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- 2021-05-10 发布
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2012年全国100套中考数学压轴题分类解析汇编
专题1:函数问题
1. (2012安徽省14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m。
(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围。
【答案】解:(1)把x=0,y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h,即2=a(0-6)2+2.6,∴
∴当h=2.6时, y与x的关系式为y= (x-6)2+2.6
(2)当h=2.6时,y= (x-6)2+2.6
∵当x=9时,y= (9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过网。
∵当y=0时,即 (18-x)2+2.6=0,解得x=>18,∴球会过界。
(3)把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。
x=9时,y= (9-6)2+h>2.43 ①
x=18时,y= (18-6)2+h=≤0 ②
由① ②解得h≥。
∴若球一定能越过球网,又不出边界, h的取值范围为h≥。
【考点】二次函数的性质和应用。
【分析】(1)利用h=2.6,将(0,2)点,代入解析式求出即可。
(2)利用h=2.6,当x=9时,y= (9-6)2+2.6=2.45与球网高度比较;当y=0时,解出x值与球场的边界距离比较,即可得出结论。
(3)根据球经过点(0,2)点,得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y>2.43;由x=18时球不出边界得到y≤0。分别得出h的取值范围,即可得出答案。
2. (2012宁夏区10分)某超市销售一种新鲜“酸奶”, 此“酸奶”以每瓶3元购进,5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天,对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.
(1)该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x(瓶),销售酸奶的利润为y(元),写出这一天销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本,当天至少应售出多少瓶?
(2)小明在社会调查活动中,了解到近10天当中,该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下:
每天售出瓶数
17
18
19
20
频数
1
2
2
5
根据上表,求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数;
(3)小明根据(2)中,10天酸奶的销售情况统计,计算得出在近10天当中,其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗?试通过计算说明.
【答案】解:(1)由题意知,这一天销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式
为y=5x-60
当5x-60≥0时,x≥12,
∴当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本。
(2)在这10天当中,利润为25元的有1天,30元的有2天,35元的有2天,40元的有
5天,
∴这10天中,每天销售酸奶的利润的平均数为(25+30×2+35×2+40×5)÷10=35.5 。
(3)小明说的有道理。理由如下:
∵在这10天当中,每天购进20瓶获利共计355元.
而每天购进19瓶销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式为:y=5x-57
在10天当中,利润为28元的有1天,33元的有2天,38元的有7天,
总获利为28+33×2+38×7=360>355 。
∴小明说的有道理。
【考点】一次函数的应用。
【分析】(1)根据此“酸奶”以每瓶3元购进,5元售出,该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售,即可得出y与x的函数关系式,再利用y大于0得出x的取值范围。
(2)根据频数分布表得出总数,从而得出平均数即可。
(3)利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式,得出在10天当中,利润为28元的有1天,33元的有2天,8元的有7天,从而得出总利润,比较即可得出答案。
3. (2012上海市12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=,EF⊥OD,垂足为F.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);
(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.
【答案】解:(1)二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),
∴,解得。
∴这个二次函数的解析式为:y=﹣2x2+6x+8。
(2)∵∠EFD=∠EDA=90°,∴∠DEF+∠EDF=90°,∠EDF+∠ODA=90°。
∴∠DEF=∠ODA。
∴△EDF∽△DAO。∴。
∵,∴。
∵OD=t,∴,∴EF=。
同理,∴DF=2,∴OF=t﹣2。
(3)∵抛物线的解析式为:y=﹣2x2+6x+8,∴C(0,8),OC=8。
如图,连接EC、AC,过A作EC的垂线交CE于G点.
∵∠ECA=∠OAC,∴∠OAC=∠GCA(等角的余角相等)。
在△CAG与△OCA中,
∵∠OAC=∠GCA,AC=CA,∠ECA=∠OAC,
∴△CAG≌△OCA(ASA)。∴CG=AO=4,AG=OC=8。
如图,过E点作EM⊥x轴于点M,
则在Rt△AEM中,EM=OF=t﹣2,AM=OA+AM=OA+EF=4+,
由勾股定理得: 。
在Rt△AEG中,由勾股定理得:
。
在Rt△ECF中,EF=,CF=OC﹣OF=10﹣t,CE=CG+EG=4+
由勾股定理得:EF2+CF2=CE2,即。
解得t1=10(不合题意,舍去),t2=6。
∴t=6。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)已知点A、B坐标,用待定系数法求抛物线解析式即可。
(2)先证明△EDF∽△DAO,然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求
解。
(3)通过作辅助线构造一对全等三角形:△CAG≌△OCA,得到CG、AG的长度;然后利用勾股定理求得AE、EG的长度(用含t的代数式表示);最后在Rt△ECF中,利用勾股定理,得到关于t的无理方程,解方程求出t的值。
4. (2012天津市10分)已知抛物线y=ax2+bx+c(0<2a<b)的顶点为P(x0,y0),点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)在该抛物线上.
(Ⅰ)当a=1,b=4,c=10时,①求顶点P的坐标;②求-的值;
(Ⅱ)当y0≥0恒成立时,求的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)若a=1,b=4,c=10,此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。
①∵y=x2+4x+10=(x+2)2+6,∴抛物线的顶点坐标为P(-2,6)。
②∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)在抛物线y=x2+4x+10上,
∴yA=15,yB=10,yC=7。∴。
(Ⅱ)由0<2a<b,得。
由题意,如图过点A作AA1⊥x轴于点A1,
则AA1=yA,OA1=1。
连接BC,过点C作CD⊥y轴于点D,
则BD=yB-yC,CD=1。
过点A作AF∥BC,交抛物线于点E(x1,yE),交x轴于点F(x2,0)。
则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。
∴ ,即。
过点E作EG⊥AA1于点G,易得△AEG∽△BCD。
∴,即。
∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)、E(x1,yE)在抛物线y=ax2+bx+c上,
∴yA=a+b+c,yB=c,yC=a-b+c,yE=ax12+bx1+c,
∴,化简,得x12+x1-2=0,
解得x1=-2(x1=1舍去)。
∵y0≥0恒成立,根据题意,有x2≤x1<-1。
则1-x2≥1-x1,即1-x2≥3。
∴的最小值为3。
【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质。
【分析】(Ⅰ)将a=1,b=4,c=10代入解析式,即可得到二次函数解析式。
①将二次函数化为顶点式,即可得到得到抛物线顶点坐标。
②将A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)分别代入解析式,即可求出yA、yB、yC的值,然后计算的值即可。
(Ⅱ)根据0<2a<b,求出,作出图中辅助线:点A作AA1⊥x轴于点A1,则AA1=yA,OA1=1.连接BC,过点C作CD⊥y轴于点D,则BD=yB-yC,CD=1.过点A作AF∥BC,交抛物线于点E(x1,yE),交x轴于点F(x2,0)。证出Rt△AFA1∽Rt△BCD,得到,,再根据△AEG∽△BCD得到,然后求出yA、yB、yC、yE的表达式,然后y0≥0恒成立,得到x2≤x1<-1,从而利用不等式求出 的最小值。
5. (2012重庆市10分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000
吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间满足的函数关系如下表:
7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用:z1(元)与月份x之间满足函数关系式:,该企业自身处理每吨污水的费用:z2(元)与月份x之间满足函数关系式:;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.
