四边形填空解答中考分类 63页

‎2018年06月25日四边形填空解答中考分类 ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．填空题（共14小题）‎ ‎1．（2018•荆州）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为　 　．‎ ‎2．（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结 MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　 　．‎ ‎3．（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．‎ ‎4．（2018•湖州）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是　 　．‎ ‎5．（2018•株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=3，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP=　 　．‎ ‎6．（2018•衡阳）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是　 　．‎ ‎7．（2018•泰州）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为　 　．‎ ‎8．（2018•聊城）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　 　．‎ ‎9．（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．‎ ‎10．（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为　 　．‎ ‎11．（2018•临沂）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=　 　．‎ ‎12．（2018•连云港）如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为　 　．‎ ‎13．（2018•株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为　 　．‎ ‎14．（2018•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．解答题（共29小题）‎ ‎15．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．‎ ‎16．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ADF；‎ ‎（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．‎ ‎17．（2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．‎ ‎（1）求证：AB=AF；‎ ‎（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．‎ ‎18．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．‎ ‎19．（2018•凉州区）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．‎ ‎（1）求证：△BGF≌△FHC；‎ ‎（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．‎ ‎20．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．‎ ‎（1）求证：AE=BF；‎ ‎（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．‎ ‎21．（2018•黄冈）如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8．点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB﹣BC﹣CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．‎ ‎（1）当t=2时，求线段PQ的长；‎ ‎（2）求t为何值时，点P与N重合；‎ ‎（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．‎ ‎22．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．‎ ‎（1）求证：四边形AEBD是菱形；‎ ‎（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．‎ ‎23．（2018•南通）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．‎ ‎（1）求证：CF=AB；‎ ‎（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．‎ ‎24．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．‎ ‎（1）若BC=12，AB=13，求AF的长；‎ ‎（2）求证：EB=EH．‎ ‎25．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎26．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD 内一点，且OA=OB=OD．求证：‎ ‎（1）∠BOD=∠C；‎ ‎（2）四边形OBCD是菱形．‎ ‎27．（2018•衢州）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．‎ ‎28．（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．‎ 求证：（1）△AED≌△CFD；‎ ‎（2）四边形ABCD是菱形．‎ ‎29．（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．‎ ‎（1）求证：△ECG≌△GHD；‎ ‎（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．‎ ‎（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．‎ ‎30．（2018•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．‎ ‎31．（2018•青岛）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．‎ 根据题意解答下列问题：‎ ‎（1）用含t的代数式表示AP；‎ ‎（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）当QP⊥BD时，求t的值；‎ ‎（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎32．（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．‎ ‎（1）求∠A+∠C的度数；‎ ‎（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．‎ ‎33．（2018•潍坊）如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．‎ ‎（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．‎ ‎①求四边形BHMM′的面积；‎ ‎②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．‎ ‎（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段 CP的长．‎ ‎34．（2018•枣庄）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．‎ ‎（1）求证：四边形EFDG是菱形；‎ ‎（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．‎ ‎35．（2018•金华）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．‎ ‎（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．‎ ‎①若点G为DE中点，求FG的长．‎ ‎②若DG=GF，求BC的长．‎ ‎（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．‎ ‎36．（2018•永州）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．‎ ‎（1）求正方形DFGI的边长；‎ ‎（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？‎ ‎（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．‎ ‎37．（2018•绍兴）小敏思考解决如下问题：‎ 原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．‎ ‎（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明．‎ ‎（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．‎ ‎（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．‎ ‎38．（2018•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．‎ ‎（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长．‎ ‎（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．‎ ‎（4）如图2，当△ECD的面积S1=时，求AE的长．‎ ‎39．（2018•荆州）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．