北京中考数学代数综合的命题形式学生 9页

2013 北京中考数学代数综合的命题形式 题型一：以方程为主导的命题 本题型主要是以一元二次方程为主导，考查一元二次方程的解法、根的判别式、不等 式的解法等知识，含有字母系数的方程的解法与根的判别式是考查的重点。 例 1：（2013 东城一模 23） 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0． （1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根 ； （2）当 m 为何整数时，原方程的根也是整数． 例 2（2013 平谷一模 23）已知关于 m 的一元二次方程 =0. （ 1）判定方程根的情况； （2）设 m 为整数，方程的两个根都大于 且小于 ，当方程的两个根均为有理数时，求 m 的值． 题型二：以函数为主导的命题 本题型以函数为背景，在考查函数基本性质的基础上更加注重考 22 1x mx+ − 1− 3 2 查学生的综合能力，具体考查点：1）待定系数法；2）函数图像与坐 标轴的交点处理（方程思想）；3）函数图像之间的交点处理（方程思 想）；4）点与函数图像的关系；5）函数图像的变换（平移、对称、 旋转）；6）比较大小（不等关系）。 例 3（2013 海淀一模 23）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于 、 两点，点 的坐 标为 ． （1）求 点坐标； （2）直线 经过点 . ①求直线和抛物线的解析式； ②点 在抛物线上，过点 作 轴的垂线 ，垂足为 ．将抛物线在直线 上方的部分沿直线 翻折，图象 的其余部分保持不变，得到一个新图象 ．请结合图象回答：当图象 与直线 只有两个公共点时， 的取值范围是 ． 例 4 （ 2013 朝 阳 一 模 23 ） 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 ； 另 一 个 二 次 函 数 的图象与 x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且 m 是小于 5 的整数． 求（1）n 的值； （2）二次函数 的图象与 x 轴交点的坐标． 2 2y mx mx n= − + A B A ( 2,0)− B y = 1 2 x + 4m+ n B P P y l (0, )D d l l G G y = 1 2 x + 4m+ n d 2 1 3 4y x x n= + + − 2 2 2 2( 1) 4 6y nx m x m m= − − + − + 2 2 2 2( 1) 4 6y nx m x m m= − − + − + 例 5（2013 丰台一模 23）二次函数 的图象如图所示，其顶点坐标为 M(1,-4)． （1） 求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合 新图象回答：当直线 与这个新图象有两个公共点时，求 的取值范围． 例 6（2013 燕山一模 23）己知二次函数 (t >1)的图象为抛物线 ． ⑴求证：无论 t 取何值，抛物线 与 轴总有两个交点； ⑵已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧)，将抛物线 作适当的平移，得抛物线 ： ，平移后 A、B 的对应点分别为 D(m，n)，E(m＋2，n)，求 n 的 值． 2y x bx c= + + x x y x n= + n )12(22 1 −+−= ttxxy 1C 1C x 1C 1C 2C 2 2 )( txy −= O x y 32 -1 1 2 1 -1 ⑶在⑵的条件下，将抛物线 位于直线 DE 下方的部分沿直线 DE 向上翻折后，连同 在 DE 上方的部分组成一 个新图形，记为图形 ，若直线 (b<3)与图形 有且只有两个公共点，请结合图象求 的取值范围． 例 7（2013 海淀二模 23）已知：抛物线 过点 ． （1）求抛物线 的解析式； （2）将抛物线 在直线 下方的部分沿直线 翻折， 图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记 为 ．点 在图象 上， 且 ． ①求 的取值范围； ②若点 也在图象 上，且满足 恒成立，则 的取值范围为 ． 例 8（2013 大兴二模 23）已知：如图，抛物线 L1：y=x2﹣4x+3 与 x 轴交于 A．B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴 交于点 C． （1）直接写出点 A 和抛物线 L1 的顶点坐标； （2）研究二次函数 L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）． ①写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质； ②若直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否会因 k 值的变化而发生变化？如果不会，请 求出 EF 的长度；如果会，请说明理由． 2 ( 2) 2y ax a x= + − − (3,4)A 2 ( 2) 2y ax a x= + − − 1y = − 1y = − G ( )1,M m y G 1 0y ≤ m ( )2,N m k y+ G 2 4y ≥ k 2C 2C G bxy +−= 2 1 G b 例 9（2013 怀柔二模 23）已知二次函数 的图象 C1 与 x 轴有且只有一个公共点. （1）求 C1 的顶点坐标； （2）将 C1 向下平移若干个单位后，得抛物线 C2，如果 C2 与 x 轴的一个交点为 A（—3，0），求 C2 的函数关系式， 并求 C2 与 x 轴的另一个交点坐标； （3）若 直接写出实数 n 的取值范围. 