(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用;
(3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a﹣30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元,请计算出a的整数值.
(参考数据:≈15.2,≈20.5,≈28.4)
【答案】解:(1)根据表格中数据可以得出xy=定值,
则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系:。
将(1,12000)代入得:k=1×12000=12000,
∴(1≤x≤6,且x取整数)。
根据图象可以得出:图象过(7,10049),(12,10144)点,代入y2=ax2+c得:
,解得:。
∴y2=x2+10000(7≤x≤12,且x取整数)。
(2)当1≤x≤6,且x取整数时:
=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000(x﹣5)2+2200。
∵a=﹣1000<0, 1≤x≤6,∴当x=5时,W最大=22000(元)。
当7≤x≤12时,且x取整数时:
W=2×(12000﹣y1)+1.5y2=2×(12000﹣x2﹣10000)+1.5(x2+10000)=﹣x2+1900。
∵a=﹣<0,对称轴为x=0,当7≤x≤12时,W随x的增大而减小,
∴当x=7时,W最大=18975.5(元)。
∵22000>18975.5,
∴去年5月用于污水处理的费用最多,最多费用是22000元。
(3)由题意得:12000(1+a%)×1.5×[1+(a﹣30)%]×(1﹣50%)=18000,
设t=a%,整理得:10t2+17t﹣13=0,解得:。
∵≈28.4,∴t1≈0.57,t2≈﹣2.27(舍去)。
∴a≈57。
答:a整数值是57。
【考点】二次函数的应用,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,解一元二次方程。
【分析】(1)利用表格中数据可以得出xy=定值,则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系,求出即可。再利用函数图象得出:图象过(7,10049),(12,10144)点,求出二次函数解析式即可。
(2)利用当1≤x≤6时,以及当7≤x≤12时,分别求出处理污水的费用,即可得出答案。
(3)利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a一30)%,得出等式12000(1+a%)×1.5×[1+(a-30)%]×(1-50%)=18000,进而求出即可。
6. (2012福建莆田14分) 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(0,3),B(6,3),C(6,0),抛物线过点A。
(1)(2分)求c的值; .
(2)(6分)若a=-l,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,求△ADE的面积S的最大值;
(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N,线段MN的垂直平分线l过点O,交线段BC于点
F。当BF=1时,求抛物线的解析式.
【答案】解:(1)∵抛物线过点A(0,3),∴c=3。
(2) ∵a=-l,∴
如图①,当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时, 抛物线与直线x=6的交点应落在C点或C点下方。
∴ 当x=6时,y≤0。
∴,即。
又∵对称轴在y轴右侧,∴b>0。∴0<。
由抛物线的对称性可知: 。
又∵△ADE的高=BC=3,∴S=×b×3=。
∵>0,∴S随b的增大而增大。
∴当b=时,S的最大值=。
如图②,当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时,抛物线与直线
x=6的交点应落在线段BC上且不与点B重合,即0≤<3。
当x=6,则,
∴0≤6b—33<3,∴≤b<6。
∴BE=3-(6b-33)=36—6b。
∴S=AD·BE=·b·(36—6b)=-3b2+18b。
∵对称轴b=3<,∴随b的增大而减小。
∴当b=时,S的最大值=。
综上所述:S的最大值为。
(3)当a>0时,符合题意要求的抛物线不存在。
当a<0时,符合题意要求的抛物线有两种情况:
①当点M、N分别在AB、OC边上时.
如图③过M点作MG⊥OC于点G,连接OM.
∴MG=OA=3.∠2+∠MNO=90°。
∵OF垂直平分MN.
∴OM=ON,∠1+∠MNO=90°,∠1=∠2。
∵FB=1,FC=3-1=2。
∴tan∠1=,tan∠2==tan∠1=。
∴GN=GM=1。
设N(n,0),则G(n-1,0),∴M(n-1,3)。 ∴AM=n-1,ON=n=OM。
在Rt△AOM中,,
∴,解得n=5。∴ M(4,3),N(5,0)。
把M(4,3),N(5,0)分别代入,得
,解得。
∴抛物线的解析式为。
②当点M、N分别在AB、BC边上时.如图④,连接MF.
∵OF垂直平分MN,
∴∠1+∠NFO=90°,MF=FN。
又∵∠0CB=90°,∴∠2+∠CFO=90°。
∴∠1=∠2。
∵BF=1, ∴FC=2。
∴tan∠1=tan∠2=。
在Rt△MBN,tan∠1=,∴BN=3MB。
设N(6,n).则FN=2-n,BN=3一n。∴MF=2-n,MB=。
在Rt△MBF中,∵,∴。
解得: (不合题意舍去),∴。
∴AM=6-=,∴ M(,3),N(6,) 。
把M(,3),N(6,)分别代人,得
,解得 。
∴抛物线的解析式为。
综上所述,抛物线的解析式为或。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,矩形的性质,锐角三角函数定义,勾股定理,解二元一次方程组。
【分析】(1)将点A的坐标代入即可求得c的值。
(2)分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。
(3)分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。
7. (2012福建厦门12分)已知点A(1,c)和点B (3,d )是直线y=k1x+b与双曲线y=(k2>0)的交
点.
(1)过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连结BM.若AM=BM,求点B的坐标;
(2)设点P在线段AB上,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,并交双曲线y=(k2>0)于点N.当 取最大值时,若PN= ,求此时双曲线的解析式.
【答案】(1)解:∵点A(1,c)和点B (3,d )在双曲线y=(k2>0)上,
∴ c=k2=3d 。
∵ k2>0, ∴ c>0,d>0。
∴A(1,c)和点B (3,d )都在第一象限。
∴ AM=3d。
过点B作BT⊥AM,垂足为T。
∴ BT=2,TM=d。
∵ AM=BM,∴ BM=3d。
在Rt△BTM中,TM 2+BT2=BM2,即 d2+4=9d2,∴ d=。
∴点B(3,)。
(2)∵ 点A(1,c)、B(3,d)是直线y=k1x+b与双曲线y=(k2>0)的交点,
∴c=k2,,3d=k2,c=k1+b,d=3k1+b。
∴k1=-k2,b=k2。
∵ A(1,c)和点B (3,d )都在第一象限,
∴ 点P在第一象限。设P(x,k1x+b),
∴= =x2+x=-x2+x。
=
∵当x=1,3时,=1,又∵当x=2时, 的最大值是。
∴1≤≤.。∴ PE≥NE。
∴ =-1=。
∴当x=2时,的最大值是。
由题意,此时PN=,∴ NE=。∴ 点N(2,) 。 ∴ k2=3。
∴此时双曲线的解析式为y=。
【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,二次函数的最值。
【分析】(1)过点B作BT⊥AM,由点A(1,c)和点B(3,d)都在双曲线y=(k2>0)上,得到c=3d,则A点坐标为(1,3d),在Rt△BTM中应用勾股定理即可计算出d的值,即可确定B点坐标。
(2)P(x,k1x+b),求出关于x的二次函数,应用二次函数的最值即可求得的最大值,此时根据PN=求得NE=,从而得到N(2,),代入y=即可求得k2=3。因此求得反比例函数的解析式为y=。
8. (2012甘肃兰州10分)若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两个根,则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:x1+x2=,x1•x2=.把它称为一元二次方程根与系数关系定理.如果设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0).利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为:AB=|x1-x2|=
。
参考以上定理和结论,解答下列问题:
设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C
,显然△ABC为等腰三角形.
