中考数学动点问题专题讲解90525 48页

中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上 运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动 观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年 来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我 们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种 函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化 关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例 1(2000 年·上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA, 垂足为 H,△OPH 的重心为 G. (1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线 段,并求出相应的长度. (2)设 PH ,GP ,求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长. 解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH 中, 有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= OP=2. (2) 在 Rt △ POH 中 , , ∴ . 在 Rt△MPH 中, . x= y= y x x 3 2 2 1 3 2 ⋅ 222 36 xPHOPOH −=−= 2362 1 2 1 xOHMH −== 22222 3362 1 4 19 xxxMHPHMP +=−+=+= HM N G P O A B 图 1 x y ∴ =GP= MP= (0< <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时, . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 或 2. 二、应用比例式建立函数解析式 例 2（2006 年·山东）如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= CE= . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 与 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为 ,∠DAE 的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 与 之间的函 数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴ , ∴ , ∴ . (2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= ,且 函数关系式成立, ∴ = , 整理得 . 当 时,函数解析式 成立. 例 3(2005 年 · 上 海 ) 如 图 3(1), 在 △ ABC 中 , ∠ ABC=90 °,AB=4,BC=3. 点 O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E.作 EP⊥ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F. (1)求证: △ADE∽△AEP. (2)设 OA= ,AP= ,求 关于 的函数解析式,并写出它的定 义域. (3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长. 解:(1)连结 OD. y 3 2 23363 1 x+ x xx =+ 23363 1 6=x 6=x 23363 1 2 =+ x 0=x 0=x 2=x 6 ,x y y x α β α β y x AC BD CE AB = 1 1 x y = xy 1= αβ − 290 α−° 290 α−° αβ − =− 2 αβ °90 =− 2 αβ °90 xy 1= x y y x A ED CB 图 2 ● P D E AC B 3(2) O F O ● F P D E AC B 3(1) 根据题意,得 OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴ , , ∴OD= ,AD= . ∴AE= = . ∵△ADE∽△AEP, ∴ , ∴ . ∴ ( ). (3)当 BF=1 时， ①若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F,如图 3(1)，则 CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5- =4,得 .可求得 ,即 AP=2. ②若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2), 则 CF=2. 类似①,可得 CF=CE. ∴5- =2,得 . 可求得 ,即 AP=6. 综上所述, 当 BF=1 时,线段 AP 的长为 2 或 6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 4（2004 年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= ,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边 上运动(与点 B、C 不重合),设 BO= ,△AOC 的面积为 . (1)求 关于 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H. ∵∠BAC=90°,AB=AC= , ∴BC=4,AH= BC=2. ∴OC=4- . ∵ , ∴ ( ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时, 在 Rt△AOH 中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 . 此时,△AOC 的面积 = . ②当⊙O 与⊙A 内切时, 在 Rt△AOH 中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 . 