青岛2008青岛中考数学试题 12页

青岛二○○八山东省青岛市初级中学学业水平考试 数 学 试 题 ‎（考试时间：120分钟；满分120分）‎ 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！‎ ‎1．请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚．‎ ‎2．本试题共有24道题，其中1—7题为选择题，请将所选答案的标号，写在第7题后面给出表格的相应位置上：8—14题为填空题，请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相应位置上；15—24题请在试题给出的本题位置上做答．‎ 一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）‎ 下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选，选错或选出的标号超过一个的不得分，请将1—7各小题所选答案的标号填写在第7小题后面表格的相应位置上．‎ ‎1．的相反数等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4‎ 主视图 左视图 俯视图 ‎3．已知和的半径分别为‎3cm和‎2cm，圆心距cm，则两圆的位置关系是（ ）‎ A．相切 B．内含 C．外离 D．相交 ‎4．某几何体的三种视图如右图所示，则该几何体可能是（ ）‎ A．圆锥体 B．球体 C．长方体 D．圆柱体 ‎5．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ）‎ A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 ‎6．如果点和点是直线上的两点，且当时，，那么函数的图象大致是（ ）‎ y x O y x O y x O y x O A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．如图，把图①中的经过一定的变换得到图②中的，如果图①中上点的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎－1‎ Ｏ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x y 图①‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎－1‎ Ｏ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x y 图②‎ Ｐ A B C 请将1—7各小题所选答案的标号填写在下表的相应位置上：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 答案 二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）请将8—14各小题的答案填写在第14小题后面表格的相应位置上．‎ ‎8．计算： ．‎ ‎9．化简： ． ‎ ‎10．如图，在矩形中，对角线相交于点，若，cm，则的长为 cm．‎ ‎11．如图，是的直径，弦于，如果，，那么的长为 ．‎ ‎12．为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为，则根据题意可列方程为 ．‎ 测试项目 测试成绩 面试 ‎90‎ ‎95‎ 综合知识测试 ‎85‎ ‎80‎ ‎13．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如右表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按的比例计算两人的总成绩，那么 （填或）将被录用．‎ Ａ Ｆ Ｅ Ｏ 第14题图 ‎14．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为‎10cm．母线长为‎10cm．在母线上的点处有一块爆米花残渣，且cm，一只蚂蚁从杯口的点 处沿圆锥表面爬行到点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．‎ 请将8—14各小题的答案填写在下表的相应位置上：‎ 题号 ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 答案 题号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 三、作图题（本题满分6分）‎ 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ ‎15．如图，表示两条相交的公路，现要在的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点的距离为‎1000米．‎ ‎（1）若要以的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点的图上距离；‎ A C B ‎（2）‎ ‎1cm ‎（2）在图中画出物流中心的位置．‎ 解：（1）‎ 四、解答题（本题满分72分，共有9道小题）‎ ‎16．（本小题满分6分）‎ 用配方法解一元二次方程：．‎ ‎17．（本小题满分6分）‎ 某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，制成折线统计图和扇形统计图如下：‎ A B C D A：4.9以下 B：4.9－5.1‎ C：5.1－5.2‎ D：5.2以上 ‎（每组数据只含最低值不含最高值）‎ 被抽取学生2008年的视 力分布情况统计图 人数 时间（年）‎ ‎800‎ ‎500‎ ‎300‎ ‎0‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎2008‎ 被抽取学生视力在4.9以下 的人数变化情况统计图 解答下列问题：‎ ‎（1）该市共抽取了多少名九年级学生？‎ ‎（2）若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力不良（4.9以下）的学生大约有多少人？‎ ‎（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想（不超过30字）．‎ ‎18．（本小题满分6分）‎ 小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．‎ 这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？‎ 红 黄 蓝 红 白 蓝 ‎19．（本小题满分6分）‎ 在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角为，最大夹角为．‎ 请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中的长是多少米？（结果保留两个有效数字）‎ ‎（参考数据：，，，）‎ A Ｄ Ｃ B Ｄ ‎20．（本小题满分8分）‎ ‎2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B 种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票张，请你解答下列问题：‎ ‎（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；‎ ‎（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？‎ ‎21．（本小题满分8分）‎ 已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于．‎ A B C D E F G ‎（1）求证：；‎ ‎（2）将绕点顺时针旋转得到，‎ 判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．‎ ‎（1）求与之间的函数关系式；‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎60‎ ‎70‎ Ｏ y(件)‎ x(元)‎ ‎（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？‎ 建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：‎ 在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？‎ 为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：‎ ‎（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？‎ 假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：（如图①）；‎ ‎（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？