(1)当△ABC为直角三角形时,求b2-4ac的值;
(2)当△ABC为等边三角形时,求b2-4ac的值.
【答案】解:(1)当△ABC为直角三角形时,
过C作CE⊥AB于E,则AB=2CE。
∵抛物线与x轴有两个交点,△=b2-4ac>0,
则|b2-4ac|=b2-4ac。
∵a>0,∴AB。
又∵CE,∴。
∴,即。
∵b2-4ac>0,∴b2-4ac=4。
(2)当△ABC为等边三角形时,由(1)可知CE=AB,
∴。
∵b2-4ac>0,∴b2-4ac=12。
【考点】抛物线与x轴的交点,根与系数的关系,等腰三角形的性质,等边三角形的性质。
【分析】(1)当△ABC为直角三角形时,由于AC=BC,所以△ABC为等腰直角三角形,过C作CE⊥AB于E,则AB=2CE.根据本题定理和结论,得到AB,根据顶点坐标公式,得到CE
,列出方程,解方程即可求出b2-4ac的值。
(2)当△ABC为等边三角形时,解直角△ACE,得CE=AB,据此列出方程,解方程即可求出b2-4ac的值。
9. 2012广东深圳9分)如图,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C(-2,6).
(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)设直线BC交y轴于点E,连接AE,求证:AE=CE;[来源:Z&xx&k.Com]
(3)设抛物线与y轴交于点D,连接AD交BC于点F,试问以A、B、F,为顶点的三角形与△ABC相似吗?
请说明理由.
【答案】解:(1)∵抛物线经过A(-4,0)、B(1,0),∴设函数解析式为:y=a(x+4)(x-1)。
又∵由抛物线经过C(-2,6),∴6=a(-2+4)(-2-1),解得: a=-1。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为:y=-(x+4)(x-1),即y=-x2-3x+4。
(2)证明:设直线BC的函数解析式为y=kx+b,
由题意得: ,解得:。
∴直线BC的解析式为y=-2x+2.
∴点E的坐标为(0,2)。
∴。
∴AE=CE。
(3)相似。理由如下:
设直线AD的解析式为y=k1x+b1,则 ,解得:。
∴直线AD的解析式为y=x+4。
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:,解得:。
∴点F的坐标为( )。
则。
又∵AB=5,,
∴。∴。
又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA。
∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定。
【分析】(1)利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。
(2)求出直线BC的函数解析式,从而得出点E的坐标,然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。
(3)求出AD的函数解析式,然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标,根据勾股定理分别求出BF,BC 得出;由题意得∠ABF=∠CBA, 即可作出判断。
10. (2012广东肇庆10分)已知二次函数图象的顶点横坐标是2,与x轴交于A(x1,0)、
B(x2,0),x1﹤0﹤x2,与y轴交于点C,O为坐标原点,.
(1)求证: ;
(2)求m、n的值;
(3)当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时,求二次函数的最大值.
【答案】(1)证明:∵二次函数图象的顶点横坐标是2,
∴抛物线的对称轴为x=2,即,化简得:n+4m=0。
(2)解:∵二次函数与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2,
∴OA=-x1,OB=x2;。
令x=0,得y=p,∴C(0,p),∴OC=|p|。
由三角函数定义得:。
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1,即 ,化简得:。
将 代入得:,化简得:。
由(1)知n+4m=0,
∴当n=1时,;当n=-1时,。
∴m、n的值为: ,n=-1(此时抛物线开口向上)或 ,n=1(此时抛物线开口向下)。
(3)解:由(2)知,当p>0时,n=1, ,
∴抛物线解析式为:。
联立抛物线与直线y=x+3解析式得到:,
化简得: *。
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点,
∴一元二次方程*根的判别式等于0,即△=02+16(p-3)=0,解得p=3。
∴抛物线解析式为:。
当x=2时,二次函数有最大值,最大值为4。
∴当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时,二次函数的最大值为4。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,锐角三角函数定义,二次函数的性质。
【分析】(1)由题意可知抛物线的对称轴为x=2,利用对称轴公式,化简即得n+4m=0。
(2)利用三角函数定义和抛物线与x
轴交点坐标性质求解.特别需要注意的是抛物线的开口方向未定,所以所求m、n的值将有两组。
(3)利用一元二次方程的判别式等于0求解.当p>0时,m、n的值随之确定;将抛物线的解析式与直线的解析式联立,得到一个一元二次方程;由交点唯一可知,此一元二次方程的判别式等于0,据此求出p的值,从而确定了抛物线的解析式;最后由抛物线的解析式确定其最大值。
11. (2012贵州六盘水10分)为鼓励居民节约用水,某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”,即当每月用水量不超过15吨时(包括15吨),采用基本价收费;当每月用水量超过15吨时,超过部分每吨采用市场价收费.小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表:
月份
用水量(吨)
水费(元)
4
22
51
5
20
45
(1)求该市每吨水的基本价和市场价.
(2)设每月用水量为n吨,应缴水费为m元,请写出m与n之间的函数关系式.
(3)小兰家6月份的用水量为26吨,则她家要缴水费多少元?
【答案】解:(1)根据当每月用水量不超过15吨时(包括15吨),采用基本价收费;当每月用水量超过15吨时,超过部分每吨采用市场价收费,
∵4月份用水22吨,水费51元,5月份用水20吨,水费45元,
∴市场价收费标准为:(51﹣45)÷(22﹣20)=3(元/吨)。
设基本价收费为x元/吨,
根据题意得出:15x+(22﹣15)×3=51,解得:x=2。
∴该市每吨水的基本价和市场价分别为:3元/吨,2元/吨。
(2)当n≤15时,m=2n,当n>15时,m=15×2+(n﹣15)×3=3n-15。
∴m与n之间的函数关系式为。-
(3)∵小兰家6月份的用水量为26吨,
∴她家要缴水费3×26-15=63元。
【考点】一元一次方程和一次函数的应用。
【分析】(1)利用已知得出4月份用水22吨,水费51元,5月份用水20吨,水费45元,求出市场价收费标准为:(51﹣45)÷(22﹣20)=3(元/吨),进而得出每吨水的基本价。
(2)利用(1)中所求不同水价,再利用当n≤15时,m=2n,当n>15时,分别求出即可。
(3)根据(2)中所求得出,用水量为26吨时要缴水费。
12. (2012贵州黔东南12分)我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习,预订宾馆住宿时,有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择,其收费标准均为每人每天120元,并且各自推出不同的优惠方案.甲家是35人(含35人)以内的按标准收费,超过35人的,超出部分按九折收费;乙家是45人(含45人)以内的按标准收费,超过45人的,超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人,你应选哪家宾馆更实惠些?