53 xOD = 54 xAD = x5 3 x5 4 xx 5 3+ x5 8 AE AD AP AE = x x y x 5 8 5 4 5 8 = xy 5 16= 8 250 ≤< x x5 8 8 5=x 2=y x5 8 8 15=x 6=y 22 x y y x 22 2 1 x AHOCS AOC ⋅=∆ 2 1 4+−= xy 40 << x 1+x x−2 222 )2(2)1( xx −+=+ 6 7=x y 6 17 6 74 =− 1−x 2−x 222 )2(2)1( −+=− xx 2 7=x A B CO 图 8 H F A B C E D 此时,△AOC 的面积 = . 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为 或 . 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是 中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯 形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键 给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09 年徐汇区）如图， 中， ， ，点 在边 上，且 ， 以点 为顶点作 ，分别交边 于点 ，交射线 于点 ． （1）当 时，求 的长； （2）当以点 为圆心 长为半径的⊙ 和以点 为圆心 长为半径的⊙ 相切时， 求 的长； （3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时，求 的长． [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的 一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小 题,当 E 点在 AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相 切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位 置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度 测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利 用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法] 1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r 建立方程． 2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用 d=R±r( )建立方程． 3．解题的关键是用含 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] 解：（1） 证明 ∽ ∴ ，代入数据得 ，∴AF=2 （2）　设 BE= ,则 利用（1）的方法 ， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切， ， ； 内切， ， ． ∴当⊙ 和⊙ 相切时， 的长为 或 ． （3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时， ． y 2 1 2 74 =− 6 17 2 1 ABC∆ 10== ACAB 12=BC D BC 4=BD D BEDF ∠=∠ AB E CA F 6=AE AF C CF C A AE A BE AC O DE BE rR > x CDF∆ EBD∆ BE CD BD CF = 8=CF x ,10== ACd ,10 xAE −= xCF 32= xx 321010 +−= 24=x xx 321010 −−= 17210 ±=x 100 << x C A BE 24 17210 − AC O DE 3 20=BE A B C DE O l A′ A B C DE O l F 类题 ⑴一个动点：09 杨浦 25 题（四月、五月）、09 静安 25 题、 ⑵两个动点：09 闸北 25 题、09 松江 25 题、09 卢湾 25 题、09 青浦 25 题． （二）线动问题 在矩形 ABCD 中，AB＝3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直 线 l 过点 B，把△ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A＇重合，求 BC 的长； (2)若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AO＝ AC，设 AD 的长为 ，五边 形 BCDEF 的面积为 S.①求 S 关于 的函数关系式，并指出 的取值范 围； ②探索：是否存在这样的 ，以 A 为圆心，以 长为半径的圆与 直线 l 相切，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点] 本题以矩形为背景, 结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得 到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直 线 沿 AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直 线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法] 1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则 图形用割补法． 2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r 建立方程． 3．解题的关键是用含 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] (1)∵A’是矩形 ABCD 的对称中心∴A’B＝AA’＝ AC ∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 (2)① ， ， ， ∴ ， ( ) ②若圆 A 与直线 l 相切，则 ， (舍去)， ∵ ∴ 不存在这样的 ，使圆 A 与直线 l 相切． [类题]09 虹口 25 题． （三）面动问题 如图，在 中， ， 、 分别是边 、 上的 两个动点（ 不与 、 重合），且保持 ，以 为边，在点 的 异侧作正方形 . 