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- 2021-05-10 发布
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2016年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的。每小题2分,共20分)
1.下列各数是无理数的是( )
A.0 B.﹣1 C. D.
2.如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
3.在我市2016年春季房地产展示交易会上,全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米,将数据5400000用科学记数法表示为( )
A.0.54×107B.54×105C.5.4×106D.5.4×107
4.如图,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数y=(x>0)图象上的一点,分别过点P作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3,则k的值为( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
5.“射击运动员射击一次,命中靶心”这个事件是( )
A.确定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.不确定事件
6.下列计算正确的是( )
A.x4+x4=2x8B.x3•x2=x6C.(x2y)3=x6y3D.(x﹣y)(y﹣x)=x2﹣y2
7.已知一组数据:3,4,6,7,8,8,下列说法正确的是( )
A.众数是2 B.众数是8 C.中位数是6 D.中位数是7
8.一元二次方程x2﹣4x=12的根是( )
A.x1=2,x2=﹣6 B.x1=﹣2,x2=6 C.x1=﹣2,x2=﹣6 D.x1=2,x2=6
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( )
A. B.4 C.8D.4
10.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1<x2≤0,则下列结论正确的是( )
A.y1<y2B.y1>y2
C.y的最小值是﹣3 D.y的最小值是﹣4
二、填空题
11.分解因式:2x2﹣4x+2= .
12.若一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是 边形.
13.化简:(1﹣)•(m+1)= .
14.三个连续整数中,n是最大的一个,这三个数的和为 .
15.在一条笔直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B两地之间,甲,乙两车分别从A,B两地出发,沿这条公路匀速行驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图表示,当甲车出发 h时,两车相距350km.
16.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线,点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形,则DO的长是 .
三、解答题
17.计算:(π﹣4)0+|3﹣tan60°|﹣()﹣2+.
18.为了传承优秀传统文化,某校开展“经典诵读”比赛活动,诵读材料有《论语》,《三字经》,《弟子规》(分别用字母A,B,C依次表示这三个诵读材料),将A,B,C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上,把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.小明和小亮参加诵读比赛,比赛时小明先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的内容,放回后洗匀,再由小亮从中随机抽取一张卡片,选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛.
(1)小明诵读《论语》的概率是 ;
(2)请用列表法或画树状图(树形图)法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率.
19.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE;
(2)四边形BCED是菱形.
20.我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动,为了解学生对四种项目的喜欢情况,随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目(2016•沈阳)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别于BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为5,∠CDF=30°,求的长(结果保留π).
22.倡导健康生活,推进全民健身,某社区要购进A,B两种型号的健身器材若干套,A,B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元,460元,且每种型号健身器材必须整套购买.
(1)若购买A,B两种型号的健身器材共50套,且恰好支出20000元,求A,B两种型号健身器材各购买多少套?
(2)若购买A,B两种型号的健身器材共50套,且支出不超过18000元,求A种型号健身器材至少要购买多少套?
23.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点O为坐标原点,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,1),点C为边AB的中点,正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上,连接CO,CD,CE.
(1)线段OC的长为 ;
(2)求证:△CBD≌△COE;
(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1,其中点O,B,D,E的对应点分别为点O1,B1,D1,E1,连接CD,CE,设点E的坐标为(a,0),其中a≠2,△CD1E1的面积为S.
①当1<a<2时,请直接写出S与a之间的函数表达式;
②在平移过程中,当S=时,请直接写出a的值.
24.在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD,BE.
(1)如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F.
①求证:△ABD是等边三角形;
②求证:BF⊥AD,AF=DF;
③请直接写出BE的长;
(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
25.如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8,OE=17,抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A,抛物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.
(1)将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.
①点B的坐标为( 、 ),BK的长是 ,CK的长是 ;
②求点F的坐标;
③请直接写出抛物线的函数表达式;
(2)将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连接OG,折痕与OG相交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连接MG,MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连接ON,点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1•S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化范围;若不变,请直接写出这个值.
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
2016年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的。每小题2分,共20分)
1.下列各数是无理数的是( )
A.0 B.﹣1 C. D.
【考点】无理数.
【分析】根据无理数是无限不循环小数,可得答案.
【解答】解:0,﹣1,是有理数,是无理数,
故选:C.