【答案】解:设总人数是x,
当x≤35时,选择两个,宾馆是一样的;当35<x≤45时,选择甲宾馆比较便宜;
当x>45时,甲宾馆的收费是:y甲=35×120+0.9×120×(x﹣35)=108x+420;
乙宾馆的收费是y乙=45×120+0.8×120(x﹣45)=96x+1080。
当y甲=y乙时,108x+420=96x+1080,解得:x=55;
当y甲>y乙时,即108x+420>96x+1080,解得:x>55;
当y甲<y乙时,即108x+420<96x+1080,解得:x<55。
综上所述,当x≤35或x=55时,选择两个宾馆是一样的;
当35<x<55时,选择甲宾馆比较便宜。
当x>55时,选乙宾馆比较便宜。
【考点】一次函数的应用。
【分析】当x≤35时,选择两个,宾馆是一样的;当35<x≤45时,选择甲宾馆比较便宜,当x>35时,两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数,比较两个函数值的大小即可。
13. (2012贵州铜仁12分)为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要950元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要800元.
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?
【答案】解:(1)设该商店购进一件A种纪念品需要a元,购进一件B种纪念品需要b元,
根据题意得方程组得:, 解方程组得:。
∴购进一件A种纪念品需要100元,购进一件B种纪念品需要50元。
(2)设该商店购进A种纪念品x个,则购进B种纪念品有(100﹣x)个,
∴,解得:50≤x≤53。
∵x 为正整数,∴x=50,51,52,53。∴共有4种进货方案。
(3)∵B种纪念品利润较高,∴B种数量越多总利润越高。
∴选择购A种50件,B种50件。
总利润=50×20+50×30=2500(元)。
∴当购进A种纪念品50件,B种纪念品50件时,可获最大利润,最大利润是2500元。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】(1)方程(组)的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。本题等量关系为:
购进A种纪念品8件+B种纪念品3件=950元
购进A种纪念品5件+B种纪念品6件=800元。
(2)不等式的应用解题关键是找出不等量关系,列出不等式求解。本题不等量关系为:
购买这100件纪念品的资金不少于7500元,不超过7650元。
(3)因为B种纪念品利润较高,所以选取B种数量多的方案即可求解。
14. (2012湖北黄石10分)已知抛物线C1的函数解析式为,若抛物线C1经过
点,方程的两根为,,且。
(1)求抛物线C1的顶点坐标.
(2)已知实数,请证明:≥,并说明为何值时才会有.
(3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线C2,设,
是C2上的两个不同点,且满足: ,,.请你用含有的表达式表示出△AOB的面积S,并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。
(参考公式:在平面直角坐标系中,若,,则P,Q两点间的距离)
【答案】解:(1)∵抛物线过(0,-3)点,∴-3a=-3。∴a=1 。
∴y=x2+bx-3
∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且,
∴=4且b<0。∴b=-2。
∴。
∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-4)。
(2)∵x>0,∴
∴。
当时,即当x=1时,有。
(3)由平移的性质,得C2的解析式为:y=x2 。
∴A(m,m2),B(n,n2)。
∵ΔAOB为直角三角形,∴OA2+OB2=AB2。
∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2,
化简得:m n=-1。
∵SΔAOB=,m n=-1,
∴SΔAOB==。
∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A(1,1)。
∴直线OA的一次函数解析式为y=x。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根与系数的关系,二次函数的性质,不等式的知识。
【分析】(1)求抛物线的顶点坐标,即要先求出抛物线的解析式,即确定待定系数a、b的值.已知抛物线图象与y轴交点,可确定解析式中的常数项(由此得到a的值);然后从方程入手求b的值,题目给出了两根差的绝对值,将其进行适当变形(转化为两根和、两根积的形式),结合根与系数的关系即可求出b的值。
(2)将配成完全平方式,然后根据平方的非负性即可得证。
(3)结合(1)的抛物线的解析式以及函数的平移规律,可得出抛物线C2的解析式;在Rt△OAB中,由勾股定理可确定m、n的关系式,然后用m列出△AOB的面积表达式,结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值,从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。
别解:由题意可求抛物线C2的解析式为:y=x2。
∴A(m,m2),B(n,n2)。
过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为C、D,
则
由 得 ,即。∴。
∴。
∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A(1,1)。
∴直线OA的一次函数解析式为y=x。
15. (2012湖北荆门10分)已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最大值.
【答案】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,
令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.
△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1。
综上所述,k的取值范围是k≤2。
(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1。
由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1(*),
将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2。
又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•,
解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去)。∴所求k值为﹣1。
②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+,且﹣1≤x≤1,
由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=。
∴y的最大值为,最小值为﹣3。
【考点】抛物线与x轴的交点,一次函数的定义,一元二次方程根的判别式和根与系数物关系,二次函数的最值。
【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0。
(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k的值。②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值。
16. (2012湖南长沙10分)在长株潭建设两型社会的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为:.
(年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本)
(1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件?
(2)求该公司第一年的年获利W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?
(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,请你确定此时销售单价的范围.
【答案】解:(1)∵25≤28≤30,,
∴把28代入y=40﹣x得, y=12(万件)。
答:当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为12万件。
(2)①当 25≤x≤30时,
W=(40﹣x)(x﹣20)﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣(x﹣30)2﹣25,
∴当x=30时,W最大为﹣25,即公司最少亏损25万。
②当30<x≤35时,
W=(25﹣0.5x)(x﹣20)﹣25﹣100=﹣x2+35x﹣625=﹣(x﹣35)2﹣12.5,
∴当x=35时,W最大为﹣12.5,即公司最少亏损12.5万。
综合①,②得,投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万。
答:投资的第一年,公司亏损,最少亏损是12.5万。
(3)①当 25≤x≤30时,W=(40﹣x)(x﹣20﹣1)﹣12.5﹣10=﹣x2+59x﹣782.5,
令W=67.5,则﹣x2+59x﹣782.5=67.5,化简得:x2﹣59x+850=0,
解得 x1=25;x2=34。
此时,当两年的总盈利不低于67.5万元,25≤x≤30;
②当30<x≤35时,W=(25﹣0.5x)(x﹣20﹣1)﹣12.5﹣10=﹣x2+35.5x﹣547.5,
令W=67.5,则﹣x2+35.5x﹣547.5=67.5,化简得:x2﹣71x+1230=0,
解得x1=30;x2=41。
此时,当两年的总盈利不低于67.5万元,30<x≤35,
综上所述,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,此时销售单价的范围是25≤x≤35。
【考点】一、二次函数的应用。
【分析】(1)因为25≤28≤30,所以把28代入y=40-x即可求出该产品的年销售量为多少万件。
(2)由(1)中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入-生产成本-投资成本,得到w和x的二次函数关系,再由x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损。
(3)由条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式,再分别令w=67.5,求出对应x的值,结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围。
17. (2012湖南岳阳10分)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直接坐标系如图①所示,如果把锅纵断面的抛物线的记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2.
(1)求C1和C2的解析式;
(2)如图②,过点B作直线BE:y=x﹣1交C1于点E(﹣2,﹣),连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标;
(3)如果(2)中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)∵抛物线C1、C2都过点A(﹣3,0)、B(3,0),
∴设它们的解析式为:y=a(x﹣3)(x+3)。
∵抛物线C1还经过D(0,﹣3),∴﹣3=a(0﹣3)(0+3),解得a=。
∴抛物线C1:y=(x﹣3)(x+3),即y=x2﹣3(﹣3≤x≤3)。
∵抛物线C2还经过A(0,1),∴1=a(0﹣3)(0+3),a=﹣
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣3)(x+3),即y=﹣x2+1(﹣3≤x≤3)。
(2)∵直线BE:y=x﹣1必过(0,﹣1),∴∠CBO=∠EBO(tan∠CBO=tan∠EBO=)。
∵由E点坐标可知:tan∠AOE≠,即∠AOE≠∠CBO,
∴它们的补角∠EOB≠∠CBx。
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,只需考虑两种情况:
①∠CBP1=∠EBO,且OB:BE=BP1:BC,
由已知和勾股定理,得OB=3,BE=,BC=。
∴3:=BP1:,
得:BP1=,OP1=OB﹣BP1=。∴P1(,0)
②∠P2BC=∠EBO,且BC:BP2=OB:BE,即:
:BP2=3:,得:BP2=,OP2=BP2﹣OB=。∴P2(﹣,0).
