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- 2021-05-10 发布
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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)
专题44:矩形、菱形、正方形
一、选择题
1. (2012天津市3分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】D。
【考点】正方形的性质,勾股定理。
【分析】利用勾股定理求出CM的长,即ME的长,有DM=DE,所以可以求出DE,从而得到DG的长:∵四边形ABCD是正方形,M为边AD的中点,∴DM=DC=1。
∴。∴ME=MC= 。∴ED=EM-DM=。
∵四边形EDGF是正方形,∴DG=DE= 。故选D。
2. (2012安徽省4分)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为,则阴影部分的面积为【 】
A.2 B. 3 C. 4 D.5
【答案】A。
【考点】正多边形和圆,等腰直角三角形的性质,正方形的性质。
【分析】图案中间的阴影部分是正方形,面积是,由于原来地砖更换成正八边形,四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半,它的面积用对角线积的一半来计算:
。故选A。
3. (2012山西省2分)如图,已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】菱形的性质,勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD是菱形,∴CO=AC=3,BO=BD=,AO⊥BO,
∴。∴。
又∵,∴BC·AE=24,即。故选D。
4. (2012陕西省3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC=1300,则∠AOE的大小为【 】
A.75° B.65° C.55° D.50°
【答案】B。
【考点】菱形的性质,直角三角形两锐角的关系。
【分析】根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数,再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数,然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可:
在菱形ABCD中,∠ADC=130°,∴∠BAD=180°-130°=50°。∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°。
∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°。故选B。
5. (2012浙江台州4分)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为【 】
A. 1 B. C. 2 D.+1
【答案】B。
【考点】菱形的性质,线段中垂线的性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,矩形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析:
(1)若点P,Q固定,此时点K的位置:如图,作点P关于BD的对称点P1,连接P1Q,交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质,得
P1K1 = P K1,P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质,得P1K+QK>P1Q= P1K1+Q K1= P K1+Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
(2)点P,Q变动,根据菱形的性质,点P关于BD的对称点P1在AB上,即不论点P在BC上任一点,点P1总在AB上。
因此,根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质,得,当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°,∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2,∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。
综上所述,PK+QK的最小值为。故选B。
6. (2012江苏南通3分)如图,矩形ABCD的对角线AC=8cm,∠AOD=120º,则AB的长为【】
A.cmB.2cmC.2cmD.4cm
【答案】D。
【考点】矩形的性质,平角定义,等边三角形的判定和性质。
【分析】在矩形ABCD中,AO=BO=AC=4cm,
∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-120°=60°。∴△AOB是等边三角形。
∴AB=AO=4cm。故选D。
7. (2012江苏苏州3分)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,
则四边形CODE的周长是【 】
A.4 B.6 C.8 D. 10
【答案】C。
【考点】矩形的性质,菱形的判定和性质。
【分析】∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=4,OA=OC,OB=OD。∴OD=OC=AC=2。
∴四边形CODE是菱形。∴四边形CODE的周长为:4OC=4×2=8。故选C。
8. (2012江苏徐州3分)如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且FC=BC。图中相似三角形共有【 】
A.1对 B.2对 C.3对D.4对
【答案】C。
【考点】正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定。
【分析】根据正方形的性质,求出各边长,应用相似三角形的判定定理进行判定:
同已知,设CF=a,则CE=DE=2a,AB=BC=CD=DA=4a,BF=3a。
根据勾股定理,得EF=,AE=,AF=5a。
∴。
∴△CEF∽△DEA,△CEF∽△EAF,△DEA∽△EAF。共有3对相似三角形。故选C。
9. (2012福建宁德4分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD
的各边上,EF∥HG,EH∥FG,则四边形EFGH的周长是【 】
A. B. C.2 D.2
【答案】D。
【考点】矩形的性质,三角形中位线定理,平行四边形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】∵在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,∴。
又∵点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥HG,EH∥FG,
∴不妨取特例,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边的中点,满足EF∥HG,EH∥FG。
∴CG=x,CF=,∴FG=。∴四边形EFGH的周长是。故选D。
对于一般情况,可设CG=x,则CF=x,DG=2-x,BF=3-x。
由△CFG∽△CBD得,即,∴。
由△BEF∽△BAC得,即,∴。
∴四边形EFGH的周长是2(EF+EG)=。故选D。
10. (2012福建厦门3分)如图,在菱形ABCD中,AC、BD是对角线,若∠BAC=50°,则∠ABC等于【 】
A.40° B.50° C.80° D.100°
【答案】C。
【考点】菱形的性质,平行的性质。
【分析】∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAC=∠BAD,CB∥AD。
∵∠BAC=50°,∴∠BAD=100°。
∵CB∥AD,∴∠ABC+∠BAD=180°。
∴∠ABC=180°-100°=80°。故选C。
11. (2012湖北宜昌3分)如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于【 】
A.20 B.15 C.10 D.5
【答案】B。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质。1419956
【分析】∵ABCD是菱形,∠BCD=120°,∴∠B=60°,BA=BC。
∴△ABC是等边三角形。∴△ABC的周长=3AB=15。故选B。
12. (2012湖北恩施3分)如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是【 】
A. B.2 C.3 D.
【答案】A。
【考点】菱形的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】如图,设BF、CE相交于点M,
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,
∴△BCM∽△BGF,∴,即。
解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。
∵∠A=120°,∴∠ABC=180°﹣120°=60°。
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×,
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×。
∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=×0.8×+×0.8×。故选A。
13. (2012湖北黄冈3分)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是【 】
A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形
【答案】 C。
【考点】矩形的性质,三角形中位线定理。
【分析】如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,
根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG。
∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,∴AC⊥BD。
故选C。
14. (2012湖北孝感3分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60º,E、F分别是AB、AD的中点,DE、BF
相交于点G,连接BD、CG.给出以下结论,其中正确的有【 】
①∠BGD=120º;②BG+DG=CG;③△BDF≌△CGB;④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,多边形内角和定理,全等三角形的判定和性质,含30度角直角三角形的性质 三角形三边关系,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】∵在菱形ABCD中,∠A=60º,∴∠BCD=60º,∠ADC=120º,AB=AD。
∴△ABD是等边三角形。
又∵E是AB的中点,∴∠ADE=∠BDE=30º。∴∠CDG=90º。同理,∠CBG=90º。
在四边形BCDG中,∠CDG+∠CBG+∠BCD+∠BGD=3600,∴∠BGD=120º。故结论①正确。
由HL可得△BCG≌△DCG,∴∠BCG=∠DCG=30º。∴BG=DG=CG。
∴BG+DG=CG。故结论②正确。
在△BDG中,BG+DG>BD,即CG>BD,∴△BDF≌△CGB不成立。故结论③不正确。
∵DE=ADsin∠A=ABsin60º=AB,
∴。故结论④正确。
综上所述,正确的结论有①②④三个。故选C。
