重庆市江北区中考数学模拟试卷5月份解析版 7页

‎2019年重庆市江北区中考数学模拟试卷（5月份）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）‎ 1. ‎−3‎的相反数是‎(‎　　‎‎)‎ A. 3 B. ‎1‎‎3‎ C. ‎−‎‎1‎‎3‎ D. ‎‎−3‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：‎−3‎的相反数是3． 故选：A． 根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案． 此题主要考查了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键． ‎ 2. 下列计算正确的是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎(a‎4‎‎)‎‎2‎=‎a‎6‎ B. a‎3‎‎+a‎3‎=‎a‎6‎ C. a⋅a‎2‎=2‎a‎2‎ D. ‎a‎3‎‎÷a‎2‎=a ‎【答案】D ‎【解析】解：A、‎(a‎4‎‎)‎‎2‎=‎a‎8‎，故此选项错误； B、a‎3‎‎+a‎3‎=2‎a‎3‎，故此选项错误； C、a⋅a‎2‎=‎a‎3‎，故此选项错误； D、a‎3‎‎÷a‎2‎=a，故此选项正确； 故选：D． 直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． ‎ 3. 统计数据显示，2019年宁波市进出口贸易总额达7600亿元，其中7600亿元用科学计数法表示为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎7.6×‎‎10‎‎3‎元 B. ‎76×‎‎10‎‎8‎元 C. ‎7.6×‎‎10‎‎11‎元 D. ‎0.76×‎‎10‎‎12‎元 ‎【答案】C ‎【解析】解：7600亿元‎=7.6×‎‎10‎‎11‎元， 故选：C． 科学计数法的表示形式为a×‎‎10‎n的形式，其中‎1≤|a|<10‎，n为整数‎.‎确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同‎.‎当原数绝对值‎>1‎时，n是正数；当原数的绝对值‎<1‎时，n是负数． 此题考查科学计数法的表示方法‎.‎科学计数法的表示形式为a×‎‎10‎n的形式，其中‎1≤|a|<10‎，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． ‎ 4. 由若干块相同的小立方体堆成的一个几何体，它的俯视图如图所示，小正方形内的数字表示该位置上小立方体的个数，则这个几何体的主视图是‎(‎　　‎‎)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：由俯视图的形状和其中的数字可得：主视图从左到右分别是2、1个正方形． 故选：A． 俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图从左到右分别是2、1个正方形． 本题考查三视图和考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力，关键是根据俯视图中的每个数字代表的意思解答． ‎ 5. 不等式x+1≥2‎的解集在数轴上表示正确的是‎(‎　　‎‎)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：‎∵x+1≥2‎， ‎∴x≥1‎． 故选：A． 先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． ‎ 6. 为进一步普及环保和健康知识，我区某校举行了“共建绿色地球，关注环保健康”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下：‎ 成绩‎(‎分‎)‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 人数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎11‎ ‎5‎ 则该班学生成绩的众数和中位数分别是‎(‎　　‎‎)‎ A. 70分，80分 B. 80分，80分 C. 90分，80分 D. 80分，90分 ‎【答案】B ‎【解析】解：80出现的次数最多，众数为80． 