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  • 2021-05-10 发布

长春市中考数学试卷2017带答案解析

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‎2017年吉林省长春市中考数学试卷 一、选择题:本大题共8个小题,每小题3分,共24分.‎ ‎1.(3分)3的相反数是(  )‎ A.﹣3 B.﹣‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.3‎ ‎2.(3分)据统计,2016年长春市接待旅游人数约67000000人次,67000000这个数用科学记数法表示为(  )‎ A.67×106 B.6.7×105 C.6.7×107 D.6.7×108‎ ‎3.(3分)下列图形中,可以是正方体表面展开图的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(3分)不等式组‎&x-1≤0‎‎&2x-5<1‎的解集为(  )‎ A.x<﹣2 B.x≤﹣1 C.x≤1 D.x<3‎ ‎5.(3分)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,则∠B的大小为(  )‎ A.54° B.62° C.64° D.74°‎ ‎6.(3分)如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,则这块矩形较长的边长为(  )‎ 第18页(共18页)‎ A.3a+2b B.3a+4b C.6a+2b D.6a+4b ‎7.(3分)如图,点A,B,C在⊙O上,∠ABC=29°,过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D,则∠D的大小为(  )‎ A.29° B.32° C.42° D.58°‎ ‎8.(3分)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A的坐标为(﹣4,0),顶点B在第二象限,∠BAO=60°,BC交y轴于点D,DB:DC=3:1.若函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点C,则k的值为(  )‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题3分,满分18分,将答案填在答题纸上)‎ 第18页(共18页)‎ ‎9.(3分)计算:‎2‎×‎3‎=   .‎ ‎10.(3分)若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根,则a的值是   .‎ ‎11.(3分)如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.若AB:BC=1:2,DE=3,则EF的长为   .‎ ‎12.(3分)如图,则△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC=4,以点B为圆心,BA长为半径作圆弧,交BC于点D,则AD的长为   .(结果保留π)‎ ‎13.(3分)如图①,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图②,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为   .‎ ‎14.(3分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交x轴于点P.若△‎ 第18页(共18页)‎ ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为   .‎ 三、解答题(本大题共10小题,共78分.)‎ ‎15.(6分)先化简,再求值:3a(a2+2a+1)﹣2(a+1)2,其中a=2.‎ ‎16.(6分)一个不透明的口袋中有一个小球,上面分别标有字母a,b,c,每个小球除字母不同外其余均相同,小园同学从口袋中随机摸出一个小球,记下字母后放回且搅匀,再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母.用画树状图(或列表)的方法,求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率.‎ ‎17.(6分)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,求大厅的距离AC的长.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.60)‎ ‎18.(7分)某校为了丰富学生的课外体育活动,购买了排球和跳绳.已知排球的单价是跳绳的单价的3倍,购买跳绳共花费750元,购买排球共花费900元,购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个,求跳绳的单价.‎ 第18页(共18页)‎ ‎19.(7分)如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,点E是菱形ABCD内一点,连结CE绕点C顺时针旋转110°,得到线段CF,连结BE,DF,若∠E=86°,求∠F的度数.