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- 2021-05-10 发布
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圆压轴题八大模型题(一)
泸州市七中佳德学校 易建洪
引言:与圆有关的证明与计算的综合解答题,往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上,是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展,本文结合近年来各省市中考题,整理了这些习题的常见的结论,破题的要点,常用技巧。把握了这些方法与技巧,就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1 弧中点的运用
在⊙O中,点C是的中点,CE⊥AB于点E.
(1)在图1中,你会发现这些结论吗?
①AP=CP=FP;
②CH=AD;
②AC2=AP·AD=CF·CB=AE·AB.
(图1)
(2)在图2中,你能找出所有与△ABC相似的三角形吗?
【分析】
(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得:∠CAD=∠B=∠ACE;∠PCF=∠PFC,所以AP=CP=FP.
(图2)
(1)②由垂径定理和弧中点的性质得,==,再由弧叠加得:=,所以CH=AD.
(1)③由共边角相似易证:△ACE∽△ABC,△ACP∽△ADC,△ACF∽△BCA,进而得AC2=AE×AB;AC2=AP×AD;AC2=CF×CB;
(2)垂径定理的推论得:C0⊥AD,易证:Rt△ABC∽Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ACF∽Rt△BDF∽ Rt△ACG∽Rt△CGF.
此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt△CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.
建议:将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。
【典例】
(2018·湖南永州)如图,线段AB为⊙O的直径,点C,E在⊙O上,=,CD⊥AB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若cos∠ABE=,在AB的延长线上取一点M,使BM=4,⊙O的半径为6.求证:直线CM是⊙O的切线.
(图1-1)
【分析】(1)延长CD与圆相交,由垂径定理得到=,再由=得到==,等弧所对的角相等,等角对等边。(2)由垂径定理的推论得OC⊥
BE,再由锐角三角函数得到边BH、OH的长度,由对应边成比例得BE∥CM,由∠MCO=∠BHO=90°证得结论。
证明:(1)延长CD交⊙O于G,如图,
∵CD⊥AB,∴=,
∵=,∴=,
∴∠CBE=∠GCB,∴CF=BF;
(图4)
(2)连接OC交BE于H,如图,
∵=,∴OC⊥BE,
在Rt△OBH中,cos∠OBH==,
∴BH=×6=,OH==,
∵==,==,
∴=,而∠HOB=∠COM,
∴△OHB∽△OCM,∴∠OCM=∠OHB=90°,
∴OC⊥CM,∴直线CM是⊙O的切线.
【点拔】
弧中点得到弧等、弦等、圆周角等,进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理,垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键,要善于分解图形。
【变式运用】
(图1-2)
1.(2018·四川宜宾)如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是AC的中点,DE⊥AB于点E且DE交AC于点F,DB交AC于点G,若=,则= .()
2.(2010·泸州)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。(1)求证:AE⊥DE;(2)设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求值。
(1) 证明:在YABCD中,
∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°
∵AE与DE平分∠BAD和∠ADC
(图1-3)
∴∠EAD=∠BAD,∠EDA=∠ADC,
∴∠AED=180°-(∠EAD+∠EDA)
=180°-(∠BAD+∠ADC)
=180°-(∠BAD+∠ADC)
=180°-90°=90°
∴AE⊥DE
(2)解:在YABCD中,∵AD∥BC
∴∠EAD=∠AEB,且∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,
同理:DC=EC=5
又∵AB=DC,∴AB=BE= DC=EC=5,
∴BC=AD=10
在Rt△AED中,由勾股定理可得:
DE=
∵∠BAE=∠EAD,∠AFD=∠AED=90°
∴△AFG∽△AED,
∴
3. (2012·泸州)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,C是的中点,弦CE⊥AB于点H,连结AD,分别交CE、BC于点P、Q,连结BD。
(1)求证:P是线段AQ的中点;
(2)若⊙O的半径为5,AQ=,求弦CE的长。
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,弦CE⊥AB,
∴.又∵C是的中点,∴,
∴.∴∠ACP=∠CAP.∴PA=PC,
(图1-4)
∵AB是直径.∴∠ACB=90°.
∴∠PCQ=90°﹣∠ACP,∠CQP=90°﹣∠CAP,
∴∠PCQ=∠CQP.∴PC=PQ.
∴PA=PQ,即P是AQ的中点;
(2)解:∵,∴∠CAQ=∠ABC.
又∵∠ACQ=∠BCA,∴△CAQ∽△CBA.
∴.
又∵AB=10,∴AC=6,BC=8.
根据直角三角形的面积公式,得:AC•BC=AB•CH,∴6×8=10CH.
∴CH=.又∵CH=HE,
∴CE=2CH=.
