题，主要考查去括号法则，理论依据是乘法分配律，容易出错的地方有两处，一是－3只与x相乘，忘记乘以－1；二是－3与－1相乘时，忘记变符号．本题直指去括号法则，没有任何其它干扰，掌握了去括号法则就能得分，不掌握就不能得分，信度相当好．‎ ‎【推荐指数】★★‎ ‎4． （2010广东广州，4，3分）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是（ ）‎ A．2.5 B．5 C．10 D．15‎ ‎【分析】由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可知，DE＝BC＝2.5．‎ ‎【答案】A ‎ 【涉及知识点】中位线 ‎【点评】本题考查了中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半．‎ ‎【推荐指数】★★‎ ‎5． （2010广东广州，5，3分）不等式的解集是（ ）‎ A．－＜x≤2 B．－3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜－3‎ ‎【分析】解不等式①，得：x＞－3；解不等式②，得：x≤2，所以不等式组的解集为－3＜x＜2．‎ ‎【答案】B ‎ 【涉及知识点】解不等式组 ‎【点评】解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎6． （2010广东广州，6，3分）从图2的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称称图形的卡片的概率是（ ）‎ ‎ ‎ 图2‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】在这四个图片中只有第三幅图片是中心对称图形，因此是中心对称称图形的卡片的概率是．‎ ‎【答案】A ‎ 【涉及知识点】中心对称图形 概率 ‎【点评】本题将两个简易的知识点，中心对称图形和概率组合在一起，是一个简单的综合问题，其中涉及的中心对称图形是指这个图形绕着对称中心旋转180°后仍然能和这个图形重合的图形，简易概率求法公式：P（A）＝，其中0≤P（A）≤1.‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎7． （2010广东广州，7，3分）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ）‎ A．52 B．32 C．24 D．9‎ ‎ ‎ ‎ 主视图 俯视图 ‎【分析】由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，因此这个长方体的体积为4×2×3＝24平方单位．‎ ‎【答案】C ‎ 【涉及知识点】三视图 ‎【点评】三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题是由两种视图来推测整个正方体的特征，这种类型问题在中考试卷中经常出现，本题所用的知识是：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎8． （2010广东广州，8，3分）下列命题中，正确的是（ ）‎ A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0‎ C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0‎ ‎【分析】A项中a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负；B项中a·b＜0可得a、b异号，所以错误；C项中a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零．‎ ‎【答案】D ‎ 【涉及知识点】乘法法则 命题真假 ‎【点评】本题主要考查乘法法则，只有深刻理解乘法法则才能求出正确答案，需要考生具备一定的思维能力．‎ ‎【推荐指数】★★‎ ‎9． （2010广东广州，9，3分）若a＜1，化简＝（ ）‎ A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a ‎【分析】根据公式可知：＝，由于a＜1，所以a－1＜0，因此＝（1－a）－1＝－a．‎ ‎【答案】D ‎ 【涉及知识点】二次根式的化简 ‎【点评】本题主要考查二次根式的化简，难度中等偏难．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎10．（2010广东广州，10，3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ 按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）‎ A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc ‎【分析】m对应的数字是12，12＋10＝22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0＋10＝10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19＋10＝29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．‎ ‎【答案】A ‎ 【涉及知识点】阅读理解 ‎【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ 第二部分（非选择题 共120分）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）‎ ‎11．（2010广东广州，11，3分）“激情盛会，和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举行，广州亚运城的建筑面积约是358000平方米，将358000用科学记数法表示为_______．‎ ‎【分析】358000可表示为3.58×100000，100000＝105，因此358000＝3.58×105．‎ ‎【答案】3.58×105‎ ‎【涉及知识点】科学记数法 ‎【点评】科学记数法是每年中考试卷中的必考问题，把一个数写成a×10的形式（其中1≤＜10，n为整数，这种计数法称为科学记数法），其方法是（1）确定a，a是只有一位整数的数；（2）确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎ ‎12．（2010广东广州，12，3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．‎ ‎【分析】由于分式的分母不能为0，x－5在分母上，因此x－5≠0，解得x≠5．‎ ‎【答案】‎ ‎【涉及知识点】分式的意义 ‎【点评】初中阶段涉及有意义的地方有三处，一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，三是零指数的底数不能为零．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎13．（2010广东广州，13，3分）老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是＝51、＝12．则成绩比较稳定的是_______ （填“甲”、“乙”中的一个）．‎ ‎【分析】由于两人的平均分一样，因此两人成绩的水平相同；由于＞，所以乙的成绩比甲的成绩稳定．