15. (2012湖北襄阳3分)如图,ABCD是正方形,G是BC上(除端点外)的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,交AG于点F.下列结论不一定成立的是【 】
A.△AED≌△BFA B.DE﹣BF=EF C.△BGF∽△DAE D.DE﹣BG=FG
【答案】D。
【考点】正方形的性质,直角三角形两锐角的关系,全等、相似三角形的判定和性质,完全平方公式,勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,AD∥BC,
∵DE⊥AG,BF∥DE,∴BF⊥AG。∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°。
∵∠BAF+∠DAE=90°,∠DAE+∠ADE=90°,∴∠BAF=∠ADE。
∴△AED≌△BFA(AAS)。故结论A正确。
∴DE=AF,AE=BF,∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF。故结论B正确。
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BGF。
∵DE⊥AG,BF⊥AG,∴∠AED=∠GFB=90°。∴△BGF∽△DAE。故结论C正确。
由△ABF∽△AGB得,即。
由勾股定理得,。
∴
。
∵(只有当∠BAG=300时才相等,由于G是的任意一点,∠BAG=300不一定),
∴不一定等于,即DE﹣BG=FG不一定成立。故结论D不正确。故选D。
16. (2012湖南长沙3分)下列四边形中,两条对角线一定不相等的是【 】
A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.直角梯形
【答案】D。
【考点】正方形、矩形、等腰梯形和直角梯形的性质
【分析】根据正方形、矩形、等腰梯形的性质,它们的两条对角线一定相等,只有直角梯形的对角线一定不相等。故选D。
17. (2012湖南长沙3分)已知:菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为【 】
A.6cm B.4cm C.3cm D.2cm
【答案】C。
【考点】菱形的性质,三角形中位线定理。
【分析】∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD,CD=AD=6cm,
∵OE∥DC,∴OE是△BCD的中位线。∴OE=CD=3cm。故选C。
18. (2012湖南张家界3分)顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是【 】
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形
【答案】C。
【考点】矩形的性质,三角形中位线定理,菱形的判定。
【分析】如图,连接AC.BD,
在△ABD中,∵AH=HD,AE=EB,∴EH=BD。
同理FG=BD,HG=AC,EF=AC。
又∵在矩形ABCD中,AC=BD,∴EH=HG=GF=FE。
∴四边形EFGH为菱形。故选C。
19. (2012四川成都3分)如图.在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是【 】A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OC
【答案】B。
【考点】菱形的性质。
【分析】根据菱形的性质作答:
A、菱形的对边平行且相等,所以AB∥DC,故本选项正确;
B、菱形的对角线不一定相等,故本选项错误;
C、菱形的对角线一定垂直,AC⊥BD,故本选项正确;
D、菱形的对角线互相平分,OA=OC,故本选项正确。
故选B。
20. (2012四川自贡3分)如图,矩形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BD.DF,则图中全等的直角三角形共有【 】
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
【答案】B。
【考点】矩形的性质,直角三角形全等的判定。
【分析】根据矩形的性质和直角三角形全等的判定,图中全等的直角三角形有:△AED≌△FEC,△BDC≌△FDC≌△DBA,共4对。故选B。
21. (2012四川泸州2分)如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC = 6,BD = 4,则菱形的周长是【 】
A、24 B、16 C、 D、
【答案】C。
【考点】菱形的性质,勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=4,∴AC⊥BD,OA=AC=3,OB=BD=2,AB=BC=CD=AD。
∴在Rt△AOB中,。
∴菱形的周长是:4AB=4。故选C。
22. (2012四川泸州2分)如图,矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE
交DC于点F,连接AF。设,下列结论:
(1)△ABE∽△ECF,(2)AE平分∠BAF,(3)当k=1时,△ABE∽△ADF,其中结论正确的是【 】
A、(1)(2)(3) B、(1)(3) C、(1) (2) D、(2)(3)
【答案】C。
【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,正方形的判定和性质。
【分析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°。∴∠BAE+∠AEB=90°。
∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠FEC=90°。∴∠BAE=∠FEC。∴△ABE∽△ECF。故(1)正确。
(2)∵△ABE∽△ECF,∴.
∵E是BC的中点,∴BE=EC。∴。
在Rt△ABE中,tan∠BAE= ,
在Rt△AEF中,tan∠EAF= ,
∴tan∠BAE=tan∠EAF。∴∠BAE=∠EAF。∴AE平分∠BAF。故(2)正确。
(3)∵当k=1时,即,∴AB=AD。∴四边形ABCD是正方形。
∴∠B=∠D=90°,AB=BC=CD=AD。
∵△ABE∽△ECF,∴。
∴CF=CD。∴DF=CD。∴AB:AD=1,BE:DF=2:3.
∴△ABE与△ADF不相似。故(3)错误。
故选C。
23. (2012辽宁本溪3分)在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AC=6,过点
D作AC
的平行线交BC的延长线于点E,则△BDE的面积为【 】
A、22 B、24 C、48 D、44
【答案】B。
【考点】菱形的性质,平行四边形的判定和性质,勾股定理和逆定理。
【分析】∵AD∥BE,AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形。∴AC=DE=6。
在Rt△BCO中,,∴BD=8。
又∵BE=BC+CE=BC+AD=10,∴。
∴△BDE是直角三角形。∴。故选B。
24. (2012辽宁大连3分)如图,菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则菱形的周长为【 】
A.20 B.24 C.28 D.40
【答案】A。
【考点】菱形的性质,勾股定理。
【分析】设AC与BD相交于点O,
由AC=8,BD=6,根据菱形对角线互相垂直平分的性质,得AO=4,BO=3,∠AOB=900。
在Rt△AOB中,根据勾股定理,得AB=5。
根据菱形四边相等的性质,得AB=BC=CD=DA=5。
∴菱形的周长为5×4=20。故选A。
25. (2012辽宁丹东3分)如图,菱形ABCD的周长为24cm,对角线AC、BD相交于O点,E是AD的中点,连接OE,则线段OE的长等于【 】
A.3cmB.4cm C.2.5cm D.2cm
【答案】A。
【考点】菱形的性质,三角形中位线定理。
【分析】∵菱形ABCD的周长为24cm,∴边长AB=24÷4=6cm。
∵对角线AC、BD相交于O点,∴BO=DO。
又∵E是AD的中点,∴OE是△ABD的中位线。∴OE=AB=×6=3(cm)。故选A。
26. (2012辽宁丹东3分)如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=BF=1,CE、DF交于点O.
下列结论:
①∠DOC=90° , ②OC=OE, ③tan∠OCD = ,④ 中,正确的有【 】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,反证法,线段垂直平分线的性质,三角形边角关系,锐角三角函数定义。
【分析】∵正方形ABCD的边长为4,∴BC=CD=4,∠B=∠DCF=90°。
∵AE=BF=1,∴BE=CF=4-1=3。
在△EBC和△FCD中,∵BC=CD,∠B=∠DCF,BE=CF,∴△EBC≌△FCD(SAS)。
∴∠CFD=∠BEC。∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°。
∴∠DOC=90°。故①正确。
如图,若OC=OE,∵DF⊥EC,∴CD=DE。
∵CD=AD<DE(矛盾),故②错误。
∵∠OCD+∠CDF=90°,∠CDF+∠DFC=90°,∴∠OCD=∠DFC。
∴tan∠OCD=tan∠DFC=。故③正确。
∵△EBC≌△FCD,∴S△EBC=S△FCD。
∴S△EBC-S△FOC=S△FCD-S-,即S△ODC=S四边形BEOF。故④正确。故选C。
27. (2012贵州毕节3分)如图,在正方形ABCD中,以A为顶点作等边△AEF,交BC边于E,交DC边于F;又以A为圆心,AE的长为半径作。若△AEF的边长为2,则阴影部分的面积约是【 】
(参考数据:,π取3.14)
A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36
【答案】A。
【考点】正方形和等边三角形的性质,勾股定理,扇形和三角形面积。
【分析】由图知,。因此,由已知,根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理,可得等边△AEF的边长为2,高为;Rt△AEF的两直角边长为;扇形AEF的半径为2圆心角为600。
∴。故选A。
28. (2012贵州黔南4分)如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是【 】
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
【答案】D。
【考点】矩形的判定。
【分析】已知四边形ABCD的对角线互相平分,则说明四边形是平行四边形,由矩形的判定定理知,只需添加条件是对角线相等或一个角是直角即可,即D正确。而A、B两选项为平行四边形本身具有“对边相等”的性质,C选项添加后ABCD为菱形,运用排除法也知D正确。故选D。
29. (2012山东枣庄3分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为【 】
A、14 B、16 C、20 D、28
【答案】D。
【考点】平移的性质,勾股定理。
【分析】由勾股定理,得AB=,将五个小矩形的所有上边平移至AD,所有下边平移至BC,所有左边平移至AB,所有右边平移至CD,
∴五个小矩形的周长之和=2(AB+CD)=2×(6+8)=28。故选D。
30. (2012山东滨州3分)菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两邻角度数比为【 】
A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:1
【答案】 C。
【考点】菱形的性质;含30度角的直角三角形的性质。
【分析】如图所示,根据已知可得到菱形的边长为2cm,从而可得到高所对的角为30°,相邻的角为150°,则该菱形两邻角度数比为5:1。故选C。
31. (2012山东日照3分)在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F, 若EC=2BE,则 的值是【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】B。