4.(2014•泸州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE•CA.
(1)求证:BC=CD;
(2)分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,若PB=OB,CD=,求DF的长.
(1)证明:∵DC2=CE•CA,
(图1-5)
∴,△CDE∽△CAD,
∴∠CDB=∠DAC,∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴BC=CD;
(2)解:方法一:如图,连接OC,
∵BC=CD,
∴∠DAC=∠CAB,又∵AO=CO,
∴∠CAB=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,
∴AD∥OC,∴,
图a
∵PB=OB,CD=2,
∴ ∴PC=4
又∵PC•PD=PB•PA
∴4•(4+2)=OB•3OB
∴OB=4,即AB=2OB=8,PA=3OB=12,
在Rt△ACB中,
AC=,
∵AB是直径,∴∠ADB=∠ACB=90°
∴∠FDA+∠BDC=90°, ∠CBA+∠CAB=90°
∵∠BDC=∠CAB,∴∠FDA=∠CBA,
又∵∠AFD=∠ACB=90°,
∴△AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中,设FD=x,则AF=,
∴在Rt△APF中有,,
求得DF=.
方法二;连接OC,过点O作OG垂直于CD,
图b
易证△PCO∽△PDA,可得,
△PGO∽△PFA,可得,
可得,,由方法一中PC=4代入,
即可得出DF=.
5.(2015•泸州)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD为⊙O的弦,且AB∥CD,过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E,AD与BC交于点F.
(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(2)若AE=6,CD=5,求OF的长.
【解答】(1)证明:∵AE与⊙O相切于点A,
∴∠EAC=∠ABC,∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB,∴∠EAC=∠ACB,
(图1-6)
∴AE∥BC,∵AB∥CD,
∴四边形ABCE是平行四边形;
(2)解:如图,连接AO,交BC于点H,双向延长OF分别交AB,CD与点N,M,
∵AE是⊙O的切线,
由切割线定理得,AE2=EC•DE,
∵AE=6,CD=5,
∴62=CE(CE+5),解得:CE=4,(已舍去负数),
由圆的对称性,知四边形ABDC是等腰梯形,且AB=AC=BD=CE=4,
又根据对称性和垂径定理,得AO垂直平分BC,MN垂直平分AB,DC,
设OF=x,OH=y,FH=z,
∵AB=4,BC=6,CD=5,
∴BF=BC﹣FH=3﹣z,
DF=CF=BC+FH=3+z,
易得△OFH∽△DFM∽△BFN,
∴,,
图c
即,① ②,
①+②得:,①÷②得:,
解得,∵x2=y2+z2, ∴,
∴x=, ∴OF=.
6.如图,AB是⊙O的直径,C、P是弧AB上的两点,AB=13,AC=5.
(1) 如图①,若P是弧AB的中点,求PA的长;
(2) 如图②,若P是弧BC的中点,求PA的长.
解:(1)如答图①,连接PB,
∵AB是⊙O的直径且P是的中点,
∴∠PAB=∠PBA=45°,∠APB=90°
图②
图①
又∵在等腰三角形△ABC中有AB=13,
(图1-7)
∴
图d
(2)如答图②,连接BC,与OP相交于M点,作PH⊥AB于点H,
∵P点为 的中点,∴OP⊥BC,∠OMB=90°,
又∵AB为直径,∴∠ACB=90°.
∴∠ACB=∠OMB. ∴OP∥AC.∴∠CAB=∠POB.
又∵∠ACB=∠OHP=90°,∴△ACB∽△0HP.
∴ =又∵AB=13,AC=5,OP= ,
图e
∴ ,解得OH=
∴AH=OA+OH=9.
∵在Rt△OPH中,有 。
∴在Rt△AHP中 有 .
∴PA=
7.如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径.∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F.
(1)求证:DP∥AB;
(2)若AC=6,BC=8,求线段PD的长.
解:(1)证明:如图,连接OD,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,∴∠ACD=∠BCD=45°.
(图1-8)
∴∠DAB=∠ABD=45°。∴△DAB为等腰直角三角形。
∴DO⊥AB.
∵PD为⊙O的切线,∴OD⊥PD.
∴DP∥AB.
(2)在Rt△ACB中,,
∵△DAB为等腰直角三角形,
∴.
∵AE⊥CD,∴△ACE为等腰直角三角形。
图f
∴.
在Rt△AED中,
,
∴.
∵AB∥PD,∴∠PDA=∠DAB=45°.∴∠PAD=∠PCD。
又∵∠DPA=∠CPD,∴△PDA∽△PCD.
∴.
∴PA=PD,PC=PD.
又∵PC=PA+AC,∴PD+6=PD,解得PD=.