‎ ‎（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；‎ ‎（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；‎ ‎（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长．‎ ‎40．（2018•成都）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．‎ ‎（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；‎ ‎（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；‎ ‎（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎41．（2018•天津）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．‎ ‎①求证△ADB≌△AOB；‎ ‎②求点H的坐标．‎ ‎（Ⅲ）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．‎ ‎42．（2018•江西）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．‎ ‎（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　；‎ ‎（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；‎ ‎（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积．‎ ‎43．（2018•宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x．‎ ‎（1）当AM=时，求x的值；‎ ‎（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；‎ ‎（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．‎ ‎　‎ ‎2018年06月25日四边形填空解答中考分类 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．填空题（共14小题）‎ ‎1．（2018•荆州）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为　14　．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，‎ ‎∴△OCD的周长=5+4+5=14，‎ 故答案为14．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结 MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　　．‎ ‎【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．‎ ‎【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，‎ ‎∴∠ADM=∠H，‎ ‎∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，‎ ‎∴△ADM≌△BHM，‎ ‎∴AD=HB=2，‎ ‎∵EM⊥DH，‎ ‎∴EH=ED，设BE=x，‎ ‎∵AE⊥BC，‎ ‎∴AE⊥AD，‎ ‎∴∠AEB=∠EAD=90°‎ ‎∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，‎ ‎∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，‎ ‎∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），‎ ‎∴cosB==，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　　．‎ ‎【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，‎ 在△ABE和△DAF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABE≌△DAF（SAS），‎ ‎∴∠ABE=∠DAF，‎ ‎∵∠ABE+∠BEA=90°，‎ ‎∴∠DAF+∠BEA=90°，‎ ‎∴∠AGE=∠BGF=90°，‎ ‎∵点H为BF的中点，‎ ‎∴GH=BF，‎ ‎∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，‎ ‎∴BF==，‎ ‎∴GH=BF=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•湖州）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是　2　．‎ ‎【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，‎ ‎∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．‎ 在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，‎ ‎∴tan∠BAC==，‎ ‎∴OB=1，‎ ‎∴BD=2．‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=3，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP=　6　．‎ ‎【分析】根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6．‎ ‎【解答】解：∵BD=CD，AB=CD，‎ ‎∴BD=BA，‎ 又∵AM⊥BD，DN⊥AB，‎ ‎∴DN=AM=3，‎ 又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，‎ ‎∴∠P=∠PAM，‎ ‎∴△APM是等腰直角三角形，‎ ‎∴AP=AM=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM是等腰直角三角形．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•衡阳）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是　16　．‎ ‎【分析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周长=AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．‎ ‎【解答】解：∵ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∵OM⊥AC，‎ ‎∴AM=MC．‎ ‎∴△CDM的周长=AD+CD=8，‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．‎ 故答案为16．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得AM=MC是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•泰州）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为　14　．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，‎ ‎∵AC+BD=16，‎ ‎∴OB+OC=8，‎ ‎∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，‎ 故答案为14．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•聊城）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　540°或360°或180°　．‎ ‎【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．‎ ‎【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，‎ 边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°=540°，‎ 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°=360°，‎ 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°=180°，‎ 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．‎ 故答案为：540°或360°或180°．‎ ‎【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　（﹣5，4）　．‎ ‎【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∴AD=5，‎ ‎∴由勾股定理知：OD===4，‎ ‎∴点C的坐标是：（﹣5，4）．‎ 故答案为：（﹣5，4）．‎ ‎【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，‎ B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为　（﹣1，）　．‎ ‎【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，连接AM，‎ ‎∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，‎ ‎∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，‎ ‎∴∠B′AD=60°，‎ 在Rt△ADM和Rt△AB′M中，‎ ‎∵，‎ ‎∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），‎ ‎∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，‎ ‎∴DM=ADtan∠DAM=1×=，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣1，），‎ 故答案为：（﹣1，）．‎ ‎【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•临沂）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=　4　．