【考点】菱形的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】如图,∵在菱形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,
∴△BEF∽△DAF,∴。
又∵EC=2BE,∴BC=3BE,即AD=3BE。
∴。故选B。
32.(2012山东泰安3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为【 】
A.3 B.3.5 C.2.5 D.2.8
【答案】C。
【考点】线段垂直平分线的性质,矩形的性质,勾股定理。
【分析】∵EO是AC的垂直平分线,∴AE=CE。
设CE=x,则ED=AD﹣AE=4﹣x。,
在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2,即x 2=22+(4-x)2 ,解得x=2.5,即CE的长为2.5。
故选C。
33. (2012山东威海3分)如图,在ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线。添加一个条件,仍无法判断四边形AECF为菱形的是【 】
A.AE=AF B.EF⊥AC C.∠B=600 D.AC是∠EAF的平分线
【答案】C。
【考点】平行四边形的判定和性质,平行的判定和性质,角平分线的定义,菱形的判定。
【分析】根据菱形的判定逐一作出判断:
由已知在ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线,根据平行四边形和平行的判定和性质可判断四边形AECF是平行四边形。因此,
A. 添加AE=AF,可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定得出四边形AECF是菱形。
B. 添加EF⊥AC,可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得出四边形AECF是菱形。
C. 添加∠B=600 ,不能判定四边形AECF是菱形。
D. 添加AC是∠EAF的平分线,根据角平分线的定义和平行的性质,可得出∠EAC=∠ECA,从而根据等腰三角形等角对等边的判定得AE=CE。因此,可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定得出四边形AECF是菱形。
故选C。
34. (2012广西贵港3分)如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠C=90°,AD=5,BC=9,以A为
中心将腰AB顺时针旋转90°至AE,连接DE,则△ADE的面积等于【 】
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质,直角梯形的性质,矩形的判定和性质,旋转的性质。
【分析】如图,过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥AD,交DA延长线于M,
∵AD∥BC,∠C=90°,
∴∠C=∠ADC=∠ANC=90°。∴四边形ANCD是矩形。
∴∠DAN=90°=∠ANB=∠MAN,AD=NC=5,AN=CD。
∴BN=9-5=4。
∵∠M=∠EAB=∠MAN=∠ANB=90°,
∴∠EAM+∠BAM=90°,∠MAB+∠NAB=90°。∴∠EAM=∠NAB,
∵在△EAM和△BNA中,∠M=∠ANB;∠EAM=∠BAN;AE=AB,
∴△EAM≌△BNA(AAS)。∴EM=BN=4。
∴△ADE的面积是×AD×EM=×5×4=10。故选A。
35. (2012广西河池3分)用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形,作图痕迹如图所示,能得到四边形
ABCD是菱形的依据是【 】
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B。
【考点】菱形的判定,作图(复杂作图)。
【分析】由作图痕迹可知,四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB,根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形。故选B。
36. (2012内蒙古包头3分)在矩形ABCD 中,点O是BC的中点,∠AOD=900,矩形ABCD 的周长为20cm,则AB 的长为【 】
A.1 cmB.2 cmC.cmD .cm
【答案】 D。
【考点】矩形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定。
【分析】∵点O是BC的中点,∴OB=0C。
∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠B=∠C=900。
∴△ABO≌△DCO(SAS)。∴∠AOB=∠DOC。
∵∠AOD=900,∴∠AOB=∠DOC=450。∴AB=OB。
∵矩形ABCD 的周长为20cm,∴AB=cm。故选D。37. (2012黑龙江牡丹江3分)如图,菱形ABCD中,AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点,
且AE=BF,连接CE、AF交于点H,连接DH交AG于点O.则下列结论①△ABF≌△CAE,②∠AHC=1200,③AH+CH=DH,④AD 2=OD·DH中,正确的是【 】.
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】D。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等、相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理,四点共圆的判定,圆周角定理。
【分析】∵菱形ABCD中,AB=AC,∴△ABC是等边三角形。∴∠B=∠EAC=600。
又∵AE=BF,∴△ABF≌△CAE(SAS)。结论①正确。
∵△ABF≌△CAE,∴∠BAF=∠ACE。
∴∠AHC=1800-(∠ACE+∠CAF)=1800-(∠BAF+∠CAF)=1800-∠BAC=1800-600=1200。
结论②正确。
如图,在HD上截取HG=AH。
∵菱形ABCD中,AB=AC,∴△ADC是等边三角形。
∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。
又∵∠AHC=1200,∴∠AHC+∠ADC =1200+600=1800。
∴A,H,C,D四点共圆。∴∠AHD=∠ACD =600。∴△AHG是等边三角形。
∴AH=AG,∠GAH=600。∴∠CAH=600-∠CAG=∠DAG。
又∵AC=AD,∴△CAH≌△DAG(SAS)。∴CH=DG。∴AH+CH= HG+ DG =DH。结论③正确。
∵∠AHD =∠OAD=600,∠ADH=∠ODA,△ADH∽△ODA。∴。
∴AD 2=OD·DH。结论④正确。
综上所述,正确的是①②③④。故选D。
二、填空题
1. (2012天津市3分)如图,已知正方形ABCD的边长为1,以顶点A、B为圆心,1为半径的两弧交于点E,以顶点C、D为圆心,1为半径的两弧交于点F,则EF的长为 ▲ .
【答案】。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】连接AE,BE,DF,CF。
∵以顶点A、B为圆心,1为半径的两弧交于点E,AB=1,
∴AB=AE=BE,∴△AEB是等边三角形。
∴边AB上的高线为:。
同理:CD边上的高线为:。
延长EF交AB于N,并反向延长EF交DC于M,则E、F、M,N共线。
∵AE=BE,∴点E在AB的垂直平分线上。
同理:点F在DC的垂直平分线上。
∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥DC。∴MN⊥AB,MN⊥DC。
由正方形的对称性质,知EM=FN。
∴EF+2EM=AD=1,EF+EM=,解得EF=。
2. (2012安徽省5分)如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:
①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1,则S4=2 S2 ④若S1= S2,则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是 ▲ (把所有正确结论的序号都填在横线上).
【答案】②④。
【考点】矩形的性质,相似
【分析】如图,过点P分别作四个三角形的高,
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边,
∴此时两三角形的高的和为AB,
∴S1+S3=S矩形ABCD;
同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。
∴②S2+S4= S1+ S3正确,则①S1+S2=S3+S4错误。
若S3=2 S1,只能得出△APD与△PBC高度之比,S4不一定等于2S2;故结论③错误。
如图,若S1=S2,则×PF×AD=×PE×AB,
∴△APD与△PBA高度之比为:PF:PE =AB:AD 。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°,∴四边形AEPF是矩形,
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。
∴PF:CD =PE :BC=AP:AC,
即PF:CD =AF :AD=AP:AC。
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。
故结论④正确。
综上所述,结论②和④正确。
3. (2012宁夏区3分)已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形较短的对角线长是 ▲ .
【答案】6。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质。
【分析】如图,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD。
∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形。∴BD=AB=6。
∴菱形较短的对角线长是6。
4. (2012广东深圳3分)如图,Rt△ABC中,C= 90o,以斜边AB为边向外作正方形 ABDE,且正方形对角线交于点D,连接OC,已知AC=5,OC=6,则另一直角边BC的长为 ▲ .
【答案】7。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】如图,过O作OF垂直于BC,再过O作OF⊥BC,过A作AM⊥OF,
∵四边形ABDE为正方形,∴∠AOB=90°,OA=OB。
∴∠AOM+∠BOF=90°。
又∵∠AMO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。
在△AOM和△BOF中,
∵∠AMO=∠OFB=90°,∠OAM=∠BOF, OA=OB,
∴△AOM≌△BOF(AAS)。∴AM=OF,OM=FB。
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°,∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF,AC=MF=5。
∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。
∵OC=6,∴根据勾股定理得:CF2+OF2=OC2,即2CF2=(6)2,解得:CF=OF=6。
∴FB=OM=OF-FM=6-5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。
5. (2012广东肇庆3分)菱形的两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为 ▲ .