综上所述,符合条件的P点有:P1(,0)、P2(﹣,0)。
(3)如图,作直线l∥直线BE,设直线l:y=x+b。
①当直线l与抛物线C1只有一个交点时:
x+b=x2﹣3,即:x2﹣x﹣(3b+9)=0。
由△=(-1)2+4(3b+9)=0。得。
此时,。
∴该交点Q2()。
过点Q2作Q2F⊥BE于点F,则由BE:y=x﹣1可用相似得Q2F的斜率为-3,
设Q2F:y=-3x+m。将Q2()代入,可得。∴Q2F:y=-3x。
联立BE和Q2F,解得。∴F()。
∴Q2到直线 BE:y=x﹣1的距离Q2F:。
②当直线l与抛物线C2只有一个交点时:x+b=﹣x2+1,即:x2+3x+9b﹣9=0。
由△=32+4(9b-9)=0。得。
此时,。∴该交点Q1()。
同上方法可得Q1到直线 BE:y=x﹣1 的距离:。
∵,
∴符合条件的Q点为Q1()。
∴△EBQ的最大面积:。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,勾股定理,一元二次方程根的判别式,点到直线的距离,平行线的性质。
【分析】(1)已知A、B、C、D四点坐标,利用待定系数法即可确定两函数的解析式。
(2)根据直线BE:y=x﹣1知,该直线必过(0,﹣1)点,那么∠EBO=∠CBO,若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,那么夹这组对应角的对应边必成比例,先求出BC、BO、BE的长,然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长,进而得到OP的长,即可确定P点坐标。
(3)△EBQ中,BE长为定值,若以BE为底,当△EBQ的面积最大时,Q到直线BE的距离最大;由于点Q可能在抛物线C1或C2上,因此两种情况都要解一下,最后通过比较得到能使△EBQ面积最大的Q点.首先作直线l∥BE,分别令直线l与抛物线C1、C2有且仅有一个交点,那么符合条件的Q点必在这两个交点中,先求出这两个交点分别到直线BE的距离,距离大者符合条件,由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值。
18. (2012江苏连云港12分)如图,甲、乙两人分别从A(1,)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶,th后,甲到达M点,乙到达N点.
(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行.
(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长,设s=MN2,求s与t
之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值.
【答案】解:(1)∵A坐标为(1,),∴OA=2,∠AOB=60°。
∵甲达到O点时间为t=,乙达到O点的时间为t=,
∴甲先到达O点,所以t=或t=时,O、M、N三点不能连接成三角形。
①当t<时,OM=2-4t,ON=6-4t,
假设MN∥AB。则△OMN∽△OAB。
∴,解得t=0。即在甲到达O点前,只有当t=0时,△OMN∽△OAB。
∴MN与AB不可能平行。
②当<t<时,
如图,∵∠PMN>∠PON>∠PAB
∴MN与AB不平行。
综上所述,在甲、乙两人到达O点前, MN与AB不可能平行。
(2) 由(1)知,当t≤时,△OMN不相似△OBA。
当t>时,OM=4t -2,ON=4t -6,
由解得t=2>,
∴当t=2时,△OMN∽△OBA。
(3)①当t≤时,如图1,过点M作MH⊥x轴,垂足为H,
在Rt△MOH中,∵∠AOB=60°,
∴MH=OMsin60°=(2-4t)×=(1-2t),
OH=0Mcos60°=(2-4t)×=1-2t,
∴NH=(6-4t)-(1-2t)=5-2t。
∴s=[(1-2t)]2+(5-2t)2=16t2-32t+28。
②当<t≤时,如图2,作MH⊥x轴,垂足为H,
在Rt△MNH中,MH=(4t-2)=(2t-1),
NH=(4t-2)+(6-4t)=5-2t,
∴s=[(1-2t)]2+(5-2t)2=16t2-32t+28。
③当t>时,同理可得s=16t2-32t+28。
综上所述,s=16t2-32t+28。
∵s=16t2-32t+28=16(t-1)2+12,
∴当t=1时,s有最小值为12,
∴甲、乙两人距离最小值为(km)。
【考点】反证法,坐标与图形性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形外角性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值。
【分析】(1)用反证法说明.根据已知条件分别表示相关线段的长度,根据三角形相似得比例式说明。
(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。
(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式,运用函数性质解答问题。
19. (2012江苏无锡8分)对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离,记作d(P1,P2).
(1)已知O为坐标原点,动点P(x,y)满足d(O,P)=1,请写出x与y之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形;
(2)设P0(x0,y0)是一定点,Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点,我们把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离.试求点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离.
【答案】解:(1)由题意,得|x|+|y|=1。
所有符合条件的点P组成的图形如图所示:
(2)∵d(M,Q)=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|,
又∵x可取一切实数,|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和,其最小值为3。
∴点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离为3。
【考点】新定义,一次函数综合题,绝对值与数轴的关系。
【分析】(1)根据新定义知|x|+|y|=1,据此可以画出符合题意的图形。
(2)根据新定义知d(M,Q)=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|,然后由绝对值与数轴的关系可知,|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和,其最小值为3。
20. (2012四川凉山8分)如图,已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,连接PC并延长PC交y轴于点D(0,3).