【点评】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,,0.8080080008…(2016•沈阳)如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】画出从上往下看的图形即可.
【解答】解:这个几何体的俯视图为.
故选A.
【点评】本题考查了简单组合体的三视图:画简单组合体的三视图要循序渐进,通过仔细观察和想象,再画它的三视图.
3.在我市2016年春季房地产展示交易会上,全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米,将数据5400000用科学记数法表示为( )
A.0.54×107B.54×105C.5.4×106D.5.4×107
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:5400000用科学记数法表示为5.4×106,
故选:C.
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.如图,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数y=(x>0)图象上的一点,分别过点P作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3,则k的值为( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积S是个定值,即S=|k|.再由函数图象所在的象限确定k的值即可.
【解答】解:∵点P是反比例函数y=(x>0)图象上的一点,分别过点P作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3,
∴矩形OAPB的面积S=|k|=3,
解得k=±3.
又∵反比例函数的图象在第一象限,
∴k=3.
故选A.
【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.
5.“射击运动员射击一次,命中靶心”这个事件是( )
A.确定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.不确定事件
【考点】随机事件.
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
【解答】解:“射击运动员射击一次,命中靶心”这个事件是随机事件,属于不确定事件,
故选:D.
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
6.下列计算正确的是( )
A.x4+x4=2x8B.x3•x2=x6C.(x2y)3=x6y3D.(x﹣y)(y﹣x)=x2﹣y2
【考点】整式的混合运算.
【专题】存在型.
【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果,即可得到哪个选项是正确的,本题得以解决.
【解答】解:∵x4+x4=2x4,故选项A错误;
∵x3•x2=x5,故选项B错误;
∵(x2y)3=x6y3,故选项C正确;
∵(x﹣y)(y﹣x)=﹣x2+2xy﹣y2,故选项D错误;
故选C.
【点评】本题考查整式的混合运算,解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法.
7.已知一组数据:3,4,6,7,8,8,下列说法正确的是( )
A.众数是2 B.众数是8 C.中位数是6 D.中位数是7
【考点】众数;中位数.
【分析】根据众数和中位数的定义求解.
【解答】解:数据:3,4,6,7,8,8的众数为8,中为数为6.5.
故选B.
【点评】本题考查了众数:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.也考查了中位数定义.
8.一元二次方程x2﹣4x=12的根是( )
A.x1=2,x2=﹣6 B.x1=﹣2,x2=6 C.x1=﹣2,x2=﹣6 D.x1=2,x2=6
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【专题】计算题;一次方程(组)及应用.
【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:方程整理得:x2﹣4x﹣12=0,
分解因式得:(x+2)(x﹣6)=0,
解得:x1=﹣2,x2=6,
故选B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( )
A. B.4 C.8D.4
【考点】解直角三角形.
【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,
cosB=,
即cos30°=,
∴BC=8×=4;
故选:D.
【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值,是基础知识,需要熟练掌握.
10.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1<x2≤0,则下列结论正确的是( )
A.y1<y2B.y1>y2
C.y的最小值是﹣3 D.y的最小值是﹣4
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值.
【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标,结合函数图象的增减性进行解答.
【解答】解:y=x2+2x﹣3=(x+3)(x﹣1),
则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1.
又y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴该抛物线的顶点坐标是(﹣1,﹣4),对称轴为x=﹣1.
A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近,故无法判断y1与y2的大小,故本选项错误;
B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近,故无法判断y1与y2的大小,故本选项错误;
C、y的最小值是﹣4,故本选项错误;
D、y的最小值是﹣4,故本选项正确.
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值,解题时,利用了“数形结合”的数学思想.
二、填空题
11.分解因式:2x2﹣4x+2= 2(x﹣1)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因数2,再利用完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.
【解答】解:2x2﹣4x+2,
=2(x2﹣2x+1),
=2(x﹣1)2.
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,难点在于需要进行二次分解因式.
12.若一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是 五 边形.
【考点】多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可.
【解答】解:设多边形的边数是n,则
(n﹣2)•180°=540°,
解得n=5,
故答案为:五.
【点评】本题考查了多边形的内角和定理,熟记公式是解题的关键.
13.化简:(1﹣)•(m+1)= m .