4 1 x x x x −x 4 3 x l x 2 1 33=BC 92 += xAC 94 1 2 += xAO )9(12 1 2 += xAF x xAE 4 92 += AF2 1 ⋅=∆ AES AEF x x 96 )9( 22 += x xxS 96 )9(3 22 +−= x xxS 96 81270 24 −+−= 333 << x 94 1 4 3 2 +=− xx 01 =x 5 8 2 =x 35 8 2 <=x x ABC∆ 6,5 === BCACAB D E AB AC D A B BCDE∥ DE A DEFG FG E C A B D （1）试求 的面积； （2）当边 与 重合时，求正方形 的边长； （3）设 ， 与正方形 重叠部分的面积为 ，试求 关于 的函数关系式，并写 出定义域； （4）当 是等腰三角形时，请直接写出 的长． [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原 题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当 D 点在 AB 边上运动时，正方形 整体动起来， GF 边落在 BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比 大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段 AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属 于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法] 1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图 3-1、3-2 重叠部分分别为正方形和 矩形包括两种情况． 2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图 3-3、3-4、3-5 用方程思想解决． 3．解题的关键是用含 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] 解：（1） . （2）令此时正方形的边长为 ，则 ，解得 . （3）当 时， ， 当 时， . （4） . [类题] 改编自 09 奉贤 3 月考 25 题，将条件（2）“当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时”,去掉，同时加 到第（3）题中. 已知：在△ABC 中，AB=AC，∠B=30º，BC=6，点 D 在边 BC 上，点 E 在线段 DC 上，DE=3，△DEF 是等边三角形，边 DF、EF 与边 BA、CA 分别相交于点 M、N． 　 （1）求证：△BDM∽△CEN； 图3-5图3-4图3-3图3-2图3-1 K FG E K FG E FG E UK FG E FG E C A A C A C A C A C B D B D B D B D B D ABC∆ FG BC DEFG xAD = ABC∆ DEFG y y x BDG∆ AD DEFG x 12=∆ABCS a 4 4 6 aa −= 5 12=a 20 ≤x 2 2 25 36 5 6 xxy =    = 52  x ( ) 2 25 24 5 2455 4 5 6 xxxxy −=−⋅= 7 20,11 25,73 125=AD A B F D E M N C 　　　　　　（2）设 BD= ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出定义域． （3）当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时,是否存在点 D，使以 M 为圆心, BM 为半径的圆与直线 EF 相切, 如果存在，请求出 x 的值；如不存在，请说明理由． 例 1：已知⊙O 的弦 AB 的长等于⊙O 的半径，点 C 在⊙O 上变化（不与 A、B）重合，求∠ACB 的 大小 . 分析：点 C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点 C 改变一下,如何变化呢？可能在 优弧 AB 上，也可能在劣弧 AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点 C 在优弧 AB 上变化时，∠ ACB 所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结 AO、BO， 则由于 AB=OA=OB，即三角形 ABC 为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的 关系得出：∠ACB= ∠AOB=300， 当点 C 在劣弧 AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧 AB 的一半，由∠ AOB=600 得，优弧 AB 的度数为 3600-600=3000 ，则由同弧所对的圆心角与 圆周角的关系得出：∠ACB=1500， 因此，本题的答案有两个，分别为 300 或 1500. 反思：本题通过点 C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从 而需要分类讨论。这样由点 C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常 出现。 变式 1：已知△ABC 是半径为 2 的圆内接三角形，若 ，求∠C 的 大小. 本题与例 1 的区别只是 AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上 面一致,在三角形 AOB 中, ,则 ,即 , 从而当点 C 在优弧 AB 上变化时，∠C 所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB 的一半，即 , 当点 C 在劣弧 AB 上变化时，∠C 所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧 AB 的一半，由∠AOB=1200 得，优弧 AB 的度数为 3600-1200=2400，则由同 弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200， 因此 或∠C=1200. 变式 2: 如图,半经为 1 的半圆 O 上有两个动点 A、B，若 AB=1， 判断∠AOB 的大小是否会随点 A、B 的变化而变化，若变化，求出变化范 围，若不变化，求出它的值。 四边形 ABCD 的面积的最大值。 解：（1）由于 AB=OA=OB，所以三角形 AOB 为等边三角形，则∠ AOB=600，即∠AOB 的大小不会随点 A、B 的变化而变化。 x y y x 2 1 32=AB 2 32 1 2 1sin ==∠ OB AB AOB 0602 1 =∠AOB 0120=∠AOB 060=∠C 060=∠C O BA C O BA C H GF E OD C B A A B CD O （2）四边形 ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形 AOB 的面积为 ，而三角 形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和为 ，又由梯形 的中位线定理得三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和 ，要四边形 ABCD 的面积最大，只需 EH 最大，显然 EH≤OE= ，当 AB∥CD 时，EH=OE，因此 四边形 ABCD 的面积最大值为 + = . 