(1) 求证:△POD≌△ABO;
(2) 若直线l:y=kx+b经过圆心P和D,求直线l的解析式
【答案】(1)证明:连接PB,
∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,
∴∠APB=∠DPO=×180°=60°,∠ABO=∠POD=90°。
∵PA=PB,∴△PAB是等边三角形。
∴AB=PA,∠BAO=60°,
∴AB=OP,∠BAO=∠OPD。
在△POD和△ABO中,
∵∠OPD=∠BAO, OP=BA ,∠POD=∠ABO ,
∴△POD≌△ABO(ASA)。
(2)解:由(1)得△POD≌△ABO,∴∠PDO=∠AOB。
∵∠AOB=∠APB=×60°=30°,∴∠PDO=30°。
∴OP=OD•tan30°=3×。∴点P的坐标为:(-,0)。
∵点P,D在直线y=kx+b上,
∴ ,解得: 。
∴直线l的解析式为:y=x+3。
【考点】圆周角定理,全等三角形的判定,锐角三角函数定义,直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】(1)首先连接PB,由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,可求得∠APB=∠DPO=60°,∠ABO=∠POD=90°,即可得△PAB是等边三角形,可得AB=OP,然后由ASA,即可判定:△POD≌△ABO。
(2)易求得∠PDO=30°,由OP=OD•tan30°,即可求得点P的坐标,然后利用待定系数法,即可求得直线l的解析式。
21. (2012四川巴中10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与y轴交于点A,
与x轴交于点B,与反比例函数的图象分别交于点M,N,已知△AOB的面积为1,点M的纵坐
标为2,
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)直接写出时x的取值范围。
【答案】解:(1)∵一次函数的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,
∴A(0,1),B( ,0)。
∵△AOB的面积为1,∴×OB×OA=1,即。∴。
∴一次函数的解析式为y1= x+1。
∵点M在直线y1上,∴当y=2时,x+1=2,解得x=-2。∴M的坐标为(-2,2)
又∵点M在反比例函数的图象上,∴k2=-2×2=-4,
∴反比例函数的解析式为。
(2)当y1>y2时,x<-2或0<x<4。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】(1)先由一次函数的解析式求出点A与点B的坐标,再根据△AOB的面积为1,可得到k1的值,
从而求出一次函数的解析式;得到点M的坐标,然后运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式。
(2)y1>y2即一次函数值大于反比例函数值,只需观察一次函数的图象落在反比例函数的图象的
上方时自变量的取值范围即可,为此,先求出它们的交点坐标,再根据函数图象,可知在在点M的左边以及原点和点N之间的区间,y1>y2:
解方程组得或 ,
∴当y1>y2时,x<-2或0<x<4。
22. (2012四川资阳9分)抛物线的顶点在直线上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.[来源:&中%国教育出^版~网@]
(1)(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;[来&源#%:^中*教网]
(2)(3分)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;
(3)(3分)若射线NM交x轴于点P,且PA×PB=,求点M的坐标.
【答案】解:(1)∵,∴顶点坐标为(-2 , )。
∵顶点在直线上,@]∴-2+3=,解得。
(2)∵点N在抛物线上,且点N的横坐标为a,
∴点N的纵坐标为,即点N(a,)。
过点F作FC⊥NB于点C,
在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB-CB=,
∴
。
而,
∴NF2=NB2,NF=NB。
(3)连接AF、BF,
由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,
由(2)的结论知,MF=MA,
∴∠MAF=∠MFA。
∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,
∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°。~国%&教*育出^版网]
∵∠MAB+∠NBA=180°,∴∠FBA+∠FAB=90°。
又∵∠FAB+∠MAF=90°,[,∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。
又∵∠FPA=∠BPF,∴△PFA∽△PBF。
∴,∴PF2= PA×PB=。
过点F作FG⊥x轴于点G。
在Rt△PFG中,,∴PO=PG+GO=。
∴P(- , 0) 。
设直线PF:,把点F(-2 , 2)、点P(- , 0)代入得
,解得。
∴直线PF:。
解方程,得x=-3或x=2(不合题意,舍去)。
当x=-3时,,∴M(-3 , )。
【考点】二次函数综合题,二次函的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可,再利用点在直线上的性质得出答案即可。
(2)首先利用点N在抛物线上,得出N点坐标,再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2,从而得出NF2=NB2,即可得出答案。
(3)求点M的坐标,需要先求出直线PF的解析式.首先由(2)的思路得出MF=MA,然后连接AF、FB,通过证明△PFA∽△PBF,利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值,从而求出点F的坐标和直线PF的解析式,即可得解。
23. (2012山东菏泽10分)牡丹花会前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:
销售单价(元/件)
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量(件)
…
500
400
300
200
100
…
(1)把上表中、的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想与的函数关系,并求出函数关系式;
(2)当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价﹣成本总价)
(3)菏泽市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?
【答案】解:(1)画图如下:
由图可猜想与是一次函数关系,设这个一次函数为,
∵这个一次函数的图象经过(20,500)、(30,400)两点,
∴,解得。
∴函数关系式是。
经验证,其它各点也在上。
(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元,依题意得:
,
∴当时,W有最大值9000。
(3)对于函数,当时,W的值随着值的增大而增大,
∴销售单价定为35元∕件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大。
【考点】二次函数和一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值和增减性。
【分析】(1)利用表中、的各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出即可,再取任意两点用待定系数法得出与的函数关系式,求出即可。
(2)根据利润=销售总价-成本总价,由(1)中函数关系式得出,从而利用二次函数最值求法得出即可。
(3)利用二次函数的增减性,结合对称轴即可得出答案。
24. (2012山东泰安12分)如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点P的坐标;若不存在说明理由;
(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值.
【答案】解:(1)如图1,连接OB。
∵BC=2,OC=1,∴OB=。
∴B(0,)。
将A(3,0),B(0,)代入二次函数的表达式,
得 ,解得: 。
∴抛物线的解析式为。
(2)存在。
如图2,作线段OB的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P。
∵B(0,),O(0,0),
∴直线l的表达式为.代入抛物线的表达式,
得;解得。
∴P()。
(3)如图3,作MH⊥轴于点H。设M( ),
则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB
=
=。
∵,
∴
= 。
∴当时,取得最大值,最大值为。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,线段垂直平分线的性质,二次函数最值。
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式.因为已知A(3,0),所以需要求得B点坐标.如图1,连接OB,利用勾股定理求解。
(2)由∠PBO=∠POB,可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上.如图2,OB的垂直平分线与抛物线有两个交点,因此所求的P点有两个,注意不要漏解。
(3)如图3,作MH⊥轴于点H,构造梯形MBOH与三角形MHA,求得△MAB面积的表达式,这个表达式是关于M点横坐标的二次函数,利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值。
25. (2012山东聊城12分)某电子厂商投产一种新型电子厂品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得3502万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
【答案】解:(1)∵z=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100)=﹣2x2+136x﹣1800,
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800。
(2)由z=350,得350=﹣2x2+136x﹣1800,
解这个方程得x1=25,x2=43。
∴销售单价定为25元或43元时,厂商每月能获得3502万元的利润。
∵z═﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2(x﹣34)2+512,
∴当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元。
(3)结合(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象(如图所示)可知,
当25≤x≤43时,z≥350。
又由限价32元,得25≤x≤32。
根据一次函数的性质,得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小,
∴当x=32时,每月制造成本最低。
最低成本是18×(﹣2×32+100)=648(万元)。
∴所求每月最低制造成本为648万元。
【考点】二次函数和一次函数的应用。
【分析】(1)根据每月的利润z=(x﹣18)y,再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式。
(2)把z=350代入z=﹣2x2+136x﹣1800,解这个方程即可,将z═﹣2x2+136x﹣1800配方,得
z=﹣2(x﹣34)2+512,即可求出当销售单价为多少元时,厂商每月能获得的最大利润。
(3)结合(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350,再根据限价32元,得出25≤x≤32,最后根据一次函数y=﹣2x+100中y随x的增大而减小,即可得出当x=32时,每月制造成本最低,求出最低成本。
26. (2012山东潍坊10分)许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料,节约用气是我们日常生活中非常现实的问题.某款燃气灶旋钮位置从0度到90度(如图),燃气关闭时,燃气灶旋钮的位置为0度,旋钮角度越大,燃气流量越大,燃气开到最大时,旋钮角度为90度.为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量,在相同条件下,选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时,其火力不能够将水烧开,故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90),记录相关数据得到下表:
旋钮角度(度)
20
50
70
80
90
所用燃气量(升)
73
67
83
97
115
(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式;
(2)当旋钮角度为多少时,烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少?
