广东中考数学总复习专题突破专题十二圆的综合题 8页

专题十二　圆的综合题 考情分析　6 年 5 考，2013～2017 年均在第 24 题出现，且分值均为 9 分．重点考查切 线的判定和性质，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、 弧长的计算等．预计在 2018 年仍是重点考查内容． 例　如图 1，以 BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边 CF 于点 A，BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M，AD⊥BC 于点 D，AD 交 BM 于点 N，ME⊥BC 于点 E，AB2＝AF·AC. 图 1 (1)求证：△ABM≌△EBM； (2)求证：FB 是⊙O 的切线； (3)若 cos∠ABD＝3 5，AD＝12.求四边形 AMEN 的面积 S. 方法总结　切线的判定主要有两条途径：1.圆心到直线的距离等于半径；2.证明直线经 过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径．注意：1 若圆心与切点无连线，需先作辅助线； 2.解题过程中一般会涉及到全等三角形、相似三角形的判定与性质，常利用圆周角定理和切 线的性质得到角的大小或角之间的等量关系，利用两弧相等得到线段或角度相等． 训练　1.如图 2，AB 为⊙O 的直径，直线 CD 切⊙O 于点 M，BE⊥CD 于点 E. 图 2 (1)求证：∠BME＝∠MAB； (2)求证：△BME∽△BAM； (3)若 BE＝18 5 ，sin∠BAM＝3 5，求线段 AM 的长． 2.如图 3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，D 是⊙O 上的一点，且 AD∥CO. 图 3 (1)求证：△ADB∽△OBC； (2)若∠OCB＝30°，AB＝2，求劣弧 AD 的长； (3)连接 CD，试证明 CD 是⊙O 的切线． 3．如图 4，已知等边三角形 ABC，M 是边 BC 延长线上一点，连接 AM 交△ABC 的外 接圆于点 D，延长 BD 至 N，使得 BN＝AM，连接 CN，MN，解答下列问题： 图 4 (1)猜想△CMN 的形状，并证明你的结论； (2)请你证明 CN 是⊙O 的切线； (3)若等边三角形 ABC 的边长是 2，求 AD·AM 的值． 4.如图 5，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，且对角线 AC 为直径，AD＝BC，过点 D 作 DG⊥AC，垂足为 E，DG 分别与 AB 及 CB 延长线交于点 F，M. 　　　 图 5 (1)求证：四边形 ABCD 是矩形； (2)若点 G 为 MF 的中点，求证：BG 是⊙O 的切线； (3)若 AD＝4，CM＝9，求四边形 ABCD 的面积． 5．已知，⊙O 经过矩形 ABCD 的四个顶点，过点 B 作 BK⊥AC，垂足为 K，过点 D 作 DH∥KB，DH 分别与 AC，AB，⊙O 及 CB 的延长线相交于点 E，F，G，H. (1)如图 6，求证：AE＝CK； (2)如图 7，连接 AH，GB，若 F 是 EG 的中点，求证：四边形 BKEG 为矩形； (3)在(2)的条件下，求出 tan∠HAC 的值． 图 6 图 7 6.如图 8，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D， 点 E 是 AB 边上一点(点 E 不与点 A，B 重合)，DE 的延长线交⊙O 于点 G，DF⊥DG，且交 BC 于点 F. 图 8　　 (1)求证：AE＝BF； (2)连接 GB，EF，求证：GB∥EF； (3)若 AE＝1，EB＝2，求 DG 的长． 参考答案 例　(1)证明：∵AB 是直径， ∴∠BAC＝90°.∴MA⊥AB. ∵ME⊥BE，BM 平分∠ABC， ∴AM＝ME. ∵在 Rt△BMA 和 Rt△BME 中，Error! ∴△ABM≌△EBM. (2)证明：∵AB2＝AF·AC，∴AB AF＝AC AB. 又∠BAF＝∠BAC＝90°， ∴△BAF∽△CAB.∴∠C＝∠FBA. ∴∠ABC＋∠FBA＝∠ABC＋∠C＝90°，即 BC⊥BF. 又 BC 为⊙O 的直径，∴FB 为⊙O 的切线． (3)解：在 Rt△ABD 中，∵cos∠ABD＝3 5，AD＝12， ∴sin∠ABD＝4 5，tan∠ABD＝4 3. ∴BD＝ AD tan∠ABD＝9，AB＝ AD2＋BD2＝15， AC＝AB·tan∠ABD＝20，BE＝AB＝15，DE＝BE－BD＝6. 由(1)知△MEC∽△ADC，设 ME＝x，则ME AD＝MC AC， 即 x 12＝20－x 20 ，解得 x＝15 2 ，即 ME＝15 2 . ∵∠AMN＋∠ABM＝90°，∠BND＋∠DBN＝90°， 又∠ABM＝∠DBN，∠ANM＝∠BND， ∴∠ANM＝∠AMN.∴AN＝AM＝ME. ∵AN∥EM，∴四边形 AMEN 是平行四边形． ∴S＝ME·DE＝15 2 ×6＝45. 训练　1.(1)证明：如图 1，连接 OM， 图 1 ∵直线 CD 切⊙O 于点 M， ∴∠OMD＝90°. ∴∠BME＋∠OMB＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AMB＝90°. ∴∠AMO＋∠OMB＝90°. ∴∠BME＝∠AMO. ∵OA＝OM，∴∠MAB＝∠AMO. ∴∠BME＝∠MAB. (2)证明：由(1)得，∠BME＝∠MAB， ∵BE⊥CD，∴∠BEM＝∠AMB＝90°. ∴△BME∽△BAM. (3)解：由(1)得，∠BME＝∠MAB， ∵sin∠BAM＝3 5，∴sin∠BME＝3 5. 在 Rt△BEM 中，∵BE＝18 5 ，∴sin∠BME＝BE BM＝3 5.∴BM＝6. 在 Rt△ABM 中，∵sin∠BAM＝3 5， ∴sin∠BAM＝BM AB＝3 5，∴AB＝6×5 3＝10. 根据勾股定理得，AM＝ AB2－BM2＝8. 2．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°. ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC＝90°. ∵AD∥CO，∴∠A＝∠BOC. ∴△ADB∽△OBC. (2)解：如图 2，连接 OD， 图 2 由(1)知，△ADB∽△OBC， ∴∠ABD＝∠OCB＝30°.