对于本题同学们还可以继续思考:四边形 ABCD 的周长的变化范围. 变式 3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的 两个顶点分 别为 A、B，另一个顶点 C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形 的面积最大？要求说明理由（广州市 2000 年考题） 分析：要使三角形 ABC 的面积最大，而三角形 ABC 的底边 AB 为 圆的直径为常量，只需 AB 边上的高最大即可。过点 C 作 CD⊥AB 于 点 D，连结 CO， 由于 CD≤CO，当 O 与 D 重合，CD=CO，因此，当 CO 与 AB 垂直时， 即 C 为半圆弧 的中点时，其三角形 ABC 的面积最大。 本题也可以先猜想，点 C 为半圆弧的中点时，三角形 ABC 的面积最大，故 只需另选一个位置 C1（不与 C 重合），，证明三角形 ABC 的面积大于 三角形 ABC1 的面积即可。如图 显然三角形 ABC1 的面积= AB×C1D，而 C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1 的面积= AB×C1D< AB ×C1O=三角形 ABC 的面积,因此,对于除点 C 外的任意点 C1,都有三角形 ABC1 的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点 C 为半圆中点时,三角形 ABC 面积最大. 本题还可研究三角形 ABC 的周长何时最大的问题。 提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形 ABC 的周长最大，AB 为常数， 只需 AC+BC 最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ΔABC 的 面积，因此ΔABC 的面积最大时，AC+BC 最大，从而ΔABC 的周长最大。 从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见 方法有: 一、 特殊探路，一般推证 例 2：（2004 年广州市中考题第 11 题）如图，⊙O1 和⊙O2 内切于 A，⊙O1 的半径为 3，⊙O2 的 半径为 2，点 P 为⊙O1 上的任一点（与点 A 不重合），直线 PA 交⊙O2 于点 C，PB 切⊙O2 于点 B，则 的值为 4 3 )(2 1 2 1 2 1 BGAFBGOCAFOD +=×+× EHBGAF =+ )(2 1 2 3 4 3 2 3 4 33 2 1 2 1 2 1 PC BP O C BA DA B C O C DA B C1 O （A） （B） （C） （D） 分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以 取一个特殊位置进行研究，当点 P 满足 PB⊥AB 时，可以通过计算得出 PB= BC×AP=BP×AB，因此 BC= ， 在三角形 BPC 中，PC= ， 所以， = 选（B） 当然，本题还可以根据三角形相似得 ，即可计算出结论。 作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一 步证明对一般情况也成立。 例 3：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC=4，OA BC 于 O,点 E 和点 F 分别在边 AB、AC 上滑 动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合，点 E 不与 B、A 重合。 判断 OEF 的形状，并加以证明。 判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化，若变化，求其 变化范围，若不变化，求它的值. AEF 的面积是否随着点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范 围，若不变化，求它的值。 分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为 E、F 分别为 AB、AC 中点，显然有ΔEOF 为等腰直角三角形。还可发现当点 E 与 A 无限接近时，点 F 与点 C 无限接近， 此时ΔEOF 无限接近ΔAOC，而ΔAOC 为等腰直角三角形，几种特殊情况都 可以得出ΔEOF 为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE 与 OF 相等吗？ ∠EOF 为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形 OFC 与 三角形 OEA 全等，一般情况下这两个三角形全等吗？ 不难从题目的条件可得：OA=OC，∠OCF=∠OAE，而 AE=CF，则ΔOEA≌Δ OFC，则 OE=OF，且∠FOC=∠EOA，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠ FOA=900，则∠EOF 为直角，故ΔEOF 为等腰直角三角形。 二、 动手实践，操作确认 例 4（2003 年广州市中考试题）在⊙O 中，C 为弧 AB 的中点，D 为弧 AC 上任一点（与 A、C 不重 合），则 （A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量， 得出结论（C） 例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和非直径的弦 CD，延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B、E，则下列结论中正确的是（ * ） （A） （B） （C） （D） 的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B） 本题也可以可以证明得出结论，连结 DO、EO，则在三角形 OED 中， 由于两边之差小于第三边，则 OE—OD ABDE < ABDE, EDAB < ABDE > 522 =+ CMBC ⊥ ∆ x−22 x 22 22 1 =×× OAOB 2 x 2 22 x− 2 2 )22( =−+ xx E D C BAO M N D CB A F E O CB A 第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, AEF 的面积= ,又 的变化范围为 ,由二次函数知识得 AEF 的面积的范围为: AEF 的面积 . 本题也可以根据三角形 AEF 与三角形 OEF 的面积关系确定 AEF 的面积范围: 不难证明 AEF 的面积≤ OEF 的面积，它们公用边 EF，取 EF 的中点 H，显然由于 OEF 为等 腰直角三角形，则 OH⊥EF，作 AG⊥EF，显然 AG≤AH=AG（= ），所以 AEF 的面积≤ OEF 的面积，而它们的和为 2，因此 AEF 的面积 . 