题型三：以方程~函数综合为主导的命题 本题型以方程、函数为载体，考查方程函数的综合思想。考查热 点：1）含有字母系数的方程或函数的属性；（分类讨论）2）函数图 像与坐标轴的交点问题；（方程思想）3）待定系数法；4)点与函数 图像的关系；5)函数图像的变换（平移、对称、旋转）6)代数式化简 求值； 例 10（SYYM23）.已知关于 的方程 （1）求证：无论 取任何实数时，方程恒有实数根. （2）若关于 的二次函数 的图象与 轴两个交点的横坐标均为正整数，且 为整数， 求抛物线的解析式. mxxy ++= 22 .,),2(),,( 21121 yyCyQynP >且上的两点是 x 2 (3 2) 2 2 0mx m x m− + + + = m x 2 (3 2) 2 2y mx m x m= − + + + x m 例 11（2013 西城一模 23）已知关于 的一元二次方程 ． (1) 求证：无论 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 抛物线 与 轴的一个交点的横坐标为 ，其中 ，将抛物线 向右平移 个单 位，再向上平移 个单位，得到抛物线 ．求抛物 线 的解析式； (3) 点 A(m,n)和 B(n,m)都在(2)中抛物线 C 2 上，且 A、B 两点不重合，求代数式 的值． 例 12（2013 门头沟一模 23）已知关于 x 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取任何实数，方程都有两个实数根； （2） 当 时，关于 x 的二次函数 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的 左侧），与 y 轴交于点 C，且 2AB=3OC，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，过点 C 作直线 ∥x 轴，将二次函数图象在 y 轴左侧的部分沿直线 翻折，二次函数图象 的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为 G．请你结合图象回答：当直线 与图象 G 只有一 个公共点时，b 的取值范围． 例 13(2013 怀柔一模 23)已知关于 x 的方程 ． x 22 ( 4) 0x a x a+ + + = a 2 1 : 2 ( 4)C y x a x a= + + + x 2 a 0a ≠ 1C 1 4 1 8 2C 2C 3 32 2 2m mn n− + 21 ( 2 ) 2 6 02 x m x m+ − + − = m < 3m 21 ( 2 ) 2 62y x m x m= + − + − l l 1 3y x b= + 03)13(2 =+++ xkkx x y 1 1O （1）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实 数根; （2）若二次函数 的图象与 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数，求 k 值; （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为 M，直线 y=－2x＋9 与 y 轴交于点 C，与直线 OM 交于点 D．现将抛物线 平移，保持顶点在直线 OD 上．若平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或 取值范围. 例 14（2013 东城二模 23）已知：关于 的一元二次方程 （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （2）求证：抛物线 总过 轴上的一个定点； （3）若 是整数，且关于 的一元二次方程 有两个不相等的整数根时，把抛物线 向右平移 3 个单位长度，求平移后的解析式． 例 15（2013 朝阳二模 23）已知关于 x 的一元二次方程 x2(4m)x1m = 0． （1）求证：无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）此方程有一个根是3，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 yx2(4m)x1m 向右平移 3 个单位，得到一个新的抛物线，当直线 yxb 与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求 b 的 值． 3)13(2 +++= xkkxy x x 01)2()1( 2 =−−+− xmxm m 1)2()1( 2 −−+−= xmxmy x m x 01)2()1( 2 =−−+− xmxm 1)2()1( 2 −−+−= xmxmy 例 16（2013 丰台二模 23）已知关于 的方程 . （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）设抛物线 与 轴交于点 M，若抛物线与 x 轴的一个交点关于直线 y=-x 的对称点恰好 是点 M，求 的值. x 2 ( 2) 3 0x m x m− − + − = 2 ( 2) 3y x m x m= − − + − y m y xO 1 （备图）