(3)某家庭使用此款燃气灶,以前习惯把燃气开到最大,现采用最节省燃气的旋钮角度,每月平均能节约燃气10立方米,求该家庭以前每月的平均燃气用量.
【答案】解:(1)若设y=kx+b(k≠0),
由解得 。∴y= x+77。
把x=70代入得y=65≠83,∴一次函数不符合。
若设(k≠0),由解得k=1460。∴ 。
把x=50代入得y=29.2≠67,∴反比例函数不符合。
若设y=ax2+bx+c,
由 解得。∴y=x2 x+97(18≤x≤90)。
把x=80代入得y=97,把x=90代入得y=115,符合题意。
∴二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律。
(2)由(1)得:y=x2 x+97=(x-40)2+65,
∴当x=40时,y取得最小值65。
答:当旋钮角度为40°时,烧开一壶水所用燃气量最少,最少为65升。
(3)由(2)及表格知,采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50(升),设该家庭以前每月平均用气量为a立方米,则由题意得:
,解得a=23。
答:该家庭以前每月平均用气量为23立方米。
【考点】待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。
【分析】(1)先假设函数为一次函数,任选两点求出函数解析式,再将各点代入验证;再假设函数为二次函数,任选三求出函数解析式,再将各点代入验证
(2)将(1)所求二次函数解析式,化为顶点式,转化为二次函数最值的问题。
(3)由(2)及表格知,采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50,再设该家庭以前每月平均用气量为a立方米,据此解答即可。
27. (2012山东济南9分)如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),与y轴相交于点C,⊙O1为△ABC的外接圆,交抛物线于另一点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径;
(3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP,CP,BD,M为弦BD中点,若点N在坐标平面内,满足△BMN∽△BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.
【答案】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),
∴,解得。∴抛物线的解析式为:y=x2+4x+3。
(2)由(1)知,抛物线解析式为:y=x2+4x+3,
∵令x=0,得y=3,∴C(0,3)。
∴OC=OA=3,则△AOC为等腰直角三角形。
∴∠CAB=45°,∴cos∠CAB=。
在Rt△BOC中,由勾股定理得:BC=。
如图1所示,连接O1B、O1C,
由圆周角定理得:∠BO1C=2∠BAC=90°。
∴△BO1C为等腰直角三角形,
∴⊙O1的半径O1B=。
(3)点N的坐标为(,)或(,)。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,圆周角定理,圆及抛物线的对称性质,相似三角形的性质,勾股定理。
【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)如答图1所示,由△AOC为等腰直角三角形,确定∠CAB=45°,从而求出其三角函数值;由
圆周角定理,确定△BO1C为等腰直角三角形,从而求出半径的长度。
(3)如答图2所示,首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标,从而求出点M的坐标和线段
BM的长度;点B、P、C的坐标已知,求出线段BP、BC、PC的长度;然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系,求出线段BN和MN的长度;最后利用勾股定理,列出方程组,求出点N的坐标。
∵抛物线y=x2+4x+3=(x+2)2-1,
∴顶点P坐标为(-2,-1),对称轴为x= -2。
又∵A(-3,0),B(-1,0),可知点A、B关于对称轴x=2对称。
如图2所示,由圆及抛物线的对称性可知:点D、点C(0,3)关于对称轴对称。
∴D(-4,3)。
又∵点M为BD中点,B(-1,0),∴M()。
∴BM=。
在△BPC中,B(-1,0),P(-2,-1),C(0,3),
由勾股定理得:BP=,BC=,PC=。
∵△BMN∽△BPC,
∴,即。
解得:BN=,MN。
设N(x,y),由勾股定理可得:
,解得,,。
∴点N的坐标为(,)或(,)。
28. (2012山东德州10分)现从A,B向甲、乙两地运送蔬菜,A,B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨,其中甲地需要蔬菜15吨,乙地需要蔬菜13吨,从A到甲地运费50元/吨,到乙地30元/吨;从B地到甲运费60元/吨,到乙地45元/吨.
(1)设A地到甲地运送蔬菜x吨,请完成下表:
运往甲地(单位:吨)
运往乙地(单位:吨)
A
x
B
(2)设总运费为W元,请写出W与x的函数关系式
(3)怎样调运蔬菜才能使运费最少?
【答案】解:(1)完成填表:
运往甲地(单位:吨)
运往乙地(单位:吨)
A
x
14﹣x
B
15﹣x
x﹣1
(2)W=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1),
整理得,W=5x+1275。
(3)∵A,B到两地运送的蔬菜为非负数,
∴,解不等式组,得:1≤x≤14。
在W=5x+1275中,W随x增大而增大,
∴当x最小为1时,W有最小值 1280元。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】(1)根据题意A,B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨,其中甲地需要蔬菜15吨,乙地需要蔬菜13吨,可得解。
(2)根据从A到甲地运费50元/吨,到乙地30元/吨;从B地到甲运费60元/吨,到乙地45元/吨可列出总费用,从而可得出答案。
(3)求出x的取值范围,利用w与x之间的函数关系式,求出函数最值即可。
29. (2012浙江舟山14分)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.
(1)如图1,当m=时,
①求线段OP的长和tan∠POM的值;
②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;
(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E.
①用含m的代数式表示点Q的坐标;
②求证:四边形ODME是矩形.
【答案】解:(1)①把x=代入 y=x2,得 y=2,∴P(,2),∴OP=。
∵PA丄x轴,∴PA∥MO.∴。
②设 Q(n,n2),∵tan∠QOB=tan∠POM,∴.∴。
∴Q()。∴OQ=。
∴当 OQ=OC 时,则C1(0,),C2(0,-)。
当 OQ=CQ 时,则 C3(0,1)。
(2)①∵点P的横坐标为m,∴P(m,m2)。设 Q(n,n2),
∵△APO∽△BOQ,∴。∴,得。
∴Q()。
②设直线PO的解析式为:y=kx+b,把P(m,m2)、Q()代入,得:
,解得b=1。∴M(0,1)。
∵,∠QBO=∠MOA=90°,∴△QBO∽△MOA。
∴∠MAO=∠QOB,∴QO∥MA。
同理可证:EM∥OD。
又∵∠EOD=90°,∴四边形ODME是矩形。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的判定和性质,锐角三角函数定义,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,矩形的判定。
【分析】(1)①已知m的值,代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长,通过解直角三角形易得出结论。
②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断:
QO=QC时,Q在线段OC的垂直平分线上,Q、O的纵坐标已知,C点坐标即可确定;
QO=OC时,先求出OQ的长,那么C点坐标可确定。
(2)①由∠QOP=90°,易求得△QBO∽△MOA,通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。
②在四边形ODME中,已知了一个直角,只需判定该四边形是平行四边形即可,那么可通过证明两组对边平行来得证。
30. (2012浙江舟山14分)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.
(1)如图1,当m=时,
①求线段OP的长和tan∠POM的值;
②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;
(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E.
①用含m的代数式表示点Q的坐标;
②求证:四边形ODME是矩形.