‎ ‎【答案】乙 ‎【涉及知识点】数据分析 ‎【点评】平均数是用来衡量一组数据的一般水平，而方差则用了反映一组数据的波动情况，方差越大，这组数据的波动就越大．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎14．（2010广东广州，14，3分）一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留)‎ ‎【分析】扇形弧长可用公式：求得，由于本题n＝90°，r＝2，因此这个扇形的弧长为π．‎ ‎【答案】π ‎【涉及知识点】弧长公式 ‎【点评】与圆有关的计算一直是中考考查的重要内容，主要考点有：弧长和扇形面积及其应用等．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎15．（2010广东广州，15，3分）因式分解：3ab2＋a2b＝_______．‎ ‎【分析】3ab2＋a2b＝ab (3b＋a)．‎ ‎【答案】ab (3b＋a)‎ ‎【涉及知识点】提公因式法因式分解 ‎【点评】‎ 本题是对基本运算能力的考查，因式分解是整式部分的重要内容，也是分式运算和二次根式运算的基础，因式分解的步骤，一提（提公因式），二套（套公式，主要是平方差公式和完全平方公式），三分组（对于不能直接提公因式和套公式的题目，我们可将多项式先分成几组后后，分组因式分解）．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎16．（2010广东广州，16，3分）如图4，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有_____个．‎ ‎【分析】由于BD是△ABC的角平分线，所以∠ABC＝2∠ABD＝72°，所以∠ABC＝∠C＝72°，所以△ABC是等腰三角形．∠A＝180°－2∠ABC＝180°－2×72°＝36°，故∠A＝∠ABD，所以△ABD是等腰三角形∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°，可求∠BDC＝72°，故∠BDC＝∠C，所以△BDC是等腰三角形．‎ ‎【答案】3‎ ‎【涉及知识点】等腰三角形的判定 ‎【点评】要想说明一个三角形是等腰三角形，只要能找到两个相等的角或两条相等的边即可，本题主要考查的“等角对等边”的应用，本题难度中等，只要细心，很容易拿分．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（2010广东广州，17，9分）解方程组 ‎【答案】‎ ‎①＋②，得4x＝12，解得：x＝3．‎ 将x＝3代入①，得9－2y＝11，解得y＝－1．‎ 所以方程组的解是．‎ ‎【点评】对二元一次方程组的考查主要突出基础性，题目一般不难，系数比较简单，主要考查方法的掌握．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎18．（2010广东广州，18，9分）如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．‎ 求证：∠A＋∠C＝180°‎ ‎【分析】由于AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°，要想说明∠A＋∠C＝180°，只需根据等腰梯形的两底角相等来说明∠B＝∠C即可．‎ ‎【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴∠B＝∠C 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠A＋∠B＝180°‎ ‎∴∠A＋∠C＝180°‎ ‎【涉及知识点】等腰梯形性质 ‎【点评】本题是一个简单的考查等腰梯形性质的解答题，属于基础题．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎19．（2010广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。‎ ‎ 【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．‎ ‎【答案】解：∵有两个相等的实数根，‎ ‎∴⊿＝，即．‎ ‎∵‎ ‎∵，∴‎ ‎【涉及知识点】分式化简，一元二次方程根的判别式 ‎【点评】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．‎ ‎20．（2010广东广州，20，10分）广州市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：‎ 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 频数 ‎40‎ ‎120‎ ‎36‎ ‎4‎ 频率 ‎0.2‎ m ‎0.18‎ ‎0.02‎ ‎（1）本次问卷调查取样的样本容量为_______，表中的m值为_______．‎ ‎（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图6所对应的扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．‎ ‎（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多少？‎ ‎【分析】（1）由于非常了解频数40，频率为0.2，因此样本容量为：40÷0.2＝200，表中的m是比较了解的频率，可用频数120除以样本容量200；（2）非常了解的频率为0.2，扇形圆心角的度数为0.2×360°＝72°；（3）由样本中“比较了解”的频率0.6可以估计总体中“比较了解”的频率也是0.6．‎ ‎【答案】（1）200；0.6；‎ ‎（2）72°；补全图如下：‎ ‎（3）1800×0.6＝900‎ ‎【涉及知识点】扇形统计图 样本估计总体 ‎【点评】统计图表是中考的必考内容，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，数据的问题在中考试卷中也有越来越综合的趋势．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎ ‎21．（2010广东广州，21，12分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．‎ ‎（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；‎ ‎（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；‎ x ‎…‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎…‎ ‎（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．‎ ‎【分析】（1）代入对称轴公式和顶点公式（－，）即可；（3）结合图像可知这两点位于对称轴右边，图像随着x的增大而减少，因此y1＜y2．‎ ‎【答案】解：（1）x＝1；（1，3）‎ ‎（2）‎ x ‎…‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎－1‎ ‎…‎ ‎（3）因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．‎ ‎【涉及知识点】抛物线的顶点、对称轴、描点法画图、函数增减性 ‎【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎ ‎22．