这组数据一共有40个，已经按大小顺序排列，第20和第21个数分别是80、80，所以中位数为80． 故选：B． 中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． ‎ 7. 如图，AB是‎⊙O的直径，PA切‎⊙O于点A，OP交‎⊙O于点C，连接BC.‎若‎∠P=‎‎20‎‎∘‎，则‎∠B的度数是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎20‎‎∘‎ B. ‎25‎‎∘‎ C. ‎30‎‎∘‎ D. ‎35‎‎∘‎ ‎ 第 7 页 ‎【答案】D ‎【解析】解：连接AC， 根据切线的性质定理得AB⊥AP， ‎∴∠AOP=‎‎70‎‎∘‎， ‎∵OA=OC， ‎∴∠OAC=∠OCA=‎‎55‎‎∘‎； ‎∵AB是直径， ‎∴∠ACB=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠B=‎‎35‎‎∘‎． 故选：D． 根据切线性质得AB⊥AP，再根据圆周角定理即可求出． 熟练运用切线的性质定理和圆周角定理的推论． ‎ 1. 如图，在‎△ABC中，‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，分别以点A，B为圆心，大于‎1‎‎2‎AB为半径作弧，相交于点M，N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连结CD，下列结论错误的是‎(‎　　‎‎)‎ A. MN是线段AB的中垂线 B. CD=‎1‎‎2‎AB C. ‎∠A=∠BED D. ‎∠ECD=∠EDC ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，所以A选项的结论正确； ‎∵CD为斜边AB上的中线， ‎∴CD=‎1‎‎2‎AB，所以B选项的结论正确； ‎∵DE⊥AB， ‎∴∠BDE=‎‎90‎‎∘‎， ‎∵∠B+∠BED=‎‎90‎‎∘‎， 而‎∠B+∠A=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠A=∠BED，所以C选项的结论正确； ‎∵CD=BD， ‎∴∠B=∠BCD， ‎∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠ECD， 而‎∠EDC+∠ADC=‎‎90‎‎∘‎， 若‎∠ECD=∠EDC，则‎∠ADC=‎‎60‎‎∘‎，‎∠A=‎‎60‎‎∘‎， 而已知条件没有给定‎∠A=‎‎60‎‎∘‎，所以D选项的说法错误． 故选：D． 利用基本作法对A进行判断；根据斜边上的中线性质对B进行判断；根据等角的余角相等可对C进行判断；利用等腰三角形的性质和‎∠ECD=∠EDC可推出‎∠A=‎‎60‎‎∘‎，由此可对D进行判断． 本题考查了作图‎−‎基本作图：熟练掌握基本作图‎(‎作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线‎)‎． ‎ 2. 周日，小慧从家沿着一条笔直的公路步行去新华书店看书，看了一段时间后，她按原路返回家中，小慧离家的距离y(‎单位：m)‎与她所用的时间t(‎单位：min)‎之间的函数关系如图所示，则小慧在新华书店看书的时间用了‎(‎　　‎‎)‎ A. 15min B. 16min C. 17min D. 20min ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：设按原路返回家中的直线的解析式为：y=kx+b， 把‎(35,900)‎，‎(50,0)‎代入可得：‎50k+b=0‎‎35k+b=900‎， 解得：b=3000‎k=−60‎， 返回时的解析式为y=−60x+3000‎， 当y=1200‎时，x=30‎， 由横坐标看出小慧在新华书店看书的时间用了‎30−15=15min， 故选：A． 根据特殊点的实际意义即可求出答案． 本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚． ‎ 3. 