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- 2021-05-10 发布
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因式分解的常用方法
数学教研组
一、 提公因式法.:a+b+c=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)(a+b)(a-b)= a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
补充两个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
例1.已知是的三边,且,则的形状是( )
A.直角三角形 B等腰三角形
C 等边三角形 D等腰直角三角形
解:
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b
,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:原式=
= 每组之间有公因式!
例2、分解因式:
解法一:
第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解:原式= 原式=
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:原式=
例4、分解因式:
解:原式=
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式—进行分解。
特点:(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:十字相乘有什么基本规律?
例.已知0<≤5,且为整数,
若能用十字相乘法分解因式,求符合条件的.
解析:凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,
都要求 >0 而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数,
例5、分解因式:
分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),
从中可以发现只有2×3的分解适合,
即2+3=5。
1 2
解:= 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
解:原式= 1 -1
= 1 -6
(-1)+(-6)= -7
(二)二次项系数不为1的二次三项式——
条件:(1)
(2)
(3)
分解结果:=
例7、分解因式:
分析: 1 -2
3 -5
(-6)+(-5)= -11
解:=
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
分析:将看成常数,把原多项式看成关于的
二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b) = -8b
解:=
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y) +(-4y) = -7y (-1)+(-2)= -3
解:原式= 解:原式=
五、换元法。
型如的多项式,
分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
例13、因式分解
解:设,则
则原式==
六、多项式除以多项式法
先找这个多项式所对应方程的特殊根,然后利用多项式除以多项式进行因式分解。(过程详细讲解)
例14、分解因式
七、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1)
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式= 原式=
(2)
解:原式=
八、待定系数法。
例16、分解因式
分析:原式的前3项可以分为,
则原多项式必定可分为
解:设=
则=
对比左右两边相同项的系数可得,解得
因此,原式=