‎ ‎20.(7分)某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠情况,将同学们某天的睡眠时长t(小时)分为A,B,C,D,E(A:9≤t≤24;B:8≤t<9;C:7≤t<8;D:6≤t<7;E:0≤t<6)五个选项,进行了一次问卷调查,随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理,绘制成如下条形统计图,根据统计图提供的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)根据统计结果,估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数.‎ 第18页(共18页)‎ ‎21.(8分)甲、乙两车间同时开始加工一批服装.从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时,乙车间在中途停工一段时间维修设备,然后按停工前的工作效率继续加工,直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止.设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件).甲车间加工的时间为x(时),y与x之间的函数图象如图所示.‎ ‎(1)甲车间每小时加工服装件数为   件;这批服装的总件数为   件.‎ ‎(2)求乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式;‎ ‎(3)求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间.‎ ‎22.(9分)【再现】如图①,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,可以得到:DE∥BC,且DE=‎1‎‎2‎BC.(不需要证明)‎ ‎【探究】如图②,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,判断四边形EFGH的形状,并加以证明.‎ ‎【应用】在(1)【探究】的条件下,四边形ABCD中,满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?你添加的条件是:   .(只添加一个条件)‎ ‎(2)如图③,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC,BD相交于点O.若AO=OC,四边形ABCD面积为5,则阴影部分图形的面积和为   .‎ 第18页(共18页)‎ ‎23.(10分)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,点P从点A出发,沿折线AB﹣BC向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动,点Q从点C出发,沿CA方向以每秒‎4‎‎3‎个单位长度的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止.设点P运动的时间为t秒.‎ ‎(1)求线段AQ的长;(用含t的代数式表示)‎ ‎(2)连结PQ,当PQ与△ABC的一边平行时,求t的值;‎ ‎(3)如图②,过点P作PE⊥AC于点E,以PE,EQ为邻边作矩形PEQF,点D为AC的中点,连结DF.设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S.①当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式;②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1:2时t的值.‎ ‎24.(12分)定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<‎ 第18页(共18页)‎ ‎0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y=x﹣1,它们的相关函数为y=‎&-x+1(x<0)‎‎&x-1(x≥0)‎.‎ ‎(1)已知点A(﹣5,8)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值;‎ ‎(2)已知二次函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎.①当点B(m,‎3‎‎2‎)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值;‎ ‎②当﹣3≤x≤3时,求函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎的相关函数的最大值和最小值;‎ ‎(3)在平面直角坐标系中,点M,N的坐标分别为(﹣‎1‎‎2‎,1),(‎9‎‎2‎,1}),连结MN.直接写出线段MN与二 次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围.‎ ‎ ‎ 第18页(共18页)‎ ‎2017年吉林省长春市中考数学试卷 一、选择题:‎ ‎1.A.2.C.3.D 4.C.5.C.6.A.7.B.8.D.