全国各地中考数学压轴题汇编几何综合山东专版解析卷 27页

‎2018年全国各地中考数学压轴题汇编（山东专版）‎ 几何综合 参考答案与试题解析 ‎　‎ ‎1．（2018•威海）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．‎ 解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，‎ 如图，过点K作KM⊥BC于点M，‎ 设KM=x，则EM=x、MF=x，‎ ‎∴x+x=+1，‎ 解得：x=1，‎ ‎∴EK=、KF=2，‎ ‎∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，‎ ‎∴BC的长为3++．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•枣庄）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；‎ ‎（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；‎ ‎（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．‎ 解：（1）如图所示，‎ ‎△DCE为所求作 ‎（2）如图所示，‎ ‎△ACD为所求作 ‎（3）如图所示 ‎△ECD为所求作 ‎　‎ ‎3．（2018•枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．‎ ‎（1）求线段AD的长度；‎ ‎（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．‎ 解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；‎ 连接CD，∵BC为直径，‎ ‎∴∠ADC=∠BDC=90°；‎ ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，‎ ‎∴Rt△ADC∽Rt△ACB；‎ ‎∴，∴；‎ ‎（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；‎ 证明：连接OD，‎ ‎∵DE是Rt△ADC的中线；‎ ‎∴ED=EC，‎ ‎∴∠EDC=∠ECD；‎ ‎∵OC=OD，‎ ‎∴∠ODC=∠OCD；‎ ‎∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；‎ ‎∴ED⊥OD，‎ ‎∴ED与⊙O相切．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．‎ ‎（1）求证：AE=BF；‎ ‎（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴BA=AD，∠BAD=90°，‎ ‎∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，‎ ‎∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，‎ ‎∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，‎ ‎∴∠ABF=∠EAD，‎ 在△ABF和△DEA中 ‎，‎ ‎∴△ABF≌△DEA（AAS），‎ ‎∴BF=AE；‎ ‎（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，‎ ‎∵四边形ABED的面积为24，‎ ‎∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），‎ ‎∴EF=x﹣2=4，‎ 在Rt△BEF中，BE==2，‎ ‎∴sin∠EBF===．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•淄博）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．‎ ‎（1）求证：PA•BD=PB•AE；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．‎ 解：（1）∵DP平分∠APB，‎ ‎∴∠APE=∠BPD，‎ ‎∵AP与⊙O相切，‎ ‎∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，‎ ‎∴∠EAP=∠B，‎ ‎∴△PAE∽△PBD，‎ ‎∴，‎ ‎∴PA•BD=PB•AE；‎ ‎（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，‎ ‎∵DP平分∠APB，‎ AD⊥AP，DF⊥PB，‎ ‎∴AD=DF，‎ ‎∵∠EAP=∠B，‎ ‎∴∠APC=∠BAC，‎ 易证：DF∥AC，‎ ‎∴∠BDF=∠BAC，‎ 由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，‎ 解得：AE=2，BD=3，‎ ‎∴由（1）可知：，‎ ‎∴cos∠APC==，‎ ‎∴cos∠BDF=cos∠APC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF=2，‎ ‎∴DF=AE，‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形，‎ ‎∵AD=AE，‎ ‎∴四边形ADFE是菱形，‎ 此时点F即为M点，‎ ‎∵cos∠BAC=cos∠APC=，‎ ‎∴sin∠BAC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DG=，‎ ‎∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形 其面积为：DG•AE=2×=‎ ‎　‎ ‎6．（2018•烟台）【问题解决】‎ 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？‎ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：‎ 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；‎ 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．‎ 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．‎ ‎【类比探究】‎ 如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．‎ 解：（1）思路一、如图1，‎ 将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，‎ ‎∴△ABP'≌△CBP，‎ ‎∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，‎ 在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，‎ ‎∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=BP=2，‎ ‎∵AP=1，‎ ‎∴AP2+PP'2=1+8=9，‎ ‎∵AP'2=32=9，‎ ‎∴AP2+PP'2=AP'2，‎ ‎∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，‎ ‎∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；‎ 思路二、同思路一的方法；‎ （2） 如图2，‎ 将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，‎ ‎∴△ABP'≌△CBP，‎ ‎∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=，‎ 在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，‎ ‎∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=BP=，‎ ‎∵AP=3，‎ ‎∴AP2+PP'2=9+2=11，‎ ‎∵AP'2=（）2=11，‎ ‎∴AP2+PP'2=AP'2，‎ ‎∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，‎ ‎∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．