本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究： 比如，比较线段 EF 与 AO 长度大小等（可以通过 A、E、O、F 四点在以 EF 为直径的圆上得出很 多结论） 例 8：如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用 t 秒 表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么： （1）当 t 为何值时，三角形 QAP 为等腰三角形？ （2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 分析：（1）当三角形 QAP 为等腰三角形时，由于∠A 为直角，只能是 AQ=AP，建立等量关系， ，即 时，三角形 QAP 为等腰三角形； （2）四边形 QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形 QDC 的面积—三角形 PBC 的面积 = =36，即当 P、Q 运动时，四边形 QAPC 的面积不变。 （3）显然有两种情况：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC， 由相似关系得 或 ，解之得 或 建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函 数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述 图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。 作为训练同学们可以综合上述方法求解： 练习 1：2003 年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道） 已知 ABC 为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB 为直角，P 是 AB 边上的动点（与点 A、B 不重合），Q 是 BC 边上动点（与点 B、C 不重合） （1） 如图，当 PQ∥AC，且 Q 为 BC 的中点，求线段 CP 的 长。 当 PQ 与 AC 不平行时， CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段 CQ 的长的取值范围；若 不可能，请说明理由。 ∆ 1)2(2 1)22(2 1 2 +−−=− xxx x 220 << x ∆ <0 ∆ 1≤ ∆ ∆ ∆ ∆ EF2 1 ∆ ∆ <0 ∆ 1≤ tt −= 62 2=t 6)212(2 1122 1612 ×−−××−× xx 6 12 6 2 =− x x 12 6 6 2 =− x x 3=x 2.1=x ∆ ∆ Q P C B A 第 1 问很易得出 P 为 AB 中点，则 CP= 第 2 问：如果 CPQ 为直角三角形，由于 PQ 与 AC 不平行， 则∠Q 不可能为直角 又点 P 不与 A 重合，则∠PCQ 也不可能为直角，只能是∠ CPQ 为直角，即以 CQ 为直径的圆与 AB 有交点，设 CQ=2x，CQ 的中点 D 到 AB 的距离 DM 不大于 CD， ， 即 ， 所 以 ， 由 ， 即 ，而 ，故 ，亦即 时， CPQ 可能为直角三角形。 当然还有其它方法。同学们可以继续研究。 练习 2：（广东省 2003 年中考试题最后一题）在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O 为 BC 的中点， （1）写出点 O 到△ABC 的三个顶点 A、B、C 距离的大小关系。 （2）如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动，移动中保持 AN＝ BM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。 该题与例 3 类似，同学们可以仿 本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考 查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值． 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集 多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践 操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今 年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏. 1 以双动点为载体，探求函数图象问题 　　 　　例 1 (2007 年杭州市)在直角梯形 ABCD 中，∠C=90°，高 CD=6cm(如图 1). 动点 P，Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BA，AD，DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，两点运动时的速度都是 1cm/s. 而当点 P 到达点 A 时，点 Q 正好到达点 C. 设 P，Q 同时从点 B 出发，经过的时间为 t(s)时，△ BPQ 的面积为 y(cm)2(如图 2). 分别以 t，y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 P 在 AD 边上从 A 到 D 运动时，y 与 t 的函数图象是图 3 中的线段 MN. 　　(1)分别求出梯形中 BA，AD 的长度； 2 13 2 1 =AB ∆ AB DB AC DM = 13 12 5 xDM −= 13 )12(5 xDM −= xCDxDM =≤−= 13 )12(5 3 10≥x 63).动点 M，N 同时从 B 点 出发，分别沿 B→A，B→C 运动，速度是 1 厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB，分别交 AN，CD 于 P，Q. 当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动.设运动时间为 t 秒. 　　(1)若 a=4 厘米，t=1 秒，则 PM=厘米； 　　(2)若 a=5 厘米，求时间 t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比； 　　(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a 的取值范围； 　　(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN，梯形 PQDA，梯形 PQCN 的面 积都相等?