【答案】解:(1)①把x=代入 y=x2,得 y=2,∴P(,2),∴OP=。
∵PA丄x轴,∴PA∥MO.∴。
②设 Q(n,n2),∵tan∠QOB=tan∠POM,∴.∴。
∴Q()。∴OQ=。
∴当 OQ=OC 时,则C1(0,),C2(0,-)。
当 OQ=CQ 时,则 C3(0,1)。
(2)①∵点P的横坐标为m,∴P(m,m2)。设 Q(n,n2),
∵△APO∽△BOQ,∴。∴,得。
∴Q()。
②设直线PO的解析式为:y=kx+b,把P(m,m2)、Q()代入,得:
,解得b=1。∴M(0,1)。
∵,∠QBO=∠MOA=90°,∴△QBO∽△MOA。
∴∠MAO=∠QOB,∴QO∥MA。
同理可证:EM∥OD。
又∵∠EOD=90°,∴四边形ODME是矩形。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的判定和性质,锐角三角函数定义,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,矩形的判定。
【分析】(1)①已知m的值,代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长,通过解直角三角形易得出结论。
②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断:
QO=QC时,Q在线段OC的垂直平分线上,Q、O的纵坐标已知,C点坐标即可确定;
QO=OC时,先求出OQ的长,那么C点坐标可确定。
(2)①由∠QOP=90°,易求得△QBO∽△MOA,通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。
②在四边形ODME中,已知了一个直角,只需判定该四边形是平行四边形即可,那么可通过证明两组对边平行来得证。
31. (2012浙江宁波12分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;
②若⊙M的半径为,求点M的坐标.
【答案】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0)
∴设该二次函数的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),
将x=0,y=﹣2代入,得﹣2=a(0+1)(0﹣2),解得a=1。
∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2),即y=x2﹣x﹣2。
(2)设OP=x,则PC=PA=x+1,
在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2,
解得,x=,即OP=。
(3)①∵△CHM∽△AOC,∴∠MCH=∠CAO。
(i)如图1,当H在点C下方时,
∵∠MCH=∠CAO,∴CM∥x轴,∴yM=﹣2。
∴x2﹣x﹣2=﹣2,解得x1=0(舍去),x2=1。
∴M(1,﹣2)。
(ii)如图2,当H在点C上方时,
∵∠M′CH=∠CAO,∴PA=PC。
由(2)得,M′为直线CP与抛物线的另一交点,
设直线CM′的解析式为y=kx﹣2,
把P(,0)的坐标代入,得k﹣2=0,解得k=。
∴y=x﹣2。
由x﹣2=x2﹣x﹣2,解得x1=0(舍去),x2=。此时y=×。
∴M′()。
②在x轴上取一点D,如图3,过点D作DE⊥AC于点E,使DE=,
在Rt△AOC中,AC=。
∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD,
∴△AED∽△AOC,
∴,即,解得AD=2。
∴D(1,0)或D(﹣3,0)。
过点D作DM∥AC,交抛物线于M,如图
则直线DM的解析式为:y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时,即x2+x+4=0,方程无实数根,
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时,即x2+x﹣4=0,解得。
∴点M的坐标为()或()。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程。
【分析】(1)根据与x轴的两个交点A、B的坐标,故设出交点式解析式,然后把点C的坐标代入计算求出a的值,即可得到二次函数解析式。
(2)设OP=x,然后表示出PC、PA的长度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可。
(3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分(i)点H在点C下方时,利用同位角相等,两直线平行判定CM∥x轴,从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同,是-2,代入抛物线解析式计算即可;(ii)点H在点C上方时,根据(2)的结论,点M为直线PC与抛物线的另一交点,求出直线PC的解析式,与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。
②在x轴上取一点D,过点D作DE⊥AC于点E,可以证明△AED和△AOC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度,然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度,从而得到点D的坐标,再作直线DM∥AC,然后求出直线DM的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。
32. (2012浙江绍兴12分)把一边长为40cm的正方形硬纸板,进行适当的剪裁,折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)。
(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由。
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子,若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2,求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)。
【答案】解:(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm。
则(40-2x)2=484,解得(不合题意,舍去),。
∴剪掉的正方形的边长为9cm。
②侧面积有最大值。
设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2,
则y与x的函数关系为:,
∴x=10时,y最大=800。
即当剪掉的正方形的边长为10cm时,长方形盒子的侧面积最大为800cm2。
(2)在如图的一种剪裁图中,设剪掉的正方形的边长为xcm。
则 ,
解得:(不合题意,舍去),。
∴剪掉的正方形的边长为15cm。
此时长方体盒子的长为15cm,宽为10cm,高为5cm。
【考点】二次函数的应用,一元二次方程的应用。
【分析】(1)①假设剪掉的正方形的边长为xcm,根据题意得出(40-2x)2=484,求出即可
②假设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2,则y与x的函数关系为:y=4(40-2x)x,利用二次函数最值求出即可。
(2)假设剪掉的正方形的边长为xcm,利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2,得出等式方程求出即可。
33. (2012浙江温州12分)温州享有“中国笔都”之称,其产品畅销全球,某制笔企业欲将件产品运往A,B,C三地销售,要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍,各地的运费如图所示。设安排件产品运往A地。
(1)当时,
①根据信息填表:
A地
B地
C地
合计
产品件数(件)
200
运费(元)
30
②若运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元,则有哪几种运输方案?
(2)若总运费为5800元,求的最小值。
【答案】解:(1)①根据信息填表
A地
B地
C地
合计
产品件数(件)
200
运费(元)
30
②由题意,得 ,解得40≤x≤。
∵x为整数,∴x=40或41或42。
∴有三种方案,分别是
(i)A地40件,B地80件,C地80件;
(ii)A地41件,B地77件,C地82件;
(iii)A地42件,B地74件,C地84件。
(2)由题意,得30x+8(n-3x)+50x=5800,整理,得n=725-7x.
∵n-3x≥0,∴x≤72.5。
又∵x≥0,∴0≤x≤72.5且x为整数。
∵n随x的增大而减少,∴当x=72时,n有最小值为221。
【考点】一次函数的应用,一元一次不等式组的应用。
【分析】(1)①运往B地的产品件数=总件数n-运往A地的产品件数-运往B地的产品件数;运费=
相应件数×一件产品的运费。
②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元列出不等式组,求得整数解的个数即可。
(2)总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费,从而根据函数的增减性得到的x的取值求得n的最小值即可。
34. (2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系得部分数据如下表:
时间t(秒)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
…
行驶距离s(米)
0
2.8
5.2
7.2
8.8
10
10.8
…
(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;
(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系,求出相应的函数解析式;
(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?
②当t分别为t1,t2(t1<t2)时,对应s的值分别为s1,s2,请比较与的大小,并解释比较结果的实际意义.
【答案】解:(1)描点图所示:
(2)由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为:s=at2+bt+c,
∵抛物线经过点(0,0),∴c=0。
又由点(0.2,2.8),(1,10)可得:
,解得:。
经检验,其余各点均在s=-5t2+15t上。
∴二次函数的解析式为:。
(3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。
∵,∴当t=时,滑行距离最大,为。
因此,刹车后汽车行驶了米才停止。
②∵,∴。
∴。
∵t1<t2,∴。∴。
其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质和应用,不等式的应用。
【分析】(1)描点作图即可。
(2)首先判断函数为二次函数。用待定系数法,由所给的任意三点即可求出函数解析式。
(3)将函数解析式表示成顶点式(或用公式求),即可求得答案。
(4)求出与,用差值法比较大小。