‎ ‎（1）求证：∠CAD=∠BDC；‎ ‎（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．‎ ‎（1）证明：连接OD，如图所示．‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠OBD=∠ODB．‎ ‎∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，‎ ‎∴∠ODB+∠BDC=90°．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠OBD+∠CAD=90°，‎ ‎∴∠CAD=∠BDC．‎ ‎（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，‎ ‎∴△CDB∽△CAD，‎ ‎∴=．‎ ‎∵BD=AD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 又∵AC=3，‎ ‎∴CD=2．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．‎ ‎（1）在图1中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；‎ ‎（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：‎ 将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．‎ 解：（1）如图点O即为所求；‎ ‎（2）设切点为C，连接OM，OC．‎ ‎∵MN是切线，‎ ‎∴OC⊥MN，‎ ‎∴CM=CN=5，‎ ‎∴OM2﹣OC2=CM2=25，‎ ‎∴S圆环=π•OM2﹣π•OC2=25π．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•潍坊）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．‎ ‎（1）求证：AE与⊙O相切于点A；‎ ‎（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．‎ 证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA=OB，‎ ‎∴∠D=∠DAO，‎ ‎∵∠D=∠C，‎ ‎∴∠C=∠DAO，‎ ‎∵∠BAE=∠C，‎ ‎∴∠BAE=∠DAO，（2分）‎ ‎∵BD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAD=90°，‎ 即∠DAO+∠BAO=90°，（3分）‎ ‎∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，‎ ‎∴AE⊥OA，‎ ‎∴AE与⊙O相切于点A；（4分）‎ ‎（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，‎ ‎∴OA⊥BC，（5分）‎ ‎∴，FB=BC，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∵BC=2，AC=2，‎ ‎∴BF=，AB=2，‎ 在Rt△ABF中，AF==1，‎ 在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，‎ ‎∴OB=4，（7分）‎ ‎∴BD=8，‎ ‎∴在Rt△ABD中，AD====2．（8分）‎ ‎　‎ ‎10．（2018•东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：‎ 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=‎ ‎，BO：CO=1：3，求AB的长．‎ 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．‎ 请回答：∠ADB=　75　°，AB=　4　．‎ ‎（2）请参考以上解决思路，解决问题：‎ 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．‎ 解：（1）∵BD∥AC，‎ ‎∴∠ADB=∠OAC=75°．‎ ‎∵∠BOD=∠COA，‎ ‎∴△BOD∽△COA，‎ ‎∴==．‎ 又∵AO=，‎ ‎∴OD=AO=，‎ ‎∴AD=AO+OD=4．‎ ‎∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，‎ ‎∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，‎ ‎∴AB=AD=4．‎ 故答案为：75；4．‎ ‎（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．‎ ‎∵AC⊥AD，BE∥AD，‎ ‎∴∠DAC=∠BEA=90°．‎ ‎∵∠AOD=∠EOB，‎ ‎∴△AOD∽△EOB，‎ ‎∴==．‎ ‎∵BO：OD=1：3，‎ ‎∴==．‎ ‎∵AO=3，‎ ‎∴EO=，‎ ‎∴AE=4．‎ ‎∵∠ABC=∠ACB=75°，‎ ‎∴∠BAC=30°，AB=AC，‎ ‎∴AB=2BE．‎ 在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，‎ 解得：BE=4，‎ ‎∴AB=AC=8，AD=12．‎ 在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，‎ 解得：CD=4．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•枣庄）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．‎ ‎（1）求证：四边形EFDG是菱形；‎ ‎（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．‎ 解：（1）证明：∵GE∥DF，‎ ‎∴∠EGF=∠DFG．‎ ‎∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，‎ ‎∴∠DGF=∠DFG．‎ ‎∴GD=DF．‎ ‎∴DG=GE=DF=EF．‎ ‎∴四边形EFDG为菱形．‎ ‎（2）EG2=GF•AF．‎ 理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．‎ ‎∵四边形EFDG为菱形，‎ ‎∴GF⊥DE，OG=OF=GF．‎ ‎∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，‎ ‎∴△DOF∽△ADF．‎ ‎∴，即DF2=FO•AF．‎ ‎∵FO=GF，DF=EG，‎ ‎∴EG2=GF•AF．‎ ‎（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．‎ ‎∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，‎ ‎∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．