如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4‎：3，且BF=2‎，则DF的长为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎5‎‎3‎ B. ‎7‎‎3‎ C. ‎10‎‎3‎ D. ‎‎14‎‎3‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：‎∵‎在▱ABCD中， ‎∴BE//CD，AB=CD， ‎∴△EBF∽‎△CDF， ‎∴BFDF=‎BECD， ‎∵AE：BE=4‎：3，且BF=2‎， ‎∴BFDF=BECD=‎3‎‎7‎=‎‎2‎DF， ‎∴DF=‎‎14‎‎3‎． 故选：D． 利用平行四边形的性质得出‎△EBF∽‎△CDF，再利用相似三角形的性质得出DF的长． 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，得出‎△EBF∽‎△CDF是解题关键． ‎ 4. 生产季节性产品的企业，当它的产品无利润或亏损时就会及时停产，某公司生产季节性产品，一年中第n月获得的利润y和对应月份n之间的函数表达式为y=−n‎2‎+12n−11‎，则该公司一年12个月中应停产的所有月份是‎(‎　　‎‎)‎ A. 6 B. 1，11 C. 1，6，11 D. 1，11，12‎ ‎【答案】D 第 7 页 ‎【解析】解：由题意知， 利润y和月份n之间函数关系式为y=−n‎2‎+12n−11‎， ‎∴y=−(n−6‎)‎‎2‎+25‎， 当n=1‎时，y=0‎， 当n=11‎时，y=0‎， 当n=12‎时，y<0‎， 故停产的月份是1月、11月、12月． 故选：D． 知道利润y和月份n之间函数关系式，求利润y大于0时x的取值． 本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题． ‎ 1. 如图，已知点A是反比例函数y=‎‎2‎‎3‎x的图象在第一象限上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边‎△ABC使点C落在第二象限，且边BC交x轴于点D，若‎△ACD与‎△ABD的面积之比为1：2，则点C的坐标为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎(−3,2‎3‎)‎ B. ‎(−5,‎3‎)‎ C. ‎(−6,‎3‎)‎ D. ‎(−3‎3‎,2)‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：如图，作CM⊥OD于M，AE⊥OD于E，作DF⊥AB于F，连接CO， 根据题意得：AO=BO ‎∵‎S‎△ACD：S‎△ADB‎=1‎：2 ‎∴CD：DB=1‎：2即DB=2CD ‎∵△ABC为等边三角形且AO=BO ‎∴∠CBA=‎‎60‎‎∘‎，CO⊥AB且DF⊥AB ‎∴DF//CO ‎∴DFCO=BFBO=‎‎2‎‎3‎ ‎∴DF=‎2‎‎3‎CO，BF=‎2‎‎3‎BO，即FO=‎1‎‎3‎BO ‎∵∠CBA=‎‎60‎‎∘‎，CO⊥AB ‎∴CO=‎3‎BO∴DF=‎2‎‎3‎‎3‎BO ‎∵∠DOF=∠AOE，‎∠DFO=∠AEO=‎‎90‎‎∘‎ ‎∴△DFO∽‎△AOE ‎∴AEOE=DFFO=‎2‎‎3‎‎3‎BO‎1‎‎3‎BO=2‎‎3‎ ‎∴AE=2‎3‎OE ‎∵‎点A是反比例函数y=‎‎2‎‎3‎x的图象在第一象限上的动点 ‎∴AE×OE=2‎‎3‎ ‎∴AE=2‎‎3‎，OE=1‎ ‎∵∠COM+∠AOE=‎‎90‎‎∘‎，‎∠AOE+∠EAO=‎‎90‎‎∘‎ ‎∴∠COM=∠EAO，且‎∠CMO=∠AEO=‎‎90‎‎∘‎ ‎∴△COM∽‎△AOE CMOE‎=MOAE=COAO=‎‎3‎ ‎∴CM=‎‎3‎，MO=6‎ 且M在第二象限 ‎∴M(−6,‎3‎)‎ 故选：C． 作CM⊥OD于M，AE⊥OD于E，作DF⊥AB于F，连接CO，根据等高的三角形的面积比等于底边的比，可得DB=2CD，由‎△ABC是等边三角形，且AO=BO可得CO⊥AB，CO=‎3‎AO=‎3‎BO，由DF//CO可得OF=‎1‎‎3‎OB，DF=‎2‎‎3‎‎3‎OB，根据‎△AOE∽‎△DOF可得AE=2OE，根据AE×OE=2‎‎3‎，可求A点坐标，再根据‎△CMO∽‎△AOE可求C点坐标 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质‎.‎关键是熟练运用相似三角形的判定和性质解决问题． ‎ 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）‎ 2. 