【答案】20。
【考点】菱形的性质,勾股定理。
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质,利用对角线的一半,根据勾股定理求出菱形的边长,再根据菱形的四条边相等求出周长即可
如图,根据题意得AO=×8=4,BO=×6=3,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD。
∴△AOB是直角三角形。
∴。
∴此菱形的周长为:5×4=20。
6. (2012江苏淮安3分)菱形ABCD中,若对角线长AC=8cm,BD=6cm,则边长AB= ▲ cm。
【答案】5。
【考点】菱形的性质,勾股定理。
【分析】如图,根据菱形对角线互相垂直平分的性质,由对角线长AC=8cm,BD=6cm,得AO=4cm,BP=3cm;
在Rt△ABO中,根据勾股定理,得(cm)。
7. (2012江苏宿迁3分)已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若AC⊥BD,且AC≠BD,则四边形EFGH的形状是 ▲ .(填“梯形”“矩形”“菱形” )
【答案】矩形。
【考点】三角形中位线定理,矩形的判定。
【分析】如图,连接AC,BD。
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴根据三角形中位线定理,HE∥AB∥GF,HG∥AC∥EF。
又∵AC⊥BD,∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。
∴四边形EFGH是矩形。
且∵AC≠BD,∴四边形EFGH邻边不相等。
∴四边形EFGH不可能是菱形。
8. (2012江苏徐州2分)如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠A=600。是以点A为圆心、AB长为半径的弧,是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影部分的面积为 ▲ cm2。
【答案】。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】如图,连接BD。
∵菱形ABCD中∠A=600,
∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形。
∴BD与围成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积。
∴阴影部分的面积等于△BCD的面积。
由菱形ABCD的边长为2cm,∠A=600得△BCD的高为2sin600=。
∴△BCD的面积等于(cm2),即阴影部分的面积等于cm2。
9. (2012福建宁德3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别是BD、CD的中点,EF=6cm,则AB= ▲ cm.
【答案】12。
【考点】菱形的性质,三角形中位线定理。
【分析】∵点E、F分别是BD、CD的中点,∴EF=BC=6。
∴BC=12。
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC。
∴AB =12。
10. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图,线段AC=n+1(其中n为正整数),点B在线段AC上,在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时,△AME的面积记为S1;当AB=2时,△AME的面积记为S2;当AB=3时,△AME的面积记为S3;…;当AB=n时,△AME的面积记为Sn.当n≥2时,Sn﹣Sn﹣1= ▲ .
【答案】。
【考点】正方形的性质,平行的判定和性质,同底等高的三角形面积,整式的混合运算。
【分析】连接BE,
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,
∴BE∥AM。∴△AME与△AMB同底等高。
∴△AME的面积=△AMB的面积。
∴当AB=n时,△AME的面积为,当AB=n-1时,△AME的面积为。
∴当n≥2时,。
11. (2012湖北十堰3分)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则EF= ▲ .
【答案】。
【考点】线段垂直平分线的性质,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理;.
【分析】连接EC,AC、EF相交于点O。
∵AC的垂直平分线EF,∴AE=EC。
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠B=90°,AB=CD=2,AD=BC=4,AD∥BC。
∴△AOE∽△COF。∴。
∵OA=OC,∴OE=OF,即EF=2OE。
在Rt△CED中,由勾股定理得:CE2=CD2+ED2,即CE2=(4-CE)2+22,解得: CE=。
∵在Rt△ABC中,AB=2,BC=4,由勾股定理得:AC=,∴CO=。
∵在Rt△CEO中,CO=,CE=,由勾股定理得:EO=。∴EF=2EO=。
12. (2012湖南郴州3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,则这个菱形的边长为 ▲ .
13. (2012湖南衡阳3分)如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=,则菱形ABCD的面积为
▲ cm2.
【答案】24。
【考点】菱形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】连接AC交BD于点O,则可设BO=3x,AO=4x,从而在Rt△ABO中利用勾股定理求出AB,结合菱形的周长为20cm可得出x的值,再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案:
连接AC交BD于点O,则AC⊥BD,AO=OC,BO=DO。
∵tan∠ABD=,∴可设BO=3x,AO=4x,则AB=5x。
又∵菱形ABCD的周长为20,∴4×5x=20,解得:x=1。
∴AO=4,BO=3。∴AC=2AO=8,BD=2BO=6。
∴菱形ABCD的面积为AC×BD=24(cm2)。
14. (2012四川宜宾3分)如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC.BD,CE平分∠ACD交BD
于点E,则DE= ▲.
【答案】。
【考点】正方形的性质,角平分线的性质,勾股定理。
【分析】过E作EF⊥DC于F,
∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD。
∵CE平分∠ACD交BD于点E,∴EO=EF。
∵正方形ABCD的边长为1,∴AC=。∴CO=。
∴CF=CO=。∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣。
∴。
15. (2012四川绵阳4分)如图,正方形的边长为2,以各边为直径在正方形内画半圆,则图中阴影部分的面积为▲(结果保留两位有效数字,参考数据π≈3.14)。
【答案】1.7。
【考点】正方形的性质,有效数字。
【分析】由图形可知,四个半圆的面积=正方形的面积-空白部分的面积(空白部分被重叠算了1次),所以空白部分的面积=四个半圆的面积-正方形的面积=2个圆的面积-正方形的面积,则阴影部分的面积=正方形的面积-空白部分的面积,计算即可得解:
空白部分的面积= 2×π×12-2×2=2π-4,
阴影部分的面积=2×2-(2π-4)=8-2π≈8-2×3.14=1.72≈1.7。
16. (2012四川凉山5分)如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点,则EG2+FH2= ▲ 。
【答案】36。
【考点】三角形中位线定理,菱形的判定和性质,勾股定理。
【分析】如图,连接EF,FG,GH,EH,EG与FH相交于点O。
∵E、H分别是AB、DA的中点,∴EH是△ABD的中位线。
∴EH= BD=3。
同理可得EF=GH= AC=3,FG= BD=3。
∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形EFGH为菱形。
∴EG⊥HF,且垂足为O。∴EG=2OE,FH=2OH。
在Rt△OEH中,根据勾股定理得:OE2+OH2=EH2=9。
等式两边同时乘以4得:4OE2+4OH2=9×4=36。
∴(2OE)2+(2OH)2=36,即EG2+FH2=36。
17. (2012辽宁沈阳4分)如图,菱形ABCD的边长为8cm,∠A=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF的面积为 ▲ _cm2.
【答案】。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】如图,连接BD,
根据菱形四边相等和对角相等的性质,得AB=AD=CB=CD,∠C=∠A=60°,
∴△ABD和△BCD是等边三角形。
由DE⊥AB,DF⊥BC,根据等边三角形三线合一的性质,
得AE=BE=BF=CF。
∴△ADE、△BDE、△BDF和△CDF全等。∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积。
由∠A=60°,菱形ABCD的边长为8cm,得DE=4cm。
∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积=(cm2)。
18. (2012贵州毕节5分)我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形,它的中点四边形的对角线长是 ▲ 。
【答案】5cm。
【考点】菱形的性质,三角形中位线定理,勾股定理,矩形的判定和性质。
【分析】如图,顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形;理由如下:
∵E、F、G、H分别为各边中点,
∴EF∥GH∥DB,EF=GH=DB,EH∥FG∥AC ,EH=FG=AC。
又∵四边形ABCD是菱形,∴DB⊥AC。∴EF⊥EH。
∴四边形EFGH是矩形。
∵EH=BD=3cm,EF=AC=4cm,∴根据勾股定理,得cm。
19. (2012贵州铜仁4分)以边长为2的正方形的中心O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A、B两点,则线段AB的最小值是 ▲ .
【答案】。
【考点】正方形的性质,垂线段最短的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,三角形中位线定理。
【分析】如图,
∵四边形CDEF是正方形,∴∠OCD=∠ODB=45°,∠COD=90°,OC=OD。
∵AO⊥OB,∴∠AOB=90°。
∴∠CAO+∠AOD=90°,∠AOD+∠DOB=90°,∴∠COA=∠DOB。
∵在△COA和△DOB中,∠OCA=∠ODB,OC=OD,∠COA=∠DOB,
∴△COA≌△DOB(ASA)。∴OA=OB。
∵∠AOB=90°,∴△AOB是等腰直角三角形。
由勾股定理得:。
∴要使AB最小,只要OA取最小值即可。
根据垂线段最短的性质,当OA⊥CD时,OA最小。
∵四边形CDEF是正方形,∴FC⊥CD,OD=OF。∴CA=DA,∴OA=CF=1。
∴AB=。
20. (2012山东临沂3分)如图,CD与BE互相垂直平分,AD⊥DB,∠BDE=70°,则∠CAD= ▲ °.