‎ ‎【分析】由BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴AC==8，‎ ‎∴OC=4，‎ ‎∴OB==2，‎ ‎∴BD=2OB=4‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•连云港）如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为　2　．‎ ‎【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，可得=，推出=，可得b=a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图，连接BD．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD=，‎ ‎∵CG=DG，CF=FB，‎ ‎∴GF=BD=，‎ ‎∵AG⊥FG，‎ ‎∴∠AGF=90°，‎ ‎∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，‎ ‎∴∠DAG=∠CGF，‎ ‎∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴b2=2a2，‎ ‎∵a＞0．b＞0，‎ ‎∴b=a，‎ 在Rt△GCF中，3a2=，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴AB=2b=2．‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为　2.5　．‎ ‎【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=2.5．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC=BD=10，BO=DO=BD，‎ ‎∴OD=BD=5，‎ ‎∵点P、Q是AO，AD的中点，‎ ‎∴PQ是△AOD的中位线，‎ ‎∴PQ=DO=2.5．‎ 故答案为：2.5．‎ ‎【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．‎ ‎　‎ ‎14．（2018•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　+3　．‎ ‎【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．‎ ‎【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，‎ ‎∴阴影部分的面积为×9=6，‎ ‎∴空白部分的面积为9﹣6=3，‎ 由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，‎ ‎∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，‎ 设BG=a，CG=b，则ab=，‎ 又∵a2+b2=32，‎ ‎∴a2+2ab+b2=9+6=15，‎ 即（a+b）2=15，‎ ‎∴a+b=，即BG+CG=，‎ ‎∴△BCG的周长=+3，‎ 故答案为：+3．‎ ‎【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎　‎ 二．解答题（共29小题）‎ ‎15．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．‎ ‎【分析】利用平行四边形的性质得出AF=EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，‎ ‎∴∠E=∠F，‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴AF=EC，‎ 在△AGF和△CHE中 ‎，‎ ‎∴△AGF≌△CHE（ASA），‎ ‎∴AG=CH．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ADF；‎ ‎（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；‎ ‎（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；‎ ‎【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∴∠ABE=∠ADF，‎ 在△ABE与△ADF中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ADF（SAS）；‎ ‎（2）连接AC，‎ 四边形AECF是菱形．‎ 理由：∵正方形ABCD，‎ ‎∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，‎ ‎∴OB+BE=OD+DF，‎ 即OE=OF，‎ ‎∵OA=OC，OE=OF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥EF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．‎ ‎（1）求证：AB=AF；‎ ‎（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；‎ ‎（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BE∥CD，AB=CD，‎ ‎∴∠AFC=∠DCG，‎ ‎∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，‎ ‎∴△AGF≌△DGC，‎ ‎∴AF=CD，‎ ‎∴AB=CF．‎ ‎（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．‎ 理由：∵AF=CD，AF∥CD，‎ ‎∴四边形ACDF是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAD=∠BCD=120°，‎ ‎∴∠FAG=60°，‎ ‎∵AB=AG=AF，‎ ‎∴△AFG是等边三角形，‎ ‎∴AG=GF，‎ ‎∵△AGF≌△DGC，‎ ‎∴FG=CG，∵AG=GD，‎ ‎∴AD=CF，‎ ‎∴四边形ACDF是矩形．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎18．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：在▱ABCD中，‎ AD=BC，∠A=∠C，‎ ‎∵E、F分别是边BC、AD的中点，‎ ‎∴AF=CE，‎ 在△ABF与△CDE中，‎ ‎∴△ABF≌△CDE（SAS）‎ ‎∴∠ABF=∠CDE ‎【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型 ‎　‎ ‎19．（2018•凉州区）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．‎ ‎（1）求证：△BGF≌△FHC；‎ ‎（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．‎ ‎【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；‎ ‎（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，‎ ‎∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，‎ ‎∴∠CFH=∠CBG，‎ ‎∵BF=CF，‎ ‎∴△BGF≌△FHC，‎ ‎（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，‎ ‎∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，‎ ‎∴GH=，且GH∥BC，‎ ‎∴EF⊥BC，‎ ‎∵AD∥BC，AB⊥BC，‎ ‎∴AB=EF=GH=a，‎ ‎∴矩形ABCD的面积=．‎ ‎【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．‎ ‎　‎ ‎20．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．‎ ‎（1）求证：AE=BF；‎ ‎（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．‎ ‎【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；‎ ‎（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴BA=AD，∠BAD=90°，‎ ‎∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，‎ ‎∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，‎ ‎∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，‎ ‎∴∠ABF=∠EAD，‎ 在△ABF和△DEA中 ‎，‎ ‎∴△ABF≌△DEA（AAS），‎ ‎∴BF=AE；‎ ‎（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，‎ ‎∵四边形ABED的面积为24，‎ ‎∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），‎ ‎∴EF=x﹣2=4，‎ 在Rt△BEF中，BE==2，‎ ‎∴sin∠EBF===．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎21．（2018•黄冈）如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8．点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB﹣BC﹣CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．‎ ‎（1）当t=2时，求线段PQ的长；‎ ‎（2）求t为何值时，点P与N重合；‎ ‎（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．‎ ‎【分析】（1）解直角三角形求出PM，QM即可解决问题；‎ ‎（2）根据点P、N的路程之和=24，构建方程即可解决问题，；‎ ‎（3）分三种情形考虑问题即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）当t=2时，OM=2，‎ 在Rt△OPM中，∠POM=60°，‎ ‎∴PM=OM•tan60°=2，‎ 在Rt△OMQ中，∠QOM=30°，‎ ‎∴QM=OM•tan30°=，‎ ‎∴PQ=CN﹣QM=2﹣=．