要使二次根式x−2‎有意义，则x的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎x≥2‎ ‎【解析】解：由题意得，x−2≥0‎， 解得x≥2‎． 故答案为：x≥2‎． 根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． ‎ 3. 因式分解：x‎2‎‎−1=‎______．‎ ‎【答案】‎‎(x+1)(x−1)‎ ‎【解析】解：原式‎=(x+1)(x−1)‎． 故答案为：‎(x+1)(x−1)‎． 方程利用平方差公式分解即可． 此题考查了因式分解‎−‎运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． ‎ 4. 一个不透明的盒子里装有3个红球和6个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为______．‎ ‎【答案】‎‎1‎‎3‎ 第 7 页 ‎【解析】解：‎∵‎在这3个红球和6个白球共9个球中，红球有3个， ‎∴‎从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为‎3‎‎9‎‎=‎‎1‎‎3‎， 故答案为：‎1‎‎3‎． 用红球的个数除以球的总数量即可得． 本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=‎事件A可能出现的结果数‎÷‎所有可能出现的结果数． ‎ 1. 一个圆锥的母线长为4，侧面积为‎8π，则这个圆锥的底面圆的半径是______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】解：nπ×16‎‎360‎‎=8π 解得n=180‎ 则弧长‎=‎180π×4‎‎180‎=4π ‎2πr=4π 解得r=2‎ 故答案是：2． 根据扇形的面积公式求出扇形的圆心角，再利用弧长公式求出弧长，再利用圆的面积公式求出底面半径． 解决本题的关键是根据圆锥的侧面积公式得到圆锥的底面半径的求法． ‎ 2. 如图，点C，D为线段AB的三等分点，以CD为边向上作一个正‎△OCD，以O为圆心，OA长为半径作弧交OC的延长线于点E，交OD的延长线于点F，若AB=6‎，则阴影部分的面积为______． ‎ ‎【答案】‎‎2π−‎‎3‎ ‎【解析】解：连接OA、OB，作OH⊥AB于点H，如右图所示， ‎∵AB=6‎，C，D为线段AB的三等分点，‎△COD是等边三角形， ‎∴∠OHA=‎‎90‎‎∘‎，‎∠COH=‎‎30‎‎∘‎，AC=CD=DB=2‎，AH=BH=3‎，‎∠OCH=‎‎60‎‎∘‎， ‎∴OH=2×sin‎60‎‎∘‎=‎‎3‎， ‎∴OA=‎3‎‎2‎‎+(‎‎3‎‎)‎‎2‎=2‎‎3‎，tan∠OAH=OHAH=‎‎3‎‎3‎， ‎∴∠OAH=‎‎30‎‎∘‎， ‎∴∠AOH=‎‎60‎‎∘‎， ‎∴∠AOC=‎‎30‎‎∘‎， ‎∴‎阴影部分的面积是：‎2×‎‎3‎‎2‎‎+[‎30×π×(2‎‎3‎‎)‎‎2‎‎360‎−‎2×‎‎3‎‎2‎]×2=2π−‎‎3‎， 故答案为：‎2π−‎‎3‎． 根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意可以求得OH、OA的长，然后根据图形即可求得阴影部分的面积，本题得以解决． 本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． ‎ 3. 如图，在‎△ABC中，D，E两点分别在边BC，AB上，DE//AC，过点E作EF//DC，交‎∠ACB的平分线于点F，连结DF，若‎∠EDF=∠B，且BC=4‎，BD=1‎，那么EF的长度是______． ‎ ‎【答案】‎‎7−‎‎13‎‎2‎ ‎【解析】解：延长EF交AC于M.‎设EF=m． ‎∵EF//DC， ‎∴∠BDE=∠FED， ‎∵∠EDF=∠EBD， ‎∴△EDF∽‎△DBE， ‎∴ED‎2‎=BD⋅EF， ‎∴ED=‎x， ‎∵EM//BC， ‎∴∠MFC=∠FCB， ‎∵∠MCF=∠FCD， ‎∴∠MFC=∠MCF， ‎∴MC=FM， ‎∵DE//CM，EM//CD， ‎∴‎四边形EMCD是平行四边形， ‎∴CM=DE=FM=‎x，EM=CD=3‎， ‎∴x+x=3‎， 解得x=‎‎7−‎‎13‎‎2‎或‎7+‎‎13‎‎2‎‎(‎舍弃‎)‎， ‎∴EF=‎‎7−‎‎13‎‎2‎， 故答案为‎7−‎‎13‎‎2‎． 