【答案】70。
【考点】菱形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,轴对称的性质。
【分析】∵CD与BE互相垂直平分,∴四边形BDEC是菱形。∴DB=DE。
∵∠BDE=70°,∴∠ABD==55°。
∵AD⊥DB,∴∠BAD=90°﹣55°=35°。
根据轴对称性,四边形ACBD关于直线AB成轴对称,
∴∠BAC=∠BAD=35°。∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°。
21. (2012广西玉林、防城港3分)如图,矩形OABC内接于扇形MON,当CN=CO时,∠NMB的度数是 ▲ .
【答案】30°。
【考点】矩形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,圆周角定理。
【分析】连接OB,
∵CN=CO,∴OB=ON=2OC。
∵四边形OABC是矩形,∴∠BCO=90°。
∴。∴∠BOC=60°。
∴∠NMB=∠BOC=30°。
22. (2012江西省3分)如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是 ▲ .
【答案】15°或165°。
【考点】正方形和正三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部,所以要分两种情况分别求解:
①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时,如图1,
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,
∴AB=AD,AE=AF。
∵当BE=DF时,在△ABE和△ADF中,AB=AD,BE=DF,AE=AF,
∴△ABE≌△ADF(SSS)。∴∠BAE=∠FAD。
∵∠EAF=60°,∴∠BAE+∠FAD=30°。∴∠BAE=∠FAD=15°。
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部,顺时针旋转小于1800时,如图2,
同上可得△ABE≌△ADF(SSS)。∴∠BAE=∠FAD。
∵∠EAF=60°,∴∠BAF=∠DAE。
∵900+600+∠BAF+∠DAE=3600,∴∠BAF=∠DAE=105°。
∴∠BAE=∠FAD=165°。
③当正三角形AEF在正方形ABCD的外部,顺时针旋转大于1800时,如图3,
同上可得△ABE≌△ADF(SSS)。∴∠BAE=∠FAD。
∵∠EAF=60°,∠BAE=90°,
∴90°+∠DAE=60°+∠DAE,这是不可能的。
∴此时不存在BE=DF的情况。
综上所述,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是15°或165°。
23. (2012内蒙古赤峰3分)如图,在菱形ABCD中,BD为对角线,E、F分别是DC.DB的中点,若EF=6,则菱形ABCD的周长是 ▲ .
【答案】48。
【考点】菱形的性质,三角形中位线定理。
【分析】∵AC是菱形ABCD的对角线,E、F分别是DC.DB的中点,
∴EF是△BCD的中位线,∴EF=BC=6。∴BC=12。
∴菱形ABCD的周长是4×12=48。
24. (2012黑龙江绥化3分)如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长为 ▲ .
【答案】13。
【考点】正方形的性质,直角三角形两个锐角的关系,全等三角形的判定和性质。
【分析】∵ABCD是正方形(已知),∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°(正方形的性质)。
又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°(直角三角形两个锐角互余),
∴∠FBA=∠EAD(等量代换)。
∵BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,
在Rt△AFB和Rt△AED中,∵∠AFB=∠DEA=90°,∠FBA=∠EAD, AB=DA,
∴△AFB≌△AED(AAS)。∴AF=DE=8,BF=AE=5(全等三角形的对应边相等)。
∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13。
25. (2012黑龙江哈尔滨3分)如图。四边形ABCD是矩形,点E在线段CB
的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的中点,若BE=1,AG=4,则AB的长为 ▲
【答案】。
【考点】矩形的性质,平行的性质,直角三角形斜边上中线的性质,三角形外角性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC。∴∠CED=∠ADE。
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=900。
∵点G是DF的中点,∴AG=DF=DG。∴∠CGE=2∠ADE=2∠CED。
又∵∠AED=2∠CED,∴∠CGE=∠AED。∴AE=AG。
又∵BE=1,AG=4,∴AE=4。
∴。
三、解答题
1. (2012上海市12分)己知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD,∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G.
(1)求证:BE=DF;
(2)当时,求证:四边形BEFG是平行四边形.
【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠ABC=∠ADF,
∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF,即:∠BAE=∠DAF。
∴△BAE≌△DAF(ASA)。∴BE=DF。
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBG。∴。
又∵BE=DF ,,∴。∴GF∥BC。
∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。
又∵BE=DF ,∴BE=GF。∴四边形BEFG是平行四边形。
【考点】菱形的性质,全等三角形的判定和性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定,平行四边形的判定。
【分析】(1)由菱形的性质和∠BAF=∠DAE,证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论。
(2)由AD∥BC证得△ADG∽△EBG,从而;由和BE=DF即可得证得。从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC,进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC,根据等腰三角形等角对等边的判定和BE=DF ,证得BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。
2. (2012重庆市10分)已知:如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证:AM=DF+ME.
【答案】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD。∴∠1=∠ACD。
∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2。∴MC=MD。
∵ME⊥CD,∴CD=2CE。
∵CE=1,∴CD=2。∴BC=CD=2。
(2)证明:∵F为边BC的中点,∴BF=CF=BC。∴CF=CE。
∵在菱形ABCD中,AC平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD。
在△CEM和△CFM中,∵CE=CF,∠ACB=∠ACD,CM=CM,
∴△CEM≌△CFM(SAS),∴ME=MF。
延长AB交DF于点G,
∵AB∥CD,∴∠G=∠2。
∵∠1=∠2,∴∠1=∠G。
∴AM=MG。
在△CDF和△BGF中,
∵∠G=∠2,∠BFG=∠CFD,BF=CF,∴△CDF≌△BGF(AAS)。
∴GF=DF。
由图形可知,GM=GF+MF,∴AM=DF+ME。
【考点】菱形的性质,平行的性质,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)根据菱形的对边平行可得AB∥D,再根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠ACD,所以∠ACD=∠2,根据等角对等边的性质可得CM=DM,再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE,然后求出CD的长度,即为菱形的边长BC的长度。
(2)先利用SAS证明△CEM和△CFM全等,根据全等三角形对应边相等可得ME=MF,延长AB交DF于点G,然后证明∠1=∠G,根据等角对等边的性质可得AM=GM,再利用AAS证明△CDF和
△BGF全等,根据全等三角形对应边相等可得GF=DF,最后结合图形GM=GF+MF即可得证。
3. (2012广东梅州8分)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①分别以A、C为圆心,以大于AC的长为半径在AC两边作弧,交于两点M、N;
②连接MN,分别交AB、AC于点D、O;
③过C作CE∥AB交MN于点E,连接AE、CD.
(1)求证:四边形ADCE是菱形;
(2)当∠ACB=90°,BC=6,△ADC的周长为18时,求四边形ADCE的面积.
【答案】(1)证明:由作法可知:直线DE是线段AC的垂直平分线,
∴AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,且AD=CD,AO=CO。
又∵CE∥AB,∴∠ADO =∠CEO。
∴△AOD≌△COE(AAS)。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。
(2)解:当∠ACB=90°时,
由(1)知AC⊥DE,∴OD∥BC。
∴△ADO∽△ABC。∴。
又∵BC=6,∴OD=3。
又∵△ADC的周长为18,∴AD+AO=9, 即AD=9﹣AO。
∴,解得AO=4
∴。
【考点】作图(复杂作图),线段垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线,得出AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,从而得出△AOD≌△COE,即可得出四边形ADCE是菱形。
(2)利用当∠ACB=90°时,OD∥BC,即有△ADO∽△ABC,即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO的长,即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积。
4. (2012浙江嘉兴、舟山8分)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD。
又∵BE=AB,∴BE=CD,BE∥CD。∴四边形BECD是平行四边形。
∴BD=EC。
(2)解:∵四边形BECD是平行四边形,∴BD∥CE,∴∠ABO=∠E=50°。
又∵四边形ABCD是菱形,∴AC丄BD。∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°。
【考点】菱形的性质,平行四边形的判定和性质,平行的性质,直角三角形两锐角的关系。
【分析】(1)根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD,AB∥CD,然后证明得到BE=CD,BE∥CD,从而证明四边形BECD是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证。
(2)根据两直线平行,同位角相等求出∠ABO的度数,再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD,然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解。
5. (2012江苏常州7分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF。
求证:AE=AF。
【答案】证明:连接CE。
∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,。
又∵AO=CO,∴△AEO≌△CFO(AAS)。
∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形。
∴AE=AF。
【考点】菱形的判定和性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知,根据AAS可证得△AEO≌△CFO,从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。
6. (2012江苏南通10分)如图,菱形ABCD中,∠B=60º,点E在边BC上,点F在边CD上.
