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- 2021-05-10 发布
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圆压轴题八大模型题(五)
泸州市七中佳德学校 易建洪
引言:与圆有关的证明与计算的综合解答题,往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上,是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展,本文结合近年来各省市中考题,整理了这些习题的常见的结论,破题的要点,常用技巧。把握了这些方法与技巧,就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型5 三切线组合
直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,以AB为直径的半圆⊙O与CD相切于点E.
图(2)
图(3)
图(1)
(4)求证:CO∥AE, DO∥BE.
(3)求证:CO2=CB·CD;
(1)AD=4,BC=9,求AB;
(2)求证:4AD·BC=AB2.
【分析】(1)法一:如图(a)过点D作DF⊥BC,AB=DF==12.
法二:如图(b)由△OBC∽△DAO,
或△COE∽△ODE得:
r2=4×9=36,r=6,AB=12.
(a)
(b)
(2) 由△OBC∽△DAO,或
△COE∽△ODE得:r2=AD×BC,( )2=AD×BC,
∴4AD·BC=AB2
(3)由Rt△CBO∽Rt△COD得:CO2=CB×CD.
(4)∠CFE=∠COG=∠EGD=90°,CO∥AE,DO∥BE.
图(6)
图(5)
图(4)
(6)求证:DG=AG.
(7)求证:EP=FP.
(5)求证:EP=FP.
(8)若AB=2,AD=2,求BC和EF的长.
【分析】(5)由CB∥EF∥DA,CB=CE,DA=DE得,∴EP=FP.
(6)由CB=CE,∠CBE=∠CEB=∠DEG;CB∥DA得∠CBE=∠D,∴∠DEG=∠D.∴DG=EG,又EG=GA,∴DG=AG.
(7)EF∥DA,得, 又DG=GA,得EP=FP.
(8)由AB2=4AD×BC得:(2)2=4×2BC,∴BC=2.5,CF=BC=2.5,BF=5.
在Rt△ABF中,AF==3.由AD∥BF得,
∴EF=AF=×3=
【典例】
(2018·湖南娄底)如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切,切点分别为D、E、C,半径OC=1,则AE·BE___________.
图a
图5-1
【分析】连接 OE,由切线长定理可得∠AOE=∠DOE,∠BOE=∠EOC,再根据∠DOE+∠EOC=180°,可得∠AOB=90°,继而可证△AEO∽△OEB,根据相似三角形对应边成比例即可得.
解:如图,连接 OE,∵AD、AB与半圆 O 相切,
∴ OE⊥AB,OA平分∠DOE,
∴∠AOE=∠DOE,同理∠BOE=∠EOC,
∵∠DOE+∠EOC=180°,∴∠AOE+∠BOE=90°,
即∠AOB=90°,∴∠ABO+∠BAO=90°,
∵∠BAO+∠AOE=90°,∴∠ABO=∠AOE,
∵∠OEA=∠BEO=90°,∴△AEO∽△OEB,
∴AE:OE=OE:BE,∴AE•BE=OE²=1,
答案:1.
【点拨】
由切线长定理引出的四个母子相似三角形中,含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外,往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等,或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形,构建基本的图形模型,综合运用解决问题。
【变式运用】
1.(2016×大庆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.
(1)求证:MH为⊙O的切线.
(2)若MH=,tan∠ABC=,求⊙O的半径.
(3) 在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.
解:(1)连接OH、OM,
∵H是AC的中点,O是BC的中点,
∴OH是△ABC的中位线,∴OH∥AB,
∴∠COH=∠ABC,∠MOH=∠OMB,
图5-2
又∵OB=OM,∴∠OMB=∠MBO,
∴∠COH=∠MOH,
在△COH与△MOH中,
,∴△COH≌△MOH(SAS),
∴∠HCO=∠HMO=90°,
∴MH是⊙O的切线;
图b
(2)∵MH、AC是⊙O的切线,
∴HC=MH=,∴AC=2HC=3,
∵tan∠ABC=,∴=,
∴BC=4,∴⊙O的半径为2.
(3)连接OA、CN、ON,OA与CN相交于点I,
∵AC与AN都是⊙O的切线,
∴AC=AN,AO平分∠CAD,
∴AO⊥CN,
∵AC=3,OC=2,
图c
∴由勾股定理可求得:
AO=,
∵AC•OC=AO•CI,∴CI=,∴由垂径定理可求得:CN=,
设OE=x,由勾股定理可得:CN2﹣CE2=ON2﹣OE2,
∴﹣(2+x)2=4﹣x2,
∴x=,∴CE=,由勾股定理可求得:EN=,
∴由垂径定理可知:NQ=2EN=.
2.(2016×广西梧州)如图,AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G,且AB∥CD.连接OB、OC,延长CO交⊙O于点M,过点M作MN∥OB交CD于N.
(1)求证:MN是⊙O的切线;
(2)当OB=6cm,OC=8cm时,求⊙O的半径及MN的长.
(1)如图所示,连接OE、OF、OG.
∵OE、OF、OG都是⊙O的半径,
∴OE=OG=OG.
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G,
图5-2
∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90.
在Rt△OEB和Rt△OFB中,
,
∴Rt△OEB≌Rt△OFB,
则∠OBE=∠OBF.
同理可证Rt△OFC≌Rt△OGC,
则∠OCF=∠OCG.
图d
∵AB∥CD,
∴∠OBE+∠OBF+∠OCF+∠OCG=180,
即∠OBF+∠OCF=90°,
则∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=90°. ∵MN∥OB,
∴∠NMC=∠MOB=180°-∠BOC=90°,
即OM⊥MN,又∵OM是⊙O的半径,
∴MN是⊙O的切线。
(2)如图所示,由(1)可得,
在Rt△OBC中,OF⊥BC,∠BOC=90°。
由勾股定理得,,
则,
即10OF=48,故OF=4.8.∵OM=OF=4.8,
∴MC=OM+OC=12.8。
由(1)知,∠OCB=∠MCN,∠NMC∠BOC=90°,
则△NMC∽△BOC,因此,即,
故。
综上所述,⊙O的半径为4.8cm,MN的长为9.6cm.
3.(2018·湖北襄阳)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线, E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.
(1)求证:DA=DE;
(2)若AB=6,CD=4,求图中阴影部分的面积.
解:(1)证明:连结OE,OC.
图5-3
∵BN切⊙O于点B,∴∠OBN=90°.
∵OE=OB,OC=OC,CE=CB,∴△OEC≌△OBC.
∴∠OEC=∠OBC=90°.
∴CD是⊙O的切线.
∵AD切⊙O于点A,∴DA=DE.
(2)过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形.
∴AD=BF,DF=AB=6.
∴DC=BC+AD=4.
∵FC=.
图e
∴BC-AD=2. BC-AD=2.∴BC=3.
在Rt△OBC中,tan∠BOC=,
∴∠BOC=60°. ∵△OEC≌△OBC,∴∠BOE=2∠BOC=120°.
∴S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE=2××BC×OB-×p×OB2=9-3p.