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- 2021-05-10 发布
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(最新最全)2012年全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)第三十二章 与圆有关的计算B
(2012山东日照,15,4分)如图1,正方形OCDE的边长为1,阴影部分的面积记作S1;如图2,最大圆半径r=1,阴影部分的面积记作S2,则S1 S2(用“>”、“<”或“=”填空).
解析:把图1中的阴影部分拼在一起即是矩形ACDF,因为正方形OCDE的边长为1,所以正方形的对角线长,所以OA=,S1=S矩形ACDF=-1;把图2中的阴影部分拼在一起即是圆,故S2=.所以S1<S2.
解答:填<.
点评:本题主要考查勾股定理、扇形的面积等,解题的关键是运用割补法把阴影部分转化为规则图形求其面积.
O
B
AB
(第7题图)
5cm
(2012山东东营,7,3分)小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面,已知扇形的半径为5cm,弧长是cm,那么这个的圆锥的高是( )
A. 4cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 2cm
【解析】设圆锥的高、底面圆的半径分别为h,r,2r=6,所以r=3,因为圆的母线线为5,所以圆锥的高h=.
【答案】A
【点评】考查圆锥的侧面展开图,理清圆锥与其侧面展开图的之间的数量关系是解此类题的关键,圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长度。
(2012黑龙江省绥化市,7,3分)小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型,如图所示,它的底面半径,高,则这个圆锥形漏斗的侧面积是 .
【解析】解:先由勾股定理求得,再由圆锥侧面积公式求得
.
【答案】 15π(或47.1) .
【点评】 本题主要考查了立体图形中的勾股定理及圆锥侧面积的计算,解决此类题型的关键是熟练圆锥侧面积的计算公式.考查知识点比较单一,难度较小.
(2012湖北咸宁,7,3分)如图,⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为( ).
A
B
C
D
E
F
(第7题)
O
A. B. C. D.
【解析】图中阴影部分的面积等于:三角形AOB面积-扇形AOB面积,不难知道,∆AOB为等边三角形,可求出∆AOB边AB上的高是,扇形AOB圆心角∠O=60°,半径OA=,从而阴影部分的面积是×2×-=,故选A.
【答案】A
【点评】本题着重考查了扇形面积的计算及解直角三角形的知识,以及转化、数形结合思想,有一定综合性,难度中等.
(2012山西,12,2分)如图是某公园的一角,∠AOB=90°,弧AB的半径OA长是6米,C是OA的中点,点D在弧AB上,CD∥OB,则图中休闲区(阴影部分)的面积是( )
A. (10π﹣)米2 B.(π﹣)米2 C.(6π﹣)米2 D.(6π﹣)米2
【解析】解:∵弧AB的半径OA长是6米,C是OA的中点,
∴OC=OA=×6=3米,
∵∠AOB=90°,CD∥OB,
∴CD⊥OA,
在Rt△OCD中,
∵OD=6,OC=3,
∴CD===3米,
∵sin∠DOC===,
∴∠DOC=60°,
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△DOC=﹣×3×3=(6π﹣)平方米.
故选C.
【答案】C.
【点评】本题主要考查了“直角三角形中如果等于一直角边等于斜边的一半,那么这边所对的角等于三十度”、勾股定理、平行线性质、扇形面积公式及数学中常用的转化思想等知识点,解决本题的关键是熟悉各个知识点,并且能将各个知识点灵活运用.难度较大.
(2012贵州黔西南州,15,3分)已知圆锥的底面半径为10cm,它的展开图扇形的半径为30cm,则这个扇形圆心角的度数是__________.
【解析】圆锥的底面半径为10cm,则底面圆的周长为20π,圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的弧长等于底面圆的周长为20π.设扇形圆心角的度数为n°,则有=20π,解得n=120.所以,扇形圆心角的度数为120°.
【答案】120°.
【点评】对于圆锥计算,首先理解圆锥的侧面展开图,其次正确对应圆锥的各个量与展开图形中各个量之间的对应关系.
16. (2012年广西玉林市,16,3)如图,矩形OABC内接于扇形MON,当CN=CO时,∠NMB的度数是 .
分析:首先连接OB,由矩形的性质可得△BOC是直角三角形,又由OB=ON=2OC,∠BOC的度数,又由圆周角定理求得∠NMB的度数.