‎ ‎（2）由题意：8+（t﹣4）+2t=24，‎ 解得t=．‎ ‎（3）①当0＜x＜4时，S=•2t•4=4t．‎ ‎②当4≤x＜时，S=×[8﹣（t﹣4）﹣（2t﹣8）]×4=40﹣6t．‎ ‎③当≤x＜8时．S=×[（t﹣4）+（2t﹣8）﹣8]×4=6t﹣40．‎ ‎④当8≤x≤12时，S=S菱形ABCO﹣S△AON﹣S△ABP=32﹣•（24﹣2t）•4﹣•[8﹣（t﹣4）]•4=6t﹣40．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎22．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．‎ ‎（1）求证：四边形AEBD是菱形；‎ ‎（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．‎ ‎【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；‎ ‎（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥CE，‎ ‎∴∠DAF=∠EBF，‎ ‎∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，‎ ‎∴△AFD≌△BFE，‎ ‎∴AD=EB，∵AD∥EB，‎ ‎∴四边形AEBD是平行四边形，‎ ‎∵BD=AD，‎ ‎∴四边形AEBD是菱形．‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD=AB=，AB∥CD，‎ ‎∴∠ABE=∠DCB，‎ ‎∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，‎ ‎∵四边形AEBD是菱形，‎ ‎∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，‎ ‎∴tan∠ABE==3，‎ ‎∵BF=，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∴DE=3，‎ ‎∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎23．（2018•南通）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．‎ ‎（1）求证：CF=AB；‎ ‎（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．‎ ‎【分析】（1）欲证明AB=CF，只要证明△AEB≌△FEC即可；‎ ‎（2）想办法证明AC=BD，BF=AC即可解决问题；‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DF，‎ ‎∴∠BAE=∠CFE ‎∵AE=EF，∠AEB=∠CEF，‎ ‎∴△AEB≌△FEC，‎ ‎∴AB=CF．‎ ‎（2）连接AC．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴BD=AC，‎ ‎∵AB=CF，AB∥CF，‎ ‎∴四边形ACFB是平行四边形，‎ ‎∴BF=AC，‎ ‎∴BD=BF．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎24．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．‎ ‎（1）若BC=12，AB=13，求AF的长；‎ ‎（2）求证：EB=EH．‎ ‎【分析】（1）依据BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12，可得等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF==5；‎ ‎（2）连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF=EF，AP=AG=CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB=EH，AB=BE，即可得到BE=EH．‎ ‎【解答】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12，‎ ‎∴等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，‎ 又∵AB=13，‎ ‎∴Rt△ABF中，AF==5；‎ ‎（2）如图，连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，‎ ‎∵BE=BA，BF⊥AC，‎ ‎∴AF=FE，‎ ‎∴BG是AE的垂直平分线，‎ ‎∴AG=EG，AP=EP，‎ ‎∵∠GAE=∠ACB=45°，‎ ‎∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°，‎ ‎△APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，‎ ‎∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°，‎ 又∵AG=EG，‎ ‎∴四边形APEG是正方形，‎ ‎∴PF=EF，AP=AG=CH，‎ 又∵BF=CF，‎ ‎∴BP=CE，‎ ‎∵∠APG=45°=∠BCF，‎ ‎∴∠APB=∠HCE=135°，‎ ‎∴△APB≌△HCE（SAS），‎ ‎∴AB=EH，‎ 又∵AB=BE，‎ ‎∴BE=EH．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．‎ ‎　‎ ‎25．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，判断出AB∥CD，且AB=CD，然后根据AE=CF，判断出BE=DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，且AB=CD，‎ 又∵AE=CF，‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∴BE∥DF且BE=DF，‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定与性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．‎ ‎　‎ ‎26．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：‎ ‎（1）∠BOD=∠C；‎ ‎（2）四边形OBCD是菱形．‎ ‎【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；‎ ‎（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．‎ ‎【解答】证明：（1）‎ 延长OA到E，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠ABO=∠BAO，‎ 又∠BOE=∠ABO+∠BAO，‎ ‎∴∠BOE=2∠BAO，‎ 同理∠DOE=2∠DAO，‎ ‎∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）‎ 即∠BOD=2∠BAD，‎ 又∠C=2∠BAD，‎ ‎∴∠BOD=∠C；‎ ‎（2）连接OC，‎ ‎∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，‎ ‎∴△OBC≌△ODC，‎ ‎∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，‎ ‎∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，‎ ‎∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD，‎ 又∠BOD=∠BCD，‎ ‎∴∠BOC=∠BCO，‎ ‎∴BO=BC，‎ 又OB=OD，BC=CD，‎ ‎∴OB=BC=CD=DO，‎ ‎∴四边形OBCD是菱形．‎ ‎【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答．‎ ‎　‎ ‎27．（2018•衢州）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．‎ ‎【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．‎ ‎【解答】证明：如图，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠BAE=∠DCF．‎ 又BE⊥AC，DF⊥AC，‎ ‎∴∠AEB=∠CFD=90°．‎ 在△ABE与△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴得△ABE≌△CDF（AAS），‎ ‎∴AE=CF．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．‎ 求证：（1）△AED≌△CFD；‎ ‎（2）四边形ABCD是菱形．‎ ‎【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；‎ ‎（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A=∠C．‎ 在△AED与△CFD中，‎ ‎∴△AED≌△CFD（ASA）；‎ ‎（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎【点评】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理．‎ ‎　‎ ‎29．（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．‎ ‎（1）求证：△ECG≌△GHD；‎ ‎（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．‎ ‎（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；‎ ‎（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；‎ ‎（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．