【考点】分式的混合运算.
【专题】计算题;分式.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分即可得到结果.
【解答】解:原式=•(m+1)=m,
故答案为:m
【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
14.三个连续整数中,n是最大的一个,这三个数的和为 3n﹣3 .
【考点】列代数式.
【专题】应用题.
【分析】先利用连续整数的关系用n表示出最小的数和中间的整数,然后把三个数相加即可.
【解答】解:这三个数的和为n﹣2+n﹣1+n=3n﹣3.
故答案为3n﹣3.
【点评】本题考查了列代数式:把问题中与数量有关的词语,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式.本题的关键是表示出最小整数.
15.在一条笔直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B两地之间,甲,乙两车分别从A,B两地出发,沿这条公路匀速行驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图表示,当甲车出发 h时,两车相距350km.
【考点】一次函数的应用.
【分析】根据图象,可得A与C的距离等于B与C的距离,根据行驶路程与时间的关系,可得相应的速度,根据甲、乙的路程,可得方程,根据解方程,可得答案.
【解答】解:由题意,得
AC=BC=240km,
甲的速度240÷4=60km/h,乙的速度240÷30=80km/h.
设甲出发x小时甲乙相距350km,由题意,得
60x+80(x﹣1)+350=240×2,
解得x=,
答:甲车出发h时,两车相距350km,
故答案为:.
【点评】本题考查了一次函数的应用,利用题意找出等量关系是解题关键.
16.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线,点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形,则DO的长是 或 .
【考点】三角形中位线定理.
【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°,根据=计算即可
②∠MON=90°,利用△DOE∽△EFM,得=计算即可.
【解答】解:如图作EF⊥BC于F,DN′⊥BC于N′交EM于点O′,此时∠MN′O′=90°,
∵DE是△ABC中位线,
∴DE∥BC,DE=BC=10,
∵DN′∥EF,
∴四边形DEFN′是平行四边形,∵∠EFN′=90°,
∴四边形DEFN′是矩形,
∴EF=DN′,DE=FN′=10,
∵AB=AC,∠A=90°,
∴∠B=∠C=45°,
∴BN′=DN′=EF=FC=5,
∴=,
∴=,
∴DO′=.
当∠MON=90°时,
∵△DOE∽△EFM,
∴=,
∵EM==13,
∴DO=,
故答案为或.
【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会分类讨论,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型.
三、解答题
17.计算:(π﹣4)0+|3﹣tan60°|﹣()﹣2+.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案.
【解答】解:原式=1+3﹣﹣4+3,
=2.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确掌握相关性质进而化简是解题关键.
18.为了传承优秀传统文化,某校开展“经典诵读”比赛活动,诵读材料有《论语》,《三字经》,《弟子规》(分别用字母A,B,C依次表示这三个诵读材料),将A,B,C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上,把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.小明和小亮参加诵读比赛,比赛时小明先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的内容,放回后洗匀,再由小亮从中随机抽取一张卡片,选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛.
(1)小明诵读《论语》的概率是 ;
(2)请用列表法或画树状图(树形图)法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率.
【考点】列表法与树状图法;概率公式.
【分析】(1)利用概率公式直接计算即可;
(2)列举出所有情况,看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可.
【解答】解:
(1)∵诵读材料有《论语》,《三字经》,《弟子规》三种,
∴小明诵读《论语》的概率=,
故答案为:;
(2)列表得:
小明
小亮
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
由表格可知,共有9种等可能性结果,其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有6种.
所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率=.
【点评】本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比;得到所求的情况数是解决本题的易错点.
19.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE;
(2)四边形BCED是菱形.
【考点】菱形的判定;全等三角形的性质.
【专题】证明题.
【分析】(1)欲证明∠CEB=∠CBE,只要证明∠CEB=∠ABD,∠CBE=∠ABD即可.
(2)先证明四边形CEDB是平行四边形,再根据BC=BD即可判定.
【解答】证明;(1)∵△ABC≌△ABD,
∴∠ABC=∠ABD,
∵CE∥BD,
∴∠CEB=∠DBE,
∴∠CEB=∠CBE.
