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  • 2021-05-10 发布

2017年度高考数学快速命中考点11

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‎2014高考数学快速命中考点11‎ 一、选择题 ‎1.在空间中,已知=(2,4,0),=(-1,3,0),则∠ABC的大小为(  )‎ A.45°    B.90°   ‎ C.120°    D.135°‎ ‎【解析】 由=(-2,-4,0),=(-1,3,0)得 cos〈,〉===-,‎ 又0°≤〈,〉≤180°,‎ ‎∴∠ABC=135°.‎ ‎【答案】 D ‎2.已知三棱柱ABC—A1B‎1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面积是边长为的正三角形.若P为底面A1B‎1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎【解析】 画出三棱柱ABC—A1B‎1C1,作出PA与平面ABC所成的角,解三角形求角.‎ 如图所示,P为正三角形A1B‎1C1的中心,设O为△ABC的中心,由题意知:PO⊥平面ABC,连接OA,则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角.‎ 在正三角形ABC中,AB=BC=AC=,‎ 则S=×()2=,‎ VABC—A1B‎1C1=S×PO=,∴PO=.‎ 又AO=×=1,∴tan∠PAO==,‎ ‎∴∠PAO=.‎ ‎【答案】 B ‎3.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E为侧棱PC的中点,又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ ‎【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz,D为坐标原点.则P(0,0,a),B(a,a,0),=(a,a,-a),又=,‎ ·=0+-=0,‎ 所以PB⊥DE.由已知DF⊥PB,又DF∩DE=D,‎ 所以PB⊥平面EFD,所以PB与平面EFD所成角为90°.‎ ‎【答案】 D ‎4.在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎【解析】 以A为原点建立空间直角坐标系,如图.‎ 设棱长为1,‎ 则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),‎ 所以=(0,1,-1),‎ =,‎ 设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),‎ 则所以 所以n1=(1,2,2).‎ 设平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),‎ 所以|cos〈n1,n2〉|==.‎ 即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎5.P是二面角α—AB—β棱上的一点,分别在α,β平面上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α—AB—β的大小为 ‎(  )‎ A.60° B.70° ‎ C.80° D.90°‎ ‎【解析】 不妨设PM=a,PN=b,作ME⊥AB于点E,NF⊥AB于点F,如图.‎ 因为∠EPM=∠FPN=45°,‎ 所以PE=a,PF=b,‎ 所以·=(-)·(-)‎ ‎=·-·-·+· ‎=abcos 60°-a×bcos 45°-abcos 45°+a×b ‎=--+=0.‎ 所以⊥,‎ 所以二面角α—AB—β的大小为90°.‎ ‎【答案】 D 二、填空题 ‎6.已知a=(2,-1,1),b=(-1,4,-2),c=(11,5,λ).若向量a,b,c共面,则λ=________.‎ ‎【解析】 由向量a,b,c共面可得c=xa+yb(x,y∈R),‎ 故有解得 ‎【答案】 1‎ ‎7.已知空间不共面四点O、A、B、C,·=·=·=0,且||=||=||,=,则OM与平面ABC所成角的正切值是________.‎ ‎【解析】 由题意可知,OA、OB、OC两两垂直,如图,建立空间直角坐标系,设OA=OB=OC=1,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),M(,,0),故=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(,,0).‎ 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),‎ 则由,得,令x=1,得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1).‎ 故cos==,所以OM与平面ABC所成角的正弦值为,正切值为.‎ ‎【答案】  ‎8.如图4-3-11,正方体ABCD—A1B‎1C1D1,则下列四个命题:‎ 图4-3-11‎ ‎①P在直线BC1上运动时,三棱锥A—D1PC的体积不变;‎ ‎②P在直线BC1上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;‎ ‎③P在直线BC1上运动时,二面角P—AD1—C的大小不变;‎ ‎④M是平面A1B‎1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是过D1点的直线.