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  • 2021-05-10 发布

中考数学专题复习 圆压轴八大模型题5三切线组合

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圆压轴题八大模型题(五)‎ 泸州市七中佳德学校 易建洪 ‎ 引言:与圆有关的证明与计算的综合解答题,往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上,是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展,本文结合近年来各省市中考题,整理了这些习题的常见的结论,破题的要点,常用技巧。把握了这些方法与技巧,就能台阶性地帮助考生解决问题。‎ 类型5 三切线组合 直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,以AB为直径的半圆⊙O与CD相切于点E.‎ ‎ ‎ 图(2)‎ 图(3)‎ 图(1)‎ ‎(4)求证:CO∥AE, DO∥BE.‎ ‎(3)求证:CO2=CB·CD;‎ ‎(1)AD=4,BC=9,求AB;‎ ‎(2)求证:4AD·BC=AB2.‎ ‎【分析】(1)法一:如图(a)过点D作DF⊥BC,AB=DF==12.‎ 法二:如图(b)由△OBC∽△DAO,‎ 或△COE∽△ODE得:‎ r2=4×9=36,r=6,AB=12.‎ ‎(a)‎ ‎(b)‎ ‎(2) 由△OBC∽△DAO,或 ‎△COE∽△ODE得:r2=AD×BC,( )2=AD×BC,‎ ‎∴4AD·BC=AB2‎ ‎(3)由Rt△CBO∽Rt△COD得:CO2=CB×CD.‎ ‎(4)∠CFE=∠COG=∠EGD=90°,CO∥AE,DO∥BE.‎ ‎ ‎ 图(6)‎ 图(5)‎ 图(4)‎ ‎(6)求证:DG=AG.‎ ‎(7)求证:EP=FP.‎ ‎(5)求证:EP=FP.‎ ‎(8)若AB=2,AD=2,求BC和EF的长.‎ ‎【分析】(5)由CB∥EF∥DA,CB=CE,DA=DE得,∴EP=FP.‎ ‎(6)由CB=CE,∠CBE=∠CEB=∠DEG;CB∥DA得∠CBE=∠D,∴∠DEG=∠D.∴DG=EG,又EG=GA,∴DG=AG.‎ ‎(7)EF∥DA,得, 又DG=GA,得EP=FP.‎ ‎(8)由AB2=4AD×BC得:(2)2=4×2BC,∴BC=2.5,CF=BC=2.5,BF=5.‎ 在Rt△ABF中,AF==3.由AD∥BF得,‎ ‎∴EF=AF=×3=‎ ‎【典例】‎ ‎(2018·湖南娄底)如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切,切点分别为D、E、C,半径OC=1,则AE·BE___________.‎ 图a 图5-1‎ ‎【分析】连接 OE,由切线长定理可得∠AOE=∠DOE,∠BOE=∠EOC,再根据∠DOE+∠EOC=180°,可得∠AOB=90°,继而可证△AEO∽△OEB,根据相似三角形对应边成比例即可得.‎ 解:如图,连接 OE,∵AD、AB与半圆 O 相切,‎ ‎∴ OE⊥AB,OA平分∠DOE,‎ ‎∴∠AOE=∠DOE,同理∠BOE=∠EOC,‎ ‎∵∠DOE+∠EOC=180°,∴∠AOE+∠BOE=90°,‎ 即∠AOB=90°,∴∠ABO+∠BAO=90°,‎ ‎∵∠BAO+∠AOE=90°,∴∠ABO=∠AOE,‎ ‎∵∠OEA=∠BEO=90°,∴△AEO∽△OEB,‎ ‎∴AE:OE=OE:BE,∴AE•BE=OE²=1,‎ 答案:1.‎ ‎【点拨】‎ 由切线长定理引出的四个母子相似三角形中,含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外,往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等,或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形,构建基本的图形模型,综合运用解决问题。‎ ‎【变式运用】‎ ‎1.(2016×大庆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH. ‎ ‎(1)求证:MH为⊙O的切线. ‎ ‎(2)若MH=,tan∠ABC=,求⊙O的半径.