(2))∵△ABC≌△ABD,
∴BC=BD,
∵∠CEB=∠CBE,
∴CE=CB,
∴CE=BD
∵CE∥BD,
∴四边形CEDB是平行四边形,
∵BC=BD,
∴四边形CEDB是菱形.
【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键,记住平行四边形、菱形的判定方法,属于中考常考题型.
20.我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动,为了解学生对四种项目的喜欢情况,随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目(2016•沈阳)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别于BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为5,∠CDF=30°,求的长(结果保留π).
【考点】切线的性质;弧长的计算.
【分析】(1)连接OD,由切线的性质即可得出∠ODF=90°,再由BD=CD,OA=OB可得出OD是△ABC的中位线,根据三角形中位线的性质即可得出,根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°,从而证出DF⊥AC;
(2)由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°,再结合OB=OD可得出△OBD是等边三角形,根据弧长公式即可得出结论.
【解答】(1)证明:连接OD,如图所示.
∵DF是⊙O的切线,D为切点,
∴OD⊥DF,
∴∠ODF=90°.
∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∴∠CFD=∠ODF=90°,
∴DF⊥AC.
(2)解:∵∠CDF=30°,
由(1)得∠ODF=90°,
∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°.
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠BOD=60°,
∴的长===π.
【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断,解题的关键是:(1)求出∠CFD=∠ODF=90°;(2)找出△OBD是等边三角形.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,通过角的计算找出90°的角是关键.
22.倡导健康生活,推进全民健身,某社区要购进A,B两种型号的健身器材若干套,A,B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元,460元,且每种型号健身器材必须整套购买.
(1)若购买A,B两种型号的健身器材共50套,且恰好支出20000元,求A,B两种型号健身器材各购买多少套?
(2)若购买A,B两种型号的健身器材共50套,且支出不超过18000元,求A种型号健身器材至少要购买多少套?
【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设购买A种型号健身器材x套,B型器材健身器材y套,根据:“A,B两种型号的健身器材共50套、共支出20000元”列方程组求解可得;
(2)设购买A型号健身器材m套,根据:A型器材总费用+B型器材总费用≤18000,列不等式求解可得.
【解答】解:(1)设购买A种型号健身器材x套,B型器材健身器材y套,
根据题意,得:,
解得:,
答:购买A种型号健身器材20套,B型器材健身器材30套.
(3)设购买A型号健身器材m套,
根据题意,得:310m+460(50﹣m)≤18000,
解得:m≥33,
∵m为整数,
∴m的最小值为34,
答:A种型号健身器材至少要购买34套.
【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用,审清题意得到相等关系或不等关系是解题的关键.
23.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点O为坐标原点,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,1),点C为边AB的中点,正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上,连接CO,CD,CE.
(1)线段OC的长为 ;
(2)求证:△CBD≌△COE;
(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1,其中点O,B,D,E的对应点分别为点O1,B1,D1,E1,连接CD,CE,设点E的坐标为(a,0),其中a≠2,△CD1E1的面积为S.
①当1<a<2时,请直接写出S与a之间的函数表达式;
②在平移过程中,当S=时,请直接写出a的值.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)由点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,1),利用勾股定理即可求得AB的长,然后由点C为边AB的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可求得线段OC的长;
(2)由四边形OBDE是正方形,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,易得BD=OE,BC=OC,∠CBD=∠COE,即可证得:△CBD≌△COE;
(3)①首先根据题意画出图形,然后过点C作CH⊥D1E1于点H,可求得△CD1E1的高与底,继而求得答案;
②分别从1<a<2与a>2去分析求解即可求得答案.
【解答】解:(1)∵点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,1),
∴OA=4,OB=1,
∵∠AOB=90°,
∴AB==,
∵点C为边AB的中点,
∴OC=AB=;
故答案为:.
(2)证明:∵∠AOB=90°,点C是AB的中点,
∴OC=BC=AB,
∴∠CBO=∠COB,
∵四边形OBDE是正方形,
∴BD=OE,∠DBO=∠EOB=90°,
∴∠CBD=∠COE,
在△CBD和△COE中,
,
∴△CBD≌△COE(SAS);
(3)①解:过点C作CH⊥D1E1于点H,
∵C是AB边的中点,
∴点C的坐标为:(2,)
∵点E的坐标为(a,0),1<a<2,
∴CH=2﹣a,
∴S=D1E1•CH=×1×(2﹣a)=﹣a+1;
②当1<a<2时,S=﹣a+1=,
解得:a=;
当a>2时,同理:CH=a﹣2,
∴S=D1E1•CH=×1×(a﹣2)=a﹣1,
∴S=a﹣1=,
解得:a=,
综上可得:当S=时,a=或.
