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  • 2021-05-10 发布

中考复习专题学案因式分解的常用方法

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因式分解的常用方法 ‎ 数学教研组 ‎ 一、 提公因式法.:a+b+c=m(a+b+c)‎ 二、运用公式法.‎ 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:‎ ‎ (1)(a+b)(a-b)= a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b);‎ ‎ (2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2;‎ ‎ (3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);‎ ‎ (4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).‎ 补充两个常用的公式:‎ ‎(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;‎ ‎(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);‎ 例1.已知是的三边,且,则的形状是( )‎ A.直角三角形 B等腰三角形 ‎ C 等边三角形 D等腰直角三角形 解:‎ 三、分组分解法.‎ ‎(一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:‎ 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b ‎,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。‎ 解:原式=‎ ‎ = 每组之间有公因式! ‎ 例2、分解因式:‎ 解法一:‎ 第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;‎ 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。‎ 解:原式= 原式=‎ ‎(二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式:‎ 分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。‎ ‎ 解:原式= ‎ 例4、分解因式:‎ ‎ 解:原式=‎ 四、十字相乘法.‎ ‎(一)二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式—进行分解。‎ 特点:(1)二次项系数是1;‎ ‎ (2)常数项是两个数的乘积;‎ ‎(3)一次项系数是常数项的两因数的和。‎ 思考:十字相乘有什么基本规律?‎ 例.已知0<≤5,且为整数,‎ 若能用十字相乘法分解因式,求符合条件的.‎ 解析:凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,‎ 都要求 >0 而且是一个完全平方数。‎ 于是为完全平方数,‎ 例5、分解因式:‎ 分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和等于5。‎ ‎ 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),‎ 从中可以发现只有2×3的分解适合,‎ 即2+3=5。 ‎ ‎ 1 2‎ 解:= 1 3 ‎ ‎ = 1×2+1×3=5‎ 用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。‎ 例6、分解因式:‎ 解:原式= 1 -1 ‎ ‎= 1 -6 ‎ ‎(-1)+(-6)= -7‎ ‎(二)二次项系数不为1的二次三项式——‎ 条件:(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎(3) ‎ 分解结果:=‎ 例7、分解因式:‎ 分析: 1 -2‎ ‎ 3 -5 ‎ ‎ (-6)+(-5)= -11‎ 解:=‎ ‎(三)二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式:‎ 分析:将看成常数,把原多项式看成关于的 二次三项式,利用十字相乘法进行分解。‎ ‎ 1 8b ‎ 1 -16b ‎ ‎ 8b+(-16b) = -8b ‎ 解:=‎ ‎(四)二次项系数不为1的齐次多项式 例9、 例10、‎ ‎ 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 ‎ ‎ 2 -3y 1 -2 ‎ ‎ (-3y) +(-4y) = -7y (-1)+(-2)= -3 ‎ 解:原式= 解:原式=‎ 五、换元法。‎ 型如的多项式,‎ 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。‎ ‎ 例13、因式分解 解:设,则 则原式==‎ 六、多项式除以多项式法 先找这个多项式所对应方程的特殊根,然后利用多项式除以多项式进行因式分解。(过程详细讲解)‎ 例14、分解因式 七、添项、拆项、配方法。‎ 例15、分解因式(1) ‎ 解法1——拆项。 解法2——添项。‎ 原式= 原式=‎ ‎(2)‎ 解:原式=‎ 八、待定系数法。‎ 例16、分解因式 分析:原式的前3项可以分为,‎ 则原多项式必定可分为 解:设=‎ 则=‎ 对比左右两边相同项的系数可得,解得 因此,原式=‎