若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由. 　 　　评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代 数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题 的关键是运用相似三角形的性质用 t 的代数式表示 PM，进而利用梯形面积相等列等式求出 t 与 a 的函数 关系式，再利用 t 的范围确定的 a 取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中， 要有全局观念以及对问题的整体把握. 　4 以双动点为载体，探求函数最值问题 　　 　　例 4 (2007 年吉林省)如图 9，在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点， 它们分别从点 A、C 同时出发，沿对角线以 1cm/s 的相同速度运动，过 E 作 EH 垂直 AC 交 Rt△ACD 的 直角边于 H；过 F 作 FG 垂直 AC 交 Rt△ACD 的直角边于 G，连结 HG、EB.设 HE、EF、FG、GH 围成 的图形面积为 S1，AE、EB、BA 围成的图形面积为 S2(这里规定：线段的面积为 0).E 到达 C，F 到 达 A 停止.若 E 的运动时间为 x(s)，解答下列问题： 　　(1)当 0 PCO ACO∠ < ∠ 5px = PCO ACO∠ = ∠ 2 5px< < PCO ACO∠ > ∠ 0y = 2 1 0x − = 1x = ± 0x = 1y = − ( 1,0)− (1,0) (0, 1)− 1 ∠ ∠ ∠ 45 ∠ 45 ⊥ x ∆ a 1a + ( , 1)a a + x BEA O C 1x = P C′· 图 1 C P B y A o x ∵点 P 在抛物线 上 ∴ 解得 ， （不合题意，舍去） ∴PE= ∴四边形 ACBP 的面积 = AB•OC+ AB•PE= (3)． 假设存在 ∵ PAB= BAC = ∴PA AC ∵MG 轴于点 G， ∴ MGA= PAC = 在 Rt△AOC 中，OA=OC= ∴AC= 在 Rt△PAE 中，AE=PE= ∴AP= 设 M 点的横坐标为 ，则 M ①点 M 在 轴左侧时，则 (ⅰ) 当 AMG PCA 时，有 = ∵AG= ，MG= 即 解得 （舍去） （舍去） (ⅱ) 当 MAG PCA 时有 = 即 解得： （舍去） ∴M ② 点 M 在 轴右侧时，则 (ⅰ) 当 AMG PCA 时有 = ∵AG= ，MG= ∴ 解得 （舍去） ∴M 2 1y x= − 21 1a a+ = − 1 2a = 2 1a = − 3 S 1 2 1 2 1 12 1 2 3 42 2 × × + × × = ∠ ∠ 45 ⊥ ⊥ x ∠ ∠ 90 1 2 3 3 2 m 2( , 1)m m − y 1m < − ∆ ∽ ∆ AG PA MG CA 1m− − 2 1m − 21 1 3 2 2 m m− − −= 1 1m = − 2 2 3m = ∆ ∽ ∆ AG CA MG PA 21 1 2 3 2 m m− − −= 1m = − 2 2m = − ( 2,3)− y 1m > ∆ ∽ ∆ AG PA MG CA 1m + 2 1m − 21 1 3 2 2 m m+ −= 1 1m = − 2 4 3m = 4 7( , )3 9 G M 图 3 C B y P A o x G M 图 2 C B y P A o x (ⅱ) 当 MAG PCA 时有 = 即 解得： （舍去） ∴M ∴存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 M 点的坐标为 ， ， 练习 5、 解：（1） 点 ， ， ， 点坐标为 设过点 的直线的函数表达式为 ， 由 得 ， 直线 的函数表达式为 （2）如图 1，过点 作 ，交 轴于点 ， 在 和 中， ， 点为所求又 ， ， （3）这样的 存在 在 中，由勾股定理得 如图 1，当 时， 则 ，解得 如图 2，当 时， 则 ，解得 例 1(2008 福建福州)如图，已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出 ∆ ∽ ∆ AG CA MG PA 21 1 2 3 2 m m+ −= 1 1m = − 2 4m = (4,15) ∆ ( 2,3)− 4 7( , )3 9 (4,15)  ( 3 0)A − ， (1 0)C ， 4AC∴ = 3tan 4 34BC BAC AC= × = × =∠ B (13)， A B， y kx b= + 0 ( 3) 3 k b k b = × − +  = + 3 4k = 9 4b = ∴ AB 3 9 4 4y x= + B BD AB⊥ x D Rt ABC△ Rt ADB△ BAC DAB=∠ ∠ Rt RtABC ADB∴ △ ∽ △ D∴ 4tan tan 3ADB ABC= =∠ ∠ 4 9tan 3 3 4CD BC ADB∴ = ÷ = ÷ =∠ 13 4OD OC CD∴ = + = 13 04D ∴   ， m Rt ABC△ 5AB = PQ BD∥ APQ ABD△ ∽△ 133 4 135 3 4 mm + − = + 25 9m = PQ AD⊥ APQ ADB△ ∽△ 133 4 13 53 4 mm + − = + 125 36m = A B C DQO y x 图 1 P A B C DQ O y x 图 2 P 发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题： （1）当 t＝2 时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QR//BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，△APR∽△PRQ？ 分析:由 t＝2 求出 BP 与 BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状; 作 QE⊥BP 于点 E,将 PB,QE 用 t 表示,由 = ×BP×QE 可得 S 与 t 的函数关系式;先证得四边形 EPRQ 为平行四边形,得 PR=QE, 再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而 t 值可求. 解:(1)△BPQ 是等边三角形, 当 t=2 时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4, 即 BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过 Q 作 QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2t,得 QE=2t·sin600= t, 由 AP=t,得 PB=6-t,所以 = ×BP×QE= (6-t)× t=－ t2+3 t； (3)因为 QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,这时 BQ=2t,所以 QR=RC=QC=6-2t. 