(1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60º,
求证:BE=DF;
(2)如图2,若∠EAF=60º,
求证:△AEF是等边三角形.
【答案】证明:(1)连接AC。
∵菱形ABCD中,∠B=60°,
∴AB=BC=CD,∠C=180°-∠B=120°。
∴△ABC是等边三角形。
∵E是BC的中点,∴AE⊥BC。
∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-∠AEF=30°。
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。
∴EC=CF。∴BE=DF。
(2)连接AC。
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC,∠D=∠B=60°,∠ACB=∠ACF。
∴△ABC是等边三角形。
∴AB=AC,∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。
∴∠AEB=∠AFC。
在△ABE和△AFC中,∵∠B=∠ACF,∠AEB=∠AFC, AB=AC,
∴△ABE≌△ACF(AAS)。∴AE=AF。
∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接AC,由菱形ABCD中,∠B=60°,根据菱形的性质,易得△ABC是等边三角形,
又由三线合一,可证得AE⊥BC,从而求得∠FEC=∠CFE,即可得EC=CF,从而证得BE=DF。
(2)连接AC,可得△ABC是等边三角形,即可得AB=AC,以求得∠ACF=∠B=60°,然后利用平行线与三角形外角的性质,可求得∠AEB=∠AFC,证得△AEB≌△AFC,即可得AE=AF,证得:△AEF是等边三角形。
7. (2012广东河源9分)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①分别以A、C为圆心,以大于AC
的长为半径在AC的两边作弧,交于点M、N;②连接MN,分别交AB、AC于点D、O;③过点C作CE∥AB
交MN于点E,连接AE、CD.
(1)求证:四边形ADEC是菱形;
(2)当∠ACB=90º,BC=6,△ACD的周长为18时,求四边形ADEC的面积.
【答案】(1)证明:由作法可知:直线DE是线段AC的垂直平分线,
∴AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,且AD=CD,AO=CO。
又∵CE∥AB,∴∠ADO =∠CEO。
∴△AOD≌△COE(AAS)。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。
(2)解:当∠ACB=90°时,
由(1)知AC⊥DE,∴OD∥BC。
∴△ADO∽△ABC。∴。
又∵BC=6,∴OD=3。
又∵△ADC的周长为18,∴AD+AO=9, 即AD=9﹣AO。
∴,解得AO=4
∴。
【考点】作图(复杂作图),线段垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线,得出AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,从而得出△AOD≌△COE,即可得出四边形ADCE是菱形。
(2)利用当∠ACB=90°时,OD∥BC,即有△ADO∽△ABC,即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO的长,即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积。
8. (2012湖北恩施8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证:四边形AEDF是菱形.
【答案】证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形。
又∵AD⊥BC,BD=CD,∴AB=AC。∴AE=AF。
∴平行四边形AEDF是菱形。
【考点】三角形中位线定理,线段垂直平分线的性质,菱形的判定。
【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后证得AE=AF,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可。
9. (2012湖北黄冈7分)如图,在正方形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,E、F 分别在OD、OC
上,且DE=CF,连接DF、AE,AE 的延长线交DF于点M.
求证:AM⊥DF.
【答案】证明:∵ABCD是正方形,∴OD=OC。
又∵DE=CF,∴OD-DE=OC-CF,即OF=OE。
在Rt△AOE和Rt△DOF中,∵AO=DO ,∠AOD=∠DOF, OE=OF ,
∴△AOE≌△DOF(SAS)。∴∠OAE=∠ODF。
∵∠OAE+∠AEO=90°,∠AEO=∠DEM,∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角的关系。
【分析】由DE=CF,根据正方形的性质可得出OE=OF,从而证明△AOE≌△DOF,得出∠OAE=∠ODF,
然后利用等角代换可得出∠DME=90°,即得出了结论。
10. (2012湖南娄底9分)如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD.BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.
(1)求证:△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由.
【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∵AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°。
∵在矩形ABCD中,M、N分别是AD.BC的中点,∴AM=AD,CN=BC。
∴AM=CN。
在△MAB和△NDC中,∵AB=CD,∠A=∠C=90°,AM=CN
∴△MAB≌△NDC(SAS)。
(2)四边形MPNQ是菱形,理由如下:
连接AN,易证:△ABN≌△BAM,
∴AN=BM。
∵△MAB≌△NDC,∴BM=DN。
∵P、Q分别是BM、DN的中点,∴PM=NQ。
∵DM=BN,DQ=BP,∠MDQ=∠NBP,∴△MQD≌△NPB(SAS)。∴MQ=PN。x kb1.
∴四边形MPNQ是平行四边形。
∵M是AB中点,Q是DN中点,∴MQ=AN,∴MQ=BM。
又∵MP=BM,∴MP=MQ。∴四边形MQNP是菱形。
【考点】矩形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线性质,菱形的判定。
【分析】(1)根据矩形的性质和中点的定义,利用SAS判定△MBA≌△NDC。
(2)四边形MPNQ是菱形,连接AN,由(1)可得到BM=CN,再有中点得到PM=NQ,再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN,从而证明四边形MPNQ是平行四边形,利用三角形中位线的性质可得:MP=MQ,从而证明四边形MQNP是菱形。
11. (2012四川内江9分)如图,矩形ABCD中,E是BD上的一点,∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,
点G是BC、AE延长线的交点,AG与CD相交于点F。
(1) 求证:四边形ABCD是正方形;
(2) 当AE=2EF时,判断FG与EF有何数量关系?并证明你的结论。
【答案】(1)证明:∵∠CED是△BCE的外角,∠AED是△ABE的外角,
∴∠CED=∠CBE+∠BCE,∠AED=∠BAE+∠ABE。
∵∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,∴∠CBE=∠ABE。
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°,AB=CD。
∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形。
∴AB=AD=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形。
(2)解:当AE=2EF时,FG=3EF。证明如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴△ABE∽△FDE,△ADE∽△GBE。
∵AE=2EF,∴BE:DE=AE:EF=2。∴BC:AD=BE:DE=2,即BG=2AD。
∵BC=AD,∴CG=AD。
∵△ADF∽△GCF,∴FG:AF=CG:AD,即FG=AF=AE+EF=3EF。
【考点】矩形的性质,三角形外角的性质,等腰直角三角形的判定和性质,正方形的判定,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,利用三角形外角的性质,即可得∠CBE=∠ABE,又由四边形ABCD是矩形,即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形,继而证得四边形ABCD是正方形。
(2)由题意易证得△ABE∽△FDE,△ADE∽△GBE,△ADF∽△GCF,由AE=2EF,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得FG=3EF。
12. (2012四川凉山7分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)求EF的长.
13. (2012贵州贵阳10分)如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.
(1)求证:CE=CF;
(2)若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD。
∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF。
在Rt△ABE和Rt△ADF中,∵AB=AD,AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)。
∴CE=CF。
(2)解:连接AC,交EF于G点,
∵△AEF是等边三角形,△ECF是等腰直角三角形,∴AC⊥EF。
在Rt△AGE中,EG=sin30°AE=×2=1,∴EC=。
设BE=x,则AB=BC=x+,
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即(x+)2+x2=4,解得x=(负值舍去)。
∴AB=。
∴正方形ABCD的周长为4AB=2()。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质;等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,勾股定理。
【分析】(1)根据正方形可知AB=AD,由等边三角形可知AE=AF,于是可以证明出△ABE≌△ADF,即可得出CE=CF。
(2)连接AC,交EF与G点,由△AEF是等边三角形,△ECF是等腰直角三角形,于是可知AC⊥EF,求出EG=1,设BE=x,利用勾股定理求出x,即可求出AB的值,从而求出正方形的周长。
14. (2012贵州黔南12分)如图1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD边上的点,且AE⊥EF,BE=2
(1)求EC:CF值;
(2)延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点P(图2),试判断AE与EP大小关系,并说明理由;
(3)在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)∵AE⊥EF,∴∠BEA+∠CEF=90°。
∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠C=90°。
∴∠BAE +∠BEA =90°。∴∠BA E=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。
∴EC:CF=AB:BE=5:2。
(2)在AB上取一点M,使BM=BE,连接ME。
∴AM=CE。∴∠BME=45°。∴∠AME=135°。
∵CP是外角平分线,∴∠DCP=45°。∴∠ECP=135°。
∴∠AME=∠ECP。
∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF。∴△AME≌△PCE(ASA)。∴AE=EP。
(3)存在,过点D作DM⊥AE交AB于点M,则此时M使得四边形DMEP是平行四边形。证明如下:
∵DM⊥AE,∴∠ADM=90°-∠DAE。
∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠B=∠BAD=90°。
∴∠BAE=90°-∠DAE。∴∠BAE=∠ADM。
∴△BAE≌△ADM(ASA)。∴AD=DM。
由(2)AE=EP,得DM= EP。
双∵DM⊥AE,AE⊥EF,∴DM∥ EP。∴四边形DMEP是平行四边形。
【考点】相似三角形的判定和性质,正方形的性质,外角平分线定义,全等三角形的判定和性质,平行的判定,平行四边形的判定。
【分析】(1)由正方形的性质可得:∠B=∠C=90°,由同角的余角相等,可证得:∠BAE=∠CEF,即可证得:△ABE∽△EFC,又由相似三角形的对应边成比例,即可求得EC:CF的值.