【点评】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题.注意掌握辅助线的作法,注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键.
24.在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD,BE.
(1)如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F.
①求证:△ABD是等边三角形;
②求证:BF⊥AD,AF=DF;
③请直接写出BE的长;
(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
【考点】三角形综合题.
【分析】(1)①由旋转性质知AB=AD,∠BAD=60°即可得证;②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证;③分别求出BF、EF的长即可得;
(2)由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC,根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3,继而知CE=2CH=8、BE=5,即可得答案.
【解答】解:(1)①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE,
∴AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形;
②由①得△ABD是等边三角形,
∴AB=BD,
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE,
∴AC=AE,BC=DE,
又∵AC=BC,
∴EA=ED,
∴点B、E在AD的中垂线上,
∴BE是AD的中垂线,
∵点F在BE的延长线上,
∴BF⊥AD,AF=DF;
③由②知BF⊥AD,AF=DF,
∴AF=DF=3,
∵AE=AC=5,
∴EF=4,
∵在等边三角形ABD中,BF=AB•sin∠BAF=6×=3,
∴BE=BF﹣EF=3﹣4;
(2)如图所示,
∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC,
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°,
又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°,
∴∠BAE=∠ABC,
∵AC=BC=AE,
∴∠BAC=∠ABC,
∴∠BAE=∠BAC,
∴AB⊥CE,且CH=HE=CE,
∵AC=BC,
∴AH=BH=AB=3,
则CE=2CH=8,BE=5,
∴BE+CE=13.
【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的性质、三角形内角和定理等知识点,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
25.如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8,OE=17,抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A,抛物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.
(1)将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.
①点B的坐标为( 10 、 0 ),BK的长是 8 ,CK的长是 10 ;
②求点F的坐标;
③请直接写出抛物线的函数表达式;
(2)将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连接OG,折痕与OG相交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连接MG,MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连接ON,点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1•S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化范围;若不变,请直接写出这个值.
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题.
②在RT△BKF中利用勾股定理即可解决问题.
③设OA=AF=x,在RT△ACF中,AC=8﹣x,AF=x,CF=4,利用勾股定理即可解决问题.
(2)不变.S1•S2=189.由△GHN∽△MHG,得=,得到GH2=HN•HM,求出GH2,根据S1•S2=•OG•HN••OG•HM即可解决问题.
【解答】解:(1)如图1中,①∵抛物线y=x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10,
∴点B坐标(10,0),
∵四边形OBKC是矩形,
∴CK=OB=10,KB=OC=8,
故答案分别为10,0,8,10.
②在RT△FBK中,∵∠FKB=90°,BF=OB=10,BK=OC=8,
∴FK==6,
∴CF=CK﹣FK=4,
∴点F坐标(4,8).
③设OA=AF=x,
在RT△ACF中,∵AC2+CF2=AF2,
∴(8﹣x)2+42=x2,
∴x=5,
∴点A坐标(0,5),代入抛物线y=x2﹣3x+m得m=5,
∴抛物线为y=x2﹣3x+5.
(2)不变.S1•S2=189.
理由:如图2中,在RT△EDG中,∵GE=EO=17,ED=8,
∴DG===15,
∴CG=CD﹣DG=2,
∴OG===2,
∵CP⊥OM,MH⊥OG,
∴∠NPN=∠NHG=90°,
∵∠HNG+∠HGN=90°,∠PNM+∠PMN=90°,∠HNG=∠PNM,
∴∠HGN=∠NMP,
∵∠NMP=∠HMG,∠GHN=∠GHM,
∴△GHN∽△MHG,
∴=,
∴GH2=HN•HM,
∵GH=OH=,
∴HN•HM=17,
∵S1•S2=•OG•HN••OG•HM=(•2)2•17=289.
【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、翻折变换相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是证明△GHN∽△MHG求出HN•HM的值,属于中考压轴题.