因为 BE=BQ·cos600= ×2t=t,AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以 EP=QR,又 EP∥QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形,所以 PR=EQ= t, 由△APR∽△PRQ,得到 ,即 ,解得 t= , 所以当 t= 时, △APR∽△PRQ. 点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获 取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化 的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动. 例 2(2008 浙江温州)如图，在 中， ， ， ， 分别是边 的中点，点 从点 出发沿 方向运动，过点 作 于 ，过点 作 交 于 ，当点 与点 重合时，点 停止运动．设 ， ．（1）求点 到 的距离 的长； （2）求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的 的值；若不存在，请说明理由． 分析:由△BHD∽△BAC,可得 DH;由△RQC∽△ABC,可得 关于 的函数关系式;由腰相等列方程可得 的值;注意需分类讨论. 解：（1） ， ， ， ． 点 为 中点， ． BPQS∆ 2 1 3 BPQS∆ 2 1 2 1 3 2 3 3 2 1 3 RQ PR PR AP = t t t t 26 3 3 −= 5 6 5 6 Rt ABC△ 90A∠ =  6AB = 8AC = D E， AB AC， P D DE P PQ BC⊥ Q Q QR BA∥ AC R Q C P BQ x= QR y= D BC DH y x P PQR△ x y x x  RtA∠ = ∠ 6AB = 8AC = 10BC∴ =  D AB 1 32BD AB∴ = = A B C D E R P H Q ， ． ， ， ∴ （2） ， ． ， ， ， ，即 关于 的函数关系式为： ． （3）存在.按腰相等分三种情况： ①当 时，过点 作 于 ，则 ． ， ， ． ， ， ， ． ②当 时， ， ． ③当 时，则 为 中垂线上的点， 于是点 为 的中点， ． ， ， ． 综上所述，当 为 或 6 或 时， 为等腰三角形． 点评:建立函数关系式,实质就是把函数 y 用含自变量 x 的代数式表示;要求使 为等腰三角形 的 的值,可假设 为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的 腰,故还须分类讨论. 五、以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关， 只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻 味。 例 1. 在 中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P 是 AB 边上的动点（与点 A、B 不重合），Q 是 BC 边上的动点（与点 B、C 不重合），当 PQ 与 AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请 求出线段 CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03 年广州市中考） 分析：不论 P、Q 如何运动，∠PCQ 都小于∠ACB 即小于 90°，又因为 PQ 与 AC 不平行，所以∠PQC 90DHB A∠ = ∠ =  B B∠ = ∠ BHD BAC∴△ ∽△ DH BD AC BC ∴ = 5 12810 3 =×=⋅= ACBC BDDH QR AB ∥ 90QRC A∴∠ = ∠ =  C C∠ = ∠ RQC ABC∴△ ∽△ RQ QC AB BC ∴ = 10 6 10 y x−∴ = y x 3 65y x= − + PQ PR= P PM QR⊥ M QM RM= 1 2 90∠ + ∠ =  2 90C∠ + ∠ =  1 C∴∠ = ∠ 8 4cos 1 cos 10 5C∴ ∠ = = = 4 5 QM QP ∴ = 1 3 6 42 5 12 5 5 x − +  ∴ = 18 5x∴ = PQ RQ= 3 1265 5x− + = 6x∴ = PR QR= R PQ R EC 1 1 22 4CR CE AC∴ = = = tan QR BAC CR CA = = 3 6 65 2 8 x− + ∴ = 15 2x∴ = x 18 5 15 2 PQR△ PQR△ x PQR△ Rt ABC∆ A B C D E R P H Q M 2 1 A B C D E RP H Q 不等于 90°，所以只有∠CPQ 为直角，△CPQ 才可能是直角三角形，而要判断△CPQ 是否为直角三角形， 只需构造以 CQ 为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若 AB 边上的动点 P 在圆上，∠CPQ 就为直角， 否则∠CPQ 就不可能为直角。 以 CQ 为直径做半圆 D。 ①当半圆 D 与 AB 相切时，设切点为 M，连结 DM，则 DM⊥AB，且 AC＝AM＝5 所以 设 ，则 在 中， ，即 解得： ，所以 即当 且点 P 运动到切点 M 的位置时，△CPQ 为直角三角形。 ②当 时，半圆 D 与直线 AB 有两个交点，当点 P 运动到这两个交点的位置时，△CPQ 为直角三角形。 ③当 时，半圆 D 与直线 AB 相离，即点 P 在半圆 D 之外，0＜∠CPQ＜90 °，此时，△CPQ 不可能为直角三角形。 所以，当 时，△CPQ 可能为直角三角形。 例 2. 如图 2，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰 DC 上有动点 P，使 AP⊥BP， 则这样的点有多少个？ 分析：由条件 AP⊥BP，想到以 AB 为直径作圆，若 CD 与圆相交，根据直径所对 的圆周角是 90°，两个交点即为点 P；若 CD 与圆相切，切点即是点 P；若 CD 与圆 相离，则 DC 上不存在动点 P，使 AP⊥BP。 