‎ ‎【解答】解：（1）∵AF=FG，‎ ‎∴∠FAG=∠FGA，‎ ‎∵AG平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAG=∠FGA，‎ ‎∴∠CAG=∠FGA，‎ ‎∴AC∥FG，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴FG⊥DE，‎ ‎∵FG⊥BC，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，‎ ‎∵F是AD的中点，FG∥AE，‎ ‎∴H是ED的中点，‎ ‎∴FG是线段ED的垂直平分线，‎ ‎∴GE=GD，∠GDE=∠GED，‎ ‎∴∠CGE=∠GDE，‎ ‎∴△ECG≌△GHD；‎ ‎（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，‎ ‎∴GC=GP，而AG=AG，‎ ‎∴△CAG≌△PAG，‎ ‎∴AC=AP，‎ 由（1）可得EG=DG，‎ ‎∴Rt△ECG≌Rt△GPD，‎ ‎∴EC=PD，‎ ‎∴AD=AP+PD=AC+EC；‎ ‎（3）四边形AEGF是菱形，‎ 证明：∵∠B=30°，‎ ‎∴∠ADE=30°，‎ ‎∴AE=AD，‎ ‎∴AE=AF=FG，‎ 由（1）得AE∥FG，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∴四边形AEGF是菱形．‎ ‎【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎30．（2018•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．‎ ‎【分析】（1）连接PB，由点B在线段PQ的垂直平分线上，推出BP=BQ，由此构建方程即可解决问题；‎ ‎（2）分两种情形分别构建方程求解即可；‎ ‎（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．S根据=S△QNC+S△PCQ=•CN•QF+•PC•QE，计算即可；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，连接BP．‎ 在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，‎ ‎∴AB=4‎ ‎∵点B在线段PQ的垂直平分线上，‎ ‎∴BP=BQ，‎ ‎∵AQ=t，CP=t，‎ ‎∴BQ=4﹣t，PB2=42+t2，‎ ‎∴（4﹣t）2=16+t2，‎ 解得t=8﹣4或8+4（舍弃），‎ ‎∴t=（8﹣4）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．‎ ‎（2）①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．‎ 则有PA=AQ，‎ ‎∴4﹣t=•t，‎ 解得t=．‎ ‎②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．‎ 则有：AQ=AP，‎ ‎∴t=（4﹣t），‎ 解得t=2，‎ 综上所述：t=s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．‎ ‎（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．‎ ‎∵S=S△QNC+S△PCQ=•CN•QF+•PC•QE=t（QE+QF）=2t（0＜t＜4）．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎31．（2018•青岛）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．‎ 根据题意解答下列问题：‎ ‎（1）用含t的代数式表示AP；‎ ‎（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）当QP⊥BD时，求t的值；‎ ‎（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题；‎ ‎（2）作PN⊥AB于N．连接PB，根据S=S△PQB+S△BCP，计算即可；‎ ‎（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，∠QPN+∠PQN=90°，推出∠QPN=∠DBA，推出tan∠QPN==，由此构建方程即可解解题问题；‎ ‎（4）存在．连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，推出KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2，解得x=，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，推出EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，推出BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，由KH∥EF，可得=，由此构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，‎ ‎∴CD=BH=8，DH=BC=6，‎ ‎∴AH=AB﹣BH=8，AD==10，BD==10，‎ 由题意AP=AD﹣DP=10﹣2t．‎ ‎（2）作PN⊥AB于N．连接PB．在Rt△APN中，PA=10﹣2t，‎ ‎∴PN=PA•sin∠DAH=（10﹣2t），AN=PA•cos∠DAH=（10﹣2t），‎ ‎∴BN=16﹣AN=16﹣（10﹣2t），‎ S=S△PQB+S△BCP=•（16﹣2t）•（10﹣2t）+×6×[16﹣（10﹣2t）]=t2﹣12t+78‎ ‎（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，‎ ‎∵∠QPN+∠PQN=90°，‎ ‎∴∠QPN=∠DBA，‎ ‎∴tan∠QPN==，‎ ‎∴=，‎ 解得t=，‎ 经检验：t=是分式方程的解，‎ ‎∴当t=s时，PQ⊥BD．‎ ‎（4）存在．‎ 理由：连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．‎ 当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，‎ ‎∴KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，‎ 在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2，‎ 解得x=，‎ 作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，‎ ‎∴EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，‎ ‎∴BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，‎ ‎∵KH∥EF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：t=，‎ 经检验：t=是分式方程的解，‎ ‎∴当t=s时，点E在∠ABD的平分线．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题，解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎32．（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．‎ ‎（1）求∠A+∠C的度数；‎ ‎（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．‎ ‎【分析】（1）利用四边形内角和定理计算即可；‎ ‎（2）连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．想办法证明△DCQ是直角三角形即可解决问题；‎ ‎（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．想办法证明∠BEC=150°即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ 在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D=180°，∠B=60°，∠C=30°，‎ ‎∴∠A+∠C=360°﹣60°﹣30°=270°．‎ ‎（2）如图2中，结论：DB2=DA2+DC2．‎ 理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．‎ ‎∵∠ABC=∠DBQ=60°，‎ ‎∴∠ABD=∠CBQ，‎ ‎∵AB=BC，DB=BQ，‎ ‎∴△ABD≌△CBQ，‎ ‎∴AD=CQ，∠A=∠BCQ，‎ ‎∵∠A+∠BCD=∠BCQ+∠BCD=270°，‎ ‎∴∠BCQ=90°，‎ ‎∴DQ2=DC2+CQ2，‎ ‎∵CQ=DA，DQ=DB，‎ ‎∴DB2=DA2+DC2．‎ ‎（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．‎ 则△AER是等边三角形，∵EA2=EB2+EC2，EA=RE，EC=RB，‎ ‎∴RE2=RB2+EB2，‎ ‎∴∠EBR=90°，‎ ‎∴∠RAE+∠RBE=150°，‎ ‎∴∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°，‎ ‎∴∠BEC=150°，‎ ‎∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，‎ ‎∵∠K+∠BEC=180°，‎ ‎∴∠K=30°，∠BOC=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴点E的运动路径==．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎33．（2018•潍坊）如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．‎ ‎（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．‎ ‎①求四边形BHMM′的面积；‎ ‎②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．‎ ‎（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．‎ ‎【分析】（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；‎ ‎②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可；‎ ‎（2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．