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．‎ ‎（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；‎ ‎（2）求大楼的高度CD（精确到1米）‎ ‎【分析】（1）由于∠ACB＝45°，∠A＝90°，因此△ABC是等腰直角三角形，所以AC＝AB＝610；（2）根据矩形的对边相等可知：DE＝AC＝610米，在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．‎ ‎【答案】（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；‎ ‎（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，故BE＝DEtan39°． ‎ 因为CD＝AE，所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）‎ ‎ 答：大楼的高度CD约为116米．‎ ‎【涉及知识点】解直角三角形 ‎【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎ ‎23．（2010广东广州，23，12分）已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．‎ ‎【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m的一元一次方程，求出m的值；（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，则△CBE∽△CAD，运用相似三角形知识求出CE的长即可求出点C的横坐标．‎ ‎【答案】解：（1）∵ 图像过点A(－1，6)，． ∴ ‎（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，‎ 由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，‎ ‎∴△CBE∽△CAD，∴ ．‎ ‎∵AB＝2BC，∴‎ ‎∴，∴BE＝2．‎ 即点B的纵坐标为2‎ 当y＝2时，x＝－3，易知：直线AB为y＝2x＋8，‎ ‎∴C(－4，0)‎ ‎【涉及知识点】反比例函数 ‎【点评】由于今年来各地中考题不断降低难度，中考考查知识点有向低年级平移的趋势，反比例函数出现在解答题中的频数越来约多．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．‎ ‎（1）求弦AB的长；‎ ‎（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；‎ ‎（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.‎ C P D O B A E ‎【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；‎ F C P D O B A E H G ‎（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；‎ ‎（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝3，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为24．‎ ‎【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．‎ F C P D O B A E H G ‎∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．‎ 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．‎ ‎（2）∠ACB是定值.‎ 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，‎ 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，‎ 因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；‎ ‎（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．‎ ‎∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.‎ ‎∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．‎ 又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，‎ ‎∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝3，‎ ‎∴△ABC的周长为24．‎ ‎ 【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 ‎【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题 ‎【推荐指数】★★★★★‎ ‎25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.‎ C D B A E O ‎【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； ‎ ‎（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．‎ ‎【答案】（1）由题意得B（3，1）．‎ 若直线经过点A（3，0）时，则b＝‎ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝‎ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，‎ 图1‎ ‎ 此时E（2b，0）‎ ‎∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2‎ 图2‎ 此时E（3，），D（2b－2，1）‎ ‎∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )‎ ‎＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝‎ ‎∴‎ ‎（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！‎ 图3‎ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM 为菱形．‎ 过点D作DH⊥OA，垂足为H，‎ 由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，‎ 设菱形DNEM 的边长为a，‎ 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴‎ ‎∴S四边形DNEM＝NE·DH＝‎ ‎∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．‎ ‎ 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理 ‎【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