‎ 我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：（如图②）‎ ‎（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？‎ 我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：（如图③）：‎ ‎（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？‎ 红 黄 红 红或黄或白 图②‎ 黄 白 白 红 黄 白 红或黄或白 图①‎ 红 红 红或黄或白 图③‎ 红 白 白 白 黄 黄 黄 红 红 红或黄或白 图⑩‎ 红 白 白 白 黄 黄 黄 白 ‎…‎ 红 黄 ‎9个 ‎9个 ‎9个 ‎．．．‎ 我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：（如图⑩）‎ 模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：‎ ‎（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；‎ ‎（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；‎ ‎（3）若要确保摸出的小球至少有个同色（），则最少需摸出小球的个数是 ．‎ 模型拓展二：在不透明口袋中装有种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：‎ ‎（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ．‎ ‎（2）若要确保摸出的小球至少有个同色（），则最少需摸出小球的个数是 ．‎ 问题解决：（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；‎ ‎（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．‎ ‎24．（本小题满分12分）‎ 已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为‎1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为‎2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：‎ ‎（1）当为何值时，？‎ ‎（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；‎ A Q C P B 图①‎ A Q C P B 图②‎ ‎（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．‎ 二○○八年山东省青岛市初级中学学业水平考试 数学试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．‎ ‎2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．‎ ‎3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．‎ ‎4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 答案 A B D D C B C 二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）‎ 题号 ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 答案 x＋3‎ ‎8‎ ‎2‎ 题号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 B 三、作图题（本题满分6分）‎ ‎15．解：（1）‎1000米=100000厘米，‎ ‎100000÷50000=2（厘米）； 2′ ‎ ‎（2） 略． 6′ ‎ 四、解答题（本题满分72分，共有9道小题）‎ ‎16．（本小题满分6分）‎ 解： ，‎ ‎ 　，‎ ‎， 3′ ‎ ‎， ‎ ‎ ∴， . 6′‎ ‎17．（本小题满分6分）‎ 解：（1）800÷40% = 2000（人）； 2′‎ ‎（2）80000×40% = 32000（人）； 4′‎ ‎（3）合理即可． 6′‎ ‎18．（本小题满分6分）‎ 解：‎ 红 白 蓝 红 ‎（红，红）‎ ‎（红，白）‎ ‎（红，蓝）‎ 黄 ‎（黄，红）‎ ‎（黄，白）‎ ‎（黄，蓝）‎ 蓝 ‎（蓝，红）‎ ‎（蓝，白）‎ ‎（蓝，蓝）‎ ‎ 2′‎ ‎∴P（配成紫色）=，P（配不成紫色）=．‎ ‎∴小刚得分：，‎ 小明得分：，‎ ‎∵ ， ∴ 游戏对双方不公平．　 4′‎ 修改规则的方法不惟一．‎ ‎ （如改为：若配成紫色时小刚得7分，否则小明得2分．） 6′‎ ‎19．（本小题满分6分）‎ 解：设CD为x ，‎ 在Rt△BCD中，， ‎ ‎∵，‎ ‎∴． 2′‎ 在Rt△ACD中，， ‎ ‎∵，‎ ‎∴． 4′‎ ‎∵，‎ ‎∴． 5′‎ ‎．‎ 答：CD长约为‎1.14米． 　 6′‎ ‎20．（本小题满分8分）‎ 解：（1）设A种票张，则B种票张，‎ 根据题意得： 3′‎ 解得： 5≤≤．‎ ‎∴满足条件的x为5或6．‎ ‎∴共有两种购买方案：‎ 方案一：A种票5张， B种票10张，‎ 方案二：A种票6张， B种票9张． 6′‎ ‎（2）方案一购票费用： 600×5＋120×10=4200（元），‎ 方案二购票费用： 600×6＋120×9=4680（元），‎ ‎∵4200＜4680，‎ ‎∴ 方案一更省钱. 8′‎ ‎21．（本小题满分8分)‎ 证明：（1） ∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BC=CD，∠BCD=90°．‎ ‎∵∠BCD +∠DCE=180°，‎ ‎∴∠BCD=∠DCE=90°．‎ 又∵CG=CE，‎ ‎∴△BCG≌△DCE． 　 4′‎ ‎（2）∵△DCE绕D顺时针旋转得到△DAE ′， ‎ ‎∴CE=AE ′．‎ ‎∵CE=CG，‎ ‎∴CG=AE ′．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BE ′∥DG，AB=CD．‎ ‎∴AB－AE ′ =CD－CG，‎ 即BE ′ =DG．‎ ‎∴四边形DE ′ BG是平行四边形． 8′‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）设，‎ ‎∵函数图象经过点（60，400）和（70，300），‎ ‎∴， 解得．‎ ‎∴． 4′‎ ‎（2）‎ ‎ 6′‎ 自变量取值范围：50≤≤70． 7′‎ ‎∵，＜0． ‎ ‎∴函数图象开口向下，对称轴是直线x=75． ‎ ‎∵50≤≤70，此时随的增大而增大，‎ ‎∴当时，． 10′‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 模型拓展一：（1）1+5=6 1′ ‎ ‎（2）1+5×9=46 2′‎ ‎（3）1+5（n－1） 3′‎ 模型拓展二：（1）1＋m 4′‎ ‎（2）1+m(n－1) 5′‎ 问题解决：（1）在不透明口袋中放入18种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各40个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？ 　　 8′ ‎ ‎（2）1+18×(10－1) =163 10′‎ ‎24．（本小题满分12分）‎ 解：（1）在Rt△ABC中，，‎ 由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，‎ 若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 图①‎ B A Q P C H ‎∴． 3′‎ ‎（2）过点P作PH⊥AC于H．‎ ‎∵△APH ∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴． 　 6′‎ ‎（3）若PQ把△ABC周长平分，‎ 则AP+AQ=BP+BC+CQ．‎ ‎∴， ‎ 解得：．‎ 若PQ把△ABC面积平分，‎ 则， 即－＋3t=3．‎ ‎∵ t=1代入上面方程不成立， ‎ ‎∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． 9′‎ ‎（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，‎ P ′‎ B A Q P C 图②‎ M N 若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．‎ ‎∵PM⊥AC于M，‎ ‎∴QM=CM．‎ ‎∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．‎ ‎∴， ∴，‎ ‎∴， ‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得：．‎ ‎∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形． ‎ 此时，　，‎ 在Rt△PMC中，，‎ ‎∴菱形PQP ′ C边长为． 12′‎