‎ ‎(3) 在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度. ‎ 解:(1)连接OH、OM,‎ ‎∵H是AC的中点,O是BC的中点,‎ ‎∴OH是△ABC的中位线,∴OH∥AB,‎ ‎∴∠COH=∠ABC,∠MOH=∠OMB,‎ 图5-2‎ 又∵OB=OM,∴∠OMB=∠MBO,‎ ‎∴∠COH=∠MOH,‎ 在△COH与△MOH中,‎ ‎,∴△COH≌△MOH(SAS),‎ ‎∴∠HCO=∠HMO=90°,‎ ‎∴MH是⊙O的切线;‎ 图b ‎(2)∵MH、AC是⊙O的切线,‎ ‎∴HC=MH=,∴AC=2HC=3,‎ ‎∵tan∠ABC=,∴=,‎ ‎∴BC=4,∴⊙O的半径为2. ‎ ‎(3)连接OA、CN、ON,OA与CN相交于点I,‎ ‎∵AC与AN都是⊙O的切线,‎ ‎∴AC=AN,AO平分∠CAD,‎ ‎∴AO⊥CN,‎ ‎∵AC=3,OC=2,‎ 图c ‎∴由勾股定理可求得:‎ AO=,‎ ‎∵AC•OC=AO•CI,∴CI=,∴由垂径定理可求得:CN=,‎ 设OE=x,由勾股定理可得:CN2﹣CE2=ON2﹣OE2,‎ ‎∴﹣(2+x)2=4﹣x2,‎ ‎∴x=,∴CE=,由勾股定理可求得:EN=,‎ ‎∴由垂径定理可知:NQ=2EN=.‎ ‎2.(2016×广西梧州)如图,AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G,且AB∥CD.连接OB、OC,延长CO交⊙O于点M,过点M作MN∥OB交CD于N.‎ ‎(1)求证:MN是⊙O的切线;‎ ‎(2)当OB=6cm,OC=8cm时,求⊙O的半径及MN的长.‎ ‎(1)如图所示,连接OE、OF、OG.‎ ‎∵OE、OF、OG都是⊙O的半径,‎ ‎∴OE=OG=OG.‎ ‎∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G,‎ 图5-2‎ ‎∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90.‎ 在Rt△OEB和Rt△OFB中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△OEB≌Rt△OFB,‎ 则∠OBE=∠OBF.‎ 同理可证Rt△OFC≌Rt△OGC,‎ 则∠OCF=∠OCG.‎ 图d ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠OBE+∠OBF+∠OCF+∠OCG=180,‎ 即∠OBF+∠OCF=90°,‎ 则∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=90°. ∵MN∥OB,‎ ‎∴∠NMC=∠MOB=180°-∠BOC=90°,‎ 即OM⊥MN,又∵OM是⊙O的半径,‎ ‎∴MN是⊙O的切线。‎ ‎(2)如图所示,由(1)可得,‎ 在Rt△OBC中,OF⊥BC,∠BOC=90°。‎ 由勾股定理得,,‎ 则,‎ 即10OF=48,故OF=4.8.∵OM=OF=4.8,‎ ‎∴MC=OM+OC=12.8。‎ 由(1)知,∠OCB=∠MCN,∠NMC∠BOC=90°,‎ 则△NMC∽△BOC,因此,即,‎ 故。‎ 综上所述,⊙O的半径为4.8cm,MN的长为9.6cm.‎ ‎3.(2018·湖北襄阳)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线, E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.‎ ‎(1)求证:DA=DE;‎ ‎(2)若AB=6,CD=4,求图中阴影部分的面积.‎ 解:(1)证明:连结OE,OC.‎ 图5-3‎ ‎∵BN切⊙O于点B,∴∠OBN=90°.‎ ‎∵OE=OB,OC=OC,CE=CB,∴△OEC≌△OBC.‎ ‎∴∠OEC=∠OBC=90°.‎ ‎∴CD是⊙O的切线.‎ ‎∵AD切⊙O于点A,∴DA=DE.‎ ‎(2)过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形.‎ ‎∴AD=BF,DF=AB=6.‎ ‎∴DC=BC+AD=4.‎ ‎∵FC=.‎ 图e ‎∴BC-AD=2. BC-AD=2.∴BC=3.‎ 在Rt△OBC中,tan∠BOC=,‎ ‎∴∠BOC=60°. ∵△OEC≌△OBC,∴∠BOE=2∠BOC=120°.‎ ‎∴S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE=2××BC×OB-×p×OB2=9-3p.‎