延长EF交AC于M.‎设EF=m.‎由‎△EDF∽‎△DBE，可得ED‎2‎=BD⋅EF，推出ED=‎x，再证明四边形EMCD是平行四边形，推出CM=DE=FM=‎x，EM=CD=3‎，构建方程即可解决问题； 本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． ‎ 三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）‎ 4. 计算：‎‎8‎‎+(π−‎22‎‎7‎‎)‎‎0‎−4sin‎45‎‎∘‎ ‎【答案】解：原式‎=2‎2‎+1−4×‎‎2‎‎2‎ ‎=1‎．‎ ‎【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简进而得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． ‎ 第 7 页 1. 宁波城区中考体育选测项目进行了现场抽取，最终确定了宁波城区2019年体育选测项目：跳绳、篮球运动投篮、立定跳远，某中学随机抽取了一部分九年级女同学进行1分钟跳绳抽测，将测得的成绩绘制成如下的统计图表：‎ 级别 成绩‎(‎次‎)‎ 频数 A ‎1300‎， ‎∴y随着m的增大而增大， ‎∴‎当m=125‎时，y有最大值为18750元．‎ ‎【解析】‎(1)‎设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为‎(x−10)‎元‎.‎根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出分式方程即可解决问题； ‎(2)‎依据不等关系列出不等式，即可得到m的取值范围，再根据总利润‎=‎两种商品的利润之和，列出一次函数表达式，即可解决问题． 本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题． ‎ 2. 若二次函数y‎1‎‎=ax‎2‎+b‎1‎x+‎c‎1‎和y‎2‎‎=−ax‎2‎+b‎2‎x+‎c‎2‎的图象关于原点成中心对称，我们就称其中一个函数是另一个函数的中心对称函数，也称函数y‎1‎和y‎2‎互为中心对称函数． ‎(1)‎求函数y=x‎2‎−4x+5‎的中心对称函数； ‎(2)‎如图，在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为‎(−4,0)‎，‎(4,0)‎，二次函数y‎1‎‎=ax‎2‎+bx+c‎1‎(a>0)‎的图象经过点E和原点O，顶点为P.‎已知函数y‎1‎和y‎2‎互为中心对称函数； ‎①‎请在图中作出二次函数y‎2‎的顶点Q(‎作图工具不限‎)‎，并画出函数y‎2‎的大致图象； ‎②‎当四边形EPFQ是矩形时，请求出a的值； ‎(3)‎已知二次函数y‎1‎‎=ax‎2‎+bx+c和y‎2‎互为中心对称函数，且y‎1‎的图象经过y‎2‎的顶点当a=‎‎1‎‎2‎时，求代数式c+4b−5‎的最大值．‎ 第 7 页 ‎【答案】解：‎(1)∵y=x‎2‎−4x+5=(x−2‎)‎‎2‎+1‎， ‎∴‎此抛物线的顶点坐标为‎(2,1)‎， ‎∵‎点‎(2,1)‎关于原点对称的点的坐标为‎(−2,−1)‎， ‎∴‎函数y=x‎2‎−4x+5‎的中心对称函数为y=−(x+2‎)‎‎2‎−1‎，即y=−x‎2‎−4x−5‎； ‎(2)①‎如图， ‎②∵‎四边形EPFG为矩形， ‎∴OE=OF=OP=OQ=4‎， 而PE=PO， ‎∴△POE为等边三角形， 作PH⊥OE于H，如图， 则PH=EH=2‎，PH=‎3‎OH=2‎‎3‎， ‎∴P(−2,−2‎3‎)‎， 设二次函数y‎1‎的解析式为y=ax(x+4)‎， 把P(−2,−2‎3‎)‎代入得a×(−2)×(−2+4)=−2‎‎3‎，解得a=‎‎3‎‎2‎， 即a的值为‎3‎‎2‎； ‎(3)∵y‎1‎=‎1‎‎2‎x‎2‎+bx+c=‎1‎‎2‎(x+b‎)‎‎2‎+c−‎‎1‎‎2‎b‎2‎， ‎∴‎抛物线y‎1‎的顶点坐标为‎(−b,c−‎1‎‎2‎b‎2‎)‎， ‎∵‎抛物线y‎1‎的顶点与抛物线y‎2‎的顶点关于原点对称， ‎∴‎抛物线y‎2‎的顶点坐标为‎(b,c−‎1‎‎2‎b‎2‎)‎， 把‎(b,c−‎1‎‎2‎b‎2‎)‎代入y‎1‎‎=‎1‎‎2‎x‎2‎+bx+c得‎1‎‎2‎b‎2‎‎+b‎2‎+c=c−‎‎1‎‎2‎b‎2‎，解得c=−‎‎1‎‎2‎b‎2‎， ‎∴c+4b−5=−‎1‎‎2‎b‎2‎+4b−5=−‎1‎‎2‎(b−4‎)‎‎2‎+3‎， 当b=4‎时，c+4b−5‎有最大值，最大值为3．