‎ ‎【解答】解：（1）①在▱ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，‎ ‎∴DE=FH=3，‎ 又BF：FA=1：5，‎ ‎∴AH=2，‎ ‎∵Rt△AHD∽Rt△MHF，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴HM=1.5，‎ 根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，‎ 四边形BHMM′的面积=；‎ ‎②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，‎ ‎∵直线EF垂直平分CD，‎ ‎∴CN=DN，‎ ‎∵MH=1.5，‎ ‎∴DM=2.5，‎ 在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，‎ ‎∴MC2=62+（2.5）2，‎ 即MC=6.5，‎ ‎∵MN+DN=MN+CN=MC，‎ ‎∴△DNM周长的最小值为9．‎ ‎（2）∵BF∥CE，‎ ‎∴，‎ ‎∴QF=2，‎ ‎∴PK=PK'=6，‎ 过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，‎ 当点P在线段CE上时，‎ 在Rt△PK'E'中，‎ PE'2=PK'2﹣E'K'2，‎ ‎∴，‎ ‎∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得：，‎ ‎∴PE=PE'﹣EE'=，‎ ‎∴，‎ 同理可得，当点P在线段DE上时，，如图4，‎ 综上所述，CP的长为或．‎ ‎【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析．‎ ‎　‎ ‎34．（2018•枣庄）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．‎ ‎（1）求证：四边形EFDG是菱形；‎ ‎（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．‎ ‎【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；‎ ‎（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；‎ ‎（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH 的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，‎ ‎∴∠EGF=∠DFG．‎ ‎∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，‎ ‎∴∠DGF=∠DFG．‎ ‎∴GD=DF．‎ ‎∴DG=GE=DF=EF．‎ ‎∴四边形EFDG为菱形．‎ ‎（2）EG2=GF•AF．‎ 理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．‎ ‎∵四边形EFDG为菱形，‎ ‎∴GF⊥DE，OG=OF=GF．‎ ‎∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，‎ ‎∴△DOF∽△ADF．‎ ‎∴，即DF2=FO•AF．‎ ‎∵FO=GF，DF=EG，‎ ‎∴EG2=GF•AF．‎ ‎（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．‎ ‎∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，‎ ‎∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．‎ 解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．‎ ‎∵DF=GE=2，AF=10，‎ ‎∴AD==4．‎ ‎∵GH⊥DC，AD⊥DC，‎ ‎∴GH∥AD．‎ ‎∴△FGH∽△FAD．‎ ‎∴，即=．‎ ‎∴GH=．‎ ‎∴BE=AD﹣GH=4﹣=．‎ ‎【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．‎ ‎　‎ ‎35．（2018•金华）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．‎ ‎（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．‎ ‎①若点G为DE中点，求FG的长．‎ ‎②若DG=GF，求BC的长．‎ ‎（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．‎ ‎【分析】（1）①只要证明△ACF∽△GEF，推出=，即可解决问题；②如图1中，想办法证明∠1=∠2=30°即可解决问题；‎ ‎（2）分四种情形：①如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，②如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，‎ ‎③如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，分别求解即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6，‎ 中Rt△AEG中，AG==6，‎ ‎∵EG∥AC，‎ ‎∴△ACF∽△GEF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴FG=AG=2．‎ ‎②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，‎ ‎∵EF=EF，‎ ‎∴△AEF≌△DEF，‎ ‎∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴∠B=∠1=x，‎ ‎∵GF=GD，‎ ‎∴∠3=∠2=x，‎ 在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，‎ ‎∴x+（x+90°）+x=180°，‎ 解得x=30°，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∴在Rt△ABC中，BC==12．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AB===15，‎ 如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，‎ ‎∵DG∥AC，‎ ‎∴△BDG∽△BCA，‎ 设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，‎ ‎∴GF=GD=4x，则AF=15﹣9x，‎ ‎∵AE∥CB，‎ ‎∴△AEF∽△BCF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 整理得：x2﹣6x+5=0，‎ 解得x=1或5（舍弃）‎ ‎∴腰长GD为=4x=4．‎ 如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，‎ ‎∴FG=DG=12+4x，‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△BCF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得x=2或﹣2（舍弃），‎ ‎∴腰长DG=4x+12=20．‎ 如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．‎ 设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，‎ ‎∴FH=GH=DG•cos∠DGB=（4x+12）×=，‎ ‎∴GF=2GH=，‎ ‎∴AF=GF﹣AG=，‎ ‎∵AC∥DG，‎ ‎∴△ACF∽△GEF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得x=或﹣（舍弃），‎ ‎∴腰长GD=4x+12=，‎ 如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．‎ 设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x﹣12，‎ ‎∴FH=GH=DG•cos∠DGB=，‎ ‎∴FG=2FH=，‎ ‎∴AF=AG﹣FG=，‎ ‎∵AC∥EG，‎ ‎∴△ACF∽△GEF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得x=或﹣（舍弃），‎ ‎∴腰长DG=4x﹣12=，‎ 综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎36．（2018•永州）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．‎ ‎（1）求正方形DFGI的边长；‎ ‎（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？‎ ‎（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．‎ ‎【分析】（1）由HI∥AD，得到=，求出AD即可解决问题；‎ ‎（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；‎ ‎（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．想办法证明MN=MI′+NF′，即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ ‎∵HI∥AD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD=6，‎ ‎∴ID=CD﹣CI=2，‎ ‎∴正方形的边长为2．‎ ‎（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．‎ ‎∵CA=CP，CD⊥PA，‎ ‎∴∠ACD=∠PCD，∠A=∠P，‎ ‎∵HG′∥PA，‎ ‎∴∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P，‎ ‎∴∠CHG′=∠CG′H，‎ ‎∴CH=CG′，‎ ‎∴IH=IG′=DF′=3，‎ ‎∵IG∥DB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DB=3，‎ ‎∴DB=DF′=3，‎ ‎∴点B与点F′重合，‎ ‎∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′，‎ ‎∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．