(2)作辅助线:在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME,利用ASA,易证得:△AME≌△PCE,则可证得:AE=EP。
(3)过点D作DM⊥AE交AB于点M,此时M使得四边形DMEP是平行四边形。一方面由△BAE≌△ADM(ASA)得AD=DM;另一方面由DM⊥AE,AE⊥EF得DM∥ EP。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。
15. (2012山东东营10分)
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面积.
【答案】解:(1)证明:在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS)。∴CE=CF。
(2)证明: 如图,延长AD至F,使DF=BE.连接CF。
由(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF。
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°。
又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°。
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG(SAS)。∴GE=GF,
∴GE=DF+GD=BE+GD。
(3)如图,过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠A=∠B=90°。
又∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCD 为正方形。 ∴AG=BC。
已知∠DCE=45°,
根据(1)(2)可知,ED=BE+DG。
∴10=4+DG,即DG=6。
设AB=x,则AE=x-4,AD=x-6,
在Rt△AED中,∵DE2=AD2+AE2,即102=(x-6)2+(x-4)2。
解这个方程,得:x=12或x=-2(舍去)。
∴AB=12。
∴。
∴梯形ABCD的面积为108。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形。
【分析】(1)由四边形是ABCD正方形,易证得△CBE≌△CDF(SAS),即可得CE=CF。
(2)延长AD至F,使DF=BE,连接CF,由(1)知△CBE≌△CDF,易证得∠ECF=∠BCD=90°,又由∠GCE=45°,可得∠GCF=∠GCE=45°,即可证得△ECG≌△FCG,从而可得GE=BE+GD。
(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形,由(1)(2)可知,ED=BE+DG,即可求得DG的长,设AB=x,在Rt△AED中,由勾股定理DE2=AD2+AE2,可得方程,解方程即可求得AB的长,从而求得直角梯形ABCD的面积。
16. (2012山东聊城7分)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
求证:四边形OCED是菱形.
【答案】证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD。
∴四边形OCED是菱形。
【考点】矩形的性质,菱形的判定。
【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形,再根据矩形的性质可得OC=OD,即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论。
17. (2012山东临沂7分)如图,点A.F、C.D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形,
(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,当AF为何值时,四边形BCEF是菱形.
【答案】(1)证明:∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF。
∵在△ABC和△DEF中,AC=DF,∠A=∠D,AB=DE,
∴△ABC≌DEF(SAS)。∴BC=EF,∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF。
∴四边形BCEF是平行四边形.
(2)解:连接BE,交CF与点G,
∵四边形BCEF是平行四边形,
∴当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形。
∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,
∴AC=。
∵∠BGC=∠ABC=90°,∠ACB=∠BCG,∴△ABC∽△BGC。
∴,即。∴。
∵FG=CG,∴FC=2CG=,
∴AF=AC﹣FC=5﹣。
∴当AF=时,四边形BCEF是菱形.
【考点】平行四边形的判定,全等三角形的判定和性质,平行的判定,菱形的判定,勾股定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由AB=DE,∠A=∠D,AF=DC,根据SAS得△ABC≌DEF,即可得BC=EF,且BC∥EF,即可判定四边形BCEF是平行四边形。
(2)由四边形BCEF是平行四边形,可得当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形,所以连接BE,交CF与点G,证得△ABC∽△BGC,由相似三角形的对应边成比例,即可求得AF的值。
18. (2012山东青岛8分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,BE⊥AC于E,DF⊥AC于
F,点O既是AC的中点,又是EF的中点.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)若OA=BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?请说明理由.
【答案】解:(1)证明:∵BE⊥AC.DF⊥AC,∴∠BEO=∠DFO=90°。
∵点O是EF的中点,∴OE=OF。
又∵∠DOF=∠BOE,∴△BOE≌△DOF(ASA)。
(2)四边形ABCD是矩形。理由如下:
∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD。
又∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形。
∵OA=BD,OA=AC,∴BD=AC。∴平行四边形ABCD是矩形。
【考点】全等三角形的判定和性质,矩形的判定。
【分析】(1)根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°,再由点O是EF的中点可得OE=OF,再加上对顶角
∠DOF=∠BOE,可利用ASA证明△BOE≌△DOF。
(2)根据△BOE≌△DOF可得DO=BO,再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形,再证明DB=AC,可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。
19. (2012山东日照9分)如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连结AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
求证:(1) CG=BH;(2)FC2=BF·GF;(3).
【答案】证明:(1)∵BF⊥AE,CG∥AE,CG⊥BF,∴CG⊥BF.
∵在正方形ABCD中,∠ABH+∠CBG=900, ∠CBG+∠BCG=900, ∠BAH+∠ABH=900,
∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG。
又∵AB=BC,∴△ABH≌△BCG(ASA)。∴CG=BH。
(2)∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=900,∴△CFG∽△BFC。
∴,即FC2=BF·GF。
(3)∵∠CBG=∠FBC,∠CGB=∠FCB =900,∴△CBG∽△FBC。
∴,即BC2=BF·BG。
∵AB=BC,∴AB2=BF·BG。
∴,即。
【考点】正方形的性质,相似三角形的判定和性质;全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)由互余关系得出∠BAH=∠CBG,而∠AHB=∠BGC=90°,AB=BC,可证△ABH≌△BCG,得出结论。
(2)在Rt△BCF中,CG⊥BF,利用互余关系可证△CFG∽△BFC,利用相似比得出结论。
(3)根据Rt△BCF中,CG⊥BF,同理可证△CBG∽△FBC,利用相似比得出BC2=BF·BG,即AB2=BF·BG,结合(2)的结论求比即可。
20. (2012山东泰安10分)如图,E是矩形ABCD的边BC上一点,EF⊥AE,EF分别交AC,CD于点M,F,BG⊥AC,垂足为C,BG交AE于点H.
(1)求证:△ABE∽△ECF;
(2)找出与△ABH相似的三角形,并证明;
(3)若E是BC中点,BC=2AB,AB=2,求EM的长.
【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABE=∠ECF=90°.
∵AE⊥EF,∠AEB+∠FEC=90°,∴∠AEB+∠BEA=90°。
∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。
(2)△ABH∽△ECM。证明如下:
∵BG⊥AC,∴∠ABG+∠BAG=90°。∴∠ABH=∠ECM。
由(1)知,∠BAH=∠CEM,∴△ABH∽△ECM。
(3)作MR⊥BC,垂足为R,
∵AB=BE=EC=2,
∴AB:BC=MR:RC=2,∠AEB=45°。
∴∠MER=45°,CR=2MR。
∴MR=ER=。∴EM=。
【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)由四边形ABCD是矩形,可得∠ABE=∠ECF=90°,又由EF⊥AE,利用同角的余角相等,可得∠BAE=∠CEF,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似,即可证得:△ABE∽△ECF。
(2)由BG⊥AC,易证得∠ABH=∠ECM,又由(1)中∠BAH=∠CEM,即可证得
△ABH∽△ECM。
(3)首先作MR⊥BC,垂足为R,由AB:BC=MR:RC=2,∠AEB=45°,即可求得MR的长,又由EM= 即可求得答案。
21. (2012山东淄博9分)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x.