‎ 其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号).‎ ‎【解析】 因为BC1∥AD1,所以BC1∥平面ACD1,BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值,所以VA—D1PC=VP—ACD1为定值, ①正确;P到面ACD1的距离不变,但AP的长在变化,所以AP与面ACD1所成角的大小是变量,②错误;面PAD1即面ABC1D1,所以面ABC1D1与面ACD1所成二面角的大小不变,③正确;M点的轨迹为A1D1,④正确.‎ ‎【答案】 ①③④‎ 三、解答题 ‎9.如图4-3-12,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+,过A作AE⊥CD,垂足为E.F、G分别是CE、AD的中点.现将△ADE沿AE折起,使二面角D—AE—C的平面角为135°.‎ 图4-3-12‎ ‎(1)求证:平面DCE⊥平面ABCE;‎ ‎(2)求直线FG与平面DCE所成角的正弦值.‎ ‎【解】 (1)证明:∵DE⊥AE,CE⊥AE,DE∩CE=E,DE,CE⊂平面CDE,‎ ‎∴AE⊥平面CDE,‎ ‎∵AE⊂平面ABCE,‎ ‎∴平面DCE⊥平面ABCE.‎ ‎(2)以E为原点,EA、EC所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系 ‎∵DE⊥AE,CE⊥AE,‎ ‎∴∠DEC是二面角D—AE—C的平面角,即∠DEC=135°,‎ ‎∵AB=1,BC=2,折起前CD=1+,折起前后CE=1,DE=不变,‎ ‎∴A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,-1,1).‎ ‎∵F、G分别是CE、AD的中点,‎ ‎∴F,G ‎∴=,=(-2,0,0),‎ 由(1)知是平面DCE的法向量,‎ 设直线FG与平面DCE所成角为α,‎ 则sin α===,‎ 故直线FG与平面DCE所成角的正弦值为.‎ ‎10.如图4-3-13,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B‎1C1的中点,P是线段AD的中点.‎ 图4-3-13‎ ‎(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD‎1A1;‎ ‎(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A‎1M-N的余弦值.‎ ‎【解】 (1)如图(1),在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.‎ 因为AB=AC,D是BC的中点,‎ 所以BC⊥AD,则直线l⊥AD.‎ 因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥l.‎ 又因为AD,AA1在平面ADD‎1A1内,且AD与AA1相交,‎ 所以直线l⊥平面ADD‎1A1.‎ ‎(1)‎ ‎(2)设A‎1A ‎=1,则AB=AC=2.如图,过点A1作A1E平行于C1B1,以点A1为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz(点O与点A1重合 ),则A1(0,0,0),A(0,0,1).‎ ‎(2)‎ 因为P为AD的中点,‎ 所以M,N分别为AB,AC的中点,‎ 故M,N,‎ 所以=,=(0,0,1),=(,0,0).‎ 设平面AA‎1M的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则 即 故有 从而 取x1=1,则y1=-,所以n1=(1,-,0).‎ 设平面A1MN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则 即 故有 从而 取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1).‎ 设二面角A-A‎1M-N的平面角为θ,又θ为锐角,‎ 则cos θ== ‎=.‎ 故二面角A-A‎1M-N的余弦值为.‎ ‎11.已知四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,G、H分别是CE、CF的中点.‎ 图4-3-14‎ ‎(1)求证:平面AEF∥平面BDGH.‎ ‎(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°,求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值.‎ ‎【解】 (1)G、H分别是CE、CF的中点,‎ 所以EF∥GH.‎ 连接AC与BD交与O,因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,‎ 连接OG,OG是三角形ACE的中位线,OG∥AE.‎ 又EF∩AE=E,GH∩OG=G,则平面AEF∥平面BDGH.‎ ‎(2)BF⊥BD,平面BDEF⊥平面ABCD,‎ 所以BF⊥平面ABCD.‎ 取EF的中点N,连接ON,则ON∥BF,∴ON⊥平面ABCD,‎ 建立空间直角坐标系如图所示,设AB=2,BF=t(t>0),‎ 则B(1,0,0),C(0,,0),F(1,0,t),H,=(1,0,0),=.‎ 设平面BDGH的法向量为n1=(x,y,z),‎ 即n1=(0,-t,),‎ 平面ABCD的法向量n2=(0,0,1),‎ ‎|cos〈n1,n2〉|==,所以t2=9,t=3,‎ 所以=(1,-,3),设直线CF与平面BDGH所成的角为θ,‎ sin θ=|cos〈,n1〉|==.‎