‎ ‎【解析】‎(1)‎利用配方法得到y=(x−2‎)‎‎2‎+1‎，则此抛物线的顶点坐标为‎(2,1)‎，利用中心对称的性质得点‎(2,1)‎关于原点对称的点的坐标为‎(−2,−1)‎，然后利用顶点式写出函数y=x‎2‎−4x+5‎的中心对称函数解析式； ‎(2)①‎作P点关于原点的对称点得到q点，然后大致画出顶点为Q，经过原点和F点的抛物线； ‎②‎利用矩形的性质得OE=OF=OP=OQ=4‎，则利用抛物线的对称性得到PE=PO，则可判定‎△POE为等边三角形，作PH⊥OE于H，如图，易得PH=EH=2‎，PH=‎3‎OH=2‎‎3‎，所以P(−2,−2‎3‎)‎，设交点式y=ax(x+4)‎，然后把P点坐标代入即可得到a的值； ‎(3)‎把y‎1‎‎=‎1‎‎2‎x‎2‎+bx+c化为顶点式得到抛物线y‎1‎的顶点坐标为‎(−b,c−‎1‎‎2‎b‎2‎)‎，利用关于原点对称的点的坐标特征得到抛物线y‎2‎的顶点坐标为‎(b,c−‎1‎‎2‎b‎2‎)‎，再把‎(b,c−‎1‎‎2‎b‎2‎)‎代入y‎1‎‎=‎1‎‎2‎x‎2‎+bx+c得c=−‎‎1‎‎2‎b‎2‎，所以c+4b−5=−‎1‎‎2‎b‎2‎+4b−5‎，然后利用二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、中心对称的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质． ‎ 1. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A(2a,0)‎，C(0,a)‎分别在x轴、y轴上，且a>1.‎直线y=kx−1‎交y轴于点D，交x轴于点E，且tan∠ODE=3.‎以点E为圆心，EC为半径作‎⊙E，交y轴负半轴于点F． ‎(1)‎求直线DE的解析式； ‎(2)‎当‎⊙E与直线AB相切时，求a的值； ‎(3)‎如图2，过F作DE的垂线交‎⊙E于点G，连结GE并延长交‎⊙E于点H，连结GD，FH． ‎①‎求tan∠DGF的值； ‎②‎试探究FH−‎1‎‎3‎GF的值是否与a有关？若有关，请用含a的代数式表示；若无关，则求出它的值． ‎ ‎【答案】解：‎(1)‎在Rt△ODE中，‎∵tan∠ODE=OEOD=3‎，OD=1‎， ‎∴OE=3‎， ‎∴E(3,0)‎， 把E(3,0)‎代入y=kx−1‎中得到k=‎‎1‎‎3‎， ‎∴‎直线DE的解析式为y=‎1‎‎3‎x−1‎． ‎(2)∵⊙E与直线AB相切， ‎∴EA=EC， ‎∴a‎2‎+‎3‎‎2‎=(2a−3‎‎)‎‎2‎， 解得a=4‎或‎0(‎舍弃‎)‎， ‎∴a=4‎． ‎(3)①‎如图2中，设FG交DE于K． ‎∵ED⊥FG， ‎∴GK=KF， ‎∴DE垂直平分线段FG， ‎∴GD=DF， ‎∴∠DGF=∠FDG， ‎∵∠DFK+∠FDK=‎‎90‎‎∘‎，‎∠OED+∠ODE=‎‎90‎‎∘‎，‎∠ODE=∠FDK， ‎∴∠OED=∠DFK=∠DGF， ‎∴tan∠DFG=tan∠OED=ODOE=‎‎1‎‎3‎． ‎②‎结论：FH−‎1‎‎3‎GF的值与a无关． 理由：延长GD交FH于I． ‎∵GH是直径， ‎∴∠GFI=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴DE//HI，‎∵EG=EH， ‎∴GD=DI， ‎∴HI=2DE=2‎‎10‎， ‎∴FIGF=tan∠DGF=‎‎1‎‎3‎， ‎∴FI=‎1‎‎3‎GF， ‎∴FH−‎1‎‎3‎GF=FH−FI=HI=2DE=2‎‎10‎， ‎∴FH−‎1‎‎3‎GF的值与a无关．‎ ‎【解析】‎(1)‎解直角三角形求出OE的长，可得点E坐标，利用待定系数法即可解决问题； ‎(2)‎根据相切时，满足EC=EA，由此构建方程即可解决问题； ‎(3)①‎只要证明‎∠OED=∠DFK=∠DGF即可解决问题； ‎②FH−‎1‎‎3‎GF的值与a无关‎.‎延长GD交FH于I.‎想办法证明FH−‎1‎‎3‎GF=FH−FI=HI=2DE，即可解决问题； 本题考查一次函数综合题、矩形的性质、圆的有关知识、锐角三角函数、垂径定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． ‎ 第 7 页