(1)当点G与点D重合时,求x的值;
(2)当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值.
【答案】解:(1)当点G与点D重合时,点F也与点D重合。
∵矩形ABCD中,AC⊥BD,∴四边形ABCD是正方形。
∵BC=4,∴x= AB= BC=4。
(2)∵点F为AD中点,BC=4,∴AF=2。
∵矩形ABCD中,AD∥BC,∴△AEF∽△BEB。∴。
∴。∴。
∵矩形ABCD中,∠ABC=∠BAF=900,
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得,
即。
两式相加,得。
又∵AC⊥BG,∴在Rt△ABE中,。
∴,解得(已舍去负值)。
∴。
∴在Rt△CEF中由勾股定理得。
∴。∴。
【考点】矩形的性质,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】(1)由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。
(2)由点F为AD中点和矩形的性质,得△AEF∽△BEB,从而得。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF,根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。
22. (2012广西柳州8分)如图,用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起,重合的四边形ABCD是一个特
殊的四边形.
(1)这个特殊的四边形应该叫做;
(2)请证明你的结论.
【答案】解:(1)菱形;
(2)证明:
∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组
成的图形,
∴AB∥CD,AD∥BC。
∴四边形ABCD是平行四边形(对边相互平行的四边形是平行四边形)。
过点D分别作AB,BC边上的高为DE,DF。则DE=DF(两纸条相同,纸条宽度相同)。
∵平行四边形的面积为AB×DE=BC×DF,∴AB=BC。
∴平行四边形ABCD为菱形(邻边相等的平行四边形是菱形)。
【考点】菱形的判定和性质。
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条纸条宽度相同;再由平行四边形的等积转换可得邻边
相等,则重叠部分为菱形。
23. (2012云南省7分)如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC。∴∠BNO=∠DMO,∠NBO=∠MDO。
∵MN是BD的中垂线,∴OB=OD,BD⊥MN。
∴△BNO≌△DMO(AAS)。∴ON=OM。
∴四边形BMDN的对角线互相平分。∴四边形BMDN是平行四边形。
∵BD⊥MN,∴平行四边形BMDN是菱形。
(2)∵四边形BMDN是菱形,∴MB=MD。
设MD长为x,则MB=DM=x,AM=8-x。
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=900。
在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2,即x2=(8-x)2+42,解得:x=5。
答:MD长为5。
【考点】矩形的性质,线段垂直平分线的性质,平行四边形的性质,菱形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)根据矩形性质求出AD∥BC,根据OB=OD和AD∥BC推出△BNO≌△DMO ,OM=ON,得出平行四边形BMDN,推出菱形BMDN。
(2)根据菱形性质求出DM=BM,在Rt△AMB中,根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2,推出
x2=x2-16x+64+16,求出即可。
24. (2012河南省9分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=600,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;
(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;
②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形。
25. (2012江西省6分)如图,已知两个菱形ABCD.CEFG,其中点A.C.F在同一直线上,连接BE、DG.
(1)在不添加辅助线时,写出其中的两对全等三角形;
(2)证明:BE=DG.
【答案】(1)解:△ADC≌△ABC,△GFC≌△EFC。
(2)证明:∵四边形ABCD.CEFG是菱形,
∴DC=BC,CG=CE,∠DCA=∠BCA,∠GCF=∠ECF。
∵∠ACF=180°,∴∠DCG=∠BCE,
在△DCG和△BCE中,∵DC=BC,∠DCG=∠BCE,CG=CE,
∴△DCG≌△BCE(SAS)。∴BE=DG。
【考点】菱形的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)△ADC≌△ABC,△GFC≌△EFC,根据菱形的性质推出AD=AB,DC=BC,根据SSS即可证出结论。
(2)根据菱形性质求出DC=BC,CG=CE,推出∠DCG=∠BCE,根据SAS证出△DCG≌△BCE即可。
26. (2012青海西宁8分)如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、CF.
(1)证明:四边形AECF是矩形;
(2)若AB=8,求菱形的面积.
【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC。
又∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形。
∵E是BC的中点,∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)。∴∠AEC=90°。
∵E、F分别是BC、AD的中点,∴AF=AD,EC=BC。
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC且AD=BC。
∴AF∥EC且AF=EC。
∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。
又∵∠AEC =90°,∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)。
(2) 在Rt△ABE中,
∴S菱形AECF=8×4=32。
【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,矩形的判定,勾股定理。
【分析】(1)根据菱形的四条边都相等可得AB=BC,然后判断出△ABC是等边三角形,然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC,∠AEC=90°,再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等,从而判定出四边形AECF是平行四边形,再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证。
(2)根据勾股定理求出AE的长度,然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解。
27. (2012青海省8分)已知:如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.
①求证:CD=AN;
②若∠AMD=2∠MCD,求证:四边形ADCN是矩形.
【答案】证明:①∵CN∥AB,∴∠DAC=∠NCA。
在△AMD和△CMN中,∵∠DAC=∠NCA,MA=MC,∠AMD=∠CMN(对顶角相等),
∴△AMD≌△CMN(ASA)。∴AD=CN。
又∵AD∥CN,∴四边形ADCN是平行四边形。∴CD=AN。
②∵∠AMD=2∠MCD,∠AMD=∠MCD+∠MDC,∴∠MCD=∠MDC。∴MD=MC。
由①知四边形ADCN是平行四边形,∴MD=MN=MA=MC。∴AC=DN。
∴四边形ADCN是矩形。
【考点】平行的性质,全等三角形的判定和性质,三角形外角性质,等腰三角形的判定,平行四边形的判定和性质,矩形的判定。
【分析】①根据两直线平行,内错角相等求出∠DAC=∠NCA,然后利用“ASA”证明△AND和△CMN全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=CN,然后判定四边形ADCN是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证。
②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC,再根据等角对等边可得MD=MC,然后证明AC=DN,再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证。
28. (2012内蒙古赤峰10分)如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.
(1)求证:四边形CDOF是矩形;
(2)当∠AOC多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.
【答案】(1)证明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB(已知),
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF。
∵∠AOC+∠BOC=180°,∴2∠COD+2∠COF=180°。∴∠COD+∠COF=90°。
∴∠DOF=90°。
∵OA=OC,OD平分∠AOC(已知)。
∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三合一”的性质)。∴∠CDO=90°。
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°。
∴四边形CDOF是矩形。
(2)解:当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形。理由如下:
∵∠AOC=90°,AD=DC,∴OD=DC。
又由(1)知四边形CDOF是矩形,则四边形CDOF是正方形。
因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形。
【考点】等腰三角形的性质,矩形的判定,直角三角形的斜边上的中线的性质,正方形的判定。
【分析】(1)利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°;由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC,即∠CDO=90°;根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°;则三个角都是直角的四边形是矩形。
(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形;因为Rt△AOC的斜边上的中线OD等于斜边的一半,所以矩形的邻边OD=CD,所以矩形CDOF是正方形。
29. (2012黑龙江绥化8分)如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R.
(1)如图1,当点P为线段EC中点时,易证:PR+PQ= (不需证明).
(2)如图2,当点P为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时,其它条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其它条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
【答案】解:(2)图2中结论PR+PQ=仍成立。证明如下:
连接BP,过C点作CK⊥BD于点K。
∵四边形ABCD为矩形,∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3,BC=4,∴。
∵S△BCD=BC•CD=BD•CK,∴3×4=5CK,∴CK=。
∵S△BCE=BE•CK,S△BEP=PR•BE,S△BCP=PQ•BC,且S△BCE=S△BEP+S△BCP,
∴BE•CK=PR•BE+PQ•BC。
又∵BE=BC,∴CK=PR+PQ。∴CK=PR+PQ。
又∵CK=,∴PR+PQ=。
(3)图3中的结论是PR-PQ=.
【考点】矩形的性质,三角形的面积,勾股定理。
【分析】(2)连接BP,过C点作CK⊥BD于点K.根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长,根据三角形面积相等可求出CK的长,最后通过等量代换即可证明。
(3)图3中的结论是PR-PQ=125 。
连接BP,S△BPE-S△BCP=S△BEC,S△BEC 是固定值,BE=BC 为两个底,PR,PQ 分别为高,从而PR-PQ=。