‎ 二、填空题 ‎9.‎6‎.10.4.11.6.12.‎8π‎9‎.13.10.14.(﹣1,﹣2).‎ 三、解答题 ‎15.解:原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2,‎ 当a=2时,原式=24+16﹣2﹣2═36.‎ ‎16.解:列表如下:‎ ‎ ‎ a b c a ‎(a,a)‎ ‎(b,a)‎ ‎(c,a)‎ b ‎(a,b)‎ ‎(b,b)‎ ‎(c,b)‎ c ‎(a,c)‎ ‎(b,c)‎ ‎(c,c)‎ 所有等可能的情况有9种,其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种,‎ 则P=‎3‎‎9‎=‎1‎‎3‎. ‎ ‎17.解:过B作地平面的垂线段BC,垂足为C.‎ 在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,‎ ‎∴AC=AB•cos∠BAC=12×0.857≈10.3(米).‎ 即大厅的距离AC的长约为10.3米.‎ ‎18.解:设跳绳的单价为x元,则排球的单价为3x元,‎ 第18页(共18页)‎ 依题意得:‎750‎x﹣‎900‎‎3x=30,‎ 解方程,得x=15.‎ 经检验:x=15是原方程的根,且符合题意.‎ 答:跳绳的单价是15元.‎ ‎19.解:∵菱形ABCD,‎ ‎∴BC=CD,∠BCD=∠A=110°,‎ 由旋转的性质知,CE=CF,∠ECF=∠BCD=110°,‎ ‎∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE,‎ 在△BCE和△DCF中,‎&BC=CD‎&∠BCE=∠DCF‎&CE=CF,‎ ‎∴△BCE≌△DCF, ∴∠F=∠E=86°.‎ ‎20.解:(1)n=12+24+15+6+3=60;‎ ‎(2)(6+3)÷60×600=90,‎ 答:估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数为90人.‎ ‎21.解:(1)甲车间每小时加工服装件数为720÷9=80(件),‎ 这批服装的总件数为720+420=1140(件).‎ 故答案为:80;1140.‎ ‎(2)乙车间每小时加工服装件数为120÷2=60(件),‎ 乙车间修好设备的时间为9﹣(420﹣120)÷60=4(时).‎ ‎∴乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=120+60(x﹣4)=60x﹣120(4≤x≤9).‎ 第18页(共18页)‎ ‎(3)甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=80x,‎ 当80x+60x﹣120=1000时,x=8.‎ 答:甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时.‎ ‎22.解:【探究】平行四边形.‎ 理由:如图1,连接AC, ∵E是AB的中点,F是BC的中点,‎ ‎∴EF∥AC,EF=‎1‎‎2‎AC, 同理HG∥AC,HG=‎1‎‎2‎AC,‎ 综上可得:EF∥HG,EF=HG, 故四边形EFGH是平行四边形.‎ ‎【应用】(1)添加AC=BD,‎ 理由:连接AC,BD,同(1)知,EF=‎1‎‎2‎AC,‎ 同【探究】的方法得,FG=‎1‎‎2‎BD,‎ ‎∵AC=BD, ∴EF=FG,‎ ‎∵四边形EFGH是平行四边形, ∴▱EFGH是菱形;‎ 故答案为AC=BD;‎ ‎(2)如图2,由【探究】得,四边形EFGH是平行四边形,‎ ‎∵F,G是BC,CD的中点,‎ ‎∴FG∥BD,FG=‎1‎‎2‎BD, ∴△CFG∽△CBD,‎ ‎∴S‎△CFGS‎△BCD‎=‎‎1‎‎4‎, ∴S△BCD=4S△CFG,‎ 同理:S△ABD=4S△AEH,‎ ‎∵四边形ABCD面积为5, ∴S△BCD+S△ABD=5,‎ 第18页(共18页)‎ ‎∴S△CFG+S△AEH=‎5‎‎4‎, 同理:S△DHG+S△BEF=‎5‎‎4‎,‎ ‎∴S四边形EFGH=S四边形ABCD﹣(S△CFG+S△AEH+S△DHG+S△BEF)=5﹣‎5‎‎2‎=‎5‎‎2‎,‎ 设AC与FG,EH相交于M,N,EF与BD相交于P,‎ ‎∵FG∥BD,FG=‎1‎‎2‎BD,‎ ‎∴CM=OM=‎1‎‎2‎OC,‎ 同理:AN=ON=‎1‎‎2‎OA,‎ ‎∵OA=OC, ∴OM=ON,‎ 易知,四边形ENOP,FMOP是平行四边形,‎ ‎∴S阴影=‎1‎‎2‎S四边形EFGH=‎5‎‎4‎,‎ 故答案为‎5‎‎4‎.‎ ‎23.解:(1)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=10,BC=6,‎ ‎∴AC=AB‎2‎-BC‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=8,‎ 第18页(共18页)‎ ‎∵CQ=‎4‎‎3‎t,‎ ‎∴AQ=8﹣‎4‎‎3‎t(0≤t≤4).‎ ‎(2)①当PQ∥BC时,APAB=AQAC,‎ ‎∴‎5t‎10‎=‎8-‎4‎‎3‎t‎8‎,‎ ‎∴t=‎3‎‎2‎s.‎ ‎②当PQ∥AB时,CQCA=CPCB,‎ ‎∴‎4‎‎3‎t‎8‎=‎6-3(t-2)‎‎6‎,‎ ‎∴t=3,‎ 综上所述,t=‎3‎‎2‎s或3s时,当PQ与△ABC的一边平行.