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- 2021-05-10 发布
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中考压轴题(七)
1、如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O 是△EFG斜边上的中点.
如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移,在△EFG 平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交 AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).
(1)当x为何值时,OP∥AC ?
(2)求y与x 之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.
(参考数据:1142 =12996,1152 =13225,1162 =13456
或4.42 =19.36,4.52 =20.25,4.62 =21.16)
2、在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD中,边,边,且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合.将矩形折叠,使点A落在边DC上,设点是点A落在边DC上的对应点.
(图1)
(1)当矩形ABCD沿直线折叠时(如图1),
求点的坐标和b的值;
(2)当矩形ABCD沿直线折叠时,
① 求点的坐标(用k表示);求出k和b之间的关系式;
② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分
为如图2、3、4所示的三种情形,
请你分别写出每种情形时k的取值范围.
(将答案直接填在每种情形下的横线上)
(图4)
(图3)
(图2)
k的取值范围是 ; k的取值范围是 ;k的取值范围是 ;
3、问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:
① 如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON = 60°,则BM = CN.
② 如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON = 90°,则BM = CN.
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
③ 如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON = 108°,则BM = CN.
任务要求
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
① 如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,问当∠BON等于多少度时,结论BM = CN成立?(不要求证明)
② 如图5,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON = 108°时,请问结论BM = CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(1)我选 .
证明:
4、如图,已知,以点为圆心,以长为半径的圆交轴于另一点,过点作交于点,直线交轴于点.
(1)求证:直线是的切线;
(2)求点的坐标及直线的解析式;
(3)有一个半径与的半径相等,且圆心在轴上运动的.若与直线相交于两点,是否存在这样的点,使是直角三角形.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
x
y
A
B
C
O
F
E
5、如图,在平面直角坐标系中,直线分别与轴,轴交于点,点.
(1)以为一边在第一象限内作等边及的外接圆(用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)若与轴的另一个交点为点,求,,,四点的坐标;
(3)求经过,,三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点,使的面积等于的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
中考压轴题(八)
1、已知:抛物线与轴相交于两点,且.
(Ⅰ)若,且为正整数,求抛物线的解析式;
(Ⅱ)若,求的取值范围;
(Ⅲ)试判断是否存在,使经过点和点的圆与轴相切于点,若存在,求出的值;若不存在,试说明理由;
(Ⅳ)若直线过点,与(Ⅰ)中的抛物线相交于两点,且使,求直线的解析式.
2、如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。
(1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;
(2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,△PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标;如果不可能,请说明理由。
A
B
C
N
P
M
O
x
y
x=1
[解]
3、如图,已知抛物线与坐标轴的交点依次是,,.
(1)求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为,抛物线与轴分别交于两点(点在点的左侧),顶点为,四边形的面积为.若点,点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点,点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点与点重合为止.求出四边形的面积与运动时间之间的关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)当为何值时,四边形的面积有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形能否形成矩形?若能,求出此时的值;若不能,请说明理由.
4、如图,在平面直角坐标系中,已知点,,以为边在轴下方作正方形,点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点,连结与相交于点.
(1)求证:;
(2)设直线是的边的垂直平分线,且与相交于点.若是的外心,试求经过三点的抛物线的解析表达式;
A
E
O
D
C
B
G
F
x
y
l
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点,使该点关于直线的对称点在轴上?若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.
5、在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0,),直线l2的函数表达式为,l1与l2相交于点P.⊙C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a.过点C作CM⊥x轴,垂足是点M.
(1) 填空:直线l1的函数表达式是 ,交点P的坐标是 ,∠FPB的度数是 ;
(2) 当⊙C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R,并写出R=时a的值.
(3) 当⊙C和直线l2不相离时,已知⊙C的半径R=,记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点).S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a的值;若不存在,请说明理由.
2
1
3
4
1
2
3
-1
-2
-3
-1
y
x
O
A
B
E
F
P
l1
l2
C
[解]
6、如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且=,求这时点P的坐标。
[解]
7、已知两个关于的二次函数与;当时,;且二次函数的图象的对称轴是直线.
(1)求的值;
(2)求函数的表达式;
(3)在同一直角坐标系内,问函数的图象与的图象是否有交点?请说明理由.