‎ ‎（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．‎ ‎∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°，‎ ‎∵DN=DN，DM=DR，‎ ‎∴△NDM≌△NDR，‎ ‎∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，‎ ‎∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎37．（2018•绍兴）小敏思考解决如下问题：‎ 原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．‎ ‎（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明．‎ ‎（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．‎ ‎（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．‎ ‎【分析】（1）根据菱形的性质、结合已知得到AF⊥CD，证明△AEB≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；‎ ‎（2）由（1）的结论得到∠EAP=∠FAQ，证明△AEP≌△AFQ，根据全等三角形的性质证明；‎ ‎（3）根据菱形的面积公式、结合（2）的结论解答．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，‎ ‎∵∠EAF=∠B，‎ ‎∴∠EAF+∠C=180°，‎ ‎∴∠AEC+∠AFC=180°，‎ ‎∵AE⊥BC，‎ ‎∴AF⊥CD，‎ 在△AEB和△AFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEB≌△AFD，‎ ‎∴AE=AF；‎ ‎（2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，‎ ‎∴∠EAP=∠FAQ，‎ 在△AEP和△AFQ中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEP≌△AFQ，‎ ‎∴AP=AQ；‎ ‎（3）解：已知：AB=4，∠B=60°，‎ 求四边形APCQ的面积，‎ 解：连接AC、BD交于O，‎ ‎∵∠ABC=60°，BA=BC，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∵AE⊥BC，‎ ‎∴BE=EC，‎ 同理，CF=FD，‎ ‎∴四边形AECF的面积=×四边形ABCD的面积，‎ 由（2）得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积，‎ OA=AB=2，OB=AB=2，‎ ‎∴四边形ABCD的面积=×2×2×4=8，‎ ‎∴四边形APCQ的面积=4．‎ ‎【点评】本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎38．（2018•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．‎ ‎（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE 的长．‎ ‎（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．‎ ‎（4）如图2，当△ECD的面积S1=时，求AE的长．‎ ‎【分析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS即可证明；‎ ‎（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，由S四边形ABCF=，推出S△ABE=，再利用三角形的面积公式求出AE即可；‎ ‎（3）结论：S2﹣S1=．利用全等三角形的性质即可证明；‎ ‎（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，推出CD=x﹣，由CD∥AB，可得=，即=，求出x即可；‎ ‎【解答】解：（1）结论：△ABE≌△CBF．‎ 理由：如图1中，‎ ‎∴∵△ABC，△BEF都是等边三角形，‎ ‎∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，‎ ‎∴∠ABE=∠CBF，‎ ‎∴△ABE≌△CBF．‎ ‎（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，‎ ‎∴S△ABE=S△BCF，‎ ‎∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，‎ ‎∵S四边形ABCF=，‎ ‎∴S△ABE=，‎ ‎∴•AE•AB•siin60°=，‎ ‎∴AE=．‎ ‎（3）结论：S2﹣S1=．‎ 理由：如图2中，‎ ‎∵∵△ABC，△BEF都是等边三角形，‎ ‎∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，‎ ‎∴∠ABE=∠CBF，‎ ‎∴△ABE≌△CBF，‎ ‎∴S△ABE=S△BCF，‎ ‎∵S△BCF﹣S△BCE=S2﹣S1，‎ ‎∴S2﹣S1=S△ABE﹣S△BCE=S△ABC=．‎ ‎（4）由（3）可知：S△BDF﹣S△ECD=，∵S△ECD=，‎ ‎∴S△BDF=，‎ ‎∵△ABE≌△CBF，‎ ‎∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，‎ ‎∴∠ABC=∠DCB，‎ ‎∴CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，‎ ‎∴CD=x﹣，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴=，即=，‎ 化简得：3x2﹣x﹣2=0，‎ 解得x=1或﹣（舍弃），‎ ‎∴CE=1，AE=3．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎39．（2018•荆州）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．‎ ‎（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；‎ ‎（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；‎ ‎（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，‎ CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长．‎ ‎【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因为∠EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；‎ ‎（2）结论不变，证明方法类似；‎ ‎（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；‎ ‎【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．‎ 理由：如图1中，延长EM交AD于H．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，‎ ‎∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，‎ ‎∴AD∥EF，‎ ‎∴∠MAH=∠MFE，‎ ‎∵AM=MF，∠AMH=∠FME，‎ ‎∴△AMH≌△FME，‎ ‎∴MH=ME，AH=EF=EC，‎ ‎∴DH=DE，‎ ‎∵∠EDH=90°，‎ ‎∴DM⊥EM，DM=ME．‎ ‎（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM=EM．‎ 理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，‎ ‎∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，‎ ‎∴AD∥EF，‎ ‎∴∠MAH=∠MFE，‎ ‎∵AM=MF，∠AMH=∠FME，‎ ‎∴△AMH≌△FME，‎ ‎∴MH=ME，AH=EF=EC，‎ ‎∴DH=DE，‎ ‎∵∠EDH=90°，‎ ‎∴DM⊥EM，DM=ME．‎ ‎（3）如图3中，作MR⊥DE于R．‎ 在Rt△CDE中，DE==12，‎ ‎∵DM=NE，DM⊥ME，‎ ‎∴MR=⊥DE，MR=DE=6，DR=RE=6，‎ 在Rt△FMR中，FM===‎ 如图4中，作MR⊥DE于R．‎ 在Rt△MRF中，FM==，‎ 故满足条件的MF的值为或．‎ ‎【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎40．（2018•成都）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．‎ ‎（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；‎ ‎（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；‎ ‎（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q 的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC=，依据∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB==，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；‎ ‎（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB=BC=，依据tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，进而得出PQ=PB+BQ=；‎ ‎（3）依据S四边形PA'B′Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ﹣，即可得到S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用几何法或代数法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3﹣．