解答:解:连接OB,∵CN=CO,∴OB=ON=2OC,∵四边形OABC是矩形,∴∠BCO=90°,∴cos∠BOC=,∴∠BOC=60°,∴∠NMB= ∠BOC=30°.故答案为:30°.
点评:此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值.此题难度适中,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
(2012广安中考试题第15题,3分)如图6,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC=,∠ACB=90o,∠A=30o,若△RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线上l时,点A所经过的路线的长为________________(结果用含л的式子表示).
A
B
C
l
…………
图6
思路导引:确定路线长度,由于路线是圆弧,因此确定旋转角,与旋转半径是解决问题的关
键,答案是+;
解析:计算斜边长度是2,第一次经过路线长度是,
第二次经过路线长度是,
第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同,也是,
所以当点A三次落在直线l上时,经过的路线长度是
+2×()
=++2×=+
点评:解答旋转问题,确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提,另外计算连续的弧长
问题,注意旋转规律,进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.
(2012珠海,5,3分)如果一个扇形的半径是1,弧长是,那么此扇形的圆心角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】,故选C.
【答案】C.
【点评】本题考查弧长公式的应用.牢记弧长公式是解题的根本. 属基础题.
(2012陕西13,3分)在平面内,将长度为4的线段绕它的中点,按逆时针方向旋转30°,则线段扫过的面积为 .
【解析】将长度为4的线段绕它的中点,按逆时针方向旋转30°,则线段扫过部分的形状为半径为2,圆心角度数为30°的两个扇形,其面积为.
【答案】
【点评】主要考查旋转的性质和扇形面积计算公式的运用.难度中等.
(2012山东日照,6,3分)如图,在4×4的正方形网格中,若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′,则的长为( )
A. B. C.7 D.6
解析:的半径是AB=4,圆心角度数是∠BAB′=45°
(因为AC是正方形的对角线),所以由弧长公式得的长为×4=.
解答:选A.
点评:本题考查了旋转的意义和性质、正方形的性质、弧长公式等知识,解题的关键是从图中得到的半径、圆心角.
(2012河南,11,3分)母线长为3,底面圆的直径为2的圆锥的侧面积为
解析:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的面积就等于底面圆的周长与圆锥母线积的一半,即
答案:.
点评:掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的形状,以及各个量和原几何体的关系是解答此类问题的关键,扇形的面积用弧长乘半径积的一半较为简单.
(2012年吉林省,第11题、3分)如图,A,B,C是☉O上的三点,∠CA O=25°.∠B C O=35°,则∠AOB=_____度.
【解析】因为△AOC是等腰三角形,所以∠ACO=∠CAO=25°,所以∠ACB=25°+35°=60°.因此∠AOB=120°.
【答案】120°
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和圆周角定理,即在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
(2012年吉林省,第12题、3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=______.
【解析】由Rt△ABC中,AC=3,BC=4,可得AB==5.又AD=AC=3,所以DB=AB-AD=5-3=2.
【答案】2
【点评】本题只要考察在直角三角形中应用勾股定理的应用.及同圆的半径相等.
(2012四川达州,11,3分)已知圆锥的底面半径为4,母线长为6,则它的侧面积是 .(不取近似值)
解析:圆锥的侧面积可由公式来求,这里R=6,l=8π,因此S=24π。
答案:24π
点评:本题考查了圆锥的侧面展开及其侧面积的求法,初步考查学生的空间观点,注意本题不要与全面积相混淆。
(2012江苏省淮安市,17,3分)
若圆锥的底面半径为2cm,母线长为5cm,则此圆锥的侧面积为 cm2.
【解析】根据圆锥的侧面积公式=πrl计算,此圆锥的侧面积=π×2×5=10π
【答案】10π
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.
(2012云南省,13 ,3分)己知扇形的圆心角为,半径为3cm,则该扇形的面积为 cm。(结果保留)
【解析】此题关键是记住扇形的面积公式:,代入得:
【答案】
【点评】此题主要考查考生是否记住扇形面积计算公式,并能准确的计算出结果。
(2012甘肃兰州,6,4分)如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为2的“等边扇形”的面积为( )
A. B. 1 C. 2 D.
解析:设扇形的半径为r,根据弧长和扇形面积公式得,故选C.