‎ 解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．‎ ‎∵DF=GE=2，AF=10，‎ ‎∴AD==4．‎ ‎∵GH⊥DC，AD⊥DC，‎ ‎∴GH∥AD．‎ ‎∴△FGH∽△FAD．‎ ‎∴，即=．‎ ‎∴GH=．‎ ‎∴BE=AD﹣GH=4﹣=．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•烟台）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．‎ ‎（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；‎ ‎（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．‎ 解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，‎ ‎∴∠EDB=∠EBD=α，‎ ‎∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，‎ ‎⊙D中，∵DC=DE=AD，‎ ‎∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，‎ ‎△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，‎ ‎∴∠CAD==；‎ ‎（2）设∠MBE=x，‎ ‎∵EM=MB，‎ ‎∴∠EMB=∠MBE=x，‎ 当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，‎ ‎∴∠CED+∠MEB=90°，‎ ‎∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，‎ ‎△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，‎ ‎∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，‎ ‎∴∠CAD=45°；‎ ‎（3）由（2）得：∠CAD=45°；‎ 由（1）得：∠CAD=；‎ ‎∴∠MBE=30°，‎ ‎∴∠CED=2∠MBE=60°，‎ ‎∵CD=DE，‎ ‎∴△CDE是等边三角形，‎ ‎∴CD=CE=DE=EF=AD=，‎ Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，‎ ‎∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，‎ ‎△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，‎ ‎△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，‎ ‎∴∠CNE=75°，‎ ‎∴∠CNE=∠NCB=75°，‎ ‎∴EN=CE=，‎ ‎∴===2+．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．‎ ‎（1）求证：△ECG≌△GHD；‎ ‎（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．‎ ‎（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．‎ 解：（1）∵AF=FG，‎ ‎∴∠FAG=∠FGA，‎ ‎∵AG平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAG=∠FGA，‎ ‎∴∠CAG=∠FGA，‎ ‎∴AC∥FG，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴FG⊥DE，‎ ‎∵FG⊥BC，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，‎ ‎∵F是AD的中点，FG∥AE，‎ ‎∴H是ED的中点，‎ ‎∴FG是线段ED的垂直平分线，‎ ‎∴GE=GD，∠GDE=∠GED，‎ ‎∴∠CGE=∠GDE，‎ ‎∴△ECG≌△GHD；‎ ‎（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，‎ ‎∴GC=GP，而AG=AG，‎ ‎∴△CAG≌△PAG，‎ ‎∴AC=AP，‎ 由（1）可得EG=DG，‎ ‎∴Rt△ECG≌Rt△GPD，‎ ‎∴EC=PD，‎ ‎∴AD=AP+PD=AC+EC；‎ ‎（3）四边形AEGF是菱形，‎ 证明：∵∠B=30°，‎ ‎∴∠ADE=30°，‎ ‎∴AE=AD，‎ ‎∴AE=AF=FG，‎ 由（1）得AE∥FG，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∴四边形AEGF是菱形．‎ ‎　‎ ‎14．（2018•淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　MG=NG　；位置关系是　MG⊥NG　．‎ ‎（2）类比思考：‎ 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．‎ ‎（3）深入研究：‎ 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．‎ 解：（1）连接BE，CD相交于H，‎ ‎∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°‎ ‎∴∠CAD=∠BAE，‎ ‎∴△ACD≌△AEB（SAS），‎ ‎∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，‎ ‎∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，‎ ‎∴∠BHD=90°，‎ ‎∴CD⊥BE，‎ ‎∵点M，G分别是BD，BC的中点，‎ ‎∴MGCD，‎ 同理：NGBE，‎ ‎∴MG=NG，MG⊥NG，‎ 故答案为：MG=NG，MG⊥NG；‎ ‎（2）连接CD，BE相交于点H，‎ 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；‎ ‎（3）连接EB，DC，延长线相交于H，‎ 同（1）的方法得，MG=NG，‎ 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，‎ ‎∴∠AEB=∠ACD，‎ ‎∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，‎ ‎∴∠DHE=90°，‎ 同（1）的方法得，MG⊥NG．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•泰安）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF∥AB，∠EAB=∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G．‎ ‎（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；‎ ‎（2）找出图中与△AGB相似的三角形，并证明；‎ ‎（3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M．求证：BM2=MF•MH．