8、南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价为25万元,市场调研表明:当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价万元,每辆汽车的销售利润为万元.(销售利润销售价进货价)
(1)求与的函数关系式;在保证商家不亏本的前提下,写出的取值范围;
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为万元,试写出与之间的函数关系式;
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?
[解]
中考压轴题(九)
1、在矩形中,,,以为坐标原点,所在的直线为轴,建立直角坐标系.然后将矩形绕点逆时针旋转,使点落在轴的点上,则和点依次落在第二象限的点上和轴的点上(如图).
(1)求经过三点的二次函数解析式;
(2)设直线与(1)的二次函数图象相交于另一点,试求四边形的周长.
(3)设为(1)的二次函数图象上的一点,,求点的坐标.
C
B
D
E
F
G
A
[解]
2、如图1,已知中,,.过点作,且,连接交于点.
(1)求的长;
(2)以点为圆心,为半径作,试判断与是否相切,并说明理由;
(3)如图2,过点作,垂足为.以点为圆心,为半径作;以点为圆心,为半径作.若和的大小是可变化的,并且在变化过程中保持和相切,且使点在的内部,点在的外部,求和的变化范围.
A
B
C
P
E
E
A
B
C
P
D
图1
图2
3、设边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d.
(1)如图①,当r<a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
d、a、r之间关系
图①
公共点的个数
d>a+r
d=a+r
a-r<d<a+r
d=a-r
d<a-r
所以,当r<a时,⊙O与正方形的公共点的个数可能有 个;
(2)如图②,当r=a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
d、a、r之间关系
图②
公共点的个数
d>a+r
d=a+r
a≤d<a+r
d<a
所以,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有 个;
图③
(3)如图③,当⊙O与正方形有5个公共点时,试说明r=a;
(4)就r>a的情形,请你仿照“当……时,⊙O与正方形的公共点个数可能有
个”的形式,至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论.
4、半径为2.5的⊙O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P.已知BC :CA=4 : 3,点P在上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点O
(1)当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长;
(2)当点P运动到的中点时,求CQ的长;
(3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?求此时CQ的长.
5、如图,直线与轴,轴分别相交于点,点,经过两点的抛物线与轴的另一交点为,顶点为,且对称轴是直线.
(1)求点的坐标;
(2)求该抛物线的函数表达式;
(3)连结.请问在轴上是否存在点,使得以点为顶点的三角形与相似,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
[解]
6、王师傅有两块板材边角料,其中一块是边长为60的正方形板子;另一块是上底为30,下底为120,高为60的直角梯形板子(如图①),王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。他将两块板子叠放在一起,使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合,两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域(如图②),由于受材料纹理的限制,要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
(1)求FC的长;
(2)利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离为多少时,矩形的面积最大?最大面积时多少?
(3)若想使裁出的矩形为正方形,试求出面积最大的正方形的边长。
7、已知抛物线与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式并且线段CM的长为
(1)求抛物线的解析式。
(2)设抛物线与x轴有两个交点A(X1 ,0)、B(X2 ,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长。
(3)若以AB为直径作⊙N,请你判断直线CM与⊙N的位置关系,并说明理由。
中考压轴题(十)
1、如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形(如图2所示).将纸片沿直线(AB)方向平移(点始终在同一直线上),当点于点B重合时,停止平移.在平移过程中,与交于点E,与分别交于点F、P.
(1)当平移到如图3所示的位置时,猜想图中的与的数量关系,并证明你的猜想;
(2)设平移距离为,与重叠部分面积为,请写出与的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的的值;使得重叠部分的面积等于原面积的?若不存在,请说明理由.
图1
图3
图2
2、如图,足球场上守门员在处开出一高球,球从离地面1米的处飞出(在轴上),运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.
(2)足球第一次落地点距守门员多少米?(取)
(3)运动员乙要抢到第二个落点,他应再向前跑多少米?(取)
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3、如图,已知抛物线l1:y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.
(1) 求l2的解析式;
(2) 求证:点D一定在l2上;
(3) □ABCD能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由. 注:计算结果不取近似值
.
4、如图,点在轴上,交轴于两点,连结并延长交于,过点的直线交轴于,且的半径为,.
(1)求点的坐标;
(2)求证:是的切线;
(3)若二次函数的图象经过点,求这个二次函数的解析式,并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围.
[解]
D
A
C
PC
BC
OC