答案:C
点评:本题是新定义专题,主要考查了扇形的面积公式.难度较小。
(2012·哈尔滨,题号16分值 3)一个圆锥的母线长为4,侧面积为8,则这个圆锥的底面圆的半径是 .
【解析】本题考查圆锥展开图及侧面积计算公式.设半径为r,圆锥侧面积即展开图扇形的面积,根据S扇=lR,即8π=×2π×4,得r=2.
【答案】2
【点评】在解决圆锥的计算问题时,要把握好两个相等关系:圆锥侧面展开图(扇形)的半径R等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥的底面周长.几乎所有圆锥计算问题都是从这两个对应关系入手解决的.
(2012贵州遵义,9,3分)如图,半径为1cm,圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为( )
A.
πcm2
B.
πcm2
C.
cm2
D.
cm2
解析:
过点C作CD⊥OB,CE⊥OA,则△AOB是等腰直角三角形,由∠ACO=90°,可知△AOC是等腰直角三角形,由HL定理可知Rt△OCE≌Rt△ACE,故可得出S扇形OEC=S扇形AEC,与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积,S阴影=S△AOB即可得出结论.
解:过点C作CD⊥OB,CE⊥OA,
∵OB=OD,∠AOB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∵OA是直径,
∴∠ACO=90°,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∵CE⊥OA,
∴OE=AE=OC=AC,
在Rt△OCE与Rt△ACE中,
∵,
∴Rt△OCE≌Rt△ACE,
∵S扇形OEC=S扇形AEC,
∴与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积,
同理可得,与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积,
∴S阴影=S△AOB=×1×1=cm2.
故选C.
答案:
C
点评:
本题考查的是扇形面积的计算与等腰直角三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形得出S阴影=S△AOB是答案此题的关键.
(2012贵州遵义,15,4分)如图,将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动),当正方形连续翻动6次后,正方形的中心O经过的路线长是 cm.(结果保留π)
解析:
根据题意,画出正方形ABCD“滚动”时中心O所经过的轨迹,然后根据弧长的计算公式求得中心O所经过的路程.
解:
∵正方形ABCD的边长为cm,∴正方形的对角线长是1cm,翻动一次中心经过的路线是半径是对角线的一半为半径,圆心角是90度的弧.
则中心经过的路线长是:×6=30πcm;
故答案是:30π.
答案:
30π
点评:
本题考查了弧长的计算、正方形的性质以及旋转的性质.在半径是R的圆中,因为360°
的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR,所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°.
(2012呼和浩特,16,3分)如图是某几何体的三视图及相关数据(单位:cm),则该几何体的侧面积为______cm2
【解析】由三视图可知,此几何体是圆锥体,母线长为2,底面直径为2,则侧面积S=lr=×2π×2=2π
【答案】2π
【点评】本题考查了由三视图得到几何体,然后再利用圆锥体侧面积公式求解。
(2012湖北荆州,22,9分)(本题满分9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC),支点A与B相距8m,罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O,半径为5m,∠D=56°,求:U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据:sin53°≈0.8,tan56°≈1.5,π≈3,结果保留整数)
图4
A
D
E
F
O
M
N
C
B
第22题图
A
C
O
D
B
【解析】如图,连结AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E,过点O作ON⊥DC于点N,ON交⊙O于点M,交AB于点F.则OF⊥AB.
∵OA=OB=5m,AB=8m,
∴AF=BF=AB=4(m),∠AOB=2∠AOF.
在Rt△AOF中,sin∠AOF==0.8=sin53°.
∴∠AOF=53°,则∠AOB=106°.
∵OF==3(m),由题意得:MN=1m,
∴FN=OM-OF+MN=3(m).
∵四边形ABCD是等腰梯形,AE⊥DC,FN⊥AB,
∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE.
在Rt△ADE中,tan56°==,∴DE=2m,DC=12m
∴S阴=S梯形ABCD-(S扇OAB-S△OAB)=(8+12)×3-(π×52-×8×3)=20(m2).
答:U型槽的横截面积约为20m2.
【答案】U型槽的横截面积约为20m2.
【点评】在计算阴影部分的面积问题时,首先判断是否是规则图形,如果是就利用所学的图形面积公式计算;如果不是规则图形,利用和差法,把所求的面积转化为几个规则图形的面积和或者差进行计算。
(2012·湖南省张家界市·14题·3分)已知圆锥的底面直径和母线长都是10,则圆锥的侧面积为________.