‎ ‎【解答】解：（1）由旋转可得：AC=A'C=2，‎ ‎∵∠ACB=90°，AB=，AC=2，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∵∠ACB=90°，m∥AC，‎ ‎∴∠A'BC=90°，‎ ‎∴cos∠A'CB==，‎ ‎∴∠A'CB=30°，‎ ‎∴∠ACA'=60°；‎ ‎（2）∵M为A'B'的中点，‎ ‎∴∠A'CM=∠MA'C，‎ 由旋转可得，∠MA'C=∠A，‎ ‎∴∠A=∠A'CM，‎ ‎∴tan∠PCB=tan∠A=，‎ ‎∴PB=BC=，‎ ‎∵tan∠Q=tan∠A=，‎ ‎∴BQ=BC×=2，‎ ‎∴PQ=PB+BQ=；‎ ‎（3）∵S四边形PA'B′Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ﹣，‎ ‎∴S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，‎ ‎∴S△PCQ=PQ×BC=PQ，‎ 法一：（几何法）取PQ的中点G，则∠PCQ=90°，‎ ‎∴CG=PQ，即PQ=2CG，‎ 当CG最小时，PQ最小，‎ ‎∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，‎ ‎∴CGmin=，PQmin=2，‎ ‎∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3﹣；‎ 法二（代数法）设PB=x，BQ=y，‎ 由射影定理得：xy=3，‎ ‎∴当PQ最小时，x+y最小，‎ ‎∴（x+y）2=x2+2xy+y2=x2+6+y2≥2xy+6=12，‎ 当x=y=时，“=”成立，‎ ‎∴PQ=+=2，‎ ‎∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3﹣．‎ ‎【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．‎ ‎　‎ ‎41．（2018•天津）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．‎ ‎①求证△ADB≌△AOB；‎ ‎②求点H的坐标．‎ ‎（Ⅲ）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；‎ ‎（Ⅱ）①根据HL证明即可；‎ ‎②，设AH=BH=m，则HC=BC﹣BH=5﹣m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；‎ ‎（Ⅲ）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图①中，‎ ‎∵A（5，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=5，OB=3，‎ ‎∵四边形AOBC是矩形，‎ ‎∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，‎ ‎∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，‎ ‎∴AD=AO=5，‎ 在Rt△ADC中，CD==4，‎ ‎∴BD=BC﹣CD=1，‎ ‎∴D（1，3）．‎ ‎（Ⅱ）①如图②中，‎ 由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，‎ ‎∵点D在线段BE上，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 由（Ⅰ）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，‎ ‎∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．‎ ‎②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，‎ 又在矩形AOBC中，OA∥BC，‎ ‎∴∠CBA=∠OAB，‎ ‎∴∠BAD=∠CBA，‎ ‎∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC﹣BH=5﹣m，‎ 在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，‎ ‎∴m2=32+（5﹣m）2，‎ ‎∴m=，‎ ‎∴BH=，‎ ‎∴H（，3）．‎ ‎（Ⅲ）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=•DE•DK=×3×（5﹣）=，‎ 当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=×D′E′×KD′=×3×（5+）=．‎ 综上所述，≤S≤．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎42．（2018•江西）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．‎ ‎（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　BP=CE　，CE与AD的位置关系是　AD⊥CE　；‎ ‎（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1‎ ‎）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；‎ ‎（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积．‎ ‎【分析】（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；‎ ‎（2）结论仍然成立．证明方法类似；‎ ‎（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．‎ 理由：连接AC．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵△APE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，‎ ‎∴△BAP≌△CAE，‎ ‎∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，‎ 延长CE交AD于H，‎ ‎∵∠CAH=60°，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．‎ 故答案为PB=EC，CE⊥AD．‎ ‎（2）结论仍然成立．‎ 理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵△APE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，‎ ‎∴△BAP≌△CAE，‎ ‎∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，‎ ‎∵∠CAH=60°，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．‎ 选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵△APE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，‎ ‎∴△BAP≌△CAE，‎ ‎∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，‎ ‎∵∠CAH=60°，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．‎ ‎（3）∴△BAP≌△CAE，‎ 由（2）可知EC⊥AD，CE=BP，‎ 在菱形ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴EC⊥BC，‎ ‎∵BC=AB=2，BE=2，‎ 在Rt△BCE中，EC==8，‎ ‎∴BP=CE=8，‎ ‎∵AC与BD是菱形的对角线，‎ ‎∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD，‎ ‎∴BD=2BO=2AB•cos30°=6，‎ ‎∴OA=AB=，DP=BP﹣BD=8﹣6=2，‎ ‎∴OP=OD+DP=5，‎ 在Rt△AOP中，AP==2，‎ ‎∴S四边形ADPE=S△ADP+S△AEP=×2×+×（2）2=8．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎43．（2018•宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x．‎ ‎（1）当AM=时，求x的值；‎ ‎（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；‎ ‎（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用勾股定理构建方程，即可解决问题；‎ ‎（2）设AM=y，则BE=EM=x，MD=1﹣y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长；‎ ‎（3）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交FN于O，交FH于K．根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可；‎ ‎【解答】解：（1）如图，在Rt△AEM中，AE=1﹣x，EM=BE=x，AM=，‎ ‎∵AE2+AM2=EM2，‎ ‎∴（1﹣x）2+（）2=x2，‎ ‎∴x=．‎ ‎（2）△PDM的周长不变，为2．‎ 理由：设AM=y，则BE=EM=x，MD=1﹣y，‎ 在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2+AM2=EM2，‎ ‎（1﹣x）2+y2=x2，解得1+y2=2x，‎ ‎∴1﹣y2=2（1﹣x）‎ ‎∵∠EMP=90°，∠A=∠D，‎ ‎∴Rt△AEM∽Rt△DMP，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得DM+MP+DP==2．‎ ‎∴△DMP的周长为2．‎ ‎（3）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交FN于O，交FH于K．‎ 在Rt△AEM中，AM==，‎ ‎∵B、M关于EF对称，‎ ‎∴BM⊥EF，‎ ‎∴∠KOF=∠KHB，∵∠OKF=∠BKH，‎ ‎∴∠KFO=∠KBH，‎ ‎∵AB=BC=FH，∠A=∠FHE=90°，‎ ‎∴△ABM≌△HFE，‎ ‎∴EH=AM=，‎ ‎∴CF=BH=x﹣，‎ ‎∴S=（BE+CF）•BC=（x+x﹣）=[（）2﹣+1]=（﹣）2+．‎ 当=时，S有最小值=．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