‎ ‎(3)①如图1中,a、当0≤t≤‎3‎‎2‎时,重叠部分是四边形PEQF.‎ S=PE•EQ=3t•(8﹣4t﹣‎4‎‎3‎t)=﹣16t2+24t.‎ 第18页(共18页)‎ b、如图2中,当‎3‎‎2‎<t≤2时,重叠部分是四边形PNQE.‎ S=S四边形PEQF﹣S△PFN=(16t2﹣24t)﹣‎1‎‎2‎•‎4‎‎5‎(‎16‎‎3‎t﹣8)•‎3‎‎5‎(‎16‎‎3‎t﹣8)=‎688‎‎75‎t2﹣‎88‎‎25‎t﹣‎384‎‎25‎.‎ C、如图3中,当2<t≤3时,重叠部分是五边形MNPBQ.‎ S=S四边形PBQFS△FNM=‎4‎‎3‎t•[6﹣3(t﹣2)]﹣‎1‎‎2‎•[‎4‎‎3‎t﹣4(t﹣2)]•‎3‎‎4‎[‎4‎‎3‎t﹣4(t﹣2)]=﹣‎20‎‎3‎t2+30t﹣24.‎ 综上所述,S=‎{‎‎-16t‎2‎+24t‎(0≤t≤‎3‎‎2‎)‎‎688‎‎75‎t‎2‎‎-‎88‎‎25‎t-‎‎384‎‎24‎‎(‎3‎‎2‎<t≤2)‎‎-‎20‎‎3‎t‎2‎+30t-24‎‎(2<t≤3)‎.‎ ‎②‎ 第18页(共18页)‎ a、如图4中,当DE:DQ=1:2时,DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1:2.‎ 则有(3﹣3t):(3﹣‎4‎‎3‎t)=1:2,解得t=‎9‎‎14‎s,‎ b、如图5中,当NE:PN=1:2时,DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1:2.‎ ‎∴DE:DQ=NE:FQ=1:3,‎ ‎∴(3t﹣3):(3﹣‎4‎‎3‎t)=1:3,‎ 解得t=‎36‎‎31‎s,‎ 综上所述,当t=‎9‎‎14‎s或‎36‎‎31‎s时,DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1:2.‎ ‎24.解:(1)函数y=ax﹣3的相关函数为y=‎&-ax+3(x<0)‎‎&ax-3(x≥0)‎,将点A(﹣5,8)代入y=﹣ax+3得:5a+3=8,解得:a=1.‎ 第18页(共18页)‎ ‎(2)二次函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎的相关函数为y=‎‎&x‎2‎-4x+‎1‎‎2‎(x<0)‎‎&-x‎2‎+4x-‎1‎‎2‎(x≥0)‎ ‎①当m<0时,将B(m,‎3‎‎2‎)代入y=x2﹣4x+‎1‎‎2‎得m2﹣4m+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎,解得:m=2+‎5‎(舍去)或m=2﹣‎5‎.‎ 当m≥0时,将B(m,‎3‎‎2‎)代入y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎得:﹣m2+4m﹣‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎,解得:m=2+‎2‎或m=2﹣‎2‎.‎ 综上所述:m=2﹣‎5‎或m=2+‎2‎或m=2﹣‎2‎.‎ ‎②当﹣3≤x<0时,y=x2﹣4x+‎1‎‎2‎,抛物线的对称轴为x=2,此时y随x的增大而减小,‎ ‎∴此时y的最大值为‎43‎‎2‎.‎ 当0≤x≤3时,函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎,抛物线的对称轴为x=2,当x=0有最小值,最小值为﹣‎1‎‎2‎,当x=2时,有最大值,最大值y=‎7‎‎2‎.‎ 综上所述,当﹣3≤x≤3时,函数y=﹣x2+4x﹣‎1‎‎2‎的相关函数的最大值为‎43‎‎2‎,最小值为﹣‎1‎‎2‎;‎ ‎(3)如图1所示:线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点.‎ 第18页(共18页)‎ 所以当x=2时,y=1,即﹣4+8+n=1,解得n=﹣3.‎ 如图2所示:线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点 ‎∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1,‎ ‎∴﹣n=1,解得:n=﹣1.‎ ‎∴当﹣3<n≤﹣1时,线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.‎ 如图3所示:线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.‎ 第18页(共18页)‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点(0,1),‎ ‎∴n=1.‎ 如图4所示:线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.‎ ‎∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M(﹣‎1‎‎2‎,1),‎ ‎∴‎1‎‎4‎+2﹣n=1,解得:n=‎5‎‎4‎.‎ ‎∴1<n≤‎5‎‎4‎时,线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.‎ 综上所述,n的取值范围是﹣3<n≤﹣1或1<n≤‎5‎‎4‎.‎ ‎ ‎ 第18页(共18页)‎