‎ 解：（1）∠DEF=∠AEF，‎ 理由：∵EF∥AB，‎ ‎∴∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB，‎ ‎∵∠EAB=∠EBA，‎ ‎∴∠DEF=∠AEF；‎ ‎（2）△EOA∽△AGB，‎ 理由：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD，AC⊥BD，‎ ‎∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE，‎ ‎∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE，‎ ‎∵∠GAB=∠AEO，∠GAB=∠AOE=90°，‎ ‎∴△EOA∽△AGB；‎ ‎（3）如图，连接DM，∵四边形ABCD是菱形，‎ 由对称性可知，BM=DM，∠ADM=∠ABM，‎ ‎∵AB∥CH，‎ ‎∴∠ABM=∠H，‎ ‎∴∠ADM=∠H，‎ ‎∵∠DMH=∠FMD，‎ ‎∴△MFD∽△MDH，‎ ‎∴，‎ ‎∴DM2=MF•MH，‎ ‎∴BM2=MF•MH．‎ ‎　‎ ‎16．（2018•潍坊）如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．‎ ‎（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．‎ ‎①求四边形BHMM′的面积；‎ ‎②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．‎ ‎（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．‎ 解：（1）①在▱ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，‎ ‎∴DE=FH=3，‎ 又BF：FA=1：5，‎ ‎∴AH=2，‎ ‎∵Rt△AHD∽Rt△MHF，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴HM=1.5，‎ 根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，‎ 四边形BHMM′的面积=；‎ ‎②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，‎ ‎∵直线EF垂直平分CD，‎ ‎∴CN=DN，‎ ‎∵MH=1.5，‎ ‎∴DM=2.5，‎ 在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，‎ ‎∴MC2=62+（2.5）2，‎ 即MC=6.5，‎ ‎∵MN+DN=MN+CN=MC，‎ ‎∴△DNM周长的最小值为9．‎ ‎（2）∵BF∥CE，‎ ‎∴，‎ ‎∴QF=2，‎ ‎∴PK=PK'=6，‎ 过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，‎ 当点P在线段CE上时，‎ 在Rt△PK'E'中，‎ PE'2=PK'2﹣E'K'2，‎ ‎∴，‎ ‎∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得：，‎ ‎∴PE=PE'﹣EE'=，‎ ‎∴，‎ 同理可得，当点P在线段DE上时，，如图4，‎ 综上所述，CP的长为或．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•青岛）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．‎ 根据题意解答下列问题：‎ ‎（1）用含t的代数式表示AP；‎ ‎（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）当QP⊥BD时，求t的值；‎ ‎（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，‎ ‎∴CD=BH=8，DH=BC=6，‎ ‎∴AH=AB﹣BH=8，AD==10，BD==10，‎ 由题意AP=AD﹣DP=10﹣2t．‎ ‎（2）作PN⊥AB于N．连接PB．在Rt△APN中，PA=10﹣2t，‎ ‎∴PN=PA•sin∠DAH=（10﹣2t），AN=PA•cos∠DAH=（10﹣2t），‎ ‎∴BN=16﹣AN=16﹣（10﹣2t），‎ S=S△PQB+S△BCP=•（16﹣2t）•（10﹣2t）+×6×[16﹣（10﹣2t）]= t2﹣t+72‎ ‎（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，‎ ‎∵∠QPN+∠PQN=90°，‎ ‎∴∠QPN=∠DBA，‎ ‎∴tan∠QPN==，‎ ‎∴=，‎ 解得t=，‎ 经检验：t=是分式方程的解，‎ ‎∴当t=s时，PQ⊥BD．‎ ‎（4）存在．‎ 理由：连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．‎ 当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，‎ ‎∴KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，‎ 在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2，‎ 解得x=，‎ 作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，‎ ‎∴EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，‎ ‎∴BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，‎ ‎∵KH∥EF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：t=，‎ 经检验：t=是分式方程的解，‎ ‎∴当t=s时，点E在∠ABD的平分线．‎ ‎　‎ ‎18．（2018•威海）如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．‎ ‎（1）如图②，当BC=4，DE=5，tan∠FMN=1时，求的值；‎ ‎（2）若tan∠FMN=，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；‎ ‎（3）连接CM，DN，CF，DF．试证明△FMC与△DNF全等；‎ ‎（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．‎ 解：（1）∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，‎ ‎∴MF，NF都是△ABE的中位线，‎ ‎∴MF=AE=AN，NF=AB=AM，‎ ‎∴四边形ANFM是平行四边形，‎ 又∵AB⊥AE，‎ ‎∴四边形ANFM是矩形，‎ 又∵tan∠FMN=1，‎ ‎∴FN=FM，‎ ‎∴矩形ANFM是正方形，AB=AE，‎ 又∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵∠C=∠D=90°，‎ ‎∴△ABC≌△EAD（AAS），‎ ‎∴BC=AD=4，CA=DE=5，‎ ‎∴=；‎ ‎（2）可求线段AD的长．‎ 由（1）可得，四边形MANF为矩形，MF=AE，NF=AB，‎ ‎∵tan∠FMN=，即=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠1=∠3，∠C=∠D=90°，‎ ‎∴△ABC∽△EAD，‎ ‎∴==，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴AD=8；‎ ‎（3）∵BC⊥CD，DE⊥CD，‎ ‎∴△ABC和△ADE都是直角三角形，‎ ‎∵M，N分别是AB，AE的中点，‎ ‎∴BM=CM，NA=ND，‎ ‎∴∠4=2∠1，∠5=2∠3，‎ ‎∵∠1=∠3，‎ ‎∴∠4=∠5，‎ ‎∵∠FMC=90°+∠4，∠FND=90°+∠5，‎ ‎∴∠FMC=∠FND，‎ ‎∵FM=DN，CM=NF，‎ ‎∴△FMC≌△DNF（SAS）；‎ ‎（4）在（3）的条件下，BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，‎ ‎∴图中有：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．‎ ‎ ‎