【分析】S侧=πrl=π·×10=50π.
【解答】50π
【点评】圆锥的侧面积S侧=·2πr·l=πrl(其中r是圆锥底面圆的半径,l是母线的长).
(2012年吉林省,第23题、7分)如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在弧AB上点D处,折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.
【解析】阴影部分的周长包括线段AC+CD+DB的长和弧AB的长.由折叠的性质可知,AC+CD=OA=6;DB=OB=6.故周长可求.求面积需要连接OD,证明△ODB是正三角形,得到∠CBO=30°,求出OC的长,阴影部分的面积=-2.【答案】解:连接OD.
∵OB=OD,OB=BD
∴△ODB是等边三角形
∠DBO=60°
∴∠OBC=∠CBD=30°
在Rt△OCB中,OC=OBtan30°=.
∴
∴
有图可知,CD=OC,DB=OB
弧AB+AC+CD+DB=2×6+6=12+6
【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质.此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
(2012南京市,24,8)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成,如图,在⊙O1和扇形O2CD中,⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B,已知∠CO2D=600,E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点,且EF=24厘米,设⊙O1的半径为x厘米.
(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径;
(2)若⊙O1、扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/厘米2和0.06元/厘米2,当⊙O1的半径为多少时,该玩具的制作成本最小?
解析:连接AO1,在Rt△AO1O2中,利用三角函数表示出O1O2D的长,求出O2F;第二问中将两个面积用x的代数式表示出来,利用二次函数求最值.
答案:(1)连接AO1,
∵⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B,
∴O1A⊥O2A,∠AO2E=∠DO2E
∵∠CO2D=600,
∴∠AO2O1=300,
在Rt△AO1O2中,O1E=O1A=x
∴O1O2=24-3x
(2)费用y总=y圆+y扇
y总=0.45πx2+0.06×
=0.9πx2-7.2πx+28.8π
∴当x=-=4时,该玩具的制作成本最小,最小值y=14.4π.
点评:本题涉及到了三角函数,切线的性质,扇形的面积公式,二次函数最值问题等,是一道综合性题目.
(2012山东莱芜, 23,10分)已知:如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=60°,以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.
(1) 求证:⊙D与边BC也相切;
(2) 设⊙D与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留π);
(3) ⊙D上一动点M从点F出发,按逆时针方向运动半周,当S △HDF=S△MDF时,求动点M经过的弧长(结果保留π).
【解析】(1)证明:连结DE,过点D作DN⊥BC,垂足为点N.
∵四边形ABCD菱形
∴BD平分∠ABC . ……………………………………………………..1分
∵边AB与⊙D相切于点E.
∴DE⊥AB,DN=DE
∴⊙D与边BC也相切. . ……………………………………………………..3分
(2)∵四边形ABCD菱形
∴
又∵∠A=60°
∴°=3,即⊙D的半径是3. . ……………………………………………………..4分
又∵∠HDF=∠CDA=60°,DH=DF,
∴△HDF 是等边三角形.
过点H作HG⊥DF于点G,则HG=3×sin60°=
故S △HDF=,S扇形HDF=.
∴S阴影=S扇形HDF -S △HDF=……………………………………………..6分
(3)假设点M运动到点时,满足S △HDF=S△MDF,过点作P⊥DF于点P,
则,解得P=.
故∠FD=30°,此时经过点M的弧长为:……………………………..8分
过点作∥DF交⊙D于点,则满足S △HDF=,此时∠FD=150°,
点M经过的弧长为:.
综上所述,当S △HDF=S△MDF时,动点M经过的弧长为或.……………………………..10分
【答案】(1)证明:连结DE,过点D作DN⊥BC,垂足为点N.
∵四边形ABCD菱形
∴BD平分∠ABC
∵边AB与⊙D相切于点E.
∴DE⊥AB,DN=DE
∴⊙D与边BC也相切.
(2)S阴影=S扇形HDF -S △HDF=
(3)当S △HDF=S△MDF时,动点M经过的弧长为或
【点评】本题考察了特殊的平行四边形菱形、圆的切线的判定、圆中阴影部分面积的计算、圆中分类讨论思想的应用。本题涉及的知识点广,考点全面,考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力,难度偏高。