解：如图 3，以 AB 为直径做⊙O，设⊙O 与 CD 切于点 E 因为∠B＝∠A＝90° 所以 AD、BC 为⊙O 的切线 即 AD＝DE，BC＝CE 所以 AD＋BC＝CD 而条件中 AD＋BC＜DC，我们把 CD 向左平移，如图 4，CD 的长度不变，AD 与 BC 的长度缩短，此时 AD＋BC＜DC，点 O 到 CD 的距离 OE 小于⊙O 的半径 OE，CD 与⊙O MB AB AM= − = − =13 5 8 CD x= DM x DB x= = −， 12 Rt DMB∆ DB DM MB2 2 2= + ( )12 82 2 2− = +x x x = 10 3 CQ x= =2 20 3 CQ = 20 3 20 3 12< ， 4BC OB OC m= − = − 4AC BC m= = − Rt AOC△ 2 2 2AC OC OA= + ( )2 2 24 2m m− = + 3 2m = ∴ C 30 2     ， B OA B′ B CD BCD′△ ≌△ OB x OC y′ = =， 4B C BC OB OC y′ = = − = − Rt B OC′△ 2 2 2B C OC OB′ ′= + ( )2 2 24 y y x∴ − = + 21 28y x= − + B′ OA 0 2x≤ ≤ ∴ 21 28y x= − + ( )0 2x≤ ≤ ∴  0 2x≤ ≤ y x y∴ 3 22 y≤ ≤ B OA B′′ B D OB′′ ∥ OCB CB D′′ ′′∠ = ∠ CBD CB D OCB CBD′′ ′′∠ = ∠ ∴∠ = ∠ ， CB BA′′∥ Rt RtCOB BOA′′∴ △ ∽ △ OB OC OA OB ′′ = 2OC OB′′= Rt B OC′′△ ( )0 0OB x x′′ = > 02OC x= x y B O A x y B O A 由（Ⅱ）的结论，得 ， 解得 . 点 的坐标为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 12（09 太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 ， 重合），压平后得到折痕 ．当 时，求 的值． 类比归纳 在图（1）中，若 则 的值等于 ；若 则 的值等于 ； 若 （ 为整数），则 的值等于 ．（用含 的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 重合），压平后得 到折痕 设 则 的值等于 ．（用含 的式子表示） 解：方法一：如图（1-1），连接 ． 由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称． ∴ 垂直平分 ．∴ ……………1 分 ∵四边形 是正方形，∴ ∵ 设 则 在 中， ． ∴ 解得 ，即 …………3 分 在 和在 中， ， ， ∴ …………5 分 设 则 ∴ 解得 即 …………6 分 ∴ …………7 分 方法二：同方法一， …………3 分 2 0 0 12 28x x= − + 0 0 08 4 5 0 8 4 5x x x= − ± > ∴ = − +． ， ∴ C ( )0 8 5 16−， ABCD B CD E C D MN 1 2 CE CD = AM BN 1 3 CE CD = ， AM BN 1 4 CE CD = ， AM BN 1CE CD n = n AM BN n ABCD B CD E C D， MN， ( )1 11AB CEmBC m CD n = > =， ， AM BN m n， BM EM BE， ， ABNM FENM MN MN BE BM EM BN EN= =， ． ABCD 90 2A D C AB BC CD DA∠ = ∠ = ∠ = = = = =° , ． 1 12 CE CE DECD = ∴ = =， ． BN x= ， NE x= ， 2NC x= − ． Rt CNE△ 2 2 2NE CN CE= + ( )22 22 1x x= − + ． 5 4x = 5 4BN = ． Rt ABM△ Rt DEM△ 2 2 2AM AB BM+ = 2 2 2DM DE EM+ = 2 2 2 2AM AB DM DE+ = + ． AM y= ， 2DM y= − ， ( )22 2 22 2 1y y+ = − + ． 1 4y = ， 1 4AM = ． 1 5 AM BN = ． 5 4BN = ． 方法指导： 为了求得 AM BN 的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB =2 图（2） N A B C D E F M 图（1） A B C D E FM N N 图（1-1） A B C D E FM N 图（1-2） A B C D E FM G 如图（1－2），过点 做 交 于点 ，连接 ∵ ∴四边形 是平行四边形． ∴ 同理，四边形 也是平行四边形．∴ 　　　∵ 　　　 　　　在 与 中 　　　 ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙５分 ∵ …………6 分 ∴ …………7 分 类比归纳 （或 ）； ； …………10 分 联系拓广 …………12 分 三年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关 N NG CD∥ ， AD G BE． AD BC∥ ， GDCN NG CD BC= = ． ABNG 5 4AG BN= = ． 90MN BE EBC BNM⊥ ∴∠ + ∠ =， °． 90NG BC MNG BNM EBC MNG⊥ ∴∠ + ∠ = ∴∠ = ∠ ， °， ． BCE△ NGM△ 90 EBC MNG BC NG C NGM ∠ = ∠  = ∠ = ∠ = ， ， °． BCE NGM EC MG=△ ≌△ ， ． 11 4AM AG MG AM= − − =5， = ． 4 1 5 AM BN = ． 2 5 4 10 9 17 ( )2 2 1 1 n n − + 2 2 2 2 2 1 1 n m n n m − + + 07 08 09 动点个数 两个 一个 两个 问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边上 移动 抛物线中特殊直角梯形底边上 移动 考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数 关系式 探究等腰三角形 考 点 ①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式 ①求直线解析式 ②四边形面积的表示 ③动三角形面积函数 ④矩形性质 ①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定值 ④探究等腰三角形存在性 特 点 ①菱形是含 60°的特殊菱形； △AOB 是底角为 30°的等腰三角 形。 ②一个动点速度是参数字母。 ③探究相似三角形时，按对应角不 同分类讨论；先画图，再探究。 ④通过相似三角形过度，转化相似 比得出方程。 ⑤利用 a、t 范围，运用不等式求出 a、t 的值。 ①观察图形构造特征 适当割补表示面积 ②动点按到拐点时间 分段分类 ③画出矩形必备条件 的图形探究其存在性 ①直角梯形是特殊的（一底角 是 45°） ②点动带动线动 ③线动中的特殊性（两个交点 D、 E 是定点；动线段 PF 长度是定 值，PF=OA） ④通过相似三角形过度，转化 相似比得出方程。 ⑤探究等腰三角形时，先画图， 再探究（按边相等分类讨论） 系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。