∴∠DAB＝60°. ∵AO＝OD， ∴△AOD 是等边三角形，∠AOD＝60°. ∵AB＝2，∴AO＝1. ∴AD的长为60·π·1 180 ＝π 3. (3)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°. ∵AD∥CO，∴∠DFO＝90°. ∵∠ODB＝∠OBD，∴∠DOF＝∠BOF. ∵OD＝OB，OC＝OC， 在△ODC 和△OBC 中，Error! ∴△ODC≌△OBC(SAS)． ∴∠CDO＝∠CBO＝90°.∴OD⊥DC. ∵OD 是半径，∴CD 是⊙O 的切线． 3．(1)解：△CMN 是等边三角形； 证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC＝AC＝AB，∠ACB＝60°. 在△BCN 与△ACM 中，Error! ∴△BCN≌△ACM. ∴CN＝CM，∠BCN＝∠ACM. ∴∠BCN－∠ACN＝∠ACM－∠ACN，即∠MCN＝∠ACB＝60°. ∴△CMN 是等边三角形． (2)证明：如图 3，连接 OA，OB，OC， 图 3 在△BOC 与△AOC 中，Error! ∴△BOC≌△AOC. ∴∠ACO＝∠BCO＝1 2ACB＝30°. ∵∠ACB＝∠MCN＝60°， ∴∠ACN＝60°.∴∠OCN＝60°＋30°＝90°.∴OC⊥CN. ∵OC 是半径，∴CN 是⊙O 的切线． (3)解：∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ABC. ∵∠BAD＝∠MAB，∴△ABD∽△AMB. ∴AB AM＝AD AB.∴AD·AM＝AB2＝22＝4. 4．(1)证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△CBA 中，AC＝CA，AD＝CB， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA. ∴∠CAD＝∠ACB.∴AD∥BC. 又 AD＝BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形． 又∠ABC＝90°，∴四边形 ABCD 是矩形． (2)证明：如图 4，连接 OB， 　　　图 4 在 Rt△MBF 中，G 是 MF 的中点， ∴BG＝1 2MF＝FG. ∴∠GBF＝∠GFB＝∠AFE. ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB. ∵DG⊥AC，∴∠AFE＋∠OAB＝90°. ∴∠GBF＋∠OBA＝90°，即 OB⊥BG. ∵OB 是半径，∴BG 是⊙O 的切线． (3)解：由(1)得四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC＝∠DCM＝90°. 又 AC⊥DG，∴∠CDM＋∠ACD＝90°，∠CDM＋∠M＝90°. ∴∠ACD＝∠M. 又∠ADC＝∠DCM，∴△ACD∽△DMC.∴AD DC＝DC CM. ∴DC2＝AD·CM＝36.∴DC＝6. ∴S 矩形 ABCD＝AD·CD＝24. 5．(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠BCK. ∵DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKC＝∠AED＝90°. 在△AED 和△CKB 中，Error! ∴△AED≌△CKB(AAS)．∴AE＝CK. (2)证明：∵∠BAD＝90°，∴∠BGD＝∠BAD＝90°. ∵∠BKC＝90°，∴∠BKE＝90°. 又 DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKE＝∠BGD＝90°. ∴四边形 BKEG 为矩形． (3)解：在△AEF 和△BGF 中，Error! ∴△AEF≌△BGF(ASA)． ∴AE＝BG，AF＝BF.∴AE＝BG＝EK＝CK. ∵BK∥EH，∴CK∶EK＝CB∶HB.∴CB＝HB. ∵∠ABC＝90°，∴AB 是 CH 的垂直平分线． ∴AH＝AC＝3AE. 在△AHE 中，∠AEH＝90°， ∴AE2＋EH2＝AH2.∴EH＝2 2AE. ∴tan∠HAC＝EH AE＝2 2. 6．(1)证明：如图 5，连接 BD， 在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠A＝∠C＝45°. 图 5 ∵AB 为圆 O 的直径，∴∠ADB＝90°， 即 BD⊥AC. ∴AD＝DC＝BD＝1 2AC，∠CBD＝∠C＝45°. ∴∠A＝∠FBD. ∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°. ∴∠FDB＋∠BDG＝90°. ∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB. 在△AED 和△BFD 中，Error! ∴△AED≌△BFD(ASA)．∴AE＝BF. (2)证明：如图 5，连接 EF，BG， ∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF. ∵∠EDF＝90°，∴△EDF 是等腰直角三角形． ∴∠DEF＝45°. ∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF. ∴GB∥EF. (3)解：∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1. 在 Rt△EBF 中，∠EBF＝90°， ∴EF2＝EB2＋BF2. ∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝ 22＋12＝ 5. ∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF＝90°， ∴cos∠DEF＝DE EF＝ 2 2 . ∵EF＝ 5，∴DE＝ 5× 2 2 ＝ 10 2 . ∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED， ∴△GEB∽△AED. ∴GE AE＝EB ED，即 GE·ED＝AE·EB. ∴ 10 2 ·GE＝2，即 GE＝2 10 5 . 则 DG＝GE＋ED＝9 10 10 .